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动力学特别问题


动力学的特别问题和方法
质点系的牛顿第二定律

?F
i ?1

n

i

? m1a1 ? m2a 2 ?
1 2 at ? a ? s 2
m F M?m

? ? mi a i
i ?1

n


二. 绳、 杆约束物系或接触物系各部分加速度往往有相关联系, 确定它们的大小关系的一般方法是: 1 2 设想物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间,则由 s ? at ? a ? s 2 可知,加速度与位移大小成正比,确定了相关物体在同一时间内的位移比,便确定了两者加速度 大小关系

加速度相关关系

s?

力的加速度效果分配法则

FMmT ?

牛顿第二定律的瞬时性 加速度与力是瞬时对应的,外力一旦改变,加速度也立即改变,力与 加速度的因果对应具有同时性.确定某瞬时质点的加速度,关键在分析该瞬时质点的受力,对制约 着对象运动状态的各个力的情况作出准确判断. 例 1 如图所示,A、B 滑块质量分别是 mA 和 mB,斜面倾角为α ,当 A 沿斜面体 D 下滑、B 上升 时,地板突出部分 E 对斜面体 D 的水平压力 F 为多大(绳子质量及一切摩擦不计)?

例 3 如图所示,质量为 m 的物体静止在倾角为θ 的斜面体上,斜面体的质量为 M,斜面体与水平 地面间的动摩擦因数为μ .现用水平拉力 F 向右拉斜面体,要使物体与斜面体间无相互作用力, 水平拉力 F 至少要达到多大?

F ? ? ? ? cot ? ? Mg



F ? mA ?

m A sin ? ? m B g ? cos ? m A ? mB

例 4 如图所示,A 为固定斜面体,其倾角α =30°,B 为固定在斜面下端与斜面垂直的木板,P 为 动滑轮,Q 为定滑轮,两物体的质量分别为 m1=0.4 kg 和 m2=0.2 kg,m1 与斜面间无摩擦,斜面上 的绳子与斜面平行,绳不可伸长,绳、滑轮的质量及摩擦不计,求 m2 的加速度及各段绳上的张力.

例 2 如图所示,跨过定滑轮的一根绳子,一端系着 m=50 kg 的重物,一端握在质量 M=60 kg 的人 手中.如果人不把绳握死,而是相对地面以 g/18 的加速度下降,设绳子和滑 轮的质量、滑轮轴承处的摩擦均可不计,绳子长度不变,试求重物的加速度

a2 ?

2m1 g sin ? ? m2 g 4m1 ? m2

a ? 2 g
15

三. 问题情景

例 7 如图所示,木块 A、B 静止叠放在光滑水平面上,A 的质量为 m,B 的质量 2m.现施水平力 F 拉 B ,A、B 刚好不发生相对滑动而一起沿水平面运动;若改用水平力 F’ 拉 A,要使 A、B 不发 生相对滑动,求 F’ 的最大值.

F? ?

F 2

FMmT ?

m F M?m

例 8 如图所示,一质量为 m 的物体系于长度分别为 l1、l2 的两根细绳上,l1 与竖直成θ 角,l2 水 平拉直,物体处于平衡状态.现将 l2 剪断,求剪断瞬时 l1 细绳上的拉力及物体的加速度.

如果引起整体加速度的外力大小为 F, 则引起各部分同一加速度的力大小与各部分质量成正比, F 这个力的加速度效果将依质量正比例地分配. 例 5 如图所示,质量为 M、m、m 的木块以线 a、b 相连,质量为Δ m 小木块置于中间木块上,施 水平力 F 拉 M 而使系统一起沿水平面运动;若将小木块从中间木块移至质量为 M 的木块之上,两 细绳上的张力 Ta、Tb 如何变化?

a ? g sin ?
例 9 如图所示,质量分别为 mA、mB 的两个物体 A 和 B,用弹簧连在一起,放在粗糙的水平面上, 在水平拉力 F(已知)作用下,两物体做加速度为 a 的匀加速直线运动,求在撤去外力 F 的时刻,A、 B 两物体的加速度大小分别为多少?

Tb 不变

Ta 减小
aA ? a
aB ? ? mA a mB

例 6 如图所示,在光滑水平面上放置质量分别为 m 和 2m 的四个木块,其中两个质量为 m 的木块间 用一不可伸长的轻绳相连 ,木块间的最大静摩擦力是μ mg.现有用水平拉力 F 拉其中一个质量为 2m 的木块,使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对 m 的最大拉力是多少?

例 10 如图所示,木块 A、B 的质量分别为 mA=0.2 kg,mB=0.4 kg,盘 C 的质量 mC=0.6 kg,现挂于天花板 O 处,整个装置处于静止.当用火烧断 O 处的细线的瞬间,木块 A 的加速度 aA 及木块 B 对盘 C 的压力 FBC 各是 多少?

T ? ? mg

3 4

aA ? 0

FBC=1.2N

例 11 某人质量 M=60 kg,一重物质量 m=50 kg,分别吊在一个定滑轮的两边.人握住绳子不动, 则他落地的时间为 t1,人若沿绳子向上攀爬,则他落地时间 不计,求此人往上爬时重物的加速度.
2t1 .若滑轮、绳子的质量及摩擦可

例 13 如图所示,一根绳跨过装在天花板上的滑轮,一端接质量为 M 的物体,另一端吊一载人的梯 子而平衡.人的质量为 m,若滑轮与绳子的质量均不计,绳绝对柔软,不可伸长.问为使滑轮对天 花板的反作用力为零,人相对于梯子应按什么规律运动?

a? ?

8 g 55

例 12 如图,三角凸轮沿水平运动,其斜边与水平线成α 角.杆 AB 的 A 端依靠在凸轮上,另一端 的活塞 B 在竖直筒内滑动.如凸轮以匀加速度 a0 向右运动,求活塞 B 的加速度 aB
a人梯 ? a人 ? a梯

?

2M g m

aB ? a0 tan ?

例 13 如图所示,在倾角为α 的光滑斜面上,放有一个质量为 m2 的斜块,斜块上表面水平,在它 的上面放有质量为 m1 的物块.摩擦不计,求两个物块的加速度.

a1 ?

? m1 ? m2 ? g sin2 ?
m2 ? m1 sin ?
2

a2 ?

? m1 ? m2 ? g sin ?
m2 ? m1 sin 2 ?


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