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传热学基础课后习题答案


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第一章 ..........................................................................................................................................................

.......................- 2 第二章 .................................................................................................................................................................................- 9 小论文题目 ................................................................................................................................................................... - 33 第三章 ...............................................................................................................................................................................- 34 习题 ............................................................................................................................................................................... - 35 小论文题目 ................................................................................................................................................................... - 66 第四章 ...............................................................................................................................................................................- 68 综合分析与分析、论述题 ........................................................................................................................................... - 81 第五章 ...............................................................................................................................................................................- 85 第六章 ...............................................................................................................................................................................- 91 第七章 .............................................................................................................................................................................- 136 习题 ............................................................................................................................................................................. - 137 第八章 .............................................................................................................................................................................- 163 第九章 .............................................................................................................................................................................- 171 第十章 .............................................................................................................................................................................- 215 小论文题目 ................................................................................................................................................................. - 265 -

水积成川。载澜载清。土积成山。歊蒸郁冥。山不让尘。川不辞盈。勉尔含弘。以隆德声。 -1-

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第一章
思考题 1. 试用简练的语言说明导热、对流换热及辐射换热三种热传递方式之间的联系和区别。 答:导热和对流的区别在于:物体内部依靠微观粒子的热运动而产生的热量传递现象,称为导热;对流 则是流体各部分之间发生宏观相对位移及冷热流体的相互掺混。联系是:在发生对流换热的同时必然伴 生有导热。 导热、对流这两种热量传递方式,只有在物质存在的条件下才能实现,而辐射可以在真空中传播,辐射 换热时不仅有能 量的转移还伴有能量形式的转换。 2. 以热流密度表示的傅立叶定律、牛顿冷却公式及斯忒藩-玻耳兹曼定律是应当熟记的传热学公式。试写 出这三个公式并说明其中每一个符号及其意义。 答:① 傅立叶定律: “-”表示热量传递的方向是沿着温度降低的方向。 ② 牛顿冷却公式:

q ? ??

dt dt dx ,其中, q -热流密度; ? -导热系数; dx -沿 x 方向的温度变化率,

q ? h(t w ? t f ) ,其中, q -热流密度; h -表面传热系数; t w -固体表面温度;
4

t f -流体的温度。
③ 斯忒藩-玻耳兹曼定律: q ? ?T ,其中, q -热流密度;? -斯忒藩-玻耳兹曼常数; T -辐 射物体的热力学温度。 3. 导热系数、表面传热系数及传热系数的单位各是什么?哪些是物性参数,哪些与过程有关? 答:① 导热系数的单位是:W/(m.K);② 表面传热系数的单位是:W/(m2.K);③ 传热系数的单位是: W/(m2.K)。这三个参数中,只有导热系数是物性参数,其它均与过程有关。 4. 当热量从壁面一侧的流体穿过壁面传给另一侧的流体时,冷、热流体之间的换热量可以通过其中任何一 个环节来计算 (过程是稳态的) 但本章中又引入了传热方程式, , 并说它是 “换热器热工计算的基本公式” 。 试分析引入传热方程式的工程实用意义。 答:因为在许多工业换热设备中,进行热量交换的冷、热流体也常处于固体壁面的两侧,是工程技术中 经常遇到的一种典型热量传递过程。 5. 用铝制的水壶烧开水时,尽管炉火很旺,但水壶仍然安然无恙。而一旦壶内的水烧干后,水壶很快就烧 坏。试从传热学的观点分析这一现象。 答:当壶内有水时,可以对壶底进行很好的冷却(水对壶底的对流换热系数大) ,壶底的热量被很快传走 而不至于温度升得很高;当没有水时,和壶底发生对流换热的是气体,因为气体发生对流换热的表面换 热系数小,壶底的热量不能很快被传走,故此壶底升温很快,容易被烧坏。 6. 用一只手握住盛有热水的杯子,另一只手用筷子快速搅拌热水,握杯子的手会显著地感到热。试分析其 原因。 答:当没有搅拌时,杯内的水的流速几乎为零,杯内的水和杯壁之间为自然对流换热,自热对流换热的 表面传热系数小,当快速搅拌时,杯内的水和杯壁之间为强制对流换热,表面传热系数大,热水有更多 的热量被传递到杯壁的外侧,因此会显著地感觉到热。 7. 什么是串联热阻叠加原则,它在什么前提下成立?以固体中的导热为例,试讨论有哪些情况可能使热量 传递方向上不同截面的热流量不相等。 答:在一个串联的热量传递过程中,如果通过每个环节的热流量都相同,则各串联环节的总热阻等于各 串联环节热阻的和。例如:三块无限大平板叠加构成的平壁。例如通过圆筒壁,对于各个传热环节的传 热面积不相等,可能造成热量传递方向上不同截面的热流量不相等。 8.有两个外形相同的保温杯 A 与 B,注入同样温度、同样体积的热水后不久,A 杯的外表面就可以感觉到热, 而 B 杯的外表面则感觉不到温度的变化,试问哪个保温杯的质量较好? 答:B:杯子的保温质量好。因为保温好的杯子热量从杯子内部传出的热量少,经外部散热以后,温度 变化很小,因此几乎感觉不到热。 能量平衡分析 1-1 夏天的早晨,一个大学生离开宿舍时的温度为 20℃。他希望晚上回到房间时的温度能够低一些,于是早 上离开时紧闭门窗,并打开了一个功率为 15W 的电风扇,该房间的长、宽、高分别为 5m、3m、2.5m。如果 该大学生 10h 以后回来,试估算房间的平均温度是多少? 解 : 因关闭门窗户后,相当于隔 绝了房间内外的热交换 ,但是电风扇要在房间 内做工产生热量: 为
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15 ?10 ? 3600=540000 J 全部被房间的空气吸收而升温,空气在 20℃时的比热为:1.005KJ/Kg.K,密度为 540000 ? 10 ?3 ?t ? ? 11.89 5 ? 3 ? 2.5 ? 1.205 ? 1.005 1.205Kg/m3,所以
当他回来时房间的温度近似为 32℃。 1-2 理 发 吹 风 器 的 结 构 示 意 图 如 附 图 所 示 , 风 道 的 流 通 面 积 A2 ? 60cm , 进 入 吹 风 器 的 空 气 压 力
2

p ? 100 kPa ,温度 t1 ? 25 ℃。要求吹风器出口的空气温度 t 2 ? 47 ℃,试确定流过吹风器的空气的质量流
量以及吹风器出口的空气平均速度。电加热器的功率为 1500W。 解: 1-3 淋浴器的喷头正常工作时的供水量一般为每分钟 1000cm 。冷水通过电热器从 15℃被加热到 43℃。试问 电热器的加热功率是多少?为了节省能源,有人提出可以将用过后的热水(温度为 38℃)送入一个换热器去 加热进入淋浴器的冷水。如果该换热器能将冷水加热到 27℃,试计算采用余热回收换热器后洗澡 15min 可以 节省多少能源? 解: 1-4 对于附图所示的两种水平夹层, 试分析冷、 热表面间热量交换的方式有何不同?如果要通过实验来测定夹 层中流体的导热系数,应采用哪一种布置?
3

解: (a)中热量交换的方式主要为热传导。 (b)热量交换的方式主要有热传导和自然对流。 所以如果要通过实验来测定夹层中流体的导热系数,应采用(a)布置。 1-5 一个内部发热的圆球悬挂于室内,对于附图所示的三种情况,试分析: (1)圆球表面散热的方式; (2) 圆球表面与空气之间的换热方式。 解: (2)圆球为表面传热方式散热。 (1)换热方式: (a)自然对流换热; (b)自然对流与强制对流换热相当的过渡流传热; (c)强制对流换热; 1-6 一宇宙飞船的外形示于附图中,其中外遮光罩是凸出于飞船体之外的一个光学窗口,其表面的温度状态 直接影响到飞船的光学遥感器。船体表面各部分的表面温度与遮光罩的表面温度不同。试分析,飞船在太空 中飞行时与遮光罩表面发生热交换的对象可能有哪些?换热的方式是什么? 解:一遮光罩与外界发生辐射换热及遮光罩外表与船体外表进行辐射。传热方式为(辐射) 1-7 热电偶常用来测量气流温度。如附图所示,用热电偶来测量管道中高温气流的温度 Tf
f 。试分析热电偶结点的换热方式。 ,壁管温度 w 解:具有管道内流体对节点的对流换热,沿偶丝到节点的导热和管道内壁到节点的热辐射。 1-8 热水瓶胆剖面的示意图如附图所示。瓶胆的两层玻璃之间抽成真空,内胆外壁及外胆内壁涂了反射率很 低的银。试分析热水瓶具有保温作用的原因。如果不小心破坏了瓶胆上抽气口处的密闭性,这会影响保温效 果吗? 解:保温作用的原因:内胆外壁外胆内壁涂了反射率很低的银,则通过内外胆向外辐射的热量很少,抽真空 是为了减少内外胆之间的气体介质,以减少其对流换热的作用。如果密闭性破坏,空气进入两层夹缝中形成 了内外胆之间的对流传热,从而保温瓶的保温效果降低。 导热

T ?T

1-9 一砖墙的表面积为 12 m ,厚为 260mm,平均导热系数为 1.5W/(m.K) 。设面向室内的表面温度为 25℃, 而外表面温度为-5℃,试确定次砖墙向外界散失的热量。 解:根据傅立叶定律有:

2

? ? ?A

?t

?

? 1.5 ? 12 ?

25 ? (?)5 ? 2076 .9W 0.26

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1-10 一炉子的炉墙厚 13cm,总面积为 20 m ,平均导热系数为 1.04w/m.k,内外壁温分别是 520℃及 50℃。 试计算通过炉墙的热损失。 如果所燃用的煤的发热量是 2.09×104kJ/kg, 问每天因热损失要用掉多少千克煤? 解:根据傅利叶公式

2

Q?

每天用煤

?A?t 1.04 ? 20 ? (520 ? 50) ? ? 75.2 KW ? 0.13

1-11 夏天,阳光照耀在一厚度为 40mm 的用层压板制成的木门外表面上,用热流计测得木门内表面热流密度 为 15W/m2。外变面温度为 40℃,内表面温度为 30℃。试估算此木门在厚度方向上的导热系数。

24 ? 3600 ? 75.2 ? 310 .9 Kg / d 2.09 ? 10 4 ?t

? , 解: 1-12 在一次测定空气横向流过单根圆管的对流换热实验中,得到下列数据:管壁平均温度 tw=69℃,空气温 度 tf=20℃,管子外径 d=14mm,加热段长 80mm,输入加热段的功率 8.5w,如果全部热量通过对流换热传 给空气,试问此时的对流换热表面传热系数多大? 解:根据牛顿冷却公式
q ? 2?rlh?t w ? t f

q??

??

q? 15 ? 0.04 ? ? 0.06W /(m.K ) ?t 40 ? 30

?

h?
所以

?d ?t w ? t f ? =49.33W/(m 2 .k)
5

q

1-13 对置于水中的不锈钢束采用电加热的方法进行压力为 1.013 ? 10 Pa 的饱和水沸腾换热实验。测得加热 功率为 50W,不锈钢管束外径为 4mm,加热段长 10mm,表面平均温度为 109℃。试计算此时沸腾换热的表 面传热系数。 解:根据牛顿冷却公式有

? ? Ah?t
2

W/(m .K) 1-14 一长宽各为 10mm 的等温集成电路芯片安装在一块地板上,温度为 20℃的空气在风扇作用下冷却芯片。 芯片最高允许温度为 85℃,芯片与冷却气流间的表面传热系数为 175 W/(m .K)。试确定在不考虑辐射时芯 片最大允许功率时多少?芯片顶面高出底板的高度为 1mm。
2 解: ? max ? hA?t ? 175W / m .K ? ?0.01 ? 0.01 ? 4 ? ?0.01 ? 0.001??? (85℃-20℃) =1.5925W

?h ? ?

A? t

? 4 4 2 .3 2

2

?

?

1-15 用均匀的绕在圆管外表面上的电阻带作加热元件,以进行管内流体对流换热的实验,如附图所示。用功 率表测得外表面加热的热流密度为 3500W/ m ;用热电偶测得某一截面上的空气温度为 45℃,内管壁温度为 80℃。 设热量沿径向传递, 外表面绝热良好, 试计算所讨论截面上的局部表面传热系数。 圆管的外径为 36mm, 壁厚为 2mm。 解:由题意 又 3500W/ m ? 2?Rl ? h ? 2?rl ? (80℃-45℃)
2
2

r=

=(18-2)mm=16mm

?h ? 112 .5 W/(m 2 .K)
1-16 为了说明冬天空气的温度以及风速对人体冷暖感觉的影响,欧美国家的天气预报中普遍采用风冷温度的 概念(wind-chill temperature) 。风冷温度是一个当量的环境温度,当人处于静止空气的风冷温度下时其散热量 与人处于实际气温、 实际风速下的散热量相同。 从散热计算的角度可以将人体简化为直径为 25cm、 175cm、 高 表面温度为 30℃的圆柱体,试计算当表面传热系数为 15W / m K 时人体在温度为 20℃的静止空气中的散热 量。如果在一个有风的日子,表面传热系数增加到 50W / m K ,人体的散热量又是多少?此时风冷温度是 多少? 辐射 1-17 有两块无限靠近的黑体平行平板,温度分别为 T1 ,T2 。试按黑体的性质及斯藩-玻尔兹曼定律导出单位面
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?

?

2

2

?

?

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积上辐射换热量的计算式。 (提示:无限靠近意味着每一块板发出的辐射能全部落到另一块板上。 ) 解:由题意

q1 f ? ?T1 ;
4

q 2 f ? ?T24 ;
4 4

两板的换热量为

q ? ? (T1 ? T2 )

1-18 宇宙空间可近似地看成为 0K 的真空空间。一航天器在太空中飞行,其外表面平均温度为 250℃,表面 发射率为 0.7,试计算航天器单位表面上的换热量。 解: q ? ?? T =0.7 ? 5.67 ? 10 W /(m .K ) ? 250 ? 155 W/ m 1-19 在 1-14 题目中,如果把芯片及底板置于一个封闭的机壳内,机壳的平均温度为 20℃,芯片的表面黑度 为 0.9,其余条件不变,试确定芯片的最大允许功率。
4 ?8 2 4 4
2

解:

? 辐射 ? ?A? T1 ? T2 =0.9 ? 5.67 ? 10 ?8 [(85 ? 273) 4 ? (20 ? 273) 4 ] ? 0.00014
4 4

?

?

辐射 =1.657W P 对流 1-20 半径为 0.5 m 的球状航天器在太空中飞行, 其表面发射率为 0.8。 航天器内电子元件的散热总共为 175W。 假设航天器没有从宇宙空间接受任何辐射能量,试估算其表面的平均温度。

?

+?

解:电子原件的发热量=航天器的辐射散热量即: Q ? ?? T

4

?T ? 4 Q

?? A

=187K 热阻分析
2 1-21 有一台气体冷却器,气侧表面传热系数 h1 =95W/(m .K),壁面厚 ? =2.5mm, ? ? 46.5W /(m.K ) 水侧

表面传热系数 h2 ? 5800 W/(m .K)。设传热壁可以看成平壁,试计算各个环节单位面积的热阻及从气到水的 总传热系数。你能否指出,为了强化这一传热过程,应首先从哪一环节着手?
2

1 1 1 ? 0.010526 ; R ? ? ? 0.0025 ? 5.376 ? 10 ?5 ; R3 ? ? ? 1.724 ? 10 ?4 ; 2 h1 h2 5800 ? 46.5 解: 1 K? 1 1 ? ? ? h1 h2 ? =94.7 W /(m 2 .K ) ,应强化气体侧表面传热。 则 1-22 在上题中,如果气侧结了一层厚为 2mm 的灰, ? ? 0.116W /(m.K ) ;水侧结了一层厚为 1mm 的水垢 ? ? 1.15W /(m.K ) 。其他条件不变。试问此时的总传热系数为多少? R1 ?
解:由题意得

K?

1 1 ?1 ? 2 ? 3 1 ? ? ? ? h1 ?1 ?2 ?3 h2
2

?

