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复习课(第六章)


第六章 定积分
6.1、定积分的概念与性质
曲边梯形是指这样的四边形:它的一边是曲线弧,另三边是直线,其中两条直边相 互平行,第三直边与它们垂直,称为底边.
定义6.1 : 设函数f ( x)在[a, b]上有定义, 用(a, b)内任意的n ?1个分点

a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b
将区间[a, b]分成n个小区间 [ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],?[ xi ?1 , xi ],?[ xn?1 , xn ],

小区间长度为?xi ? xi ? xi ?1 (i ? 1,2,?n). 在每个小区间上任取一点?i ?[ xi ?1 , xi ],

作积f (?i )?xi (i ? 1,2,? n), 求和S n ? ? f (?i )?xi .
i ?1

n

记? ? max{?xi }, 令? ? 0, 若不论区间分割如何, ?i 取法如何, 极限 lim ? f (?i )?xi 存在,
1?i ? n

n

? ?0

则称此极限值为函数f ( x)在区间[a, b]上的定积分,
记作? f ( x)dx, 即? f ( x)dx ? lim ? f (?i )?xi ,
b b a a n

i ?1

? ?0

i ?1

这时称函数f ( x)在区间[a, b]上可积.

关于函数的可积性, 有下面几个重要结论 :

(a) : 可积函数必有界;

(b) : 有限闭区间[a, b]上的连续函数可积;
(c) : 在有限区间[a, b]上只有有限个间断点的有界函数可积.

定积分的几何意义:
(1) : 若连续函数f ( x) ? 0,

则定积分? f ( x)dx表示由曲线y ? f ( x), 直线x ? a, x ? b(a ? b)以及x轴所围成的曲边梯形的
a

b

面积S (如图).即S ? ? f ( x)dx;
a

b

y

y ? f ( x)

a

o

b x

(2) : 若连续函数f ( x) ? 0,
由y ? f ( x), y ? 0, x ? a, x ? b(a ? b)所围曲边梯形在x轴下方, 定积分? f ( x)dx表示该曲边梯形
a b

面积的负值;

y

y
b
y ? f ( x)

a

y ? f ( x)

o

x

o a

b x

(3) : 若f ( x)在[a, b]上既取正值又取负值,

则函数f ( x)图形的某些部分在x轴上方, 另外部分在x轴下方,
此时所围的面积按上述规则相应的赋予正, 负号, 则定积分? f ( x)dx的值
a b

就是这些面积的代数和.

性质6.1 : 设f ( x), g ( x)在[a, b]上可积, ? , ?是任意常数,
那么?f ( x) ? ?g ( x), f ( x) g ( x)在[a, b]上可积, 而且?a [?f ( x) ? ?g ( x)]dx ? ? ?a f ( x)dx ? ? ?a g ( x)dx.
b b b

性质6.2 : 设c ? (a, b), 则f ( x)在[a, b]上可积 ? f ( x)在[a, c]和[c, b]上都可积;
不论a, b, c三点在数轴上的位置如何, 只要以下3个积分存在, 则一定成立 :

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx.
a c
b b

c

b

性质6.3 : 设f ( x), g ( x)在[a, b]上可积, 并且f ( x) ? g ( x), x ?[a, b], 则? f ( x)dx ? ? g ( x)dx.
a a

推论6.1 : 设f ( x)在[a, b]上可积, 且f ( x) ? 0, x ?[a, b], 则? f ( x)dx ? 0.
a

b

推论6.2 : 设f ( x)在[a, b]上可积, 且存在常数m, M , 使得m ? f ( x) ? M , x ? [a, b], 则m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a).
a b

性质6.4 : 设f ( x)在[a, b]上可积, 则 f ( x) 在[a, b]上可积, 且 ? f ( x)dx ? ? f ( x) dx.
a a

b

b

性质6.5(积分中值定理) : 设f ( x)在[a, b]上连续, 则至少存在c ?[a, b], 使得? f ( x)dx ? f (c)(b ? a).
a

b

性质6.5(积分中值定理)的加强形式 : 设f ( x)在[a, b]上连续, 则至少存在c ? (a, b), 使得? f ( x)dx ? f (c)(b ? a).
a b

