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05-1、刚体的角动量、转动惯量


第五章 刚体运动(Motion of Rigid Body)
一)概要:实际的物体运动不总是可以看成质 点的运动。 1)何谓刚体 在任何情况下形状和大小都不发生变化的 力学研究对象。即每个质元之间的距离无 论运动或受外力时都保持不变。 ? mj ? mi 2)刚体运动的两种基本形式 A平动----刚体运动时,刚体内任一直线恒 保持平行的运动

?ri

j ? c

2)刚体运动的两种基本形式 A平动----刚体运动时,刚体内任一直线恒 保持平行的运动 ? mj ? mj? mj ? mj ? mj ? mj ? mj ? mi? mi ? mi ? ? mi mj ? mi ? mi ? mi

? rj

? ?rij
? ?c

O ? 选取参考 ? ?rij 点O,则:

?? m ri

i

? ? ? ? 对(1)式求导: ? v ? v a ? a j i j i

? ? ? rj ? ri ? ?rij ?(1)

结论:刚体平动时,其上各点具有相同的速度、 加速度、及相同的轨迹。只要找到一点的运动 规律,刚体的运动规律便全知道了。事实上这 一点已经知道-----质心运动已告诉了我们。也就 是说质心运动定理是反映物体平动规律。 B)刚体的定轴转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运 动,称为刚体作定轴转动。

O’

O

C)刚体的一 般运动

蔡斯勒斯定理:刚体的任一位移总可以表示为 一个随固定点的平动加上绕固定点的转动。

刚体的定轴转动
1. 各点运动的特点 在自己的转动平面内作圆周运动 ? ? 2. 描述的物理量 ?? ? ? 任一质点圆周运动的线量和角量的关系

z
O1
O2
加速 ?

? ?1
?2
?

?
?m1

?

?
? m2

x

?

x

? ? ?r
an ? r? 2 ? v? at ? r ?

? ? ? ? ??r ? ? ? an ? ? ??
? ? ? at ? ? ? r

?

?

? z ?

?
减速

?

?? r

?

?

?
转动平面

? ? ? ? ? ? dv d (ω ? r ) dω ? ? dr a? ? ? ? r ? ω? dt dt dt dt

? ? ? ? ? β ? r ? ω ?v

匀角加速转动公式

匀变速直线运动公式

? ? ?0 ? ? t
1 2 ? ? ? 0 ? ?t ? ? t 2

v ? v0 ? at
1 2 s ? s0 ? v0t ? at 2

? ? ? ? 2? (? ? ?0 )
2 2 0

v ? v ? 2a( s ? s0 )
2 2 0

§4--1 刚体的角动量 转动惯量
Angular Momentum. Moment of Inertia

一) 刚体的角动量及其沿定轴的分量
刚体可以看作无数多质点的集合,刚体是一个质点系,刚 体的角动量 Z 应该等于各质元角动量的矢量和。

?

? ?Li ? vi Ri ?? m i ri
O

?m1, ?m2 ??mi ??mn
先研究一个质元 对O点的角动量 ?

设有一以角速度?绕OZ 轴旋转的均匀细棒,t 时刻正好位于幕平面内, 现将棒分割成许多质元

?mi

? ? ?Li ? ?mi ri ? vi

? L

? ? Li
Ri
?

Z

? ?L j ? ? rj vj
?mj

? ?mi ?
O

? vi

先研究一个质元 对O点的角动量

?mi

ri

?? ? ? ? i ri v

? ? ? ? Li ? ?mi ri ? vi

? Li 之大小

?Li ? ?mi ri vi
n

故棒的总角动量

L ? ? ?mi ri vi
i ?1

? L

大小:

方向如图,可见角动量不一定与Z轴方向相同。

? L

? ? Li
Ri
?

? Z ?L iz

? ? ?mi

? vi

O

? ri

?Liz ? ?Li cos?

但我们感兴趣的是研究定 轴转动,即要研究角动量 在Z轴的分量 Liz

?mj

令J ? ? ?mi R

Lz ? ? ?Liz ? ? ( ?mi R )?
2 i

? ?mi ri vi cos? ? ?mi Ri (?i Ri ) 2 ? ?mi Ri ? 故:

2 i

称为刚体对Z轴的转动惯量

则刚体对Z轴的角动量

Lz ? J?

令J ? ? ?mi R

2 i

称为刚体对Z轴的转动惯量

则刚体对Z轴的角动量

Lz ? J?

二)转动惯量的计算 对质量连续分布的刚体则应无限分割

?

?

R ?mi M

J ? lim
M

n ??

