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2012级物理竞赛最后模拟


2012 级物理竞赛最后模拟(一)
1.如图所示,总能量为 E 的相对论性高能电子(其动能大于静能)与频率为 v 的低能光子(能量小 于电子静能)相向运动而碰撞,碰后光子沿与原入射方向成 ? 角的方向散射(散射电子图中没有画 出),求散射光子的能量(用 E,v, ? 和电子静能 E0 表示)。当 ? 为何值时,散射光子的能量最大? 并求此最大能量。

>2.在静止车厢内有一幅角θ 为常量(0<θ <90°)的圆锥摆,当摆球处以图中所示的最左位置时, 车厢开始以常量 a 向右作水平匀加速运动。试问:摆球相对车厢是否有可能恰好从此时刻开始以 θ ′(0<θ ′<90°)为幅角作圆锥摆运动?

3.为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近,可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探 测器的宇宙飞船,要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内,轨道的近日点到太阳的距 离为 0.01 AU(AU 为距离的天文单位,表示太阳和地球之间的平均距离:l AU=1.495×1011m),并 与地球具有相同的绕日运行周期(为简单计,设地球以圆轨道绕太阳运动).试问从地球表面应以 多大的相对于地球的发射速度 u0。 (发射速度是指在关闭火箭发动机, 停止对飞船加速时飞船的速 度)发射此飞船,才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近(也就是说克服 了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上)进入符合要求的椭圆轨道绕日运行?已知地球半径 Re=6.37×106 m,地面处的重力加速度 g=9.80m/s2,不考虑空气的阻力.

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4.如图所示,在竖直向下的足够宽广的 Oxy 平面中,每隔 d 的区域内就有一段 d 的区域内存在竖 直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场(电场强度为 E,磁感强度为 B=0.1T) 。有一带电 -10 -11 荷量为 q=+2.0×10 C,质量为 m=1.1×10 kg 的带电粒子从 O 点自由下落,且 qE=mg。 (1)求粒子到达第几个电场和磁场分布的区域时,带电粒子不能从该区域的下方射出来? (2)求粒子在该区域内运动的时间。 (g 取 10m·s-2)

5.如图所示,飞船总质量为 m,内装质量为 m0 的探测器,绕地球沿椭圆轨道运行,近地点与地心距 离为 r1,速度为 v1 ?
2aGM . r1

(1) 证明 0.5<a<1; (2)如图(b)所示,飞船在近地点向前发射探测器,并使探测器沿抛物线轨道运动,发射后飞船 沿圆轨道运动,求质量比 mo/m 及发射探测器的相对速度 u; (3)如图(C)所示,若在远地点以上述相对速度 U 发射探测器,试求探测器运行的轨道。

6.假定各国在发射卫星时都遵循以下规定: 卫星进入轨道后不可离开本国领土和领海对应的领空, 即卫星与地心连线和地球表面的衮点必须落在自己的领土和领海上,为下面讨论的需要,给出同 步卫星的轨道半径为尺 R0=4.21×l04km. (1)一个领空范围占据北纬 20~50。的国家是否能发射一颗不用动力飞行的卫星?一个领空范围 占据北纬 l5。至南 l0。的国家呢? (2)某国发射一颗周期为 T0=1d 的不用动力飞行的卫星, 卫星轨道平面即为赤道平面. 容易理解, 若卫星取一椭圆轨道,则它相对地心的角速度就不是定值,与地面上的参考点之间会发生相对运 动,假设这个国家仅拥有 ?=2。经度范围的赤道领空,发射者就必须将卫星轨道的偏心率 e 限制在 一个很小的范围内,以保证卫星不离开本国领空.设椭圆半长轴为 A,半短轴为 B,则椭圆焦点与 椭圆中心的距离为 C ? A2 ? B2 ,椭圆偏心率定义为 e=C/A,试确定偏心率 e 的最大可能值.

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7. 假设万有引力与距离的一次方成正比。 (1)试仿照开普勒三定律的内容,建立相应的行星闭合轨道三定律; (2)若施力者为若干固定的质点,试问受力质点能取什么样的运动轨道?