6.2、微积分基本定理
变上限积分F ( x) ? ? f (t )dt , x ?[a, b];
a x

变下限积分G( x) ? ? f (t )dt , x ?[a, b] 统称为变限积分. x

b

定理6.1 : 设f ( x)在[a, b]上可积, 则F ( x) ? ? f (t )dt是[a, b]上的连续函数.
a

x

定理6.2 : 设f ( x)在[a, b]上连续, 则F ( x) ? ? f (t )dt在[a, b]上连续可导,
a

x

且F ?( x) ? ( ? f (t )dt )? ? f ( x), x ?[a, b].
a

x

通常称F ?( x) ? (? f (t )dt )? ? f ( x), x ?[a, b]为变限积分求导公式.
a

x

推论6.3 : 设f ( x)在[a, b]上连续, a( x), b( x)在[a, b]上可导且a ? a( x), b( x) ? b, x ?[a, b].
则成立( ?
b( x) a( x)

f (t )dt )? ? f [b( x)]b?( x) ? f [a( x)]a?( x).

定理6.3 : 设f ( x)在[a, b]上连续, F ( x)是f ( x)在[a, b]上的任意一个原函数, 则有

?
b b a

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a).
b

通常记F (b) ? F (a) ? F ( x) a ,即? f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a), 称为牛顿 ? 莱布尼茨公式.

常见题型 :
例 : 求? cos tdt导数, 求? x 2 cos tdt导数, 求? ( x ? t ) cos tdt导数.
x 1 1 x2 x x

例 : 求 lim
x ?0

x ? ? et dt
2

x

0

(sin x) ? arctan x
2

.

例 : 求 lim

?

x

0

(1 ? t 2 )et x

2

? x2

dt

x ???

.

例 : 设f ( x)在[0,1]上连续且满足f ( x) ? x ? f (t )dt ? 1, 求? f ( x)dx及f ( x).
0 0

1

1

1 1 例 : 设f ( x) ? ? 1? x2 1? x2

?

1

0

f ( x)dx, 求? f ( x)dx及f ( x).
0
1

1

例 : 设f ( x)在[01]上连续且f ( x) ? x ? x 2 ? f ( x)dx, 求f ( x).
0

例 : lim
x ?a

x 2 ? f (t )dt
a

x

x?a
1 t2 cos x

, 其中f ( x)是(??,??)上的连续函数(2008级考题).

例:

e ? lim
x ?0

dt

x sin x

(2009级考题).
x2

例 : 求极限 lim
x ?0

?

0

(et ? 1)dt
6

2

ln(1 ? x )

(2010级考题).

6.3、定积分的换元积分法与分部积分法
一、定积分的换元积分法
定理6.4 : 设f ( x)在[a, b]上连续, 且x ? ? (t )满足条件 :
(1) : 当t在[? , ? ]上变化时, x ? ? (t )在[a, b]上变化, (2) : ? ?(t )在[? , ? ]上连续且(? , ? )内保持定号,
(3) : a ? ? (? ), b ? ? ( ? ), 则? f ( x)dx ? ? f [? (t )]? ?(t )dt.
a b

?

?

二、定积分的分部积分法
定理6.5 : 设u ? u( x), v ? v( x)在[a, b]上连续可导, 则下面的分部积分公式成立 :

?
常见题型 :
例 : ? x 3 ? 2 x dx.
0 1

b

a

u ( x)v?( x)dx ? u ( x)v( x) a ? ? v( x)u?( x)dx.
b a

b

例 : ?1

3 2

x2 1? x2

dx.

2

例: ?

3 3

1 (1 ? 5 x 2 ) 1 ? x 2

0

dx.

例 : 求? ln( x ? 1)dx.
1

4

例 : 求? cos x dx. 例 : ?1
0

?2

e2

3 3 ln 2 ( 2 ? ln x) ln x 1 dx. 例 : 求 dx. dx. 例 : 求?0 2 e x 2 x 1 x x 1? e

?

例 : 设f ( x)是(??,??)上的连续函数, 且满足? f ( x ? t )tdt ?e x ? x ? 1, 求f ( x).
0

x

例 : 设f ( x)在(??,??)内连续, 且满足? f ( x ? u)e du ? sin x, 求f ( x)与? f ( x)dx.
u 0 0

x

1

例 : 设f ( x)为连续函数, 且满足? f ( xt )dt ? f ( x) ? xe x , 求f ( x).
0

1

例: ?

?