1 1 0.002 0.0025 0.001 1 ? ? ? ? 95 0.116 46.5 1.15 5800

=34.6 W /(m .K ) 1-23 在锅炉炉膛的水冷壁管子中有沸腾水流过,以吸收管外的火焰及烟气辐射给管壁的热量。试针对下列三 种情况,画出从烟气到水的传热过程的温度分布曲线: (1) 管子内外均干净; (2) 管内结水垢,但沸腾水温与烟气温度保持不变; (3) 管内结水垢,管外结灰垢,沸腾水温及锅炉的产气率不变。 解:

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t ? 300 ℃, ? 1 ? 5 mm, ? 2 ? 0.5 mm, 1-24 在附图所示的稳态热传递过程中,已知: t w1 ? 460 ℃, f 2

?1 ? 46.5 W/(m.K), ?2 ? 1.16 W/(m.K), h2 ? 5800 W/(m 2 .K)。试计算单位面积所传递的热量。
解:由题意得

1 ?1 ? 2 ? ? ? 0.00071 h1 ?1 ? 2 ?t t w ? t f ?q ? ? RZ RZ RZ ?
=225.35KW 1-25 在工程传热问题的分析中定性地估算换热壁面的温度工况是很有用的。对于一个稳态的传热过程,试概 括出通过热阻以估计壁面温度工况的简明法则。 解:因为稳态传热所以通过每个截面的热流量都相等,热阻越小的串联环节温降小,则换热壁面温度越趋于 接近,否则温差较大。 传热过程及综合分析 1-26 有一台传热面积为 12 m 的氨蒸发器,氨液的蒸发温度为 0℃,被冷却水的进口温度为 9.7℃,出口温度 为 5℃,蒸发器中的传热量为 69000W,试计算总传热系数。 解:由题意得
2

?t1 ? ?t 2 2 =7.35℃ 又? ? ? KA?t ?K ? ? A ?t 2 =782.3 W /(m .K ) ?t ?
1-27 设冬天室内的温度为 f 1 ,室外温度为 f 2 ,试在该两温度保持不变的条件下,画出下列三种情形从室内 空气到室外大气温度分布的示意性曲线: (1)室外平静无风; (2)室外冷空气以一定流速吹过砖墙表面; (3)除了室外刮风以外,还要考虑砖墙与四周环境间的辐射换热。 解

t

t

t f1

tf2

1-28 对于图 1-4 所示的穿过平壁的传热过程,试分析下列情形下温度曲线的变化趋向: (1) ? / ? ? 0 ; (2)
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h1 ? ? ; (3) h2 ? ? 。
t f1 tf2

1-29 在上题所述的传热过程中,假设 ? / ? ? 0 ,试计算下列情形中分隔壁的温度: (1) h1 ? h2 ; (2)

h1 ? 2h2 ; (3)h1 ? 0.5h2 。

? ? 0;? t w1 ? t w2 解: ?
?


? Ah1 ?t w1 ? t f 2 ? ? Ah2 ?t w2 ? t f 2 ?

? (1)h1 ? h2 时

2 2t f 1 ? t f 2 t w1 ? t w 2 ? 3 (2) h1 ? 2h2 时 t f 1 ? 2t f 2 t w1 ? t w 2 ? 3 (3) h1 ? 0.5h2 时

t w1 ? t w2 ?

t f1 ? t f 2

1-30 设 图 1-4 所 示 壁 面 两 侧 分 别 维 持 在 20 ℃ 及 0 ℃ , 且 高 温 侧 受 到 流 体 的 加 热 ,

? ? 0.08m, t f 1 ? 100 0 C , h1 ? 200W /(m 2 .K ) ,过程是稳态的,试确定壁面材料的导热系数。
解:

q ? h1 ?t f 1 ? t w1 ? ?

?? ?

h1? ?t f 1 ? t w1 ?

? ?t w1 ? t w2 ? ?

t w1 ? t w 2 =64 W /(m.K )

1-31 附图所示的空腔由两个平行黑体表面组成,空腔内抽成真空,且空腔的厚度远小于其高度与宽度。其余 已知条件如图示。表面 2 是厚为 ? ? 0.1m 的平板的一侧面,其另一侧表面 3 被高温流体加热,平板的导热系 数 ? ? 17.5W /(m.K ) 。试问在稳态工况下表面 3 的温度 t w3 为多少? 解:在稳态工况下因为

?A

t w3 ? t w 2

? t w3

=132.67℃

? Tw 2 4 ? Tw1 4 ? ? t w2 ?

?

?

?

? ?A Tw2 ? Tw1
4

?

4

?

1-32 一玻璃窗,尺寸为 60 cm ? 30cm ,厚为 4 mm 。冬天,室内及室外温度分别为 20℃及-20℃,内表面的 自 然 对 流 换 热 表 面 系 数 为 W , 外 表 面 强 制 对 流 换 热 表 面 系 数 为 50 W /(m.K ) 。 玻 璃 的 导 热 系 数

? ? 0.78W /(m.K ) 。试确定通过玻璃的热损失。
??
解:

?T 1 1 ? ? ? h1 A Ah2 A?
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=57.5W

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1-33 一个储存水果的房间的墙用软木板做成,厚为 200 mm ,其中一面墙的高与宽各为 3 m 及 6 m 。冬天设 室内温度为 2℃,室外为-10℃,室内墙壁与环境之间的 表面传热系数为 6 W /(m.K ) ,室外刮强风时的表面传 热系数为 60 W /(m.K ) 。软木的导热系数 ? ? 0.044W /(m.K ) 。试计算通过这面墙所散失的热量,并讨论室 外风力减弱对墙散热量的影响(提示:可以取室外的表面传热系数值为原来的二分之一或四分之一来估算) 。 解:由题意

??

?T 1 ? ? ? hN 1 A AhW A? 1

=45.67W
2 当室外风力减弱时 hW ? 30 W/(m .K)

??

?T 1 1 ? ? ? hN 1 A AhW A? =45.52W

单位换算 1-34.一台 R22 的空调器的冷凝器如附图所示。温度为 313K 的氟利昂 22 的饱和蒸气在管子内流动,温度为 283K 的空气进入冷凝器冷却氟利昂蒸气使其凝结。该冷凝器的迎风面积为 0.4m ,迎面风速为 2m / s 。氟利 昂蒸气的流量为 0.011kg / s ,从凝结氟利昂蒸气到空气的总传热系数为 40W / m K ,试确定该冷凝器所需的 传热面积。提示:以空气进、出口温度的平均值作为计算传热温差的空气温度。所谓迎风面积是指空气进入 冷凝器之前的流动面积。 1-35.一战车的齿轮箱外表面积为 0.2 ㎡,为安全需要,其最高温度不超过 65℃,为此用 25℃的冷空气强制对 流流过此表面。该齿轮箱在稳态运行时消耗的机械能为 1000W。假定这份能量全部通过对流传热散失到环境 中,所需的对流传热系数应多大?如果齿轮箱四周的固体表面平均温度为 30℃,试分析通过辐射传热最多可 以带走多少热量?齿轮箱表明的发射率可取为 0.85。 解: 1-36.航空喷气发动机的工作叶片与高温的燃气相接触,为了使叶片金属的温度不超过允许数值,常在叶片中 间铸造出冷却通道,从压气机出口抽出一小部分冷空气进入这些通道。附图中示意性地画出了这样的叶片的 截面。现在给出以下数据:空心叶片内表面面积 Ai=200mm2,冷却空气的平均温度 tfi=700℃,表面传热系数 hi=320W/(m2*K);面积 Ao=2840mm2 的叶片外表面与平均温度为 1000℃的燃气接触,平均表面传热系数 ho=1420W/(m2*K)。此时叶片外表面温度为 820℃,内表面温度为 790℃。试分析此时该叶片内的导热是否处 于稳态? 解: 1-37.一宇航员在太空模拟舱内工作(检测仪器仪表的工作性能) ,该模拟舱外表面面积为 3 ㎡,外表面温度为 0℃,表面发射率为 0.05。模拟舱位于表面温度为-100℃的人工环境的大壳体内。此时模拟舱内的温度保持恒 定,试确定模拟舱表面的辐射散热量。这份能量都是有宇航员身上散失的吗? 解: 1-38.在例题 1-6 中, 为获得 1h 后该男子的体温平均下降的数值, 可以近似地认为他向环境的散热量为一常数。 实际上,这一散热量是随时间而变化的。 (1)分析该男子向环境散热的方式; (2)如何计算其辐射传热量随 时间的变化,并估算考虑这一变化后 1h 内的辐射总散热量,皮肤与衣料的表面发射率可取为 0.9,刚开始时 平均表面温度为 31℃,环境为 10℃; (3)如何计算其向四周冷空气的对流传热量随时间的变化,并估算考虑 这一变化后 1h 内的对流总散热量。由于人体的颤抖,人体向冷空气散热的对流传热表面传热系数可取为 20W/(㎡·K)。该男子的散热面积可以用直径为 0.318cm、高 1.7m 的圆柱体的面积来近似代替。 解: 1-39 当空气与壁面的平均温度在 30~50℃范围时,空气在水平管外自然对流的 表面传热系数可按下列式计 算:
2

?

2

?

h ? C (?t / d )1 / 4
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式 中 : 常 量 C ? 1.04 kcal/(m

1.75

.h.? C 1.25 ) ; 直 径 d 的 单 位 为 m; 温 差 ?t 的 单 位 为 ℃ , h 的 单 位 为

kcal/(m 2 .h.?C ) 。试用我国法定计量单位写出此公式。
解: 1-40 对于水在大容器内的饱和沸腾试验,有人提出了下列经验公式:

h ? C 2 ( p 0.14 ? C1 p 2 )q 0.7
式 中 : C1 ? 9.339 ? 10

m1.72 / N 1.86 , C 2 ? 0.628W 0.3 /(K .m 0.32 .N 0.14 ) ; 其 他 各 量 的 单 位 为 2 2 p ? N / m , q ? W / m , h ? W /(m.K ) 。试将此式改用工程单位制单位写出。

?14

第二章
思考题 1 试写出导热傅里叶定律的一般形式,并说明其中各个符号的意义。

?t ? ? q=-?gradt ? ?? n ? ?x ,其中: gradt 为空间某点的温度梯度; n 是通过 答:傅立叶定律的一般形式为: ? 该点的等温线上的法向单位矢量,指向温度升高的方向; q 为该处的热流密度矢量。
q x , q y 及 q z ,如何获得该点的 热密度矢量? ? ? ? ? ? ? ? q ? q x ? i ? q y ? j ? q z ? k ,其中 i , j , k 分别为三个方向的单位矢量量。 答:
2 已知导热物体中某点在 x,y,z 三个方向上的热流密度分别为 3 试说明得出导热微分方程所依据的基本定律。 答:导热微分方程式所依据的基本定律有:傅立叶定律和能量守恒定律。 4 试分别用数学语言将传热学术语说明导热问题三种类型的边界条件。 答:① 第一类边界条件: ? ? 0 时, t w ? f1 (? ) ② 第二类边界条件:

? ? 0时
? ?(

? ?(

?t ) w ? f 2 (? ) ?x

③ 第三类边界条件: 5 试说明串联热阻叠加原则的内容及其使用条件。 答:在一个串联的热量传递过程中,如果通过每个环节的热流量都相同,则各串联环节的总热阻等于各串联 环节热阻的和。使用条件是对于各个传热环节的传热面积必须相等。 7.通过圆筒壁的导热量仅与内、外半径之比有关而与半径的绝对值无关,而通过球壳的导热量计算式却与半 径的绝对值有关,怎样理解? 答:因为通过圆筒壁的导热热阻仅和圆筒壁的内外半径比值有关,而通过球壳的导热热阻却和球壳的绝 对直径有关,所以绝对半径不同时,导热量不一样。 6 发生在一个短圆柱中的导热问题,在下列哪些情形下可以按一维问题来处理? 答:当采用圆柱坐标系,沿半径方向的导热就可以按一维问题来处理。 8 扩展表面中的导热问题可以按一维问题来处理的条件是什么?有人认为,只要扩展表面细长,就可按一维 问题来处理,你同意这种观点吗? 答:只要满足等截面的直肋,就可按一维问题来处理。不同意,因为当扩展表面的截面不均时,不同截面上 的热流密度不均匀,不可看作一维问题。 9 肋片高度增加引起两种效果:肋效率下降及散热表面积增加。因而有人认为,随着肋片高度的增加会出现 一个临界高度,超过这个高度后,肋片导热热数流量反而会下降。试分析这一观点的正确性。 答:错误,因为当肋片高度达到一定值时,通过该处截面的热流密度为零。通过肋片的热流已达到最大值, 不会因为高度的增加而发生变化。 10 在式(2-57)所给出的分析解中,不出现导热物体的导热系数,请你提供理论依据。 答:由于式(2-57)所描述的问题为稳态导热,且物体的导热系数沿 x 方向和 y 方向的数值相等并为常数。 11 有人对二维矩形物体中的稳态无内热源常物性的导热问题进行了数值计算。矩形的一个边绝热,其余三个
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?t ) w ? h(t w ? t f ) ?x

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边均与温度为 f 的流体发生对流换热。你能预测他所得的温度场的解吗? 答:能,因为在一边绝热其余三边为相同边界条件时,矩形物体内部的温度分布应为关于绝热边的中心线对 称分布。 习题 平板 2-1 用平底锅烧开水,与水相接触的锅底温度为 111℃,热流密度为 42400 W / m 。使用一段时间后,锅底结 了一层平均厚度为 3mm 的水垢。 假设此时与水相接触的水垢的表面温度及热流密度分别等于原来的值, 试计 算水垢与金属锅底接触面的温度。水垢的导热系数取为 1W/(m.K)。 解:由题意得
2

t

q ?=

t w ? 111 ? 42400 0.003 1 w/m2

所以 t=238.2℃ 2-2 一冷藏室的墙由钢皮矿渣棉及石棉板三层叠合构成,各层的厚度依次为 0.794mm.,152mm 及 9.5mm,导 热系数分别为 45 W /(m.K ) ,0. 07 W /(m.K ) 及 0.1 W /(m.K ) 。 冷藏室的有效换热面积为 37.2 m , 室内外气温
2

分别为-2℃及 30℃,室内外壁面的表面传热系数可分别按 1.5 W /(m .K ) 及 2.5 W /(m .K ) 计算。为维持冷藏 室温度恒定,试确定冷藏室内的冷却排管每小时需带走的热量。 解:由题意得

2

2

? ? A?

30 ? (?2) ? 37.2 1 1 ?1 ? 2 ? 3 1 1 0.000794 0.152 0.0095 ? ? ? ? ? ? ? ? h1 h2 ?1 ? 2 ?3 = 1.5 2.5 45 0.07 0.1
=357.14W 357.14×3600=1285.6KJ

t1 ? t 2

2-3 有一厚为 20mm 的平板墙,导热系数为 1.3 W /(m.K ) 。为使每平方米墙的热损失不超过 1500W,在外表面 上覆盖了一层导热系数为 0.12 W /(m.K ) 的保温材料。已知复合壁两侧的温度分别为 750℃及 55℃,试确定 此时保温层的厚度。 解:依据题意,有

q?

?1 ? 2 ? ?1 ? 2

t1 ? t 2

?

750 ? 55 ? 1500 ?2 0.020 ? 1.3 0.12 ,解得: ? 2 ? 0.05375 m

2-4 一 烘 箱 的 炉 门 由 两 种 保 温 材 料 A 及 B 组 成 , 且

? A ? 2? B ( 见 附 图 ) 。 已 知

? A ? 0.1W /(m.K ) , ?B ? 0.06W /(m.K ) , 烘 箱 内 空 气 温 度 t f 1 ? 4 0 0 ℃ , 内 壁 面 的 总 表 面 传 热 系 数
h1 ? 50W /(m.K ) 。为安全起见,希望烘箱炉门的 外表面温度不得高于 50℃。设可把炉门导热作为一维问 2 t ? 题处理,试决定所需保温材料的厚度。环境温度 f 2 25℃,外表面总传热系数 h2 ? 9.5W /(m .K ) 。
q?
解:热损失为 又

t f 1 ? t fw

?A ?B ? ? A ?B

? h1 ?t f 1 ? t ? ? h2 ?t ? t f 2 ?

t fw ? 50 ℃; ? A ? ? B

联立得 ? A ? 0.078 m; ? B ? 0.039 m 2-5 对于无限大平板内的一维导热问题,试说明在三类边界条件中,两侧边界条件的哪些组合可以使平板中 的温度场获得确定的解?
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解:两侧面的第一类边界条件;一侧面的第一类边界条件和第二类边界条件;一侧面的第一类边界条件和另 一侧面的第三类边界条件;一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件。 平壁导热 2-6 一火箭发动机燃烧室是直径为 130mm 的圆筒体,厚 2.1mm,导热系数为 23.2W/(m·K)。圆筒壁外用液体 冷却,外壁温度为 240℃。测得圆筒体的热流密度为 4.8×106W/㎡,其材料的最高允许温度为 700℃。试判断 该燃烧室壁面是否工作于安全温度范围内? 解: 2-7 如附图所示的不锈钢平底锅置于电器灶具上被加热,灶具的功率为 1000W,其中 85%用于加热平底锅。 锅底厚δ =3 ㎜,平底部分直径 d=200 ㎜,不锈刚的导热系数λ =18W/(m·K) ,锅内汤料与锅底的对流传热 表面传热系数为 2500W/(㎡·K) ,流体平均温度 tf=95℃。试列出锅底导热的数学描写,并计算锅底两表面 的温度。 解: 2-8 一种用比较法测定导热系数装置的原理示于附图中。 将导热系数已知的标准材料与被测材料做成相同直径 的圆柱,且标准材料的两段圆柱分别压紧置于被测材料的两端。在三段试样上分别布置三对测定相等间距两 点间温差的热电偶。试样的四周绝热良好(图中未示出) 。已知试样两端的温度分别为 th=400℃、tc=300℃、 Δ tr=2.49℃,Δ tt,1=3.56℃、Δ tt,2=3.60℃,试确定被测材料的导热系数,并讨论哪些因素会影响Δ tt,1 与Δ tt,2 不相等? 解: 2-9 双层玻璃窗系由两层厚为 6mm 的玻璃及其间的空气隙所组成,空气隙厚度为 8mm。假设面向室内的玻 璃表面温度与室外的玻璃表面温度各为 20℃及-20℃,试确定该双层玻璃窗的热损失。如果采用单层玻璃窗, 其他条件不变,其热损失是双层玻璃的多少倍?玻璃窗的尺寸为 60cm ? 60cm 。不考虑空气间隙中的自然对 流。玻璃的导热系数为 0.78 W /(m.K ) 。

q1 ?
解:

