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天体运动的常见问题及解答策略




 

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i 题 中悟道 ? 解题之 道 『 ,  、 , ~ 、  
-   、   、   、   、   ~   、   、  、 ÷ 一   、 r   、  

一 

、 

、 

天 俸运 动的 常  

见闻   题  解 答策略 
王治 国 

天体的在轨运行问题  运动 中的天体 , 有 自然天体和人造天体 ,   如果所受的万有引力正好等于所需的向心力  解 析 当登陆舱在半径 为,   的轨 道  时, 它的运动速率将不再变化 , 轨道半径保持  上 的 运 动 时 有 : G丁 mml : m。 r 1 不变 ,它将在一定 的轨道上做匀速度 圆周运  n   \ 』1   动. 关于天体圆周运动的题型很多 , 有“ 卫星  的常规问题 ” 、 “ 天体质量 和密度 的计算 ” 问  题 、“ 同步卫星” 问题、 “ 双星” 问题 、“ 追及”   m  = G   , 代人 得 :  =   4 a r Z r ] B 错; 对 登  问题 等.   无论是什么天体 , 只要是在轨运行 , 天体  陆舱在两个轨道上的运动分别运用 : G   =   运动问题的解答策略基于“ 一个 中心 、 两个基  本点” . 一个 中心是指 : 把环绕天体抽象成质  可得 :   点, 中心天体直接看做质点 , 环绕天体 以中心  r V  天体为 圆心做匀速 圆周运动 ; 两个基本 点 :   1 . 利用万有引力等于重力的关系( 不考虑天 
.  一



的 周 期 为  \ / 鲁  

(   2 i f r ) 2 , 解 得 :  

肚 譬. A 错 ; x 星 球 表 面 运 用 近 似 关 系 有 :  


c 错 . 自 G  一 ( 等)   ,   \ V /     1 " 1  

可 得 : ( \  )  /   。 = ( \   1 , ) /   .  

惰.  

体 的 自转 ) G  
r ‘  

:  

.   2 .由牛顿第二定律  正确答案为D 2 . 天体质量和密度的计算 

及万有引力定律有以下几种形式的基本关系:  
G   =   G   = m  、 G  
r  

天体质量和密度的计算常见方法有两种 :   ( 1 )根据万有 引力是重力 、重力加速度  在具体分析求解 中,可依据 问题涉及 的是线  的产 生原 因 , 运用 万有 引力 与 重力 、 重力 加速  速度 、 角速度、 周期 , 灵活选用.   度的关系可以直接求出星体 的质量和密度.   荤 曩 ¨ 1   ( 2 )根 据 “ 环绕 天体 ” 运动 的情况 , 由   卫星 运行 的 常规 问题 
= m r (  
厂  广  广  』  


例1  为了 探 测x 星球 , 载着登 陆舱 

的探 测 飞 船在 该 星球 中心 为 圆心 ,半径 为  列方程求 中心天体 的质量 ,从而求出中心天  37   的 圆轨 道 上 运 动 , 周 期 为  , 总质 量 为m   随  体的密度.   ~   后 登 陆舱 脱 离飞船 ,变轨 到 离星球 更 近 的半  例2 一飞船在 某行星表 面附近沿  径 为r 2 的 圆轨 道 上运 动 ,此 时登 陆舱 的 质 量    为m   , 则  (   )   圆轨 道 绕该 行 星飞行 ,认 为行 星是 密度 均 匀 A一 2 -   的球 体 , 要确 定该 行 星 的密度 , 只 需要 测量  ’   A. x星球 的质 量 为 =  
f  


G   r -   = …G  = m 孚 r   、 G   r -   …   \ 』   /  

(  

)   兰  
二  

2  

B . x 星球表面的重力加速度为  =  
1 f  

A .飞 船 的 轨 道 半 径  

B .飞船 的运行 速度 

c . 登 陆舱在r   与r : 轨道上运动是的速度 
●。。。。。。。。。。。。。。。一  

C .飞船 的运行 周期  D .行 星的质 量  i  

大小之比为v L : 、 / — m l — r 2  
V 2   V/ T / , 2 / " 1  

D .登 陆舱 在 半径 为r 2 轨 道 上做 圆周 运动 

解 析 根 据 G   : m  , 得   :  ≥  

0  

善  
一  

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—   …  

㈡  

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…。  
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誊 薯 “ “  

l   |

半径 为R, 地球 自转 角速 度 { j  ~ 4 G测 1 , 2 7 . …     p   :   :   . 由 于 飞 船 在 某  
叮 T R。   G  R  …   ……  
3  