0

( x ? 2) sin x dx. 2 1 ? (cos x)
x x 1 x sin t ? sin t dt , 求? f ( x)dx. 例 : 设f ( x) ? ? dt , 求? f ( x)dx. 0 0 ? ?t 0 t

例 : 设f ( x) ? ?
1

例: ?

1 (1 ? x )
2 3

0

dx(2008级考题).

例: ?2
0

?

sin 2 x dx(2009级考题). (sin x) 4 ? 1
6 x ?3

例 : ? arctan xdx(2009级考题).
0

1

例 : 求积分? e
1

dx(2010级考题).

例 : 设f ( x)是连续函数, ? (t ? x) f (2 x ? t )dt ? sin x ? cos x, 求? 2 f ( x)dx(2010级考题).
x 0
2 1 2 例 : 设函数f ( x)连续且满足? tf (2 x ? t )dt ? arctan x , 已知f (1) ? 1, 求? f ( x)dx(2009级考题). 0 1 2 x

2x

?

6.4、定积分的应用
一、平面图形的面积
(1) :由x ? a, x ? b, x轴及y ? f ( x)所围成的平面图形面积S ? ? f ( x) dx.
a b

(2) :由x ? a, x ? b,曲线y ? f ( x)及曲线y ? g ( x)
所围成平面图形的面积S ? ? f ( x) ? g ( x) dx.
a b

(3) :由y ? c, y ? d , y轴及x ? ? ( y)所围成平面图形的面积S ? ? ? ( y) dy.
c

d

(4) :由y ? c, y ? d ,曲线x ? ? ( y)及曲线x ? ? ( y)

所围成平面图形的面积S ? ? ? ( y) ? ? ( y) dy.
c

d

二、旋转体的体积.
(1) :由x ? a, x ? b, x轴及连续曲线y ? f ( x)所围成的平面图形绕x轴旋转
一周所得旋转体体积为 : V ? ? ? [ f ( x)]2 dx.
a b

(2) :由x ? a, x ? b, y ? f ( x), y ? g ( x)
所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为 V ? ? ? ([ f ( x)]2 ? [ g ( x)]2 )dx,
a b

其中f ( x), g ( x)在[a, b]上连续且满足f ( x) ? g ( x) ? 0.
(3) :由y ? c, y ? d , y轴及连续曲线x ? ? ( y)所围成的平面图形
绕y轴旋转一周所得旋转体体积V ? ? ? [? ( y)]2 dy.
c d

(4) :由y ? c, y ? d , x ? ? ( y), x ? ? ( y) 所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体
体积为V ? ? ? ([? ( y)]2 ? [? ( y)]2 )dy,
c d

其中? ( y),? ( y)在[c, d ]上连续且满足? ( y) ? ? ( y) ? 0.

(5) : 对于由x ? a, x ? b(b ? a ? 0), x轴及连续曲线y ? f ( x)所围成的
平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积V ? 2? ? x f ( x) dx.
a b

(6) : 对于由y ? c, y ? d (d ? c ? 0), y轴及连续曲线x ? ? ( y)所围成的
平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V ? 2? ? y ? ( y) dy.
c d

常见题型 :

例 : 求由曲线y ? x 2与x ? y 2所围成平面图形的面积.
例 : 求由曲线y ? x3 ? 2 x与y ? x 2所围成的平面图形面积S.

例 : 求图中阴影部分的面积.

y

y ? x2

x
y ? ?x ? 2

例 : 求过原点作曲线y ? ln x的切线, 该切线与曲线y ? ln x及x轴所围成的平面图形面积S.

例 : 设由y ? e x (0 ? x ? 1)与x ? 0, x ? 1, y ? et (0 ? t ? 1)所围成平面图形面积为S (t ), 求S (t ) 的最大值与最小值.
例 : 求由y ? x3 , x ? 1, y ? 0所围成的平面图形分别绕x轴与y轴旋转一周所得旋转体体积.

例 : 求由xy ? 5, x ? y ? 6所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积.
例 : 求由y ? ln x, x ? e, y ? 0所围成的平面图形分别绕x轴与y轴旋转一周所得旋转体体积.

例 : 求由y ? cos x, x ? 0, x ? ? , y ? 0所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积.