?1 ? 2 ? 3 ? ? ?1 ? 2 ?3 =116.53W/ m 2

t1 ? t 2

q2 ?

t1 ? t 2

?1 ?1

? 5200 w / m

? Q ? Aq ? 41.95W q2 5200 ? ? 44.62 q1 116 .53 所以
2-10 某些寒冷地区采用三层玻璃的窗户,如附图所示。已知玻璃厚δ g=3 ㎜,空气夹层宽δ air=6 ㎜,玻璃的 导热系数λ g=0.8W/(m·K) 。玻璃面向室内的表面温度 ti=15℃,面向室外的表面温度 to=-10℃,试计算通过 三层玻璃窗导热的热流密度。 解: 2-11 提高燃气进口温度是提高航空发动机效率的有效方法。为了是发动机的叶片能承受更高的温度而不至于 损坏,叶片均用耐高温的合金制成,同时还提出了在叶片与高温燃气接触的表面上涂以陶瓷材料薄层的方法, 如附图所示,叶片内部通道则由从压气机来的空气予以冷却。陶瓷层的导热系数为 1.3W/(m·K) ,耐高温 合金能承受的最高温度为 1250K, 其导热系数为 25W/(m· 在耐高温合金与陶瓷层之间有一薄层粘结材料, K)。 其造成的接触热阻为 10-4 ㎡· K/W。 如果燃气的平均温度为 1700K, 与陶瓷层的表面传热系数为 1000W/(㎡· K), 冷却空气的平均温度为 400K,与内壁间的表面传热系数为 500W/(㎡·K),试分析此时耐高温合金是否可以 安全地工作? 解: 2-12 在某一产品的制造过程中,厚为 1.0mm 的基板上紧贴了一层透明的薄膜,其厚度为 0.2mm。薄膜表面 上有一股冷却气流流过,其温度为 20℃,对流换热表面传热系数为 40 W /(m .K ) 。同时,有一股辐射能透 过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上,如附图所示。基板的另一面维持在温度 t1 ? 30 ℃。生成工艺要求薄膜
2

? ? 0.02W /(m.K ) ,基 与基板结合面的温度 t 0 ? 60 ℃,试确定辐射热流密度 q 应为多大?薄膜的导热系数 f
板的导热系数 ?s ? 0.06W /(m.K ) 。投射到结合面上的辐射热流全部为结合面所吸收。薄膜对 60℃的热辐射 是不透明的。 解:根据公式 q ? K?t 得
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q?

2-13 在附图所示的平板导热系数测定装置中,试件厚度 ? 远小于直径 d。由于安装制造不好,试件与冷热表 面之间平均存在着一层厚为 ? ? 0.1mm 的空气隙。设热表面温度 t1 ? 180 ℃,冷表面温度 t 2 ? 30 ℃,空气 隙的导热系数可分别按 t1 , t 2 查取。试计算空气隙的存在给导热系数测定带来的误差。通过空气隙的辐射换热 可以略而不计。 解:查附表 8 得 t1 ? 180 ℃, ?1 ? 3.72 ? 10 W /(m.K );
?2

60 ? 30 ? 60 ? 30 ? 1800W / m 2 0.001 0.06 1 q ? ? ?60 ? 20 ? ? ? 1142 .8W / m 2 ?3 1 0.2 ? 10 ? 40 0.02 q Z ? q ? q ? ? 2942 .8W / m 2

t 2 ? 30 ℃, ?2 ? 2.67 ? 10 ?2 W /(m.K );
??
无空气时

t1 ? t 2

? ?f

A?

180 ? 30 ?d 2 ? ? 4

?f

?

? ? 0.029315 ? ? f ? 34.32? ?f
?1 ? 2 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? f
t1 ? t 2 A

有空气隙时

??



? f ? ? 43.98?

?f ? ? ?f ? 28.1% ?f 所以相对误差为
圆筒体 2-14 外径为 100mm 的蒸气管道,覆盖密度为 20 kg / m 的超细玻璃棉毡保温。已知蒸气管道外壁温度为 400℃,希望保温层外表面温度不超过 50℃。且每米长管道上散热量小于 163W,试确定所需的保温层厚度。 解:保温材料的平均温度为
3

400 ? 50 ? 225 2 t= ℃
由附录 7 查得导热系数为 ? ? 0.033 ? 0.0023 t ? 0.08475W /(m.K )

? ln

d1 2?? ?t1 ? t 2 ? ? d2 ? l 代入数据得到 d 2 =0.314mm
所以

??

d 2 ? d1 ? 107 mm 2

2-15 外径为 50mm 的蒸气管道外,包覆有厚为 40mm 平均导热系数为 0.11 W /(m.K ) 的煤灰泡沫砖。绝热层 外表面温度为 50℃,试检查矿棉渣与煤灰泡沫砖交界面处的温度是否超过允许值?又。增加煤灰泡沫砖的厚 度对热损失及交界面处的温度有什么影响?蒸气管道的表面温度取为 400℃。
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解:由题意多层蒸气管总热流量

?Z ?

2?l ?t1 ? t 2 ? ln ?d1 d 2 ? / ?1 ? ln ?d 3 d 2 ? / ? 2

代入数据得到 ? Z ? 168 .25W 由附录知粉煤灰泡沫砖材料最高允许温度为 300℃ 由此设在 300℃时

2?l ?t1 ? t 2 ? ? ?1 ? ? 72 .33W ln ?d1 d 2 ? / ?1

2?l ?t1 ? t 2 ? ? ?2 ? ? 358 .29W ln ?d 3 d 2 ? / ? 2
因为 ? 1 ? ? 2 ? ? z 所以不会超过允许温度。当增加煤灰泡沫砖的厚度会使热损失增加,从而边界面处温度下降。 2-16 一根直径为 3mm 的铜导线,每米长的电阻为 2.22 ? 10 ? 。导线外包有厚为 1mm 导热系数为 0.15 W /(m.K ) 的绝缘层。限定绝缘层的最高温度为 65℃,最低温度为 0℃。试确定在这种条件下导线中允许 通过的最大电流。
?3

?

?

Q ? 2?l?q ?
解:根据题意有:

2?? l (t1 ? t 2 ) 2? ? 1 ? 0.15?65 ? 0? ? ? 119 .8W ln(r2 / r1 ) ln ?2.5 / 1.5?

119.86 ? I 2 R 解得: I ? 232.36 A
2-17 一蒸汽锅炉炉膛中的蒸发受热面管壁受到温度为 1000℃的烟气加热,管内沸水温度为 200℃,烟气与受 热 面 管 子 外 壁 间 的 复 合 换 热 表 面 传 热 系 数 为 100 W /(m .K ) , 沸 水 与 内 壁 间 的 表 面 传 热 系 数 为 5000 W /(m .K ) ,管壁厚 6mm,管壁 ? ? 42 W /(m.K ) ,外径为 52mm。试计算下列三种情况下受热面单位 长度上的热负荷: (1) 换热表面是干净的;
2 2

(2) 外表面结了一层厚为 1mm 的烟灰,其 ? ? 0.08 W /(m.K ) ; (3) 内表面上有一层厚为 2mm 的水垢,其 ? ? 1 W /(m.K ) 。

??
解:⑴

2?l (t1 ? t 2 ) 2? ? 1?1000 ? 200 ? ? ? 12532 .98W ln(r2 / r1 ) 1 ln ?52 / 40 ? 1 1 1 ? ? ? ? 5000 ? 0.02 42 0.026 ? 100 r1 h1 ?1 h2 r2

??

?
⑵ ⑶

2? ? 1?1000 ? 200 ? ? 5852 .94W 1 ln ?54 / 52 ? ln ?52 / 40 ? 1 ? ? ? 0.02 ? 5000 0.08 42 0.027 ? 100

2?l (t1 ? t 2 ) ln(r0 / r2 ) ln(r2 / r1 ) 1 1 ? ? ? h1 r0 ?0 ?1 h2 r2

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??

2? ? 1?1000 ? 200 ? ? 5207 .06W 1 ln ?54 / 52 ? ln ?52 / 40 ? ln ?40 / 36 ? 1 ? ? ? ? 5000 ? 0.018 0.08 42 1 100 ? 0.027 2-18 在一根外径为 100mm 的热力管道外拟包覆两层绝热材料,一种材料的导热系数为 0.06 W /(m.K ) ,另一 种为 0.12 W /(m.K ) ,两种材料的厚度都取为 75mm,试比较把导热系数小的材料紧贴管壁,及把导热系数大 ?
的材料紧贴管壁这两种方法对保温效果的影响, 这种影响影响对于平壁的情形是否存在?假设在两种做法中, 绝热层内外表面的总温差保持不变。 解:将导热系数小的材料紧贴壁管

2?l (t1 ? t 2 ) ln(r0 / r2 ) ln(r2 / r1 ) ln ?r1 / ri ? 1 1 ? ? ? ? h1 r0 ?0 ?1 ?i h2 ri

??

t1 ? t 2 2?l ?t1 ? t 2 ? ? 19 .19 ? 50 ? 75 ? ? 50 ? 75 ? 75 ? ln ? ? ln ? ? ? 50 ? ? ? 50 ? 75 ? 2?l?1 2?? 2 l

将导热系数大的材料紧贴壁管则

?? ?

2?l ?t1 ? t 2 ? 2?l ?t1 ? t 2 ? ? ln 2.5 ln 1.6 15.47 ?

?2

?1

故导热系数大的材料紧贴管壁其保温效果好。

q?
若为平壁,则平壁

?1 ? 2 ? ?1 ?2

t1 ? t 2

由于 ? ? ? 1 ? ? 2 所以不存在此问题。 2-19 一直径为 30mm,壁温为 100℃的管子向温度为 20℃的环境放热,热损失率为 100W/m。为把热损失减 少到 50W/m, 有两种材料可以同时被应用。 材料 A 的导热系数为 0.5 W /(m.K ) , 可利用度为 3.14 ? 10 m / m ;
3 ?3

材料 B 的导热系数为 0.1 W /(m.K ) ,可利用度为 4.0 ? 10 m / m 。试分析如何敷设这两种材料才能达到上 述要求。假设敷设这两种材料后,外表面与环境间的表面传热系数与原来一样。 解:根据题意有:
3

?3

? ? 2?rlh(t1 ? t 2 ) ? 0.03? ? 1? h(100 ? 20) ? 1 0 0 ,解得 h=13.2696
按题意有:将导热系数大的放在内侧,

? (r1 2 ? 0.015 2 ) ? 3.14 ? 10 ?3
解方程组得:

r1 ? 0.035 m , ? (r2 2 ? r1 2 ) ? 4 ? 10 ?3 r2 ? 0.049 m

?? ?

?


2? ?100 ? 20 ? ? 76 .1 ln ?0.035 / 0.015 ? ln ?0.049 / 0.035 ? 1 ? ? 0.5 0.1 13 .26 ? 0.049

2?l ?t1 ? t 2 ? ln ?r1 / r0 ? ln ?r2 / r1 ? 1 ? ? ?1 ?2 hr2

? (r1 2 ? 0.015 2 ) ? 4 ? 10 ?3
r2 ? 0.049

r1 ? 0.03871 m , ? (r2 2 ? r1 2 ) ? 3.14 ? 10 ?3

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?? ?

2? ?100 ? 20 ? ? 43.72 ln ?0.03871 / 0.015 ? ln ?0.049 / 0.03871 ? 1 ? ? 0.1 0.5 13 .26 ? 0.049 2-20 一直径为 d 长为 l 的圆杆,两端分别与温度为 t 1 及 t 2 的表面接触,杆的导热系数 ? 为常数。试对下列两 ?
种情形列出杆中温度的微分方程式及边界条件,并求解之: 杆的侧面是绝热的; 杆的侧面与四周流体间有稳定的对流换热,平均表面传热系数为 h,流体温度
2

2?l ?t1 ? t 2 ? ln ?r1 / r0 ? ln ?r2 / r1 ? 1 ? ? ?1 ?2 hr2

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tf

小于 t 1 及 t 2 。

?t dx) 2 ?t ?d ? 2t ?d ?x ?1 ? ?? ?0 ? 2 ? ?? ?x 4 , ?x 4 ,在侧面绝热时,有 ?1 ? ?2 得微分方程为:?x 2 解: ① , x ? l, t ? t 2 边界条件为: x ? 0, t ? t1 ?(t ?

t 2 ? t1 x ? t1 l 解微分方程得: ?3 ? ?ddxh(t ? t f ) t?


,根据条件有:

?1 ? ? 2 ? ?3
x ? l, t ? t 2

? 2 t 4h ? (t ? t f ) ? 0 2 d? 得微分方程为: ?x ,边界条件为: x ? 0, t ? t1
f 解微分方程得: 代入边界条件得:

t ? t ? C1e

(2

h )x d?

? C2 e

?( 2

h )x d?

t ?tf ?

(t 2 ? t f ) ? (t1 ? t f )e e
h 2 l ?d

?2

h

?d

l

?e

h ?2 l ?d

e

h 2 x ?d

2

h

?

e

?d

l

(t1 ? t f ) ? (t 2 ? t f )
h 2 l ?d

?2

h

e
2

?e

h ?2 l ?d

e

?d

x

2-21 一直径为 20mm,长 300mm 的钢柱体,两端分别与温度为 250℃及 60℃的两个热源相接。柱体表面向温 度为 30℃的环境散热,表面传热系数为 10 W /(m .K ) 。试计算该钢柱体在单位时间内从两个热源所获得的 热量。钢柱体的 ? ? 40 W /(m.K ) 。 解:根据上题结果得:

?t 2-t f ? ? (t1 ? t f )e ?ml mx e ml ?t1 ? t f ? ? ?t 2 ? t f ? ?mx ?t ? m[ e ? e ] ?x e ml ? e ? ml e ml ? e ? ml h 10 m?2 2 ? 7.07 ?d = 40 ? 0.02 其中: ml ? 2.12 m
?t (60 ? 30) ? (250 ? 30) ? e ?2.12 e 2.12 (250 ? 30) ? (60 ? 30) | x ?0 ? 7.07 ? [ ? ?x e 2.12 ? e ?2.12 e 2.12 ? e ?2.12
=-1549.1

Q0 ? ??