离地 面 高度 为 .已知地 球 
加 

/ 一 、、 A  


/ /, /一 、

\ 

\ \  

行 星表 面 附 近 沿 圆轨 道绕 该 行 星 飞行 , 所 以  速度 为g , 0为地球 中心 .   上式r  ̄ r = R, 且  =   D q T.正确答 案 为c   .  
漶 


—  
一  

周 期 ( 1 ) 求 卫 星 B 的 运 行   、 \ 、   二 二 二 二 / /  
. 

3 .同步 卫 星 问题 

( 2 )如 卫 星B 绕 行 方 向与 地球 自转 方 向  相 同, 某 时刻A、 Bi  ̄. Y . - 星相 距 最 近 ( 0、  、 A在 


解答同步卫星问题 时, 要注意理解 同步  同一 直 线上 ) , 则 至 少经 过 多长 时间 , 他 们 再  卫星只能在赤道平面上 , 加速度a 、 高度日、 周  次相 距最 近?   期  ( 与地 球 自转 角 速度 相 同 , 与地 球相 对 静  解析 ( 1 )由万 有 引力 定律 和 向心  止) 、 线 速度  的值 “ 四个 固定 ” .   G  m 丽 m = m   4   " r r 2 ( 例3   由于通 讯 和广 播 等 方 面的 需  力 公式 得 : R  ) .  


要, 许 多国家发射 了地球 同步轨 道卫 星 , 这 些  卫 星 的  (   )  
A .质 量 可以不 同   B . 轨 道 半径 可 以不 同  
C . 轨 道 平 面可 以不 同  

忽略地 球 自转影 响有 G  

: m g ,  

解 得   浮
近, 由题 意得 (   解得 拄—— 

D .速 率 可 以不 同  

( 2 )设 A、  两 卫 星 经 时 间  再 次 相 距 最  0 ) t = 2 百, 又有  庐  ,  
』B  

.  

解析

地 球 同步卫 星 轨道 必 须在 赤 

道平面 内, 否则它环绕地球 的运动无法与地  球 的 自转 同步 , 即 相对 地 面静 止 .C 错; 对 卫  星的环绕运动有 : G  
广 



.  

: m  
l  

, 由于卫 星 

1 v /  
:二


。  

天 体 的脱轨 运行 问题  的环绕 运动周 期等 于地球 自转 周期 ( 2 4 小  天体的离轨运动包括近心、离心运动两  时) , 所 以轨道半径r 是一定的. B 错; 轨道 半  种 , 像卫星的发射和回收都属于此类问题 , 解  径、 周期一定 , 线速度( 角速度) 一定. D 错; 由   答这类 问题的关键是要深刻理解物体作近心    G     m   G   : m   A v、 b—   : —   r G   —三 一 _  m   G b—  丁   m mr o o   。   可  和离 心运动 的受 力和 运动 的关 系. 环绕天体绕 中心天体稳定运行时万有引   看出 , 同步卫星 的轨道半径 、 线速度 、 角速度  力提供 了环绕天体做匀速 圆周 运动 的向心  等与卫星质量无关. 正确答案为A .   力, 有G   : m   .当环绕天体 由于某 种原  聿 妻 !   广  r   4 .“ 追 及” 问题  因速度  突然变化时 , 其所受万有引力和所需  圆周运 动 中的追及 和 相遇 问题一 般情 况  的向心力之间“ 供需” 不平衡 , 若V 突然增大 ,   下利用( 角) 位移关系列方程来求解. 常见情    < m  , 卫星将做离心运动 ; 若  突然减  况有两种 : ( 1 )从相距最近( 远) 一相距最远  G r  ( 近) ; ( 2 )从 相距 最 近 ( 远) 一 相 距最 近 ( 远) .   G   加  , 卫星做近心运动.   第一种情况 的角位移关 系 :   。 一 O z = ( 2 n 一 1 ) 订 ;   小时 , 广  r   第二种情况的角位移关系: O  ̄ - O 2 = 2 n ' I r .   例6 某人造卫星因受高空稀 薄空   例 5 如 图所 示 , A是 地球 的 同步卫  气的 阻力作 用 ,绕地 球 运转 的轨道 会慢 慢 改 


