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4.1.1幂函数的的性质与图像(一)(2课时)


第四章 幂函数、指数函数、对数函数

4.1 幂函数的性质与图像(一)
5 4 3 2

1

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-1

-2

-3

-4

-5

回顾幂的定义及运算:
n? N*
*

a n ? a? ? a ? ?? ?a ?
n个
?n

正整数次幂

a ? 0, a 0 ? 1 零次幂

n? N a ? 0 a
p q

1 ? n 负整数次幂 a

p, q ? N * , a ? q a p 正有理数次幂 p ? 1 * q p, q ? N , a ? q p 负有理数次幂 a
幂的运算法则

a m ? a n ? a m?n

(a m )n ? a m?n

一、幂函数的概念
一般地,函数 y ? x k , k ? Q 称为幂函数 例1:下列函数中是幂函数的有哪些

1 1 y? ,y? , y ? x 0 , y ? x , y ? x, y ? 2 x 2 x x
注意:
幂函数是以底数为自变量的一类函数 幂函数自变量前的系数为1
y? x ?
n m m

2 3

x

n

y? x

?

n m

?

1
m

( m, n ? Z ? )

xn

二、幂函数的图像研究
1 2

一、幂函数的概念

例2:画出 y ? x , y ? x 2 , y ? x 3 的大致图像

定义域
y? x
1 2

奇偶性
非奇非偶 偶函数 奇函数
1
1 .0 1 .0 1 .0

单调区间
[0, ?? ) 增函数 [0, ?? ) 增函数 [0, ?? ) 增函数

[0, ?? )

y ? x2

(??, ??) (??, ??)

y ? x3

x
x
1 2

1 4

1 2

2
1 .4

3
1 .7 9 .0 27.0

0 .5 0 .1 0 .0

0 .7 0 .3 0 .1

x2

4 .0
8 .0

x3

二、幂函数的图像研究
4 3.5 3 2.5 2

4.5

一、幂函数的概念
y ? xk , k ? 0

1.5

1

0.5

图像必过 (0,0), (1,1) 在 [0, ??) 上为增函数 n k ? , n, m ? N * 证:设 m
1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

-0.5

-1

-1.5

? 0 ? x1 ? x2 0 ? x1n ? x2n
6 7

0 ? m x1n ? m x2 n

-2

k ? x1k ? x2

-2.5

-3

x
x
1 2

1 4

-3.5

-4

1 2

1
1 .0 1 .0 1 .0

2
1 .4

3
1 .7 9 .0 27.0

-4.5

0 .5 0 .1 0 .0

0 .7 0 .3 0 .1

x2

4 .0
8 .0

x3

二、幂函数的图像研究
4 3.5 3 2.5 2

4.5

一、幂函数的概念
y ? xk , k ? 0

1.5

1

图像必过 (0,0), (1,1) 在 [0, ??) 上为增函数 在 x ? 1 的右侧:
1 2 3 4 5

0.5

-4

-3

-2

-1

-0.5

指数越大图像位置越高
在 x ? 1, x ? 0 之间则相反

6

7

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

x
x
1 2

1 4

-3.5

-4

1 2

1
1 .0 1 .0 1 .0

2
1 .4

3
1 .7 9 .0 27.0

-4.5

0 .5 0 .1 0 .0

0 .7 0 .3 0 .1

x2

4 .0
8 .0

x3

二、幂函数的图像研究 课堂练习1 研究 y ? x ?2 , y ? x 并画出大致图像 定义域
y ? x ?2
(??, 0) ? (0, ??)
? 1 2

一、幂函数的概念
? 1 2

的定义域,奇偶性,单调性
单调区间
(0, ??) 减函数 (0, ??) 减函数

奇偶性 偶函数 非奇非偶
1
1 .0 1 .0

y? x

(0, ??)

x
x ?2
x
? 1 2

1 4

1 2

2
0 .3
0 .7

3
0 .1 0 .6

16.0 2 .0

4 .0 1 .4

二、幂函数的图像研究 课堂练习1 研究 y ? x ?2 , y ? x 并画出大致图像
5 4

一、幂函数的概念
? 1 2

的定义域,奇偶性,单调性
y ? xk , k ? 0 图像必过 (1,1)

3

2

在 (0, ??) 上为减函数 n k ? ? , n, m ? N * 证:设 m
? 0 ? x1 ? x2
?k 1
8

1

? 0? x
-4 -2 2 4 6

?x

?k 2

即0?
10

? x ?x
k 1

1 1 ? k x1k x2

k 2

-1

-2

x
x ?2
x
? 1 2

1 4

-3

1 2

1
1 .0 1 .0

2
0 .3
0 .7

3
0 .1 0 .6

16.0 2 .0

-4

4 .0

-5

1 .4

二、幂函数的图像研究 课堂练习1 研究 y ? x ?2 , y ? x 并画出大致图像
5 4

一、幂函数的概念
? 1 2

的定义域,奇偶性,单调性
y ? xk , k ? 0 图像必过 (1,1)

3

在 (0, ??) 上为减函数 在 x ? 1 的右侧:

2

1

指数越大图像位置越高
2 4 6

-4

-2

在 x ? 1, x ? 0 之间则相反
8 10

-1

-2

x
x ?2
x
? 1 2

1 4

-3

1 2

1
1 .0 1 .0

2
0 .3
0 .7

3
0 .1 0 .6

16.0 2 .0

-4

4 .0

-5

1 .4

二、幂函数的图像研究
4.5 4 3.5

一、幂函数的概念
5 4

x x2
x
1 2

3

3

2.5

3

2

2
1.5

1

1
0.5

-3

-2

-1

-10
-0.5

1

2-8

3

-6

4

5

-4

6

-27

2

4

x x ?2

?