?t ?d 2 ?d 2 ? ?40 ? (?1549 .1) ? 19.46W dx 4 4 ?t 2-t f ? ? (t1 ? t f )e ?ml ml e ml ?t1 ? t f ? ? ?t 2 ? t f ? ?ml ?t | x ?l ? m[ e ? e ] ?x e ml ? e ? ml e ml ? e ? ml
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?t (60 ? 30) ? (250 ? 30) ? e ?2.12 2.12 e 2.12 (250 ? 30) ? (60 ? 30) ?2.12 | x ?l ? 7.07 ? [ e - e ?x e 2.12 ? e ?2.12 e 2.12 ? e ?2.12
=-162.89

Qx ?l ? ?40 ? (-162 .89)

?d 2
4

? 2.05W

球壳 2-22 一个储液氨的容器近似的看成为内径为 300mm 的圆球。球外包有厚为 30mm 的多层结构的隔热材料。 隔热材料沿半径方向的当量导热系数为 1.8 ? 10 W /(m.K ) ,球内液氨的温度为-195.6℃,室温为 25℃,液 氨的相变热为 199.6kJ/kg。试估算在上述条件下液氨每天的蒸发量。
?4

〔25 ? (?195 .6)〕 ? ? 1.8 ? 10 ?4 ? 4 ? ? ? 0.822W 1 1 - 0.15 0.165 解: 0.822 ? 24 ? 3600 m? ? 0.3562 Kg 199 .6 ? 1000
2-23 有一批置于室外的液化石油气储罐,直径为 2m,通过使制冷剂流经罐外厚为 1cm 的夹层来维持罐内的 温度为-40℃。夹层外厚为 30cm 的保温层,保温材料的导热系数为 0.1 W /(m.K ) 。在夏天的恶劣条件下, 环境温度为 40℃,保温层外表面与环境间的复合换热表面传热系数可达 30 W /(m .K ) 。试确定为维持液化 气-40℃的温度,对 10 个球罐所必须配备的制冷设备的容量。罐及夹层钢板的壁厚可略略而不计。
2

??
解:一个球罐热流量为

?t1 ? t 2 ?
R

1 1 1 1 1 1 1 ? )? ? ( ? )? ? 0.1785 2 4?? r1 r2 4? ? 0.1 1.01 1.3 30 ? 4? h ? 4?r2 40 ? (?40) ?? ? 448 .168W 0.1785 所以 10 个球罐热流量为 ?? ? 10? ? 4481 .68W R? (
2-24 颗粒状散料的表面导热系数常用圆球导热仪来测定。如附图所示内球内安置有一电加热器,被测材料安 装在内外球壳间的夹套中,外球外有一水夹层,其中通以进口温度恒定的 冷却水。用热电偶测定内球外壁及
0 t 外球内壁的平均温度。在一次实验中测得以下数据: i ℃, 0 ℃,电加 热功率 P=56.5W。试确定此颗粒材料的表观导热系数。 如果由于偶然的事故,测定外球内壁的热电偶线路遭到破坏,但又急于要获得该颗粒表观导热系数的近似值, 试设想一个无需修复热电偶线路又可以获得近似值的测试方法。球壳内用铝制成,其厚度约为 3~4mm。

1

d ? 0.15m; d ? 0.25m, t ? 200

t ? 40

〔200 ? 40〕 ? 4 ? ? ? 56.5W 1 1 - 0.15 0.25 解:根据题意: 解得: ?=0.07W /(m.K ) ? ???
如果电偶损坏,可近似测量水的出入口温度,取其平均值代替球外壳温度计算。 2-25 内 外径 各为 0.5m 及 0.6m 的球罐 ,其 中装 满了 具 有一 定放射 性的 化学 废料, 其容积 发热 率为
2 ? ? 10 5 W / m 3 。该罐被置于水流中冷却,表面传热系数 h=1000 W /(m .K ) ,流体温度 t f ? 25 ℃。试: (1)

确定球罐的外表面温度; (2)确定球罐的内表面温度。球罐用铬镍钢钢板制成。

4 4 V ? ?r 3 ? ? 3.14 ? 0.25 3 ? 0.065416 3 3 解:球罐的体积为:
5 总发热热流为: ? ? 0.065416 ? 10 ? 6541 .67W

球的外表温度: ? ? 4?r h(t ? 25) ? 6541 .67 解得:t=30.78℃
2

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〔t ? 30.78〕 ? ? 15.2 ? ? 4 ? ? ? 6541 .67W 1 1 - 0.25 0.3

解得 t=53.62℃

2-26 附图所示储罐用厚为 20mm 的塑料制成,其导热系数

? ? 1.5 W /(m.K ) ,储罐内装满工业用油,油中
2

安置了一电热器, 使罐的内表面温度维持在 400K。 该储罐置于 25℃的空气中, 表面传热系数为 10 W /(m .K ) 。

r0 ? 0.5m, l ? 2.0m

。试确定所需的电加热功率。

2-27 人的眼睛在完成生物功能过程中生成的热量要 通过角膜散到周围环境中,其散热条件与是否带有隐性 眼镜片有关,如附图所示,设角膜及隐性镜片均呈球状,且两者间接触良好,无接触热阻。角膜及镜片所张 的中心角占了三分之一的球体。试确定在下列条件下不戴镜片及戴镜片时通过角膜的散热量: r1 =10mm,

r2 =12.5mm, r3 =16.3mm, t fi =37℃ t f 0 ? 20 ℃, hi =12W/(m2.K), h0 =6W/(m2.K), ?1 =0.35 W/(m.K),

? 2 =0.8 W/(m.K)。
R?
解:不戴镜片

1 1 1 ?1 1? ? ? ? ? ? hi Ai ho Ao 4?? 1 ? r1 r2 ? ? ?

?t ? 0.109W R 所以 1 ? ? ? o ? 0.0363W 3 有效热量 ?o ?

R?
戴镜片时

1 1 1 ?1 1? 1 ? ? ?? ? ? ? r r ? 4?? hi Ai ho Ao 4?? 1 ? 1 2 ? 2

?1 1? ? ? ? ?r ? ? 2 r3 ?

?t ? 0.108W R 所以 1 ? ? ? o ? 0.036W 3 即散热量为 ?o ?
2-28 一储存液态气体的球形罐由薄金属板制成,直径为 1.22m,其外包覆有厚为 0.45m,导热系数为 0.043 W /(m.K ) 的软木保温层。 液态气体温度为-62.2℃, 与金属壳体间换热的表面传热系数为 21 W /(m .K ) 。 由于软木保温层的密闭性不好,大气中的水蒸气浸入软木层,并在一定深度范围内冻结成了冰。假设软木保 温层的导热系数不受水蒸气及所形成的冰层的影响,试确定软木保温层中冰层的深度。球形罐金属壳体的热 阻可不计。在 实际运行中,因保温层的密闭性不好而在软木保温层中出现的水和冰,对球形罐的保温性能有 何影响? 2-29 在一电子器件中有一晶体管可视为半径为 0.1mm 的半球热源, 如附图所示。 该晶体管被置于一块很大的 硅基板中。硅基板一侧绝热,其余各面的温度均为 t ? 。硅基板导热系数 ? ? 120 W /(m.K ) 。试导出硅基板 中温度分布的表达式,并计算当晶体管发热量为 ? ? 4W 时晶体管表面的温度值。 提示:相对于 0.1mm 这样小的半径,硅基板的外表面可以视为半径趋于无穷大的球壳表面。 变截面变导热系数问题 2-30 一高为 30cm 的铝制圆台形锥台,顶面直径为 8.2cm,底面直径为 13cm.。底面及顶面温度各自均匀,并 分别为 520℃及 20℃,锥台侧面绝热。试确定通过该锥形台的导热量。铝的导热系数为 100 W /(m.K ) 。
2

? ? ? A( x)?
解:根据傅利叶导热公式得

dt dx

x0 x ? 30 ? 0 6.5 得 x0 ? 51.23 因为: 4.1

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x0 ? dx 6.5 ? 4.1 ? r ? 0.41 ? 0.082 dx rx 30 得 x 代入数据积分得 ? ? 1397W
2-31 试比较附图所示的三种一维导热问题的热流量大小: 凸面锥台, 圆柱, 凹面锥台。 比较的条件是 d 1 , t1 , t 2
n 及导热系数均相同。三种形状物体的直径与 x 轴的关系可统一为 d ? ax ,其中 a 及 n 值如下: 凸面锥台 柱体 凹面锥台

a n

0.506 m 0.5

1/ 2

0.08m 0.0

20.24 m 1.5

?1 / 2

x1 ? 25mm, x2 ? 125 mm 。
??
解:对于变截面导热 凸面锥台 柱体 凹面锥台

? ?t1 ? t2 ?

?

x2

x1

dx Ax

? ?

x2

x1 x2

x1

dx x2 8n ? 4 x 2 n?1dx ? 320 m ?2 AX = ?x1 ?a 2 dx x2 4 x ?1dx ? 320 .35m?2 AX = ?x1 ?a 2

?

由上分析得 2-32 某种平板材料厚 25mm,两侧面分别维持在 40℃及 85℃。测得通过该平板的热流量为 1.82km,导热面 积为 0.2 m 。试: 确定在此条件下平板的平均导热系数。 设平板材料导热系数按 度范围内 解:由
2

x2 dx 16 4 ?2 ?x1 ? ?20 ? 24 ?2 x dx ? 263 .23m x1 A X = ? 3 ? ?1 ? ? 2 x2

? ? ?0 (1 ? bt) 变化(其中 t 为局部温度) 。为了确定上述温

? 0 及 b 值,还需要补充测定什么量?给出此时确定 ? 0 及 b 的计算式。
dt dx 得 ? ? 5W /(m.K ) t0

? ? ? A?

补充测定中心位置的温度为

? ? ? A?


dt dx ? ? ?0 (1 ? bt)

? ?x2 ? x1 ? ? ?0 ?t1 ? t 2 ??1 ? b t1 ? t 2 ? ? ? A 2 ? ? 所以 b?
代入数据解得

(1)

4t 0 ? 2t 2 ? 2t1 t1 ? 2t 0 ? t 2
2 2

(2)

将(2)代入(1)得到

?0

? (t ) ? ?0 (1 ? bt) ,t 为局部温度,试导出圆柱中温度 2-33 一空心圆柱,在 r ? r1 处 t ? t1 , r ? r2 处 t ? t 2 。 分布的表达式及导热量计算式。 解:导热微分方程式简化为

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d ? dt ? dt ? ?r ? ? 0 ?r ? c1 dr ? dr ? dr 即 b? dr ?0 t ? 0 t 2 ? c1 ln r ? c2 ?0 ?1 ? bt ?dt ? c1 2 r 即 所以 b? ? t ? 0 t1 2 ? c1 ln r1 ? c2 r ? r1 处 t ? t1 即 0 1 2 当在 (1)

r ? r2 处 t ? t 2



?0 t 2 ?

b?0 2 t 2 ? c1 ln r2 ? c2 2
? b ? 2 ln r1 r2 ? ?

(2)

c1 ?
两个式子联立得

?0 ?t1 ? t 2 ??1 ? ?0 ?t1 ? t 2 ??
? ? ? ?

c2 ?

?0 ?t1 ? t 2 ??1 ? ?0 ?t1 ? t 2 ?? ln r1

(1)-(2)得

b ?0 ?t1 ? t 2 ? ? ?0 t1 2 ? t 2 2 ? c1 ln ? r1 r ? ? ? 2 ?
2

?

b 2 ln r1 r2

?

?

(3)

将 c1 , c 2 代入(3)得温度表达式

?0 t ? ?0 t 2 ? ?0 ?t1 ? t 2 ??1 ? ?0 ?t1 ? t 2 ??
b 2 b 2
q ? ??
由傅利叶公式

? ?

? ln ?r.r1 ? ? ln r1 r2

dt dx

q??


c1 ?? r

?0 ?t1 ? t 2 ??1 ? ?0 ?t1 ? t 2 ??
b 2 r r. ln ? 1 ? ? r ? ? 2?

? ?

? ?

2-34 设一平板厚为 ? ,其两侧表面分别维持在温度 t 1 及 t 2 。在此温度范围内平板的局部导热系数可以用直线
0 关系式 来表示。试导出计算平板中某处当地热流密度的表达式,并对 b>0,b=0 及 b<0 的三 种情况画出温度分布的示意曲线。

? (t ) ? ? (1 ? bt)

2-35 一 圆 筒 体 的 内 外 半 径 分 别 为 表达式。

ri



r0

,相应的壁温为

ti



t0

,其导热系数与温度关系可表示为

? (t ) ? ?0 (1 ? bt) 的形式,式中 ? 及 t 均为局部值。试导出计算单位长度上导热热流量的表达式及导热热阻的
2-36 q=1000W/m 的热流沿 x 方向穿过厚为 20mm 的平板(见附图) 。已知 x=0mm,10mm,20mm 处的温度分 别为 100℃,60℃及 40℃。试据此确定材料导热系数表达式
2

? ? ?0 (1 ? b ) ( t 为平均温度)中的 ? 0 及 b。

t ?
解:x=0mm,x=10mm 处的平均温度

100 ? 60 ? 80 2 ℃

? ? ?0 (1 ? b ) 又
1000 ?

q?
所以热量

?0 ?1 ? 80b ?

? ?t1 ? t 2 ? ?
(1)

0.02 即 同理 x=10mm,x=20mm 处得

?100 ? 60 ?

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1000 ? ?

?0 ?1 ? 50b ?

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联立得 b=-0.009

?60 ? 40 ? 0.02 ?0 ? 0.687

(2)

2-37 设某种材料的局部导热系数按 内热源的平板,试:

? (t ) ? ?0 (1 ? bt) 的关系式来变化,对于由该材料做成的一块厚为 ? 的无

导出利用两侧面温度 t1 ( x ? 0), t 2 ( x ? ? ) 计算导热量的公式; 证明下列关系式成立:

? ? ?1 2 x ? 2 2 ?2 ? ?1 ? 其中 ?1 ? 2 为相应于 t1t 2 的导热系数, ? 为 x 处的导热系数。
导出平板中温度沿 x 方向变化的下列两个公式:

1 ? 2 x 2 2 ? t ( x) ? ??1 ? ? ? 2 ? ?1 ? ?0 b ? ?

?

?

1/ 2

?

1 b

?1 ? 2qx 1 t ( x) ? ? ? t1 ? ? ? ?0 b ?b ?
2-38 一厚δ 的平壁,两侧面分别维持在恒定的温度 t1、t2。平壁的导热系数是温度的函数:λ (t)=λ 0(1+ β t2) 。试对稳态导热给出热流密度的计算式。 解: 一维有内热源的导热 2-39 试建立具有内热源 ? ? x ? ,变截面,变导热系数的一维稳态导热问题的温度场微分方程式(参考附图) 。 解:一维代入微分方程式为

2

d ? ? dt ?? ? ? A? x ?? ? x dx ?? ? ? ? x ? ? 0 dx ? ? ??
2-40 试由导热微分方程出发, 导出通过有内热源的空心柱体的稳态导热热量计算式及壁中的温度分布。? 为 常数。 解:有内热源空心圆柱体导热系数为常数的导热微分方程式为

1 ? ? ?t ? ? ? ?r ? ? ? ? 0 r ?r ? ?r ?
经过积分得

t ? c1 ln r ? c2 ? r 2
因为 所以得

? ?r

r ? r0 , t ? t w ; r ? 0, t ? t 0

?

? 3 ? 3 ? t 0 ? t w ? ?r0 / ? t 0 ? t w ? ?r0 / ? ?r 3 t? ln r ? t 0 ? ? ln r0 ? 1 ln r0 ? 1 ?
对其求导得 2-41 确定附图所示氧化铀燃燃料棒的最大热功率。已知:氧化铀燃料棒的最高温度不能高于 1600℃,冷却水 平均温度为 110℃,表面传热系数为 12000W/(㎡·K),氧化铀燃料棒与包覆它的锆锡合金层间的接触热阻为 2.22×10-4 ㎡·K/W。包覆层的内外半径为 6.1 ㎜及 6.5 ㎜,氧化铀燃料棒和锆锡合金的导热系数分别为 7.9W/(m·K)、14.2W/(m·K)。 解:
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2-42 一具有内热源 ? 外径为 0 的实心圆柱,向四周温度为 t ? 的环境散热,表面传热系数为 h。试列出圆柱体 中稳态温度场的微分方程式及边界条件,并对 ? 为常数的情形进行求解。 解:利用 2-33 题的结果立即可得温度场应满足的微分方程为:

r

d dt ? ( ) ? r?(r ) ? 0 dr dr (设 ? 为常数) , dt dt r ? 0, ? 0;r ? r0, ? ? ? h(t ? t f )。 dr dr 其边界条件为: dt r ? h(t ? t f )。 ? 对于 ? 为常数的情形,积分一次得: dr ? r2 ? dt t ? c1 ln r ? ? c2 ?0 4 ? 再积分一次得: 由 r=0, dr ,得 c1 ? 0 ; ? ? ? r2 ? ? r ? dt ?? ? h(t ? t f ),得 0 ? h ?? ? c2 ? t f ? dr 2 ? ? 4 ? ?, 由 r ? r0 ,

?

由此得:

c2 ?

2-43 在一厚为 2b,截面积为

2 ? ? ? r0 ? r0 ? r0 ? ? ? ?tf 2 h 4 ? 2h 。 AC

的金属薄条中有电流通过。金属条置于不导电的沸腾液体中。设沸腾换热表
2 I 2 ?b 2 / 3?AC

2 面传热系数是均匀的,金属条的电阻率为 ? (单位为 ?.m / m ) ,导热系数为 ? 〔单位为 W /(m.K ) 〕 ,物性

为常数。试证明该金属条的截面平均温度要比表面温度高 2-44 一半径为 0 的实心圆柱,内热源为 体中的温度分布。 解:

?

? 。金属条的端部散热不予考虑。
r ? r0


r

? ? ?(r ) ? ? 0 (1 ? Ar )



? ?0

,A 为常数。在

t ? t0

。试导出圆柱

1 ? ? ?t ? ? ? ?r ? ? ? ? 0 r ?r ? ?r ?
(2) (3)

(1)

dt ?0 r=0, dx r ? r0 , t ? t 0
三式联立最终可解得

? ?0 2 3 q r0 ? r 2 ? 4 A r0 ? r 3 ? t 0 36 t ,t ? 2-45 一厚为 ? 的大平板具有均匀内热源 ? ,X=0 及 X= ? 处的表面分别与温度为 f 1 f 2 的流体进行对流换 t?
热,表面传热系数分别为 h1 及 h2。试导出平板中温度分布的解析表达式,并据此导出温度最高点的位置。 对于 h1=h2,tf1=

??

?

?

