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河北省唐山一中2013届高三第一次月考数学(理)试题


唐山一中 2013 届高三第一次月考数学(理)试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A = {x x > 1}, B = {x x < m},且 A ? B = R ,那么 m 的值可以是( ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 ( B.

第二或第三象限角 D.第二或第四象限角 , a ? 1, b ? B. )

2.若 sin2? ? 0 ,则角 ? 是 A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 3.在 ?ABC 中, A ? A.

?
6

2 ,则 B ?

(

)

? 4

4.为了得到函数 y = log2

3? ? 3? ? 5? C. 或 D. 或 4 4 6 4 6 x - 1 的图象,可将函数 y = log2 x 的图象上所有的点的(



1 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2 1 B.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2
A.纵坐标缩短到原来的 C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 5.“ ? ?

?
3

”是“ cos ? ?

1 ”的 2
B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
0.3





A .充分不必要条件 C .充要条件

?1? 6. 设 a ? log 1 3 , b ? ? ? , c ? ln ? ,则 ? 3? 2
A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. b ? a ? c





7.设直线 m、n 和平面 ?、? ,下列四个命题中,正确的是 A. 若 m // ? , n // ? , 则m // n C. 若 ? ? ? , m ? ? , 则m ? ? B. 若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? D. 若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? , 则m //?





8. 已知函数 y ? sin(? x ? ? ), (? ? 0,| ? |? A.

?
2 3

) 的简图如下图,则

? 的值为 ?

(

)

? 6

B.

6

?

C.

? 3

D.

?

9.若函数 f(x)=2x -lnx 在其定义域内的一个子区间 (k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范 .. 围是 A.[1,+∞) 3 B.[1,2) C.[1,2) ( )

2

3 D.[2,2)

10.如右图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=2,BC= 3, 别是 AC1 和 BB1 的中点,则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 π A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2

D、E 分
( )

11 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

x f ' ( x)? x2

f ( x) f( x) ? 0 的解集是 ? 0 ,且 f (?2) ? 0 ,则不等式 x
B. (??, ?2) ∪ (2, ??) D. (??, ?2) ∪ (0, 2)

(

)

A . (?2, 0) ∪ (0, 2) C. (?2, 0) ∪ (2, ??) 12.点 P( x, y) 是曲线 C : y =

1 ( x > 0) 上的一个动点,曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别 x

交于 A, B 两点,点 O 是坐标原点. 给出三个命题:① PA = PB ;② ?OAB 的周长有最小值

4 + 2 2 ;③曲线 C 上存在两点 M , N ,使得 ?OMN 为等腰直角三角形.其中真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.0

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将正确答案写在答题纸上。 ) 13.若 tan ? =

1 ? ,则 cos(2? + ) = 2 ?

.

? x ? 1, (?1 ? x ? 0) ? 14.函数 f ( x) ? ? ? 的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为 ?? cos x, (0 ? x ? 2 ) ?
15.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等 的等腰直角三角形, 若该几何体的所有顶点在同一球面上, 则球的表面积是_____. 16. 有下列命题: ①在函数 y ? cos( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) 的图象中,相邻两个对称中心的距离为 ? ;

②函数 y ? log2 | 3x - m | 的图象关于直线 x ?

1 3 对称,则 m ? ; 2 2

2 ③关于 x 的方程 ax - 2 x ? 1 ? 0 有且仅有一个实数根,则实数 a ? 1 ;

④已知命题 p : ? x ? R ,都有 sin x ? 1 ,则 ? p 是: ? x ? R ,使得 sin x ? 1 . 其中真命题的序号是_______. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 1 在 P x 0,y 0) 点处的切线平行于直线 (

2x - 2 y ? 3 ? 0 ,求 y 0 的值。
18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos ( x ? ) ? sin x .
2 2

π 6

(1)求 f (

π ) 的值; 12 π 2

(2)若对于任意的 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? c ,求实数 c 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2x3 ? ax 2 ? bx ? m 的导函数为 f ?(x) , 若函数 y ? f ?(x) 的图像关于直线 x ? -

1 对称,且 f ?(1) ? 0 . 2

(1)求实数 a、b 的值 (2)若函数 f (x) 恰有三个零点,求实数 m 的取值范围。 20. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,已知 sin (1)求 cos C 的值; (2)若 ?ABC 的面积为

