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【河东教育】2014-2015学年北师大版高中数学选修4-2同步练习:第1章 二价方阵与平面向量乘法]


二价方阵与平面向量乘法 同步练习
一、选择题 1、设平面向量 a =(-2,1),b =(λ ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 的取值范 围是
1 2 1 C、( ? ,+∞) 2

A、 (? ,2) ? (2,??)

B、(2,+∞) D、(-∞, ?
1 ) 2

2、设

a =(x1,y1), b =(x2,y2),则下列为 a 与 b 共线的充要条件的有 ①存在一个实数λ ,使 a =λ b 或 b =λ a ;②| a · b |=| a |·| b |; ③
x1 y1 ? ;④( a + b )//( a - b ) x2 y 2

A、1 个

B、2 个
?
6

C、3 个

D、4 个
?
4

3、 若函数 y=2sin(x+θ )的图象按向量( 则θ 的一个可能的值是 5? ? A、 B、
12

, 2)平移后, 它的一条对称轴是 x=
?
6



3

C、

D、

?
12

4、Δ ABC 中,若 AB ? AC ? BA ? BC ,则Δ ABC 必为 A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、等腰三角形 5、 已知Δ ABC 的三个顶点 A、 B、 C 及所在平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB , 则点 P 与Δ ABC 的关系是 A、P 在Δ ABC 内部 B、P 在Δ ABC 外部 C、P 在直线 AB 上 D、P 在Δ ABC 的 AC 边的一个三等分 点上 6、 在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 则a?b ? b?c ? c?a = BC ? a ,AB ? c , CA ? b , A、1.5 B、-1.5 C、0.5 D、-0.5 二、填空题 1、 已知 a =(cosθ , sinθ ), -1), 则|2 a - b |的最大值为____________ b =( 3 , 2、已知 P(x,y)是椭圆
x2 ? y 2 ? 1 上一点,F1、F2 是椭圆的两焦点,若∠F1PF2 4

为钝角,则 x 的取值范围为________________ 3、 设 m =(a,b),n =(c,d), 规定两向量 m, n 之间的一个运算 “×” 为 m × n =(ac -bd,ad+bc),若已知 p =(1,2), p × q =(-4,-3),则 q =____________ 4、将圆 x2+y2=2 按 a =(2,1)平移后,与直线 x+y+λ =0 相切,则实数λ 的值为 ____________ 三、解答题 1、已知平面内三向量 a 、 b 、 c 的模为 1,它们相互之间的夹角为 1200。 (1)求证: (a ? b) ? c ; (2) | k a ? b ? c |? 1 ,求 k 的取值范围。

2、设两个向量 e1 、 e2 满足| e1 |=2,| e2 |=1, e1 与 e2 的夹角为 600,若向量 m ? 2? e1 ? 7e2 与向量 n ? e1 ? ? e2 的夹角为钝角,求实数 ? 的取值范围。

3、 △ABC 内接于以 o 为圆心, l 为半径的圆, 且 3OA ? 4OB ? 5OC ? o , 求: OA ? OB , OB ? OC , OC ? OA 。

4、抛物线 y ? ?

x2 与过点 M(1,0)的直线 l 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 2

若 OA ? OB =0,求直线 l 的方程。

5、设 a =(m,n),b =(p,q),定义向量间运算“*”为:a * b =(mp-nq,mq+np)。 (1)计算| a |、| b | 及 | a * b |; (2)设 c =(1,0),计算 cos< a * b , a >及 cos< b , c >; (3)根据(1) 、 (2)的结果,你能得到什么结论?

6、已知 a =(cosα ,sinα ), b =(cosβ ,sinβ ),0<α <β <π 。 (1)求证: a + b 与 a - b 垂直; (2)若 k a + b 与 a -k b 的长度相等,求β -α 的值(k 为非零的常数)

7、已知 A(3,0),B(0,3),C(cosα ,sinα )。 (1)若 AC ? BC ? ?1,求 sin2 α 的值; (2)若 | OA ? OC |? 13 ,且α ∈(0,π ),求 OB 与 OC 的夹角。

8、已知 a =(2,2), b 与 a 的夹角为

3? ,且 a · b =-2。 4

(1)求向量 b ; (2)若 t =(1,0),且 b ⊥ t , c =(cosA,2cos2

C ),其中 A、C 2

是△ABC 的内角,若 A、B、C 依次成等差数列,求| b + c |的取值范围。

9、已知向量 a 、 b 、 c 、 d 及实数 x、y,且| a |=| b |=1, c = a +(x2-3) b , d = -y a +x b , a ⊥ b ,若 c ⊥ d ,且| c |≤ 10 。 (1)求 y 关于 x 的函数关系 y=f(x)及定义域; (2)求函数 f(x)的单调区间。

10、平面向量 OA =(1,7), OB =(5,1), OP =(2,1),点 M 为直线 OP 上一动 点。 (1)当 MA ? MB 取最小值时,求 OM 的坐标; (2)当点 M 满足(1)中的条件 和结论时,求∠AMB 的余弦值。

11、已知 P(x,y),A(-1,0),向量 PA 与 m =(1,1)共线。 (1)求 y 是 x 的函数; (2)是否在直线 y=2x 和直线 y=3x 上分别存在一点 B、 C,使得满足∠BPC 为锐角时 x 取值集合为{x| x<- 7 或 x> 7 }?若存在,求出

这样的 B、C 的坐标;若不存在,说明理由。

12、已知 a ? e1 ? e2 , b ? 4e1 ? 3e2 ,其中 e1 =(1,0), e2 =(0,1)。 (1)计算 a · b ,| a + b |的值; (2) 如果存在 n 个不全为零的实数 k1, k2, ?, kn, 使 k1 a1 ? k 2 a2 ? ? ? ? ? k n an ? o 成立,则称 n 个向量 a1 , a2 ,?, an “线性相关” ,否则为“不线性相关” ,依此 定义,三个向量 a1 =(-1,1), a2 =(2,1), a3 =(3,2)是否为“线性相关”的, 请说明你的判断根据;

参考答案 选择题 1-6 ACADDB 填空题 1. 4 ,2
(? 2 6 2 6 , ) 3 3

,3 (-2,1) , 4 -1 或-5,

解答题 1:k>0 或 k<-2 2: (?7, ?
14 2 ) ? (? 14 2 ,? 1 2 )

3: OA ? OB =0, OB ? OC =-0.8, OC ? OA =-0.6 4:y=2x-2 5 : |
a

|=

m2 ? n2

| b

|=

p2 ? q2

| a * b |= (m 2 ? n 2 )( p 2 ? q 2 )

cos< a * b , a >= cos< b , c >= 6: ? ? ? ?

p p ? q2
2

?
2

7: sin2α = ?

5 9

;

? 6
2 5 , ) 2 2

8(1) (-1,0);(0,-1) (2) [ 9: y=x3-3x

x ?[? 6, 6] 增区间 (??, ?1];[1, ??) 减区间 [?1,1]
4 17 17

10: (1) (4,2) (2) ?

9 18 41 123 ) 11: (1)y=x+1 (2)存在 B(2,4);C(-1,-3)或 B (? , ? ), C ( , 7 7 28 28

12 (1) a · b =1,| a + b |= 29

(2)线性相关


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