??

tf2



h1 ? h2 , t f 2 ? t f 1
2

的情形定性地画出平板中的温度分布曲线。
6 3

? 2-46 一厚为 7cm 的平壁,一侧绝热,另一侧暴露于温度为 30℃的流体中,内热源 ? =0.3 ? 10 W / m 。对
流换热表面传热系数为 450 W /(m .K ) ,平壁的导热系数为 18 W /(m.K ) 。试确定平壁中的最高温度及其位 置。 2-47 核反应堆的辐射防护壁因受 ? 射线的照射而发热,这相当于防护壁内有 式及最高温度的所在位置。导热系数 ? 为常数。 解:由题意导热微分方程

? ? ? ? ? 0 e ? ax

的内热源,其中

? ?0

是 X=0 的表面上的发热率,a 为已知常数。已知 x=0 处 t=t1,x= ? 处 t= t 2 ,试导出该防护壁中温度分布的表达

?

d 2 t ? ?ax ? ? 0e ? 0 dx 2
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又 x=0 处 t=t1,x= ? 处 t= t 2 积分并结合边界条件可得

? ? 0 e ? ax ? a? dt ?0 令 dx t?

t1 ? t 2 ?

? ? ? 0 ? 0 e ? a? ? ? 2 a ? a 2? x ? t ? ? 0 1 ? a 2?

1 ? a? ?t1 ? t 2 ? 1 ? e ? a? x ? ? ln ? ? a ? ?? 0 a? 可得:当

2-48 核反应堆中一个压力容器的器壁可以按厚为 ? 的大平壁处理。内表面(x=0 处)绝热,外表面维持在恒 定温度 t 2 。 ? 射线对该容器的加热条件作用可以用一个当量热源 是从加热表面起算的距离。在稳态条件下,试: 导出器壁中温度分布的表达式。 确定 x=0 处的温度。 确定 x= ? 处的热流密度。 解: 边界条件

? ? ? 时,t 最大。

? ?

来表示,且

? ? ? ? ? 0 e ? ax

,a 为常数,x

? d 2t ? ? ?0 dx 2 ?

(1)

dt ?0 r=0, dx r ? r0 , t ? t 0
三式联立得

(2) (3)
? a?

t?

1 ? 0 ?a
2

?e

? e ? ax ?

?

?
? 0 a?
?1 ?

?? ? x ? ? t 2
?
? t2

t?
x=0 时;

1 ? 0 ?a
2

?e

? a?

?

? 0 a?

当 x= ? 时, t ? t 2 所以

q ? ??

dt 1 ?? e ?ax ? 1 dx a? 0

?

?
? ?
,导热系数为 ?1 。导线外包有一层绝缘材料,其外半径为 r2 ,

2-49 一半径为 r1 的长导线具有均匀内热源

导热系数为 ? 2 。绝缘材料与周围环境间的表面传热系数为 h,环境温度为 t ? 。过程是稳态的,试: 列出导线与绝缘层中温度分布的微分方程及边界条件。 求解导线与绝缘材料中温度分布。 提示:在导线与绝缘材料的界面上,热流密度及温度都是连续的。

? 1 d ? dt1 ? ? ?r ? ??0 r dr ? dr ?1 ? ? ? 解:导线中温度场的控制方程为: ;
1 d ? dt2 ? ?r ??0 r dr ? dr ? 环形绝缘层中温度场的控制方程为: 。 边界条件:对 t1,r ? 0时,t1为有限;

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r ? r1时,t1 ? t 2 ,??1 t 2 , r ? r1时,t1 ? t 2 ,??1

dt1 dt ? ??2 2 dr dr 。

dt1 dt ? ??2 2 dr dr ; 对 dt r ? r2时, ?2 2 ? h?t 2 ? t1 ? ? dr 。 2 ? ?r t1 ? ? c1 ln r ? c 2; r?1 第一式的通解为:
第二式的通解为: t 2 ? c1 ln r ? c 2 。常数 c1、c 2、c1 、c 2 由边界条件确定。 据 r=0 时, t1为有限的条件,得c1 ? 0 。其余三个条件得表达式为:

?

?

?

?

?c ? ? ? 2 ? ? ?r1 ? ?r1 ? ? ? ? ?? 2 ? 1 ? r ? r1, ? ? c2 ? c1 ln r1 ? c2 ; ?1 ? ? ? ? ? r1 ? 4?1 2?1 ? ? ? ? ?;
?c ? ? ? ? r ? r2, ?2 ? 1 ? ? h ?? c1 ln r2 ? c 2 ? ? t f ? ? ? ?? ? ? r2 ? ? ?? ? ? ? ,由此三式解得: 2 2 ? ? ? ?r ?r ? ? ? ? c1 ? ? 1 ,c 2 ? t f ? 1 ? 2 ? ln r2 ? ? hr ? 2? 2 2? 2 ? 2 ?,

? 2 ?r 2 ?r 2 ? r ? ? ? ?r1 c2 ? ? 1 ? 1 ln ? 2 ? ? t f 4?1 2hr2 2? 2 ? r1 ? ? ? 。 2 2 2 2 ? ? ? ? ?r ?r ?r ?r ?r t1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ln ? 2 4?1 4?1 2hr2 2? 2 ? r1 ? 所以
t2 ? t f ? ? 2 ?r1 2? 2

? ??tf ? ? ;

? ? ?2 ? ?r 2 ? ? ln r2 ? ? 1 ln r ? hr ? 2? 2 ? 2 ? 。

肋片及扩展面 2-50 试计算下列两种情形下等厚度直肋的效率: 铝肋, ? ? 208 W /(m.K ) ,h=284 W /(m .K ) ,H=15.24mm, ? =2.54mm;
2

钢肋, ? ? 41.5 W /(m.K ) ,h=511 W /(m .K ) ,H=15.24mm, ? =2.54mm;
2

mH ?
解: (1)因为 所以

2h

?f ?

th?mH ? th0.4997 ? ? 91.3% mH 0.4997

??

H ? 0.4997

mH ?
因为

2h

所以 2-51 在温度为 260℃的壁面上伸出一根纯铝的圆柱形肋片,直径 d=25mm,高 H=150mm。该柱体表面受温度 16℃的气流冷却,表面传热系数 h=15 W /(m .K ) 。肋端绝热。试计算该柱体的对流散热量。如果把柱 体的长度增加一倍,其他条件不变,柱体的对流散热量是否也增加了一倍?从充分利用金属的观点来看,是
水积成川。载澜载清。土积成山。歊蒸郁冥。山不让尘。川不辞盈。勉尔含弘。以隆德声。 - 23 -

?f ?

th?mH ? th1.501 ? ? 56.9% mH 1.501

??

H ? 1.501

tf ?

2

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采用一个长的肋好还是采用两个长度为其一半的较短的肋好?

? d 2t ? ? ?0 2 ? 解: dx ? hp?t ? t ? ? ? ??? s ? Ac dx Ac 又
所以得

? ? ??Ac Q0 mth?mH ?
? ?

W 代入数据查表得, ? ? 40.1
当其他条件不变时 H ? 2H , ? ? 66.9W 由上述结果可知长度增加一倍而散热量没有增加一倍,因此从充分利用金属的观点,采用长度为其一半的较 短的肋较好。 2-52 在外径为 25mm 的管壁上装有铝制的等厚度环肋,相邻肋片中心线之间的距离 s=9.5mm,环肋高 H=12.5mm,厚 ? =0.8mm。管壁温度
2

t w ? 200

℃,流体温度
?5 2

t f ? 90

℃,管壁及肋片与流体之间的表面传热

系数为 110 W /(m .K ) 。试确定每米长肋片管(包括肋片及基管部分)的散热量。

? ? 解: H ? H ? ? / 2 ? 12.9mm; A2 ? A ? ? 1.03 ? 10 m
查表得 ? ? 238 W/(m.K)
1/ 2 3 ? ? 0.31 ( H ?) 2 ? h ? ??A2 ?? ? ? ? r1 ? 12 .5mm; r2 ? r1 ? H ? ? 25 .4mm ? f ? 0.88

从图查得,

? ? 0 ? 2? ? r2 ? r1 ?h?t w ? t f ? ? 37.15W ? ? ? ? 肋片两面散热量为:
肋片的实际散热量为: 两肋片间基管散热量:

? ? ? 0? f ? 32.7W

? ? ? h?t w ? t f ?2?r1 s ? 9.021W ; n ?

总散热量为 ? Z ? n?? ? ? ? ? 4382 .8W 2-53 过热蒸气在外径为 127mm 的钢管内流过,测蒸气温度套管的布置如附图所示。已知套管外径 d=15mm,

1 ? 105 s

?

壁厚 ? =0.9mm,导热系数 ? ? 49.1 W /(m.K ) 。蒸气与套管间的表面传热系数 h=105 W /(m .K ) 。为使测温 误差小于蒸气与钢管壁温度差的 0.6%,试确定套管应有的长度。
2

? 解:按题意应使 ? h ? 0 ? 0.6%,h ? 0 ? 1 ch?mh ? ? 0.6 100 ,
hU ? ?A?

ch?mh ? ? 166 .7 ,查附录得: mh ? arc?ch(166 .7)? ? 5.81 ,
m? 105 5.81 ? 48 .75, H ? ? ? 0.119 m ?3 48 .75 49 .1 ? 0.9 ? 10 。

2-54 为了显示套管材料对测温误差的影响,在热力管道的同一地点上安装了分别用钢及铜做成的尺寸相同的 两个套管。套管外径 d=10mm,厚 ? =1.0mm,高 H=120mm。气流流经两套管时表面传热系数均为
2

t h=25 W /(m .K ) 。 管道壁温 0 =25℃。 设蒸气流的真实温度为 70℃, 问置于两套管中的温度计读数相差多少?
温度计本身的误差可以不计。取铜的 ? ? 390 W /(m.K ) ,钢的 ? ? 50 W /(m.K ) 。 2-55 用一柱体模拟汽轮机叶片的散热过程。柱长 9cm,周界为 7.6cm,截面积为 1.95cm ,柱体的一端被冷却 到 350℃(见附图) 。815℃的高温燃气吹过该柱体,假设表面上各处的对流换热的表面传热系数是均匀的, 并为 28 W /(m .K ) 。柱体导热系数 ? ? 55 W /(m.K ) ,肋端绝热。试: 计算该柱体中间截面上的平均温度及柱体中的最高温度;
2

2

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冷却介质所带走的热量。 解: (1)

m ? hp / ??Ac ? ? 14.09

? ? ?0
又肋片中的温度分布

ch?m?x ? m?? ch?mh ?

? 0 ? t 0 ? t ? ? ?510 ℃
所以中间温度 x=H 时

? ? 221 ℃

因肋片截面温度沿高度方向逐步降低 所以当 x=H 时 ? 最大

? max ?

ch?mH ? =265.6℃

?0

(2)热量由冷却介质带走

? x ?0 ?

hp ? 0 th?mH ? ? 65.7W m

2-56 一容器的手柄为半圆形的圆柱如附图所示,圆柱直径 25 ㎜,半圆的直径为 75 毫米。设容器壁面温度为 80℃,空气温度为 20℃,考虑辐射影响在内的表面传热系数为 10W/(㎡·K),试计算手柄的散热量以及手柄 中的最低温度。手柄材料的导热系数为 1.5W/(m·K)。讨论手柄材料的导热系数对散热量及温度的影响。 解: 2-57 一摩托车汽缸用铝合金制成,外径为 60 ㎜,高 170 ㎜,导热系数λ =180W/(m·K)。为增强散热,汽缸 外壁上敷设了等厚度的铝合金环肋 10 片,肋厚 3 ㎜,肋高 25 ㎜。设摩托车在奔驰过程中表面传热系数为 50W/(㎡·K),空气温度为 28℃,汽缸外壁温度保持为 220℃。试分析增加了肋片后汽缸散热量是原来的多少 倍? 解: 2-58 一太阳能集热器的截面如附图所示。用铝合金(λ =177W/(m·K))做成的吸热板的厚度δ =6 ㎜,背面 除了与加热水管接触之处外,绝热良好,管子之间的距离 L=200 ㎜。吸热板正面与盖板之间为真空。在设计 工况下吸热板净吸收太阳的辐射能为 800W/㎡,管内被加热水的平均唯独为 60℃。试确定设计工况下吸热板 中的最高温度。 解: 2-59 一输送高压水的管道用法兰连接如附图所示, 法兰厚δ =15 ㎜, 管道的内外半径分别为 di=120 ㎜, o=140 d ㎜,法兰外径 df=250 ㎜。管道与法兰的导热系数为λ =45W/(m·K)。在正常工况下,管道内壁温度为 300℃, 周围空气温度为 20℃,法兰的表面传热系数 h=10W/(㎡·K)。试确定通过一对法兰损失的热量。 2-60 肋片在换热器中得到广泛采用, 紧凑式换热器就是由基本表面与大量的肋片表面所组成,如附图 a 所示。 附图 b 是将其中一种流体的管道放大的示意图。已知肋片的高度 H=8 ㎜,它分别与两块基本表面连接,两基 本表面的温度相等,t0=tH。肋片与流体间的表面传热系数 h=W/(㎡·K),肋片的导热系数λ =200W/(m·K), 肋片厚δ =1 ㎜。试确定肋片的面积热阻。 2-61 一等截面直肋的肋端为第三边界条件,表面传热系数为 h2 ,其侧面的表面传热系数为 h1 ,其余条件与第 2-4 节中的相同。试证明此时肋片中温度分布为

t ? t? ch?m?H ? x ?? ? ?h2 / ??m ??sh?m?H ? x ?? ? t0 ? t? ch?mH ? ? ?h2 / ??m ??sh?mH ?
mx

并据此导出肋片散热量的计算式。 解:此问题得通解为: ? ? c1e

? c2 e ? mx , c1、c2由边界条件确定:

x ? 0,? 0 ? c1 ? c2,x ? H, ? c1me mH ? c2 me ? mH ? h c1e mH ? c2 e ? mH , ?

?

? ?

?

c1 ?
由此得:

? 0 e ? mH ??m ? h2 ? e mH ??m ? h2 ? ? e mH ??m ? h2 ? ,

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c2 ?

? 0 e ? mH ??m ? h2 ?e mx ? ? 0 e mH ??m ? h2 ?e ? mx ?? ? e ? mH ??m ? h2 ? ? e mH ??m ? h2 ? ch?m?H ? x ?? ? ?h2 ??m ??sh?m?H ? x ?? ? ?0 ch?mH ? ? ?h2 ??m ??sh?mH ?
sh?m?H ? x ???? m ? ? ?h2 ??m ??ch?m?H ? x ???? m ? ?d ? ? ? ??A? ? ? ??A? 0 | x ?0 ch?mH ? ? ?h2 ??m ??sh?mH ? ? dx ? x ?0 sh?mH ? ? ?h2 ??m ? ch?mH ?? ? ?A? 0 m ch?mH ? ? ?h2 ??m ??sh?mH ?
多维导热 2-62 设有如附图所示的一偏心环形空间,其中充满了某中储热介质(如石蜡类物质) 。白天,从太阳能集热 器中来的热水使石蜡熔化,夜里冷却水流过该芯管吸收石蜡的熔解热而使石蜡凝固。假设在熔解过程的开始 阶段,环形空间中石蜡的自然对流可以忽略不计,内外管壁分别维持在均匀温度 t 1 及 t 2 。试定性画出偏心圆 环中等温线的分布。 解: 散热量:

? 0 e mH ??m ? h2 ? e ? mH ??m ? h2 ? ? e mH ??m ? h2 ? ,

2-63 有一用砖砌成的烟气通道,其截面形状如附图所示。已知内外壁温分别为 t1 ? 80℃, t 2 ? 25℃,砖的导 热系数为 1.5 W /(m.K ) ,试确定每米长烟道上的散热量。 解:采用形状因子法计算,据已知条件

? 8.156 m b? ? ln ?1.08 ? d? ? 所以 ? ? S? ?t1 ? t 2 ? ? 672 .87W / m
2-64 设有如附图所示的一个无内热源的二维稳态导热物体,其上凹面,下表面分别维持在均匀温度 t 1 及 t 2 , 其余表面绝热。试: (1)画出等温线分布的示意图; (2)说明材料的导热系数是否对温度分布有影响。 2-65 试计算通过一立方体墙角(见附图)的热损失,已知每面墙厚 300mm,导热系数为 0.8 W /(m.K ) ,内 外壁温分别为 400℃及 50℃。如果三面墙的内壁温度 t11 , t12 , t13 各不相等,但均高于外壁温度,试提出一个估 算热损失范围的方法。 解: ?=?s?t ? 0.8 ? 0.15?x?400 ? 50 ? ? 0.8 ? 0.15 ? 0.30 ? 350 ? 12.6W 。

S?