? ?m R
i ?1 i

n

2 i

? ? R dm
2

注意: dm 为质元质量,R为质元到转轴之间 的垂直距离。

? ? ? 回顾:质点对一参考点的角动量 Li ? r ? mv
角动量在转轴上的分量: 对一个质点系: ? z ?
R3

L ? J?
J ? ? ?mi R
2 2 2

m3

R2 R1

m2

2 i
2 3

m1

J z ? m1R1 ? m2 R ? m3 R
对质量连续的刚体:

?

?

R ?mi
M

J ? lim
M

n ??

? ?m R
i ?1 2 i

n

2 i

? ? R dm

例1)求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种 转轴的转动惯量: ?转轴通过棒的中心o并与棒垂直 ?转轴通过棒的一端B并与棒垂直 ?转轴通过棒上距质心为h的一点A 并与棒垂直 O质 h A dm B X

x

dx

已知:L、m 求:JO、JB、JA 解:以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分 割 成许多质元dm.

dm ? ?dx ? ? m / L

B

A

h L

O质

dm

dm ? ?dx
X

x
?求:JO
2 2
3

dx
L 2 L ? 2

? ? m/ L
2

J o ? ? R dm ? ? x dm ? ? x ?dx
L 1 2 ? ? ? mL 12 12
2

?求:JB

L 2 J B ? ? R dm ? ? ( ? x) dm 2 3 L/2 L 1 2 2 ? ? ( L / 2 ? x) dx ? ? ? mL
?L / 2

3

3

B

A

h L

O质

dm

dm ? ?dx
X

x
L/2

dx

? ? m/ L
2

?求JA

J A ? ? R dm ? ?? L / 2 (h ? x) ?dx
2

注意:

1 L 2 2 2 mL ? mh ? ? ? h ?L ? 12 12

3

1 2 1 L 2 2 J B ? J O ? mL ? mL ? m( ) 3 12 2

1 1 2 2 2 J A ? J O ? ( mL ? mh ) ? mL ? mh 2 12 12

B

A

h L

O质

dm

dm ? ?dx
X

x

dx

? ? m/ L

注意:

1 2 1 L 2 2 J B ? J O ( 质心 ) ? mL ? mL ? m( ) 3 12 2 1 1 2 2 2 J A ? J O ( 质心 ) ? ( mL ? mh ) ? mL 12 12

? mh

2

或:

L 2 J B ? J c ? m( ) 2

J A ? J c ? mh

2

平行轴定理:刚体对任一轴A的转动惯量JA和 通过质心轴C并与A轴平行的转 d 动惯量Jc有如下关系: A C

d 为轴A与轴C之间的垂直距离
例题2)半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄 圆盘,质量均为m,试分别求出对通过质心并 与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。

m 为刚体的质量、

J A ? J C ? md

2

M

R

R

解:1)细圆环

dm ? ?dl 2 2 J C ? ? R dm ? ? R ?dl
2 L 2 L

?dl
R
2

? R ? ? dl ? R ? 2?R ? mR
2)薄圆盘

2?r r ds ? 2?rdr dm ? ?ds ? ? 2?rdr 2 3 dJ ? r dm ? ? 2?r dr

dr dr

2)薄圆盘

dr

r

dr

2?r

ds ? 2?rdr

dm ? ?ds ? ? 2?rdr 2 3 dJ ? r dm ? ? 2?r dr R 3 J C ? ? dJ ? ? ? 2? r dr
m
4

0

R m R 1 2 ? 2?? ? 2? 2 ? mR 4 ?R 4 2

4

讨论:决定转动惯量的因素 1):刚体的质量; 2):刚体的质量分布; (如例2中的圆 环 与圆盘的不同); 3):刚体转轴的位置。 (如例1中长细棒对不 同的轴的转动惯量)

B

A

h

O质

X

Stop Here!

例3)求一质量为m的均匀实心球对其一条直径 为轴的转动惯量。 解:一球绕Z轴旋转,离球 Z r d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 Z 盘。其半径为 O R Y

r ? R ?Z
2

2

X

其体积:
2 2 2

dV ? ?r dZ ? ? ( R ? Z )dZ 2 2 其质量: dm ? ?dV ? ?? ( R ? Z )dZ

1 2 1 其转动惯量: ? r dm ? ?? ( R 2 ? Z 2 ) 2 dZ dJ 2 2

1 2 dJ ? r dm 2 1 2 2 2 ? ?? ( R ? Z ) dZ 2

Z r dZ

O

R

Y

? J ? ? dJ
R

X

1 2 2 2 ? ? ?? ( R ? Z ) dZ 2 ?R
4 8 2 3 5 2 m ? ? ?R ? ??R ? mR 3 15 5


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