8.试求解关于万有引力和天体运动的以下两题: Mm (1)设万有引力大小为 F ? G a .已知地球绕太阳运动的轨道是 r 一个 A≠B 的椭圆,其中 A 和 B 分别是椭圆的半长轴和半短轴。①若 太阳位于椭圆的中心,试确定 a 的可取值;②若太阳位于椭圆的某个焦点上,试确定 a 的可取值. Mm (2)牛顿万有引力的大小为 F ? G 2 .①已知太阳的质量 M,地 r 球绕太阳椭圆轨道的半长轴和半短轴分别是 A 和 B,试求地球在距太阳最近点处的速度和地球椭 圆运动的周期;②l994 年 7 月 16 日 20 时 15 分,哈勃望远镜观察到了苏梅克一列维 9 号彗星的 第一块碎片与木星相撞,而后其他碎片与木星相撞.在这之前,彗星早已开始绕木星做椭圆运动, 据天文测量数据绘制的椭圆运动轨道如图所示,图平面即为轨道所在平面.试根据此图,估算彗 星碎片刚进入木星大气层时相对木星的速度大小.

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9.在一惯性坐标系 S 中,观察到两艘宇宙飞船 A、B 沿直线相向平行飞行,轨道相距为 d,如图所
c 3 .当两艘飞船抵达彼此最近点时(图中虚线表示处),飞船 A 以 c 的速率(S 2 4

示.飞船的速率都是

系中观察)投出一小包. (1)为使小包能被飞船 B 收到,则小包抛出的角度应多大?假设飞船 A 上有一与 S 系坐标轴都 平行的坐标系 S’ ,S’系相对 S 系运动方向平行于 y 轴. (2)从飞船 A 的观察者看来,小包抛出的速率为多大?

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2012 级物理竞赛最后模拟(二)
1.某光滑曲面由曲线 y ? f ? x ? 绕竖直 y 轴旋转一周形成.一自然半径 a 、质量 m 、劲度系数 k 的 弹性圆环置于该曲面之上,能水平静止于任意高度处,则曲线方程为

2.在一竖直固定的圆筒底部连接一根足够长的轻弹簧,弹簧上方连接一个圆活塞,活塞与筒壁间 有摩擦,其间最大静摩擦力与滑动摩擦力同为活塞所受重力的 ? 倍。开始时,弹簧处于自由长度 状态,活塞静止,如图所示。随即观察到活塞降落,降落高度可达 L,设题中活塞带孔,上下气 体可自由穿越。 (1)以活塞初始位置 A 为参考点,确定活塞最终可能停留的区域; (2) 若观察到活塞的全部运动由两次下降和一次上升运动构成, 试确定活塞最终可能停留的区域。

3.长为 L、质量均匀分布的细杆 AB,A 端能在一个光滑的铅垂线上运动,B 端能沿一条粗糙的水 平直线运动,两直线间最短距离为 a,a <1,B 端与水平直线静摩擦系数为 u。假定 L>a,A 端高于 B 端。求杆能保持平衡, ? 的取值范围。

4.如图所示,一容器左侧装有活门 K1 ,右侧装有活塞 B,一厚度可以忽略的隔板 M 将容器隔成 a、 b 两室,M 上装有活门 K 2 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞可用销钉固定,拔
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掉销钉即可在容器内左右平移,移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器置于压强为 P0、温度为 T0 的大气中。初始时将活塞 B 用销钉固定在图示的位置,隔板 M 固定在容器 PQ 处,使 a、b 两 室体积都等于 V0; K1 、 K 2 关闭。此时,b 室真空,a 室装有一定量的空气(容器内外气体种类相 同,且均可视为理想气体) ,其压强为 4P0/5,温度为 T0。已知 1mol 空气温度升高 1K 时内能的增 量为 CV,普适气体常量为 R。 (1).现在打开 K1 ,待容器内外压强相等时迅速关闭 K1 (假定此过程中处在容器内的气体与处在 容器外的气体之间无热量交换) ,求达到平衡时,a 室中气体的温度。 (2).接着打开 K 2 ,待 a、b 两室中气体达到平衡后,关闭 K 2 。拔掉所有销钉,缓慢推动活塞 B 直至到过容器的 PQ 位置。求在推动活塞过程中,隔板对 a 室气体所作的功。已知在推动活塞过 程中,气体的压强 P 与体积 V 之间的关系为 PV
CV ? R CV