2?l

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1 ?t l1 ? t l 2 ? t l 3 ? 作为一种估算可以取 3 作为内侧有效温度计算 ?t 。
2-66 一根输送城市生活用水得管道埋于地下 3m深处,如附图所示,其外径d=500mm。土壤的导热系数为 1W/(mK),计算在附图所示条件下每米管道的散热量;在一个严寒的冬天,地面结冰层厚达 1m 深,其它条件 不变,计算此时的散热量。 解: 2-67 对于矩形区域内的常物性,无内热源的导热问题,试分析在下列四种边界条件的组合下,导热物体为铜 或钢时,物体中的温度分布是否一样: (1) 四边均为给定温度; (2) 四边中有一个边绝热,其余三个边均为给定温度; (3) 四边中有一个边为给定热流(不等于零) ,其余三个边中至少有一个边为给定温度; (4) 四边中有一个边为第三类边界条件。 解: 一样,因为两种 情况下的数学描写中不出现材料物性值; (1 (2)一样,理由同上; (3)不一样,在给定热流的边上,边界条件中出现固体导热系数; (4)不一样,在第三类边界条件的表达式中出现固体导热系数。 2-68 一冰箱的冷冻室可看成是外形尺寸为 0.5 ? 0.75m ? 0.75m 的立方体,其中顶面尺寸为 0.75m ? 0.75m 。 冷冻室顶面及四个侧面用同样厚度的发泡塑料保温,其导热系数为 0.02 W /(m.K ) ;冷冻室的底面可近似认 为是绝热的。冷冻室内壁温度为-10℃,外壁护板温度为 30℃。设护板很薄且与发泡塑料接触良好。试估算发 泡塑料要多厚才可限制冷量损失在 45W 以下。 解:设发泡塑料的厚度为 ?x 采用形状因子法计算 其


2

? 2?
S

?0.75 ? ?x ?
?x

?

?0.75 ? 2?x ??0.5 ? 2 x ? ? 0.54 ? ?0.75 ? 2?x ? ? 2 ? ?0.75 ? 2 x ??0.5 ? 2 x ?
?x ?x
2

?

?0.75 ? 2 x ?
?x

2

? 0.54 ? ?0.5 ? 2?x ? ? 4 ? 0.15?x ? 2 ? ?0.75 ? 2?x ? ? ?0.5 ? 2?x ? ? 2 ? ?0.75 ? 2?x ?

? ? S? ?t1 ? t 2 ?
代入数据解得



?x ? 0.03m
热阻分析 2-69 试写出通过半径为 r1 , r2 的球壁的导热热阻的表达式。

?=

解:球壳导热热流流量为: 2-70 试据定义导出具有两个等温面的固体导热热阻与其形状因子之间的关系,并据此写出表 2-2 中第 5,6 栏所示固体的导热热阻。 解:

4?? ?t1 ? t 2 ? ?t 1 r1 ? 1 r2 R? ? 1 r1 ? 1 r2 , ? 4?? 。

R?

又 ? ? S? ?t1 ? t 2 ? 所以

?t ?

R?

1 S?

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R1 ? ln
第五栏:

?d1 ? d 2 ?2 ? 4w 2 ? ?d1 ? d 2 ?2 ? 4w 2 / 2?? l ?d1 ? d 2 ?2 ? 4w2 ? ?d1 ? d 2 ?2 ? 4w 2

b? ? R2 ? ln ?1.08 ? / 2?? l d? ? 第六栏:
2-71 两块不同材料的平板组成如附图所示的大平板。两板的面积分别为 A1 , A2 ,导热系数分别为 ?1 , ? 2 。如果 该大平板的两个表面分别维持在均匀的温度 t1 , t 2 ,试导出通过该大平板的导热热量计算式。 解: R1 ? ? / A1?1 ; R2 ? ? / A2 ?2 热阻是并联的,因此总热阻为

R?

R1 .R2 ? ? ` R1 ? R2 A1?1 ? A2 ?2

导热总热量: 2-72 在如附图所示的换热设备中,内外管之间有一夹层,其间置有电阻加热器,产生热流密度 q,该加热层 温度为 t h 。内管内部被温度为 t i 的流体冷却,表面传热系数为 hi 。外管的外壁面被温度为 t 0 的流体冷却,表 面传热系数为 h0 。内外管壁的导热系数分别为 ?i , ?0 。试画出这一热量传递过程的热阻分析图,并写出每一 项热阻的表达式。

Q?

?t ?t 2 ? t1 ?? A1?1 ? A2 ?2 ? ? R ?

Ri ? R0 ?

r2 ? r1 1 ? ; Ri ? 2?r2 ?i 2?r1 hi r3 ? r2 1 ; R0 ? 2?r2 ?0 2?r2 h0

解:

2-73 一块尺寸为 10mm ? 10mm 的芯片 (附图中的 1) 通过厚 0.02mm 的环氧树脂层 (附图中 2) 与厚为 10mm
?4 2 的铝基板(附图中的 3)相联接。芯片与铝基板间的环氧树脂热阻可取为 0.9 ? 10 m .K / W 。芯片与基板的

四周绝热,上下表面与 t ? =25℃的环境换热,表面传热系数均为 h=150 W /(m .K ) 。芯片本身可视为一等温 物体,其发热率为 1.5 ? 10 W / m 。铝基板的导热系数为 2600 W /(m.K ) 。过程是稳态的。试画出这一热传 递过程的热阻分析图,并确定芯片的工作温度。 提示:芯片的热阻为零,其内热源的生成热可以看成是由外界加到该节点上的。 解:设芯片的工作温度为 t℃
4 2

2

芯片上侧面传热量 ?1 ? hA?t ? t ? ?

?2 ? A
芯片下侧面传热量

?1 ? 2 1 ? ? ?1 ? 2 h
4 2

t ? t?

其中 Q ? qA, Q ? ?1 ? ? 2 ; q ? 1.5 ? 10 w / m

代入数据可得 t ? 75.35 ℃。 2-74 人类居住的房屋本来只是用于防雨雪及盗贼,很少考虑节能与传热特性。随着世界范围内能源危机的发 生以及人们生活水平的提高,节能与舒适已经成为建筑业的一个重要考虑原则。采用空心墙使考虑节能的一 种有效手段。以居民的传墙结构如附图所示。已知室内温度为 20℃,室外温度为 5℃;室内墙面的表面传热 系数为 7W/(m2K),室外为 28W/(m2K);第一层塑料板厚 12mm,导热系数为 0.16W/(mK),第二层厚 mm,其 中上部杨木层的导热系数为 0.141W/(mK),下部为空气;第三层为砖,厚 200mm,导热系数为 0.72W/(mK)。 试对于图示的这一段墙体画出热阻网络,并计算其散热损失。 解:
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2-75 有一管内涂层的操作过程如附图所示。在管子中央有一辐射棒,直径为 d 1 ,其外表面发出的每米长度上 的辐射热流密度为 q r ,管内抽成真空;涂层表面的吸收比很高,可近似地看成为黑体。管子外表面温度恒定 为 t s 2 ,涂层很薄,工艺要求涂层表面温度维持在 t s1 。试: (1)导出稳态条件下用 q r , t s 2 , r2 , r3 及管壁导热系 数 ? 表示的管壁中的温度分布表达式。 (2)设 t s 2 =25℃, ? =15 W /(m.K ) , r2 ? 35mm, r3 ? 48mm ,并要求 t s1 应达到 150℃,求 q r 之值。 解:(1)管子内壁面的热流量为: ?=?d1lqr ,稳态条件下有:

??

2? ?t ? t s 2 ? ? d1 q r t ? d1 q r ln ?r3 r ? ? t s2 2? 即 t ? t s1 ? d1 q r ln ?r r2 ? / ?2? ?,或: ln ?r3 4 ? , 。 2? ?t s1 ? t s 2 ? 2 ? 15 ? ?150 ? 25 ? qr ? ? ? 2.375 ? 10 6 W m 2 d1 ln ?r3 r2 ? 0.005 ln ?48 35 ? (2) , q L ? ?d1 q r ?
每米长度上热负荷

2?? l ?t s1 ? t s 2 ? 2?? ?t s1 ? t ? ? ?d1lqr ? ?d1lqr ln ?r1 r2 ? ,在任一直径 r 处温度为 t,则有: ln ?r r2 ? ,

2?? ?t s1 ? t s 2 ? ? 3.7 ? 10 4 W m ln ?r3 r2 ? 。

2-76 刚采摘下来的水果,由于其体内葡萄糖的分解而具有“呼吸”作用,结果会在其表面析出 C O2 ,水蒸气, 并在体内产生热量。设在通风的仓库中苹果以如附图所示的方式堆放,并有 5℃的空气以 0.6m/s 的流速吹过。 苹果每天的发热量为 4000J/kg。苹果的密度 ? ? 840 kg / m ,导热系数 ? =0.5 W /(m.K ) ;空气与苹果间的
3 2

表面传热系数 h=6 W /(m .K ) 。试计算稳态下苹果表面及中心的温度。每个苹果可按直径为 80mm 的圆球处 理。

1 ? ? 2 ?t ? ? ?r ??? ?0 2 解:利用有内热源的一维球坐标方程: r ?r ? ?r ? d ? 2 dt ? c dt r ? dt r3 2 ? ?r ? ? ?r ? / ? r 2 ?? ? ?? 1 ? ? ? ? ? c1 dr ? dr ? 3 3 r2 , , dr , dr ?c r2 ? t ? ? ? ? ? 1 ? c2 6 r ?t dt r ? 0, ? 0;r ? R ? ? ? h?t ? t ? ? ?r dr 边界条件为: 。

?

为满足第一边界条件, c1 必须为 0。

?? r 2 ? ? ? r ? ? ? ? ? c2 ? ? t ? ? ? 3 ? ? ?? 6 ? ,即: 代入第二条件: ? ? ?? r 2 ? ? r? ? ? ? ?R ?R 2 ? h ?? ? ? / ? ? c 2 ? ? t ? ? ? 6 ? c2 ? ? ? t? 3 ? ?? ? ,由此得: 3h 6? , ? ? ? ? ? / ? ? ? h ?? ? ?

? ? ?R ? 2 ? R ? r 2 ? tm 3h 6? 温度分布为: , ? ? ? ?R ?R ?R 2 t0 ? ? ? t? ts ? ? h? 3h 6? 3h 由此得:当 r ? R 时, ;当 r=0 时, 。 ? ? ?R ??4 ?? ?R 3 ? ? 4?R 2 h?t s ? t ? ? ts ? ? t? t s 也可由稳态热平衡得出: ? 3 ? 3h ,由此得: , t ?r ? ?

?

?

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4000 J 4000 J ? ? 38.9W m 3 3 2 1.190 ? 10 m ? 24 ? 3600 s 102 .8m s , W 38.9 3 ? 0.04 m ?R ? m t s ? 5℃ ? ? 5℃ ? ? 5℃ ? 0.086℃ ? 5.09℃ 3h 3 ? 6W m 2 K , ? ?=4000 J m 3 day ?
?5

?

?

?

?

? ?R ?R 2 38.9 ? 0.04℃ t 0 ? 5℃ ? ? ? 5.09 ? ? 5.09 ? 0.02 ? 5.11℃ 3h 6? 6 ? 0.5 。 2-77 在一有内热源的无限大平板的导热问题中,平板两侧面温度分别为 t 1 (x=0 处)及 t 2 (x= ? 处) 。平板 2 3 ? 内温度分布为 ?t ? t1 ? / ?t 2 ? t1 ? ? c1 ? c 2 x ? c3 x 。其中 c1 , c 2 , c3 为待定常数,x=0 处的内热源强度为 ? 0 。
试确定该平板中内热源 ? (x ) 的表达式。 解:导热系数为常数有内热源的导热微分方程为

?

2 3 平板内温度分布为 ?t ? t1 ? / ?t 2 ? t1 ? ? c1 ? c 2 x ? c3 x

? d 2t ? ? ?0 dx 2 ?

又 x ? 0, t ? t1 ; x ? ? , t ? t 2 ;x=0 处的内热源强度为 ? 0 两次积分及边界条件可得

?

?

? ?0

? ? ?t ?t ? ? ??x ? ? 6 x 2 ? 2 3 1 ? 02 ? ? ?0 ? ? ? ? ?? ? ? ?

即内热源的表达式。 2-78 为了估算人体的肌肉由于运动而引起的温升, 可把肌肉看成是半径为 2cm 的长圆柱体。 肌肉运动产生的

? 热量相当于内热源,设 ? ? 5650W / m 。肌肉表面维持在 37℃。过程处于稳态,试估算由于肌肉运动所造
3

成的最大温升。肌肉的导热系数为 0.42 W /(m .K ) 。

2

1 d ? dt ? ? d ? dt ? ? ? r? ? ? ? ? 0, ? r? ? ? ??r dr ? dr ? dr ? 解:如右图所示,一维稳态导热方程 r dr ? ,

? ? ? dt ?r 2 dt ?r c1 ?r 2 c1 ?? ? c1, ? ? ? ,t ? ? ? ln r ? c2 dr 2 dr 2? ?r 4? ? 。 ? ? dt ?R 2 ?R 2 r ? 0, ? 0, c1 ? 0;r ? R,t ? t w,t w ? ? ? ? c2,c 2 ? ? tw dr 4? 4? , ? ? ? ?r 2 ?R 2 ? R 2 ? r 2 ?t ? ? ? t? ? ? ? tw 4? 4? 4? ,最大温度发生在 r=0 处, ? ?R 2 5650 ? 0.02 2 t 0 ? t w ? ?t max ? ? ? 1.35℃ 4? 4 ? 0.42 。 r?

?

?

2-79 一日式火锅的手柄为圆锥形空心圆柱,如附图所示。今将其简化成为等直径圆柱体。设:圆筒内、外表 面各为 2W/(m2K)及 10W/(m2K),直径分别为 25mm 与 30mm,柄长 90mm,筒体内、外流体温度为 15℃,手 柄与锅体相接部分的温度为 70℃。试计算:(1)手柄局部温度为 35℃处的位置;(2)上述条件下手柄所传递的 热流量。 解: 2-80 北极爱斯基摩人的住屋用压紧的雪做成, 长呈半球形, 如附图所示。 假设球的内径为 1.8m, 球壁厚 0.5m, 2 压紧的雪与冰的导热系数均为 0.15W(mK)。一般情况下室外温度 t∞=-40℃,表面传热系数为 15W/(m K)。室 2 内表面(包括冰地面)的表面传热系数为 6W/(m K),冰地面的温度为-20℃,一家三口的发热量为 950W,试确 定半球小屋内的空气平均温度。 解: 2-81 一种救火员穿戴的现代化的衣料如图所示。 其中面罩料、 湿面料以及热面料的厚度及其导热系数见附表。
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热量通过两层空气隙传递时,既有导热又有辐射,辐射热流量可以按对流的方式计算: 其中 T1 ,T2 为空气隙两表面的温度,

qrad ? hrad (T1 ? T2 ) ,
2

3 hrad ? 4?Tav , Tav ? (T1 ? T2 ) / 2 。假定每层空气隙都可以按 Tav ? 470 K

来计算辐射热流密度,试假定每层导热的面积热阻。在一次演习中,救火员一副表面接到 2500 W m 的辐射 热流,试计算当该衣服内表面温度达到 65℃(皮肤不受损伤的最高温度)时的外边面温度。 导热层名称 面罩料 湿面料 热面料

? [W (mK )]
0.047 0.012 0.038

? mm
0.8 0.55 3.5

2-82 有一空气冷却器采用如附图所示的结构,冷却水在管外流动,温度为 t 0 ,表面传热系数 h0 ? 2000~ 3000 W /(m .K ) 。管内中心安置了 8 个径向肋片,空气在所形成的 8 个扇形空腔中流动,温度为 t i ,表面传 热系数为 hi 。运行中芯管的中间不通过空气(两头进出口处堵死) 。试针对下列条件计算每米长管子上空气的
2 散热量: d i ? 12 mm, d 0 ? 36 mm , t 0 ? 35 ℃, t i =100℃, hi ? 50 W /(m .K ) , ? ? 1mm,管材及肋片为 2

铜,其 ? =390 W /(m.K ) ,管子壁厚为 2mm。 解:肋片高度

H?

36 ? 4 ? 12 30 ? ? 15mm 2 2 ,肋效率按等截面直肋估计,内管管壁附近的看成为垂直延伸

3.14 ? 12 ? 8 mH ? H= ? 15 ? 15 ? 3.71 ? 18.71mm 8 部分,故实际肋长为: ,但肋端真正绝热,

h1 ? 50 W m 2 K , ? ? 390 W ?mK ? , AL ? ?H ? 0.001 ? 0.01871 ? 1.871 ? 10 ?5 m 2 ,
2 ? 50 100 ? 10 ?5 ? mH ? ? 0.01871 2 ? ? 2.559 ? 10 ?3 729 390 ? 1.871 ? 10 ?5 ,
3

?

?

2h 2 H ?Ac ,

3

? 1.371 ? 10 4 ? 2.559 ? 10 ?3 ? 1.17 ? 10 2 ? 2.559 ? 10 ?3 ? 2.996 ? 10 ?4 ? 0.3 ,

??

th?mH ? 0.291 ? ? 0.97,? t ? mH 0. 3

? 10 ?3 ? ?100 .5 ? 0.97 ?299 .36 ? 37.68 ? 8??

? 10 ?3 ? ?3.14 ? 32 ? 0.97 ? ?2 ? 8 ? 18.71 ? 3.14 ? 12 ? 8?? ? 10 ?3 ? ?100 .5 ? 0.97 ? 329 .04 ? ? 4.098 ? 10 ?1 m 2 m , Ao ? 3.14 ? 10 ?3 ? 36 ? 1.13 ? 10 ?1 m 2 m ,
Am ? 3.14 ? 10 ?3 ? 34 ? 1.07 ? 10 ?1 m 2 m ,

Aieff

1 ? 1 ? ? h0 A0 ?Am hi Aieff , ? ? ?d 0 ? 2? ? ? ? fin ?8 ? 2 ? H ? ?d i ? 8? ? ? 1

t ? t0

?