星.另一卫 星B的 圆形 轨 道位 于赤 道 平 面 内,  

变. 每次测量 中卫星的运动可近似看作 圆周  



 

~  

, 

题中悟道 ? 解题之道  。 。 一 一 一  

由平 抛运 动规 律得 知 , 当初 速 度增 大到 2   运动 , 某次测量卫星的轨 道半径 为r 。 , 后 来变  为r 2 , 以  、  表示卫星在这两个轨道上的线速  倍时 , 其水平射程也增大到  , 可得(  )   +   2 -   度 大小,  、  表 示 卫 星在 这 两 个轨 道 上 绕 地  (   了 L) 2 .   球 运 动的周 期 , 则  (   )   设该星球上的重力加速度为g , 由平抛运 
A .r l <r 2 ,  1   2 ,   >   B.r l < r 2 ,  1 >   2 ,  <  

动的 规 律 得: h = ÷ 
由万有引力定律与牛顿第二定律得 :  
6 

C.r l > r 2 ,  1 <   2 , T 1 >  
D.r 1 >r 2 ,  l   2 , T I <  

M m 

’  

解析

在 空 气 阻力 作 用 下 , 卫 星 的 

运 行 速度 减 小 , 速度 减 小 后 的 卫 星不 能 继 续 

联立以上各式解 

.  

沿原轨道运动, 由于 : G   ,  : m — Z v 卫 星 


广 

r  

不 能 沿 原轨 道 运 动 而要 作 近 心 运 动 , 直 到 向  心 力再 次 达 到供 需 平衡 , 即 供 : G  
r .  
. .

2 .天 体 与牛 顿运 动定 律综 合应 用 
例8 如图所示 , 一 支  生物 火箭 V X a = g / 2 的加 速 度 竖 直 

,  需 :  

t 2  


m m

  ,

卫 星又 做稳 定 的 圆周运 动.  

升 空 .为 了监 测 火 箭 到 达 的 高 

度, 可 以观 察 火 箭上搭 载 物视 重  的 变 化 .如 果 火 箭 上 搭 载 的 一 
只 小狗 的质 量 为 m= 1 . 6   k g , 3检  - "
测仪 器显 示 小狗 的视 重 为F = 9 N  

如图 , 近 心 运动 过  程 中万 有 引 力 方 向与 

卫星运动方 向不垂直 ,   会让 卫 星加 速 , 速度 增  大, 且增 加 的数 值超 过  原 先 减 少 的 数 值 .所 
以r l > r 2 、   1  2 ,又 由 

时, 火 箭距 离地 面的 高度 是 地 球 半 径 的 多 少  倍?( g = l O   m / s 。 )  

解析

设地球 的半径为 , 火箭距离 

地面的高度为^ ,该处 的重力加速度为g   , 根  可知 >  . 正确答案为c .  
三 、力 学 知 识 与 天 体 运 行 的 综 合 
问题 

据牛顿第二定律有:  

= m 口 ,  =  一 要=  
广  g 

1 . 6   m / s  ̄ , 根据万有引力定律 , 有g , : G   ,   :  
,   =

1 .天体 与 运动 学综 合运 用 

{ , 所 以 , 火 箭 离 地 面 的 高 度 (  

例7   宇航 员 在 一 星球 表 面 上 的  为h = 3 R.   某 高处 , 沿 水 平 方 向抛 出一 小 球 .经 过 时  间t , 小球 落 到 星 球 表 面 , 测 得 抛 出 点 与 落 

归纳 尽管天体运动问题的形式  喜  

题 型多 , 涉及 的知识面广 , 综合性  ;   地 点 之 间 的 距 离 为 .若 抛 出 时 初 速 度 增  较为复杂 ,

但切人点仍是力和运动的关 系, 即对天体  委   大到2 倍, 则 抛 出 点 与 落 地 点 之 间 的距 离为  强 ,

、 /3   .已知两落地 点在 同一水平 面上 , 该  找出它们的联结点 , 就可 以使  毒   星球 的半径 为  , 万有 引力常量 为G .求该  相关力学知识 , 问题 迎刃 而解 .   暑   星球 的质 量 .   !   解析 设抛 出点 的高度为  , 第一次  电  平抛的水平射程为  , 则有x 2 + h 2 = L z .  

的运动情况及受力情况进行受力分析 ,结合  三  

≥  


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