=恒量。

5.一块厚玻璃以速率 v 向右运动.在 A 点有闪光灯,它发出的光通过厚玻璃后到达 B 点, 如图所示.已知 A、B 之间的距离为 L,玻璃在其静止的坐标系中的厚度为 D0,玻璃的折射率为 n.试问,光从 A 点传播到 B 点需多少时间?

6.如图所示, 一圆柱形区域的匀强磁场 B 随时间 t 变化, 在磁场区域内垂直于 B 的 Oxy 平面上
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有一光滑绝缘的细空心管 MN,它固定在 x 轴上并相对于 y 轴对称,MO′与 OO′之间的夹角为θ , 其中 O′是磁场区域中央轴与 xy 平面的交点。 在管 MN 内有一质量为 m 电量为 q(q>0)的光滑小球, t=0 时小球静止在 M 位置。设 B 的方向如图所示,其大小随 t 的变化规律为 B=BOsinω t,其中 BO 和ω 均为正常的常量。设 B 的这种变化规律刚好能使小球在 MN 之间以 O 为中心、MN 长度的一半 为振幅做简谐运动。 (1)试确定小球做简谐振动的圆频率ω 球与 m、q、θ o、Bo 之间的关系。 (2)设 MN 长为 2R,试求管 MN 受到小球作用力的 y 分量 Ny 与小球位置 x 之间的函数关系; 画出 Ny(x)曲线,并标出曲线上的特征点。

7.当两个相接触的肥皂泡融合前,常有一个中间阶段,在两个肥皂泡之间产生一层薄膜。 (1)曲率半径 r1 和 r2 已知,求把肥皂泡分开的薄膜的曲率半径 r12。 (2)考虑 r1=r2=r 的特殊情况,在中间状态形成前,肥皂泡的半径是什么?在中间膜消失后,肥皂泡 的半径是什么?我们假定,肥皂泡里的超压只与表面张力及半径有关,而且比大气压小得多,因此 泡内的气体体积不会改变。

8.所图所示的图线是表示在 10℃—30℃的范围内水的饱和蒸汽压曲线。现将温度为 27℃、压强 为 760mmHg、相对湿度 B=80%的空气封闭在容器中,将它逐渐冷却,试问: (1)冷却到 12℃时,容器内空气压强为多少? (2)温度降到多少摄氏度时开始有水凝结?这时纯空气和 水蒸气的压强各为多少?

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2012 级物理竞赛最后模拟(三)
1.如图所示,一根长为 L 的轻质刚性捧的两端分别连着质量为 m 的质点.现将此棒放陆光滑的 桌面上,并用一个质量为 m、速度为υ 0 的质点与棒端的一个质点相碰.已知υ 0 的方向与棒的夹 角为 450,并设碰撞为弹性碰撞.碰撞之后,质点沿原直线返回,试求碰撞之后棒的角速度。

2.空气输气管上接有 1 个包有绝热材料的刚性容器。输气管可看成一个容量极大的气源,其压强 为为 P0,温度恒为 TO,刚性容器内装有空气,其压强为 P1(P1>> P1)温度恒为 T1,现小心开启阀 门,让气体缓慢充入容器。求当容器内压强达到 P2(P0> P2 >P1)时容器内气体的温度。 (空气可 视为理想气体。已知 1mol 空气内能可表示为 U=CVT,其中 CV 为常数,T 为热力学温度) 。

3.设 v0 与 v 分别表示静止原子和运动原子发射的光子的频率,试证明,它们之间 满足关系式
v ? v0 1 ? v2 / c2 1?

?

c

cos ?