?

?l ?
代入得:

?100 ? 35 ? ? 10 ?1
1 0.002 1 ? 2500 ? 1.13 390 ? 1.07 50 ? 4.098

?

3.54 ? 10 ?4

65 ? 0.1 65 ? 0.1 ? 10 3 ? ? 1240 W m 5.239 ? 4.8 ? 10 ?6 ? 4.88 ? 10 ?3 。
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2-83 在温度变化范围 t 1 ~ t 2 之间,若材料的导热系数与温度成线性关系 ? (t ) ? ?0 (1 ? bt) ,则可采用下列方 法来确定系数 b:用该材料制成一块厚的平壁,并使其两侧面保持在温度 t 1 及 t 2 ,用热电偶测定平壁中间层 的温度 t c ,则 t 1 , t 2 及 t c 之值即可确定系数 b,试导出 b 与上述三个温度的关系式。 解:设一维、稳态、无内热源、常物性导热问题,b>0,在平壁中任一 x 处:

q ? ??0 ?1 ? bt ?

b t2 dt ? const, ? qdx ? ? ? ?0 ?1 ? bt ?dt 0 t11 dx ,

2 2 ?? bt ? ? bt ?? ? t 2 ? 2 ? ? ? t1 ? 1 ?? ?? 2 ? ? 2 ?? ?? ? ? ?? ? 作同样积分,但以 ? 2 为积分上限得:

q??

?0 ?

2 ? bt?2 2 ? ? ? 2?0 ?? ? ? ? t1 ? bt1 ?? q?? ?? t? 2 ? ? ? ?? 2 ? ? 2 ?? ?? ? ??

(b)

其中,

t? 2 ?

t1 ? t 2 ? ?t 0为已知值,于是令(a) ? (b),并以上述t? 2 表达式代入: 2
2 ? ?? bt 2 ? ? ? ? t? 2 ? ? 2 ? ? ? t1 ? bt1 ?? ? 2 ? ? 2 ?? ?? ?? , ? ? ??

?0 ?

2 2 ?? bt2 ? ? bt ?? 2? ?t2 ? ? ? t1 ? 1 ?? ? 0 ?? ? ? 2 ?? ? ?? 2 ? ? ?? ?

t ? t / 2 ? ??t1 ? t 2 ? 2 ? ?t 0 ? 。 最后可解出: 2-84 一种利用对比法测定材料导热系数的装置示意图如附图所示。 用导热系数已知的材料 A 及待测导热系
2 1 2 2 2

b?

?

?

2?t 0

数的材料 B 制成相同尺寸的两个长圆柱体, 并垂直地安置于温度为 t s 的热源上。 采用相同办法冷却两个柱体, 并在离开热源相同的距离 x1 处测定两柱体的温度 t A , t B 。已知 ? A =200 W /(m.K ) , t A =75℃, t B =65℃, t s =100℃, t ? =25℃。试确定 ? B 之值。

d? x ? 0, ? 0 dx 解:设圆棒可作为无限长情形处理,即: 。则有:

? t ? t? t ? t? ? ? ? e ? mx,即: ? ln ? ? 0 t s ? t? ? t s ? t?

?t ?t ln ? A ? ? t ?t ? s ? ?t ?t ln ? B ? ? 因而对两个棒有: ? t s ? t ?

? ? ? ?? ? ? ? ?

? hp ? ? ? mx ? ? x ? ?Ac , ? ?t ?t ln ? A ? ? t ?t ?B ,? B ? ? A ? s ? ?A ?t ?t ln ? B ? ? t ?t ? s ?

? ? ? ? ? ? ? ?,

? 75 ? 25 ? ln ? ? ? 100 ? 25 ? ? 14 .14 ? ln ?0.6666 ? ? 14 .14 ? 0.4056 ? 9.123, ? B ? 200 ? ln ?0.5333 ? 0.6286 ? 65 ? 25 ? ln ? ? ? 100 ? 25 ? ?B ? 83.2W ?mK ? 讨论:如果测得了 A、B 两棒不同 x 处具有相同得温度,也可据 ? A而得?B 。

t ? t? l ? e ? mx ?? 1得 前 提 下 , x 如 上 题 设 A =0.15m , x B =0.075m 具 有 相 同 得 温 度 , 在 d 仍 有 : t0 ? t? ,
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m?

hp ?AC 。因为 t A ?x A ? ? t B ?x B ? ,故 ? A ?x A ? ? ? B ?x B ? ,

? hp ? ? ? ? x A ? ? hp m A x A ? mB x B, ? ?A ? ? ?A C ?A C ? ? 亦即
? ?R ? ?? 故有: ? A
2

? ? xB ? ? R ,其中 p,h,AC 均相同,
2

? xB ?x ? ? 0.075 ? ?? ? B ? ? A ? B ? ? 200 ? ? ? ? 50 W ?mK ? ? x ?x ? ? 0.15 ? A ,即 ? A? ? 。 2-85 当把直径为 d 的金属柱体安置到温度为 t s 的等温壁面上去时, 一般都假定金属柱体与基体交接处的温 度为 t s 。实际上,由于要向柱体传导热量,交接处(即肋根)的温度常要略低于离开肋根较远处的温度 t s (设
柱体周围的流体温度 t ? 低于 t s ) 。试: (1)定性的画出肋根附近(包括基体及柱体中的部分区域)的等温线 分布; (2)定性地分析柱体与周围流体间的表面传热系数 h 及柱体导热系数 ? 的大小对肋根处温度下降的影 响; (3)如果把柱体看做是测定壁温的热电偶,由上述分析可以得到什么样的启示?设柱体与基体之间接触 良好,不存在接触热阻(见附图) 。 解:设稳态,无接触热阻。 (1)在固体表面上设置了一个固体圆柱后,圆柱根部温度会低于 t s ,这是因为加了圆柱体相当于增加了该处 得散热量。其时圆柱根部温度得分布大致如图示:

(2)h 越大,肋根处温度下降越明显;导热系数越大,温度下降越明显。 (3)热电偶热节点测定得温度值实际上已经偏离了未接触热电偶时该处温度之值,即存在着测温误差,要减 少测温误差,因尽量减小沿热电偶导线的热量传递。 2-86 有一冷却电子器件的散热器(长称热沉,heat sink)如附图所示,其中 L 为垂直于纸面方向的尺度。热 沉底面温度为 75℃。试计算: (1)肋片的效率;(2)肋面总效率;(3)该热沉能散发的热量。热沉的材料为铝, 导热系数为 180 W (mK ) 。 解: 2-87 有一用针肋构成的热沉用来使处于微腐蚀性环境中的发热表面维持在 70℃,发热表面的尺寸为 10cmx16cm。针肋的高度与直径分别为 3cm 与 4.2cm,材料为不锈钢,导热系数为 15 W (mK ) 。在周围流体 温度为 20℃、考虑对流与辐射作用在内的表面传热系数为 70 W (m K ) 的条件下,试计算为散发 80W 的热 量需要多少个针肋? 解:
2

小论文题目
2-88 为了测定 CO2 在微细管道内的对流传热表面传热系数,采用对实验管道直接通电加热的方法。假定电

? 流产生的热量所形成的内热源均匀分布,记为 ? ,管道的内外径分别为 d 与 D,外表面绝热良好(见附图) ,
通过管壁的导热可以作为一维问题处理。实验测得管外壁面温度为 t wo (x) ,试导出据测定的外表面温度
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? t wo (x)及? 确定官职内壁面温度 t wi (x) 的计算式。
解: 2-89 对于长方形截面的直肋片,试分析在一定的金属耗量下,为使肋片的散热量最大,肋片的 H、 ? 与 ? 、 h 之间应满足怎样的关系?(参见图 2-15) 。 解: 2-90 对于附图所示的圆截面直肋,设肋端(x=H)是绝热的。按本书的讨论,肋片中过余温度的分布满足

? ( x) ? ? 0

ch?m? x ? H ?? m? ch?mH ?

hp ?Ac

在导出上式的几个假定条件下,试分析在一定的金属消耗量下,为使肋片的散热量达到最大,肋片几何尺寸 H, d 与其导热系数,表面传热系数之间应满足怎样的关系?设 ? , h 均为常数。 解:按教材中式(2-38) ,有:

?=?

?d 2
4

m? 0 th?mH ?
12

2 V ? d H ,则上式可 ,直肋的体积正比于 d H ,令 f

2

写为:

??

?? 0
2

?h?d ?
?

3 12

th 2V f h ?d 5

? ?

? ??

?(m 已用

4h ?d 代入) 。

d? V f ,?,h 均保持不变,则最佳直径应满足 dd ? 0 ,由此得: 按题意,
12 12 ? ? ? ? h ? ? h ? ?? ? 5V f ? 4 ? sedh2 ?2V f ? 5 ? ? ? ? 0 ? 2 ? ?d ? ? ?d ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ?? ? 5 2 12 ? ? 2V f h ??d 5 ? ,可得下列超越方程: th?? ? ? 3 ? sech ?? ? , 令 10 ? sh?2? ? ? 3 ,由此解出: ? ? 0.919296 ,代入其定义式,可得最佳工况下直径应满足的关系式: 或:

?? 0

?h? ? 2 ? 3 d 2 th?2V f ? ? ?
1 1

?

h ? 3 ? ? ?d ?

12

?

?

? hH 2 d opt ? 4.733? ? ? ?

? ? ? ?。

第三章
思考题 1. 试说明集总参数法的物理概念及数学处理的特点 答:当内外热阻之比趋于零时,影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。而内部由于热阻很小而温 度趋于均匀,以至于不需要关心温度在空间的分布,温度只是时间的函数, 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。 2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性?

答:要改善热电偶的温度响应特性,即最大限度降低热电偶的时间常数 上要降低体面比,要选择热容小的材料,要强化热电偶表面的对流换热。

?c ?

?cv
hA ,形状

3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答;所谓“无限大”平板,是指其长宽尺度远大于其厚度,从边缘交换的热量可以忽略 不计,当平板两侧换热均匀时,热量只垂直于板面方向流动。如薄板两侧均匀加热或冷却、
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炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。 4. 什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有些什么特点? 答:非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失,虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关,只是几何位置( x / ? )和边界条件(Bi 数) 的函数,亦即无量纲温度分布不变,这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。这一阶段的数学处理十分 便利,温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。 5. 有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图 3-7 记算所得的结果是错误的.理由是: 这个图表明, 物体中各点的过余温度的比值与几何位置及 Bi 有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的 温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。你是否同意这种看法,说明你的理由。 答:我不同意这种看法,因为随着时间的推移,虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。

Bi 6. 试说明 Bi 数的物理意义。 ? o 及 Bi ? ? 各代表什么样的换热条件?有人认为, Bi ? ? 代表了绝热工
况,你是否赞同这一观点,为什么? 答;Bi 数是物体内外热阻之比的相对值。 Bi ? o 时说明传热热阻主要在边界,内部温度趋于均匀,可以 用集总参数法进行分析求解; Bi ? ? 时,说明传热热阻主要在内部,可以近似认为壁温就是流体温度。认 为 Bi ? o 代表绝热工况是不正确的, 该工况是指边界热阻相对于内部热阻较大, 而绝热工况下边界热阻无限 大。 7. 什么是分非稳态导热问题的乘积解法,他的使用条件是什么? 答; 对于二维或三维非稳态导热问题的解等于对应几个一维问题解的乘积, 其解的形式是无量纲过余温度, 这就是非稳态导热问题的乘积解法,其使用条件是恒温介质,第三类边 界条件或边界温度为定值、初始温度为常数的情况。 8.什么是”半无限大”的物体?半无限大物体的非稳态导热存在正规阶段吗? 答:所谓“半大限大”物体是指平面一侧空间无限延伸的物体:因为物体向纵深无限延 伸,初脸温度的影响永远不会消除,所以半死限大物体的非稳念导热不存在正规状况阶段。 9.冬天,72℃的铁与 600℃的木材摸上去的感觉一样吗,为什么? 10.本章的讨论都是对物性为常数的情形作出的,对物性温度函数的情形,你认为怎样获得其非稳态导热的温度 场?
2 答:从分析解形式可见,物体的无量纲过余温度是傅立叶数( ?? / l )的负指数函数,

即表示在相同尺寸及换热条件下,导温系数越大的物体到达指定温度所需的时间越短、这正 说明导温系数所代表的物理含义。

习题
基本概念及定性分析 3-1 设有五块厚 30mm 的无限大平板,各用银、铜、钢、玻璃及软木做成,初始温度均匀(200C),两个侧面
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突然上升到 60 C,试计算使用中心温度上升到 560C 时各板所需的时间。五种材料的热扩散依次为 170×10
6
2 - 2 - 2 - 2 - 2

0



m /s、 103×10 6m /s, 12.9×10 6m /s、 0.59×10 6m /s 及 0.155×10 6m /s。 由此计算你可以得出什么结论? 解:一维非稳态无限大平板内的温度分布如下函数关系式:

t ? t0 ? x ? ? f ( Bi, Fo, ) ? 0 t? ? t 0 ?
不同材料的无限大平板,均处于第一类边界条件(即 Bi ? ? ) 。由题意知 材料达到同样工况式 Bi 数和 x / ? 相同,要使温度分布相同,则只需 Fo 数相同

?? ?? ) ? ( 2 )2 2 1 ? 因此, ( Fo)1 ? ( Fo) 2 ,即 ? ,而 ? 相等
(
故知 所以

? 小所需时间大 ? 铜 ? ? 银 ? ? 钢 ? ? 玻璃 ? ? 软木
? 铜 ? ? 银 ? ? 钢 ? ? 玻璃 ? ? 软木


3-2 设一根长为 l 的棒有均匀初温度 t0,此后使其两端在恒定的 t 1 (x=0)及 t 2 >t 1 >t 0 。棒的四周保持绝 热。试画出棒中温度分布随时间变法的示意曲线及最终的温度分布曲线。 解:由于棒的四周保持绝热,因而此棒中的温度分布相当于厚为 l 的无限大平板中的分布,随时间而变化的 情形定性的示于图中.

3-3 假设把汽轮机的汽缸壁及其外的绝热层近似地看成是两块整密接触的无限大平板 (绝热层厚度大于汽缸 壁) 。试定性地画出汽缸机从冷态启动(即整个汽轮机均与环境处于热平衡)后,缸壁及绝热层中的温度分布 随时间的变化。 解:

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3-4 在一内部流动的对流换热试验中(见附图) ,用电阻加热器产生热量加热量管道内的流体,电加热功率 为常数,管道可以当作平壁对待。试画出在非稳态加热过程中系统中的温度分布随时间的变化(包括电阻加 热器,管壁及被加热的管内流体) 。画出典型的四个时刻;初始状态(未开始加热时) ,稳定状态及两个中间 状态。 解:如图所示:

3-5 现代微波炉加热物体的原理是利用高频电磁波使物体中的分子极化从而产生振荡, 其结果相当于物体中 产生了一个接近于均匀分布的内热源,而一般的烘箱则是从物体的表面上进行接近恒热流的加热。设把一块 牛肉当作厚为 2
0 ? 的无限大平板, 试定性地画出采用微波炉及烘箱对牛肉加热 (从室温到最低温度为 85 C)

过程中牛肉的温度分布曲线(加热开始前,加热过程中某一时刻及加热终了三个时刻) 。 解:假设:辐射加热时表面热源均匀;散热略而不计.

集总参数法分析 3-6 一初始温度为 t 0 的物体,被置于室温为 t ? 的房间中。物体表面的发射率为 ? ,表面与空气间的换热系 数为 h。物体的体集积为 V,参数与换热的面积为 A,比热容和密度分别为 c 及 ? 。物体的内热阻可忽略不计, 试列出物体温度随时间变化的微分方程式。 解:由题意知,固体温度始终均匀一致,所以可按集总热容系统处理 固体通过热辐射散到周围的热量为:
4 q1 ? ?A(T 4 ? T? )

固体通过对流散到周围的热量为:

q2 ? hA(T ? T? )
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固体散出的总热量等于其焓的减小

q1 ? q2 ? ? ?cv

dt d? 即

?A(T 4 ? T?4 ) ? hA(T ? T? ) ? ? ?cv

dt d?

3-7 如图所示,一容器中装有质量为 m、比热容为 c 的流体,初始温度为 tO。另一流体在管内凝结放热,凝 结温度为 t ? 。 容器外壳绝热良好。 容器中的流体因有搅拌器的作用而可认为任一时刻整个流体的温度都是均 匀的。管内流体与容器中流体间的总传热系数 k 及传热面积 A 均为以知,k 为常数。试导出开始加热后任一 时刻 t 时容器中流体温度的计算式。 解:按集总参数处理,容器中流体温度由下面的微分方程式描述

hA(T ? T1 ) ? ? ?cv

dt d?

t ? t1 kA ? exp( ? ? ) t ?t ?c 此方程的解为 0 1
3-8 一具有内部加热装置的物体与空气处于热平衡。在某一瞬间,加热装置投入工作,其作用相当于强度为
.