1 2

6

-1
-1

-1.5

-2
-2

-2.5

-3

-3

?能否根据幂函数在第I象限的图像给出指数k的范围 ?能否根据幂函数的奇偶性给出k的规律 ?幂函数还有没有其他不同类型的图像
-3.5 -4

-4

-5

-4.5

3.5

x3

3

x2

2.5

x

2 3

2

x

1 2

1.5

1

0.5

-4

-3

-2

-1 -0.5

1

2

3

4

x x ?2

?

1 2
5

-1

-1.5

?能否根据幂函数在第I象限的图像给出指数k的范围 ?能否根据幂函数的奇偶性给出k的规律 ?幂函数还有没有其他不同类型的图像
-2.5 -3 -3.5

-2

三、幂函数在第I象限内的图像
k?0
2.2 2

一、幂函数的概念 二、幂函数的图像研究 指数增大

k ?1

k ?1 0 ? k ?1

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0 ? k ?1 k ?1
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

k ?0 k?0

0.6

0.4

0.2

-0.5 -0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

?能否根据幂函数在第I象限的图像给出指数k的范围 ?能否根据幂函数的奇偶性给出k的规律 ?幂函数还有没有其他不同类型的图像
-1.4 -1.6 -1.8 -2

7

5

6

4

四、幂函数的奇偶性
5

3

4

3

2

一、幂函数的概念 二、幂函数的图像研究
7
10

2

0

k?
-6

奇数

1
1

奇数

-8

-4

-6

-2

7

-4

2

-2

4

6

7

8

2

4

66

8

-1

6

三、幂函数在第I象限 内的图像
10

-1

6

5

-2

k ?1
2.2 2

k ?1 0 ? k ?1

5
-3

-2

5

4

y?x
4
-4 -5 3 -6

3

y?x
4

?1
3

1.8

-3

1.6

1.4

3

7

1.2

-4
2
2

7

2
1

k ?0
k?0
4 0.5 6 1.5 8 10

0.8

6

-6

k?

偶数 奇数 奇数
-4 -10 -2-8

-5
1
1

6

1

0.6

0.4

5
5
0.2

-6
-6

-10

-4 2

-8

-24

-6
6

-4

2

-3.5

8

-3

4

-2 -2.5
10

-2

6

-1.5

-1

4

y?x
-1 -2 -3

2
3

y ? x ?2
-1 -2 -3

4

y?x
-1 -2

2 3

8

2 -0.5

10
-0.2

1

2

2.5

3

3.5

-0.4

-0.6

3

-0.8

-1

2

2

-1.2

-1.4

-3
1
-4

k?
-10

1

-1.6

-1.8

-4

-4

-2

偶数
-8

-6
-5

-10 -4

-8 -2

-6
-5

-4

2

-2

4

6

2

8

4

10

6

8

10

-1
-6

-6

y?x

1 ? 2

-1

-5

y?x
-6

1 2

-2

-2

?能否根据幂函数的奇偶性给出k的规律 ?幂函数还有没有其他不同类型的图像
-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

7

5

5

6

4

4

四、幂函数的奇偶性
5

3

3

4

3

2

2

一、幂函数的概念 二、幂函数的图像研究
7

2

0

k?
-6

奇数

1
1

1

奇数

-8

-4

-12

-6

-2

7

-10

-4

2

-8

-2

4

-6

6

7

8

-4

2

10

-2

4

66

2

8

-1

6

三、幂函数在第I象限 内的图像
4

10

6

8

10

-1

6

-1

5

-2

k ?1
2.2 2

k ?1 0 ? k ?1

5
-3

-2

5

-2

y?x
4
-4 -5 3 -6

3

y?x
4

?1

y?x
-3 -4

14 3
3

1.8

-3

1.6

1.4

3
1.2

-4
7
2
2

2
1

6

7
0.8

k ?0
k?0
4 0.5 6 1.5 8 10

-6

k?