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4.铜制圆环的两个半径分别为 r1=1cm 和 r2=1 mm,如图所示.圆环竖放在地面上,环底部有固 定的光滑栓限制,使其不能滑动.圆环周围有竖直向上的均匀的匀强磁场 B=1.0 T.如图所示, 圆环偏离竖直方向倒向地面.已知铜的电导率 σ = 6.25 × 107 Ω - 1 · m - 1 ,质量密度 ρ = 8.93 × 103kg/m3, 试通过数量级的估算, 判断圆环倒下时其重力势能主要是转换成圆环的动能还是转换为 焦耳热能.

5.一半径为 R 的实心均匀球,开始时质心静止,但绕过质心的水平轴以角速度ω 0 旋转,从球的 最低点离地高 h 处竖直下落到地面,球与地面碰撞的恢复系数为 e,球与地面的摩擦系数为μ , 忽略空气阻力及碰撞时产生的形变. (1)试求碰撞后球的质心速度和自转角速度; (2)试求第一次落地点与第二次落地点之间的水平距离; (3)试画出碰后球的质心速度与地面夹角θ 的正切与初始角速度ω 0 的关系曲线.

6.如图所示,质量同为 m 的两个相同等腰直角三角形斜木块平放在光滑水平地面上,且已通过某 种约束使其始终不会翻转,斜面底端相互接触。一根劲度系数为 k,自由长度恰好等于每个斜木 块底面长度两倍的弹性轻杆,两端分别连接质量同为 m 的小球,开始时两个小球静止在两个斜木 块的顶端。自由释放后,两个小球可以无摩擦地沿斜面滑动,斜木块底面作水平运动,弹性杆随 之在竖直方向上运动, 运动过程中假设杆始终处于水平状态。 将斜木块给小球支持力大小记为 N, 已知小球开始运动后 N 第二次达到极小值时, 杆刚好落地, 试求 N 第二次达到极大值时杆的长度。

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7.四块面积同为 S、原不带电的导体薄平板 A、B、C、D,依次平行放置,相邻间距很小,分别 记为 d1、d0、d2,如图 1 所示。给 B 充以电量 q>0,再用图 1 中虚直线所示的细导线连接 B、C, 最终达到静电平衡。 (1) 试求 A 到 D 的电势降 UAD; 现将图 1 所示系统达到静电平衡后,通 过理想导线,电键 K1 和 K2,电动势为 E 的直流电源以及电阻分别为 R0、Rx 和 r 的电阻器连接成 图 2 所示电路。开始时 K1、K2 均断开,而后接通 K1,直到电路达到稳定状态。(2) 试求该过程中 从电源正极朝平板 A 流去的电量 Q,并判断 Q 的正负号; 最后再接通 K2,测得流过电阻器 r 的 电流强度始终为零。 (3) 设 Rx 为未知量,试求 Rx,并给出 E 的取值范围。

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2012 级物理竞赛最后模拟(四)
1.如图所示,气缸(Ⅰ) (Ⅱ)都是绝热的,底面积均为 S ,高度分别为 2 L 和 L 。气缸中有一绝热轻质薄活塞, 可气缸无摩擦的上下滑动。活塞通过一根劲度系数 k 为自然长度为 L 的轻弹簧与气缸(Ⅰ)顶部相连.两气缸通 过一根很细的截面积为 A 的绝热管道相连。管道中靠近气缸(Ⅱ)处有一个小木塞 B 堵住管道,它与管道间最 大静摩擦力为 f 。 R 是电阻丝,可以通电发热。 C 是压强传感器,当它工作时能控制电阻丝 R 的产热速率, 使气缸(Ⅰ)上部压强维持在它开始工作时一瞬间的数值。它的开关在 K 处,一旦木塞 B 不能维持平衡,就将 很快射出而撞击 K ,使 C 开始工作(图中未画出)。现在在气缸(Ⅰ)的上、下部分各充入适量理想气体氦气, 使它们的压强均为 P 1 ,温度均为 T1 ,弹簧处于原长;气缸(Ⅱ)中抽成真空。然后接通电源,缓缓加热。求最 终活塞距气缸底部的距离和此时气缸(Ⅱ)中气体温度。题中已知数据如下: S ? 0.100m2 , L ? 0.500m, k ? 3.30 ? 104 N/m,
A ? 2.00 ?10?6 m2 , f ? 0.635N,
5 P 1 ? 300K. 1 ? 1.00 ? 10 Pa, T