例 : 设区域D是由曲线y ? e x , x ? 0, x ? 2, y ? 0围成的平面区域, (1) : 计算D的面积, (2) : 计算D围绕Ox轴旋转一周得到的旋转体体积, (3) : 计算以D为底, 以f ( x, y ) ? x 2 ? 2 y为曲顶的柱体体积(2008级考题).

例 : 平面区域D是由x ? 1, y ? ln x, y ? 1所围成的图形, (1) : 求D的面积, (2) : 求平面区域D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(2009级考题).

1 所围成的图形, 2 (1) : 求D的面积, (2) : 求D围绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积(2010级考题). 例 : 设平面区域D是由抛物线y 2 ? 2 x和直线x ?

三、定积分在经济学中的简单应用
设总成本函数C ? C(q), 总收益函数R ? R(q), 其中q为产量.

则边际成本函数MC ?
q 0

dC dR , 边际收益函数MR ? . dq dq

C (q) ? ? MCdq ? C0 , 其中C0表示产量为零时总成本数量, 即为固定成本.

R(q) ? ? MRdq.
0

q

L(q) ? R(q) ? C (q) ? ? MRdq ? ? MCdq ? C0 ? ? ( MR ? MC )dq ? C0 .
0 0 0

q

q

q

常见题型 :
例 : 生产某产品的固定成本为50万元, 边际成本与边际收益分别为MC ? q 2 ? 14q ? 111, MR ? 100 ? 2q, 试求厂商最大利润.

例 : 生产某产品的固定成本为6万元, 边际成本与边际收益分别为MC ? 36 ? 18q ? 3q 2 , MR ? 33 ? 8q, 试求厂商最大利润.

6.5、反常积分初步
一、无穷限积分
定义6.2 : 设函数f ( x)在区间[a,??)上有定义, 且对任意实数b(b ? a), f ( x)在[a, b]上可积,

则称符号?
若极限 lim

??

a

f ( x)dx为f ( x)在无穷区间[a,??)上的无穷限积分.
f ( x)dx存在, 则称无穷限积分?
?? a

b??? a

?

b

??

a

f ( x)dx收敛,
b??? a

且定义极限值为该无穷限积分的值, 记作?
若极限 lim
b??? a

f ( x)dx ? lim

?

b

f ( x)dx.

?

b

f ( x)dx不存在, 则称无穷限积分?

??

a

f ( x)dx发散,

这时它只是一个符号, 无数值意义.

定义6.3 : 设函数f ( x)在区间(??, b]上有定义, 且对任意实数a(a ? b), f ( x)在[a, b]上可积,
则称符号? f ( x)dx为f ( x)在无穷区间(??, b]上的无穷限积分.
?? b

若极限 lim

a ??? a

?

b

f ( x)dx存在, 则称无穷限积分? f ( x)dx收敛,
??

b

且定义极限值为该无穷限积分的值, 记作? f ( x)dx ? lim
??

b

a ??? a

?

b

f ( x)dx.

若极限 lim

a ??? a

?

b

f ( x)dx不存在, 则称无穷限积分? f ( x)dx发散,
??

b

这时它只是一个符号, 无数值意义.

定义6.4 : 设函数f ( x)在区间(??,??)上有定义,
若对任意实数c, 积分? f ( x)dx与?
?? c ?? c

f ( x)dx都收敛,
?? c ??

则称无穷限积分? f ( x)dx收敛, 记作??? f ( x)dx ? ??? f ( x)dx ? ?c f ( x)dx.
??

??

当? f ( x)dx与?
??

c

??

c

f ( x)dx至少有一个发散, 则称? f ( x)dx发散.
-?

??

性质6.6 : ?

??

a

f ( x)dx与?

??

b

f ( x)dx(b ? a)具有相同的敛散性.

性质6.7 : ? Af ( x)dx与?
a

??

??

a

f ( x)dx, ( A ? 0常数)具有相同的敛散性.
?? ??

性质6.8 : 如果?
?? a

??

a

f ( x)dx与? g ( x)dx收敛, 则? [ f ( x) ? g ( x)]dx收敛,
a a

且? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ?
性质6.9 : 无穷限积分?
?? a

??

a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx.
a

??

f ( x)dx的牛顿 ? 莱布尼茨公式 :
??

设F ( x)是f ( x)在[a,??)上的一个原函数,

且 lim F ( x)存在, 记F (??) ? lim F ( x), 则?a f ( x)dx ? F ( x) a ? F (??) ? F (a).
x ??? x ???