偶数 奇数
-4 -10 -2-8

6

-5
1

-5
6

1

0.6

5

1

0.4

0.2

5
-6

-6
-6
6

-6
-4
2
-3.5

-10

-4 2

-8

-24

8

-3

4

-2 -2.5
10

5

-2

6

-1.5

-1

4

3

y?x
-1 -2 -3

2

4

y ? x ?2
-1 -2 -3

4

y?x
-1 -2

2 3

8

2 -0.5

10
-0.2

1

2

2.5

3

3.5

-0.4

-0.6

-0.8

3

3

-1

-1.2

2
2
2
-1.4

-3
-1.6

k?
-10

奇数 偶数
-8 -6

1

-4

1

-4

1

-1.8

-4

-2

-5

-5

-4

-10

-2

-8

-6

-4

2

-2

4

6

2

8

4

10

6

8

10

-4

-2

2

4
-6

6

8

10
-1

-1

y?x
-6

5 3

-5

-1

-2

k ?1

-2

-3

k?0

y?x

?

1 2

-2

-3

1? k ? 0

y?x
-6

1 2

?幂函数还有没有其他不同类型的图像
-4

-3

-4

-4

-5

-5

课堂练习2
已知 k ? {?2, ?1, 0, ? , , ,1, 2, 3}
1 1 1 2 3 2

一、幂函数的概念 二、幂函数的图像研究 三、幂函数在第I象限 内的图像
k ?1
2.2 2

y? x y? x
?k ?

k

在第I象限为减函数
1 ? k ? ?2, ?1, ? 2

k ?1 0 ? k ?1

?k ? 0
k

1.8

1.6

1.4

1.2

1

k ?0
k?0
7 6
6

0.8

是奇函数
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

0.6

0.4

0.2

0.5 -0.2

1

1.5
5

2

2.5

3

3.5

7

5

奇数
奇数

1 ? k ? ?1, ,1, 3 3
-10 -8

四、幂函数的奇偶性
-0.4
6

4

4

-0.6

5

3

3

-0.8

4

3

-1
2

2

2

-1.2
1
1

1
7

-1.4
7

-10

-6

-8

-4

-12

-1.6

-6

-2

-10

-4

2

-8

-2

4

-6

6

7

8

-4

2

10

-2

4

66

2

8

4

10

-1

-1.8
-2

6

-1

6

-1

5

-2
-3

5

-2

5

-2

y ? x3
4
-4 -5 3 -6

y ? x ?1
4

y ? x3
-3 -4

14

-3

3

3

-4
7
2
2

2

6

7

6
1

-5
1

-5
6

1

5

5
-10 -8 -6 -4 -10 -2-8
-6

-6
-6
6

-6
-4
2

-10

-4 2

-8

-24

8

4

-2
10

5
6

4

3

y ? x2
-1 -2 -3

4

y ? x ?2
-1 -2 -3

4

y ? x3
-1 -2

2

8

2

10

4

3

3

2
2
2

-3

1

-4

1

-4

1

-4

-5

-10

-8

-6

-5

-4

-10

-2

-8

-6

-4

2

-2

4

6

2

8

4

10

6

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4
-6

6

8

10
-1

-1

y?x
-6

5 3

-5

-1

y?x
-2

?

1 2

-2

y?x
-6

1 2

课堂练习3 画出下列函数的草图
y ? x ?3 , y ? x , y ? x
3 2 4 5

一、幂函数的概念 二、幂函数的图像研究 三、幂函数在第I象限 内的图像
k ?1
2.2 2

① 确定第I象限内的大致图像 ② 确定该函数奇偶性
课堂练习4 已知幂函数 y ? x ,m? Z 为偶函数且图像与坐标轴无交点
-3.5 -3

k ?1 0 ? k ?1

1.8

1.6

1.4

1.2

1

k ?0
k?0
7 6
6

0.8

m2 ? 2m? 3

0.6

0.4

0.2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5
5

2

2.5

3

3.5

7

5

四、幂函数的奇偶性
-0.4
6

4

4

-0.6

5

3

3

-0.8

4

分析: ? 2m ? 3 ? 0 且是偶数 m
2

3

-1
2

2

2

-1.2
1
1

1
7

-1.4
7

-10

-8

-10

-6

-8

-4

-12

-1.6

-6

-2

-10

-4

2

-8

-2

4

-6

6

7

8

-4

2

10

-2

4

66

2

8

4

10

-1

-1.8
-2

6

-1

6

-1

5

-2
-3

5

-2

5

-2

y ? x3
4
-4 -5 3 -6

y ? x ?1
4

y ? x3
-3 -4

14

-3

3

3

-4
7
2
2

2

6

7

6
1

-5
1

-5
6

1

5

5
-10 -8 -6 -4 -10 -2-8
-6

-6
-6
6

-6
-4
2

-10

-4 2

-8

-24

8

4

-2
10

5
6

4

3

y ? x2
-1 -2 -3

4

y ? x ?2
-1 -2 -3

4

y ? x3
-1 -2

2

8

2

10

4

3

3

2
2
2

-3

1

-4

1

-4

1

-4

-5

-10

-8

-6

-5

-4

-10

-2

-8

-6

-4

2

-2

4

6

2

8

4

10

6

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4
-6

6

8

10
-1

-1

y?x
-6

5 3

-5

-1

y?x
-2

?

1 2

-2

y?x
-6

1 2


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