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《平面向量基本定理》课件 2


温故知新
一. 向量的加法:
1.三角形法则: B

a
B C

b
2.平行四边形法则:

b
a?b

a
A

a
A

a?b

C

b
共同起点

D

首尾相接

二. 向量的减法:

B

a
共同起点 指向被减数
A

a ?b

b

D

温故知新 二、向量共线定理:
向量 b 与非零向量 a 共线,则有且只有一个实 数 ? ,使得:

b ? ?a
长度:

b ? ??a

方向:1. 当 ? ? 0时: b 与 a 方向相同。 2. 当 ? ? 0 时: b 与 a 方向相反。
3. 当 ? ? 0 时: b ? 0 ? a ? 0

创设情境、提出问题

a

b

1 请大家现在用平行四边形法则作出 a ? 2b, a ? b 2
B a A b a+2b D D'
D1 1

C

C
1 a? b 2

B

a b
D

b

? b 2

A

数形结合 探究规律
思考:平面内的任一向量 a 是否都可以用不共线的向 量 e1与e2 表示出来呢?说出你做的步骤。 M C A

e1

a
e2

?如图 OC ? OM ? ON

O

N

B

OM ? ?1OA ? ?1 e1

ON ? ?2 OB ? ?2 e2
演示

?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2
即 a ? ?1 e1 +?2 e2

数形结合 探究规律

平面向量基本定理 如果 e1 、 e2 是同 一平面内的两个不共 线的向量,那么对于这一平面内的任何向 ? 2 ,使 量 a ,有且只有一对实数 ?1 ,
a ? ?1 e1 ? ?2 e2
这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底.

揭示内涵、理解真理

a ? ?1 e1 ? ?2 e2
1、基底 e1 、e2 是否唯一? 2、基底 e1 、e2 必须满足什么条件? ?2 的值是否唯一?能为0吗? 3、定理中?1 、 我们得到:(1)基底不唯一; (2)基底必须不共线; 特别的: (3)如果基底选定,则 ? 1 , ? 2 唯一确定,可以为零.

? 1 ? 0 , ? 2 ? 0 时, a ? ? 2 e 2 , a 与 e 2 共线.

?1 ? 0, ? 2 ? 0 时, a ? ?1 e1 ,a 与 e1 共线.
?1 ? ?2 ? 0
时,

a?0

平面向量基本定理的应用
D
F N? B

例1:在 ABCD 中, , 。 AD ? b AB ? a

C E

F 分别是BC 、 (1) 如果 E 、 DC 的中点, 试用 a 、b 分别表示 BF 和 DE。 A
(2)若M为AB的中点,N在BD上, 3BN=BD,求证:M,N,C三点共线

?

M

说明:我们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量和已

知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系,从而
使问题简化.

学以致用

1、如图,已知梯形ABCD, AB//CD,且AB= 2DC,M、N分别 是DC、AB的中点. A

D

M

C

N

B

请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底,将其它向 量用这组基底表示出来.

学以致用

1、如图,已知梯形ABCD, AB//CD,且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 参考答案:
1 DC ? e1 ; 2

D

M

C

e2
N

A

解:取 AB ? e1, AD ? e2 为基底 ,则有

e1

B

1 1 BC ? BA ? AD ? DC ? ?e1 ? e2 ? e1 ? ? e1 ? e2 2 2
1 1 MN ? MD ? DA ? AN ? ? e1 ? e2 ? e1 4 2

1 ? e1 ? e2 4

学以致用
2、下列说法中,正确的有: ( 2、3 )

1)一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平 面所有向量的基底; 2)若

?1 e1 ? ?2 e2 ? 0(e1与e2不共线) , 则?1 ? ?2 ? 0

3)零向量不可以为基底中的向量.

平面向量基本定理的应用
例2:设e1 , e2是两个不共线的向量, 已知AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 , 若A, B, D三点共线,求实数 k的值。

若向量e1 , e2不共线,且a ? ?1 e1 ? ?2 e2 , b ? ?3 e1 ? ?4 e2 ? ?1 ? ?3 如果a ? b, 那么? ??2 ? ?4
本题在解决过程中用到了共线向量基本定理,以及待定系数法 列方程,通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切 实掌握好。

学以致用
3.已知i, j是不共线的向量, AB ? 3i ? 2 j, CB ? i ? ? j, CD ? ?2i ? j, 若A, B, D三点共线,求 ?的值。

思考

如图所示:若点 L, M , N分别为?ABC的边BC, CA, AB上的点, BL CM AN 且 ? l, ? m, ? n, 当AL ? BM ? CN ? 0时, BC CA AB 求证:l ? m ? n.
A N M C L

B

小结
1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来
理解,它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不共线向

量的线性组合,该定理是平面向量坐标表示的基础,其本质
是一个向量在其他两个向量上的分解。

2.一维:向量的共线定理 二维:平面向量的基本定理 三维:空间向量的基本定理

例3 如右图, OA、OB 不共线,

P B A

AP ? t AB (t ? R) ,用OA 、 OB 表示OP .
分析:求 OP ,由图可知

OP ? OA ? AP ? OA ? t AB
解:

O

AP ? t AB
而 AB ? OB ? OA

AP ? t AB

? OP ? OA ? AP

? OA ? t AB
? OA ? t (OB ? OA)

? (1 ? t )OA ? tOB
说明:同上题一样,我们要找到与未知相关连的量,来解 决问题,避免做无用功!

2、设G是△ABC的重心,若CA = a, CB = b A 试用 a , b 表示AG。
F G D E

B

C

变式 设M是△ABC的重心,若MA= a, MB=b,试用 a , b 表示AB,AC,BC。
A F M D E

B

C


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