??

无穷限积分的分步积分法 : 设u( x), v( x)在[a,??)连续可导,
则? u ( x)v?( x)dx ? u( x)v( x) a ? ? v( x)u?( x)dx,
a a ?? ?? ??

其中上式中有两项收敛.

无穷限积分的换元法 : 设函数f ( x)在[a,??)连续, 函数x ? ? (t )在[? , ? )上连续可导,

如果对t ?[? , ? ), 有? ?(t ) ? 0或? ?(t ) ? 0,
当t ?[? , ? )时, 有? (t ) ?[a,??)且? (? ) ? a, lim? ? (t ) ? ??,
t ??

那么?

??

a

f ( x)dx ? ? f [? (t )]? ?(t )dt.
a

?

二、瑕积分
定义6.7 : 若函数f ( x)在(a, b]上有定义,
且对任意? ? 0(0 ? ? ? b ? a), f ( x)在[a ? ? , b]上可积,

但f ( x)在x ? a ?时无界, 则称a为f ( x)的瑕点,
称? f ( x)dx为f ( x)在(a, b]上的瑕积分.
a b

若极限 lim? ?
? ?0

b

a ??

f ( x)dx存在, 则称瑕积分? f ( x)dx收敛,
a

b

并以此极限值为其值,即? f ( x)dx ? lim? ?
a

b

b

? ?0

a ??

f ( x)dx.

若极限 lim? ?
? ?0

b

a ??

f ( x)dx不存在, 则称瑕积分? f ( x)dx发散.
a

b

定义6.8 : 若函数f ( x)在[a, b)上有定义,
且对任意? ? 0(0 ? ? ? b ? a), f ( x)在[a, b ? ? ]上可积,

但f ( x)在x ? b 时无界, 则称b为f ( x)的瑕点, 称? f ( x)dx为f ( x)在[a, b)上的瑕积分.
?
a

b

若极限 lim? ?
? ?0

b ??

a

f ( x)dx存在, 则称瑕积分? f ( x)dx收敛,
a
b b ?? a

b

并以此极限值为其值, 即? f ( x)dx ? lim? ?
? ?0

a

f ( x)dx.
b a

若极限 lim? ?
? ?0

b ??

a

f ( x)dx不存在, 则称瑕积分? f ( x)dx发散.

定义 : 若函数f ( x)在(a, b)内部一点c,即a ? c ? b,当x ? c时, f ( x)无界.
那么规定两个积分? f ( x)dx与? f ( x)dx都收敛时, 称瑕积分
a c c b

?

b

a

f ( x)dx收敛,
b c ??

且? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? lim?
a a c

b

c

b

? ?0

?

c ??

a

f ( x)dx ? lim? ?
? ?0

f ( x)dx,

其中?与?是相互独立的.
只要? f ( x)dx与? f ( x)dx中有一个发散, 称? f ( x)dx发散.
a c a c b b

注: 无穷限积分的性质6.6,6.7,6.8,6.9对瑕积分仍然成立. 特别地:牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法.
性质 : 瑕积分? f ( x)dx的牛顿 ? 莱布尼茨公式 :
a b

设F ( x)是f ( x)在(a, b]上的一个原函数, 且 lim? F ( x)存在, 记F (a) ? lim? F ( x),
x ?a x ?a

则有 : ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a).
a

b

注: 对于瑕积分,解题时要先指出瑕点, 被积函数的原函数在瑕点处的值按照原函数在瑕点处的极限值计算.
常见题型 :
例 : 判断无穷限积分?
例 : 判断无穷限积分?
?? 1
??

1 dx的敛散性. x 2 (1 ? x 2 )
1 dx的敛散性. x(1 ? x 2 )

1

例 : 判断无穷限积分?

??

1

(ln x) 2 dx的敛散性. 2 x

例 : 判定?

1 dx的敛散性. 0 ( 2 ? x) 1 ? x
1

例 : 判定? ln(3 ? x)dx的敛散性.
0

3

例 : 判定?

3 2 1

1 x ?x
2

dx的敛散性.

例 : 计算?

e

2 x 1 ? 4(ln x)
2

1

dx.

例 : ? ln
0

3

1 dx(2008级考题). 9 ? x2
2

例 : 求积分?

1 x x ?1
2

1

dx(2010级考题).


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