C 10 。 ? 2 4

13 2 3 15 2 2 sin C ,求 a, b, c 的值。 ,且 sin A ? sin B ? 16 4

AB 21. 本小题满分 12 分) ( 如图, 直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直.
∥ CD ,AB ? BC ,AB ? 2CD ? 2 BC ,EA ? EB . (1)求证: AB ? DE ; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (3)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ?
A D E

EF 若存在,求出 ;若不存在,说明理由. EA
22. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数

B C

1 1 f ( x) ? (a ? ) ln x ? ? x ( a ? 1 ) . a x (1)试讨论 f ( x ) 在区间 (0 , 1) 上的单调性;
(2)当 a??3, ? ?? 时,曲线 y ? f ( x) 上总存在相异两点 P( x1 , f ( x1 )) ,Q( x2 , f ( x2 )) ,使得曲

线 y ? f ( x) 在点 P , Q 处的切线互相平行,求证: x1 ? x2 ?

6 . 5

唐山一中 2012~2013 学年第一学期高三第一次月考 理科数学参考答案

18. 解: (1) f (

π π π π 3 . ) ? cos2 (? ) ? sin 2 ? cos ? 12 12 12 6 2

??????4 分

19.解: (1) f ?( x) ? 6x2 ? 2ax ? b 则其对称轴为 x ? -

a a 1 ,由已知可得 - ? - ,所以 a=3 6 6 2
??????5 分
3 2

又由 f ?(1) ? 0 可得,b=-12 (2)由(1)得: f ( x) ? 2x ? 3x - 12x ? m

C 10 2 5 1 ?? 4 分 ? 1? 2? ( ) ? 1? ? ? 2 4 4 4 13 13 2 2 2 sin C ,由正弦定理可得: a 2 ? b 2 ? c 2 (2) ? sin A ? sin B ? 16 16 1 15 2 由(1)可知 cosC ? ? ,0 ? C ? ? ? sin C ? 1 ? cos C ? 4 4 1 3 15 ,得到 ab ? 6 …………………………8 分 S ?ABC ? ab sin C ? 2 4 2 2 2 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC 13 2 2 c ? 3 c 2 ? 16, c ? 0,? c ? 4 可得 c ? …………………………10 分 16 ?a ? 3 ?a 2 ? b 2 ? 13 ?a ? 3 ?a ? 2 ? 由 ? 可 得 ? 或 ? , 所 以 ?b ? 2 或 ?b ? 2 ?b ? 3 ?c ? 4 ?ab ? 6 ?
20.解: (1) cosC ? 1 ? 2 sin
2

?a ? 2 ? ?b ? 3 ?c ? 4 ?

???12 分

21.解: (1)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB . 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . ??????4 分

(2)解法 1:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 AB ? BC 所以 BC⊥平面 ABE 则 ?CEB 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角 设 BC=a,则 AB=2a, BE ?

2a ,所以 CE ? 3a

则直角三角形 CBE 中, sin ?CEB ?

CB 1 3 ? ? CE 3 3

即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为

3 . 3

??????8 分

EF 1 ? 时,有 EC // 平面 FBD . EA 3 1 1 1 1 2 4 2 证明如下:由 EF ? EA ? (? ,0,? ) , F (? ,0, ) ,所以 FB ? ( ,0,? ) . 3 3 3 3 3 3 3 ??? ? ?v ? BD ? 0, ? 设平面 FBD 的法向量为 v ? (a, b, c) ,则有 ? ??? ? ?v ? FB ? 0. ?
(3)解:存在点 F ,且

??a ? b ? 0, ? 所以 ? 4 取 a ? 1 ,得 v ? (1,1,2) . 2 ? 3 a ? 3 z ? 0. ?
因为 EC ? v ? (1,1,?1) ? (1,1,2) ? 0 ,且 EC ? 平面 FBD ,所以 EC // 平面 FBD . 即点 F 满足 22.解:

EF 1 ? 时,有 EC // 平面 FBD . EA 3

??????12 分

(1)由已知 x ? 0 , f ?( x) ?

a?

1 1 1 x 2 ? (a ? ) x ? 1 ( x ? a)( x ? ) 1 a ? ?1 ? ? a a . ?? 2 2 2 x x x x

由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 所以在区间 (0 ,

1 , x2 ? a . a

因为 a ? 1 ,所以 0 ?

1 1 ? 1 ,且 a ? . a a

1 1 ) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 1) 上, f ?( x) ? 0 . a a 1 1 故 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , 1) 上单调递增. a a

?????6 分


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