2.惯性系 S 相对于惯性系 S 以速度 v 沿 x 轴正方向匀速运动,在 t ? t ? 0 时两系的坐标原点重合。在坐标原点 ' ' ' o 和 o ' 处各有一实验者,相对于各自的参考系静止。 O 处的实验者在 S ' 系中 t 时刻( t ? 0 )向 O 处实验者发 射一个光信号。
' ' ' (1) S 系中测得 O 处实验者发射一个光信号的时刻 t 是多少?

' (2) O 处实验者看到 O 处实验者发射光信号时,对应于 S 系的时刻是多少? (3) 试推导出光源远离观察者时,光的多普勒效应公式。

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3.如图所示,一个质量为 m ,半径为 a 、厚度为 h ( h << a) 的匀质环形导体圆盘可绕通 过盘心且垂直盘面的金属轴 OO 转动,金属轴的电阻可忽略。圆盘上距盘心 r 处的电阻 率与 r 成正比,即 ? ? ? 0 r , ? 0 为常量。整个环形圆盘处在与环面垂直的恒定匀强磁 场中,磁感应强度的大小为 B 。转轴与圆盘边缘通过电刷与理想电感 L 连成闭合回路。 一切摩擦均不计。 (1). 现用一恒定的外力矩 M 作用于圆盘,使它由静止开始转动,求当圆盘转动达到稳定 时, 圆盘转动的角速度 ?0 和通过电感 L 的电流 I 0 。 (2).在圆盘转动达到稳定后,突然撤去外力矩 M ,求以后通过电感 L 的电流 i 随时 间 t 的变化方程式。
'

4.一粒子衰变成能量分别为 E1 和 E2 的两γ 射线,它们的夹角为θ ,求此粒子的静质量。

5.有两个完全相同的平凸透镜曲面半径均为 R,在空气中的焦距为 f 。现将其中一个凸透镜 A 的平面镀银,将 另一个凸透镜 B 的曲面镀银,光都从未镀银的一面射入。试求此时平凸透镜 A、B 的焦距。

6.惯性系 S、S'间的相对运动关系如图所示,其间相对速度大小为 v。S'系的 O'-x'y'平面中有一根与 x'轴平行的细 杆 AB。 杆长, 在 S'系中沿 y'方向匀速平动, 速度大小也为 v。 S 系测得杆 AB 与 x' 轴夹角绝对值 9= , 杆长 l= 。

7.三个钢球 A、 B、 C 由轻质的长为 l 的硬杆连结, 竖立在水平面上, 如图所示. 已知三球质量 mA=2m, mB=mC=m,距杆 a=

5 2 l 处有一面竖直墙.因受微小扰动,两杆分别向两边滑动,使 B 球下降.致 8
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使 C 球与墙面发生碰撞.设 C 球与墙面碰撞前后其速度大小不变,且所有摩擦不计,各球的直径 都比 l 小很多,求 B 球落地瞬间三球的速度大小.

8.一个质量为 mn 的自由中子,在静止状态下衰变成 3 个相互作用的粒子:质子、电子、反中微子:mp、me、 mv.设 mv ? 0.实验值 mn=939.56563MeV/C2 mp=938.2723MeV/C2 me=0.510990MeV/C2 衰变产生的电子能量Ee=E。 求E的最大可能值及等于该最大可能值时, 反中微子的速率 若已知 mv<7.1 eV/C

vm (三位有效数字)。 c

9.质量为 m 的滑块 Q 以速度 v0 向静止在光滑水平面的弹簧振子撞去,弹簧的劲度系数为 k,其两 端各连一个质量为 3m 的物块 B 和 C,最初,Q 的左侧面靠墙,右侧面与 B 相距为 L= 1),如图所示,设所有碰撞均为弹性正碰,求滑块和弹簧振子最后的运动状态。
v0 8

3m ? ( - 2k 2

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