Q 的内热源。设物体与周围环境的表面传热系数为 h(常数) ,内热阻可以忽略,其他几何、物性参数均以
知,试列出其温度随时间变化的微分方程式并求解之。 解:集总参数法的导热微分方程可以利用能量守恒的方法得到

?cv

? dt ? ?hA(t ? t ? ) ? ? d?

引入过余温度,则其数学描写如下:
? d ? ?cv ? ? ?hA? ? ? ? d? ? ?? (0) ? t ? t ? ? 0 ? ?

故其温度分布为:

? ? t ? t? ? ? 0e

?

hA

?cv

?

?

?
hA
2

(1 ? e

?

hA

?cv

?

)

0 0 3-9 一热电偶的 ?cv / A 之值为 2.094 KJ /(m ? K ) ,初始温度为 20 C,后将其置于 320 C 的气流中。试计算

在气流与热电偶之间的表面传热系数为 58 W /(m ? k ) 的两种情况下, 热电偶的时间常数并画出两种情况下热
2

电偶读数的过余温度随时间变化的曲线。

解:由

?c ?

?cv
hA

2 ? ? 0.036 s 当 h ? 58W /(m ? K ) 时, c

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? ? 0.018 s 当 h ? 116W /(m ? K ) 时, c
2

3-10 一热电偶热接点可近似地看成为球形,初始温度为 25 C,后被置于温度为 200 C 地气流中。问欲使热 电偶的时间常数

0

0

? c ? 1s 热接点的直径应为多大?以知热接点与气流间的表面传热系数为 35W /(m 2 ? K ) ,热
3

接点的物性为: ? ? 20 W /(m ? k ) , c? 400 J /(kg ? k ),? ? 8500 kg / m 换热,对所需的热接点直径有何影响?热电偶引线的影响忽略不计。

,如果气流与热接点之间还有辐射

解:由于热电偶的直径很小,一般满足集总参数法,时间常数为:

?c ?

?cv
hA

V / A ? R/3 ?


tc h 1? 350 ? ? 10.29 ?10 ?5 m ?c 8500 ? 400

?5 热电偶的直径: d ? 2R ? 2 ? 3 ?10.29 ?10 ? 0.617 m

验证 Bi 数是否满足集总参数法

Biv ?

h(V / A)

?

?

350 ?10.29 ?10 ?5 ? 0.0018 ?? 0.0333 20

故满足集总参数法条件。

若热接点与气流间存在辐射换热,则总表面传热系数 h(包括对流和辐射)增加,由 不变,可使 V/A 增加,即热接点直径增加。

?c ?

?cv

hA 知,保持 ? c

3-11 一根裸露的长导线处于温度为 t 的空气中,试导出当导线通以恒定电流 I 后导线温度变化的微分方程 式。设导线同一截面上的温度是均匀的,导线的周长为 P,截面积为 Ac 比热容为 c,密度为 ? 电阻率为 与环境的表面传热系数为 h,长度方向的温度变化略而不计。若以知导线的质量为

?e ,

3.45 g / m ,c ? 460 J /(kg ? K ) ,电阻值为 3.63 ?10 ?2 ? / m ,电流为 8A,试确定导线刚通电瞬间的温升率。

解:对导线的任意段长度dx作热平衡,可得:Ac dx?c

dt rdx ? hPdx(t ? t? ) ? I 2 ( ), d? A?

d? I 2r hP? 令? ? t ? t? , 可得: ? 2 ? ,? ? 0, ? ? t ? t? ? 0, d? A? ?c A? ?c 在通电的初始瞬间,? ? t ? t? ? 0, 则有: d? I 2r r ?1 1 1 1 1 ? 2 ? l2 ? ? ? ? 8 ? 8 ? 3.63 ?10 ? 2 ? ? ? 1.46 K / s. ?3 d? A? ?c Ac Ac ? c 3.45 ?10 460
3-12 一块单侧表面积为 A、初温为 t0 的平板,一侧表面突然受到恒定热流密度 q0 的加热,另一侧表面受到 初温为 t ? 的气流冷却,表面传热系数为 h。试列出物体温度随时间变化的微分方程式并求解之。设内阻可以 不计,其他的几何、物性参数均以知。 解:由题意,物体内部热阻可以忽略,温度只是时间的函数,一侧的对流换热和另一侧恒热流加热作为内热
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源处理,根据热平衡方程可得控制方程为:

dt ? ? ?cv ? hA(t ? t ? ) ? Aqw ? 0 d? ? ?t / ? t ? t ?0 0
引入过余温度 ? ? t ? t ? 则:

?cv

d? ? hA? ? Aqw ? 0 d?
hA

? / t ?0 ? ? 0

上述控制方程的解为:

? ? Be

?

?cv

?

?

qw h

由初始条件有:

B ? ?0 ?

qw h ,故温度分布为:

? ? t ? t ? ? ? 0 exp( ?

q hA hA ? ) ? w (1 ? exp( ? ? )) ?cv h ?cv
0 0

3-13 一块厚 20mm 的钢板,加热到 500 C 后置于 20 C 的空气中冷却。 设冷却过程中钢板两侧面的平均表面传
?5 2 热系数为 35W /(m ? K ) ,钢板的导热系数为 45W /(m ? K ) ,若扩散率为 1.375 ?10 m / s 。试确定使钢板

2

2

冷却到空气相差 10 C 时所需的时间。

0

解:由题意知

Bi ?

hA

?

? 0.0078 ? 0.1

故可采用集总参数法处理。由平板两边对称受热,板内温度分布必以其中心对称,建立微分方程,引入 过余温度,则得:

d? ? ? ?cv ? hA? ? 0 d? ? ?? (0) ? t ? t ? ? ? 0 ?

? hA h? h? ? exp( ? ? ) ? exp( ? ? ) ? exp( ? ? ) ?cv ?c(V / A) ?? 解之得: ? 0
当? ? 10 0 C时,将数据代入得,?=3633 s
3-14 一含碳约 0.5%的曲轴, 加热到 600 C 后置于 20 C 的空气回火。 曲轴的质量为 7.84 kg, 表面积为 870 cm , 比容为 418 .7 J /(kg ? K ) ,密度为 7840 kg / m 可按 300 C 查取,冷却过程的平均表面传热系数取为
3
0 0 0 2

29 .1W /(m 2 ? K ) 。问经多长时间后,曲轴可冷却到于空气相差 100C。
解: Bi ? 0.057 ? 0.05 故不采用集总参数法,改用诺漠图

?m 10 ? ? 0.017 ? 0 600 ? 20 ,查附录 2 图 1 得 Fo=2
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Fo ?

?? 2
R
2

?

? ? ? ? 2, ? ? 5267 s ? ?c R 2

3-15 一种火焰报警器采用低熔点的金属丝作为传热元件,当该导线受火焰或高温烟气的作用而熔断时报警
0 系统即被触发,一报警系统的熔点为 500 C, ? ? 210W /(m ? K ) , ? ? 7200 kg / m , c ? 420 J /(kg ? K ) ,

3

初始温度为 25 C。问当它突然受到 650 C 烟气加热后,为在 1min 内发生报警讯号,导线的直径应限在多少以 下?设复合换热器的表面换热系数为 12W /(m ? K ) 。
2

0

0

解:采用集总参数法得:

? hA ? exp( ? ?) ?0 ?cv ,要使元件报警则 ? ? 500 0 C
500 ? 650 hA ? exp( ? ?) 25 ? 650 ?cv ,代入数据得 D=0.669mm
验证 Bi 数:

Bi ?

h(V / A)

?

?

hD ? 0.0095 ?10 ?3 ? 0.05 4? ,故可采用集总参数法。

3-16 在热处理工艺中, 用银球试样来测定淬火介质在不同条件下的冷却能力。 今有两个直径为 20mm 的银球, 加热到 6000C 后被分别置于 200C 的盛有静止水的大容器及 200C 的循环水中。用热电偶测得,当因球中心温 度从 6500C 变化到 4500C 时,其降温速率分别为 1800C/s 及 3600C/s。试确定两种情况下银球表面与水之间 的表面传热系数。已知在上述温度范围内银的物性参数为

c? 2.62 ?10 2 J /(kg ? k )、? ? 10 500 kg / m3、?=360 W /(m ? K ) 。
解:本题表面传热系数未知,即 Bi 数为未知参数,所以无法判断是否满足集总参数法条件。 为此,先假定满足集总参数条件,然后验算

? hA ? exp( ? ?) ? ?cv ,代入数据 (1) 对静止水情行,由 0

? 0 ? 650 ? 20 ? 30,? ? 430,V / A ? R / 3 ? 0.00333 ,? ? 200 / 180 ? 1.115
h?

?c(V / A) ? 0 ln( ) ? 3149W /(m 2 ? K ) ? ?
h(V / A) h( R / 3)

验算 Bi 数

Biv ?

?

?

?

? 0.0291 ? 0.0333

,满足集总参数条件。

(2) 对循环水情形,同理, ? ? 200 / 360 ? 0.56s

按集总参数法时

h?

?c(V / A) ? 0 ln( ) ? 6 299W /(m 2 ? K ) ? ?

验算 Bi 数

Biv ?

h(V / A)

?

?

h( R / 3)

?

? 0.0583 ? 0.0333

,不满足集总参数条件

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改用漠渃图

Fo ?
此时

?? 2
R
2

?

? ? ? ? 0.727 ?c R 2

? m 430 ? ? 0.683 ? 0 630 ,查图得
1 ? ? 4.5,故h ? Bi ? 8 000W / m 2 ? k Bi R
3-17 等离子喷镀是一种用以改善材料表面特性(耐腐蚀、耐磨等)的高新技术。陶瓷是常用的一种喷镀材 料。喷镀过程大致如下:把陶瓷粉末注入温度高达 10 K 的等离子气流中,在到达被喷镀的表面之前,陶瓷粉 末吸收等离子气流的热量迅速升温到熔点并完全溶化为液滴,然后被冲击到被喷镀表面迅速凝固,形成一镀 层。设三氧化二铝(
4

Al2 O3 )粉末的直径为 D p ? 50 ?m ,密度 ? ? 3970 kg / m 3 ,导热系数 ? ? 11 W /(m ? k ) ,
2

比热容 c ? 1 560 J /(kg ? K ) ,这些粉末颗粒与气流间的表面换热系数为 10 000W /(m ? K ) ,粉末颗粒的熔点 为 2 350K,熔解潜热为 3 580 kJ / kg 。试在不考虑颗粒的辐射热损失时确定从 t0=3000K 加热到其熔点所需 的时间,以及从刚达到熔点直至全部熔为液滴所需时间。

解:

Biv ?

hR

?

?

1000 ? 25 ? 10 ?6 ? 0.068 ? 0.1 11 ,可按集总参数法计算:

? 0 ? 10000 ? 300 ? 9700 K ,? ? 10000 ? 2350 ? 7650 K ,
? hA 3h 3 ? 10000? ? exp( ? ? ) ? exp( ? ? ) ? exp( ? ) ?0 ?cV ?cR 3970 ? 1560 ? 25 ? 10 ?6 ,
7650 ? exp( ?193 .76? ) ? 0.7887 ?3 9700 , ? 193 .76? ? ?0.2374 , ? ? 1.22 ? 10 s ,

计算所需熔化时间:

?? :

4?R 3 R?r ?r ? 4?R 2 h???t ? h?t?? 3 , 3 ,

?? ?

R?r 25 ? 10 ?6 ? 3970 ? 3580 ? 10 3 355315 ? ? ? 1.55 ? 10 ?3 s 8 3h?t 3 ? 10000 ? (10000 ? 2350 ) 2.295 ? 10 。

3-18 直径为 1mm 的金属丝置于温度为 25 C 的恒温槽中,其电阻值为 0.01? / m 。设电阻强度为 120A 的电流
0

突然经过此导线并保持不变,导线表面与油之间的表面传热系数为 550W /(m ? K ) ,问当导线温度稳定后其
2

值为多少?从通电开始瞬间到导线温度与稳定时之值相差 1 C 所需的时间为多少?设表面传热系数保持为常 数,导线的

0

c? 500 J /(kg ? k )、? ? 8 000 kg / m3、?=25 W /(m ? K ) 。
一维非稳态导热
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解: (1)稳定过程热平衡:

h?D(t w ? t ? ) ? I 2 R

tw ?

I 2R ? t? ? 108 .4 0 C ?Dh

(3) 可采用集总参数法:令 ? ? t ? t ? ,由热平衡

d? ?? ? hA? ? 0 ?? v ? ?cV d? ? ?? ? 0,? ? 0 ?

?cV
解齐次方程

d? hA ? hA? ? 0 ? ? ? C exp( ? ?) d? ?cV
?

?v hA ?? ? C1 exp( ?) hA ?cV ,由 ? ? 0,? ? o 得 方程的解为:

?v C1 ? ? ,代入数据得?=8.04 s hA
(a) 无限大平板 一维非稳态 3-19 作为一种估算,可以对汽轮机启动过程中汽缸壁的升温过程作近似分析:把汽缸壁看成是一维的平壁, 启动前汽缸壁温度均匀并为 t0, 进入汽轮机的蒸汽温度与时间成线性关系, 及

?

t f ? t f 0 ? ??

, 其中

?为 蒸

汽温速率,汽缸壁与蒸汽间的表面传热系数 h 为常数,汽缸壁外表面绝热良好。试对这一简化模型列出汽缸 壁中温度的数学描写式。

?t ? 2t ?a 2 ?x 解: ??
t ( x, o ) ? t 0

(0 ? x ?? ) (0 ? x ?? )

??

?t ? h t ? (t f 0 ? w? ) ?x ,x ??

?

?

?t ?0 ?x ,x ?0

3-20 在一个无限大平板的非稳态导热过程中,测得某一瞬间在板的厚度方上的三点 A、B、C 处的温度分别 为
?5 2 t A ? 180 0 C、t B ? 130 0 C、t C ? 900 0 C , 与 B 及 B 与 C 各相隔 1cm, A 材料的热扩散率 ? ? 1.1?10 m / s 。

试估计在该瞬间 B 点温度对时间的瞬间变化率。该平板的厚度远大于 A、C 之间的距离。

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?t a(t A ? 2t B ? t C ) ?t ? 2t ? ?a 2 ?x 的离散形式为: ?? ?x 2 解: ??
?t 180 ? 2 ? 130 ? 90 ? 1.1 ? 10 ?5 ? ? 1.1K / s 0.012 代入已知数据可得 B 点的瞬时变化率为: ??

3-21 有两块同样材料的平板 A 及 B,A 的厚度为 B 的两倍,从统一高温炉中取出置于冷流体中淬火。流体与 各表面间的表面传热系数均可视为无限大。已知板 B 中心点的过余温度下降到初值的一半需要 20min,问 A 板达到同样温度工况需要的时间?

解:Bi A ? BiB ? ? ?

?m ? f ( Fo) ?0

?? m ? ?? m ? ? ? ? ? ? ? 0.5 ? Fo A ? FoB ? ?0 ? A ? ?0 ? B a A ? a B,? A ? 2? B ?? A ? (

?A 2 ) ? B ? 4? B ? 4 ? 20 min ? 80 min ?B
2

3-22 某一瞬间,一无内热源的无限大平板中的温度分布可以表示成 t1=c1x +c2 的形式,其中 c1、c2 为已知的 常数,试确定:

(1) 此时刻在 x=0 的表面处的热流密度

(2) 此时刻平板平均温度随时间的变化率,物性已知且为常数。

dt 解: ? 2C1 x dx (1) ( 2) q
x ?0

? ??

dt dx

x ?0

?0 ? ?? 2C1?

q

x ??

? ??

dt dx

x ??

由能量平衡: dt ? ?q x ?? ? A d? dt 2C1?? A 则 ? ? 2C1? d? ?cA?

?cA?

3-23 一截面尺寸为 10cm×5cm 的长钢棒(18-20Gr/8-12Ni) ,初温度为 20 C,然后长边的一侧突然被置于
0 200 C 的气流中, h ? 125W /(m ? K ) ,而另外三个侧面绝热。试确定 6min 后长边的另一侧面中点的温度。

0

2

钢棒 ?、c、v 可以近似地取用为 20 C 时之值。
0

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解:查表钢棒的物性参数为:? ? 7 820 k g / m 3,c ? 460 J / k g ? K,? ? 15 .2W / m ? K 按题意可作半壁厚为0.05 m的对称半无限大平板处理

? ?? ? 4.2255 ? 10 ?6 Fo ? 2 ? 0.60847 ?c ? h? 125 ? 0.05 Bi ? ? ? 0.4118 ? 15 .2 解超越方程 ?1=0.61584 ? 2 sin ?1 由式(3-22)计算: m ? exp( ? ?12 Fo) ? 0.84352 ? 0 ?1 ? sin ?1 cos ?1 ?=
t m ? 0.84352 (t 0 ? t f ) ? t f ? 48 .17 0 C
3-24 一高 H=0.4m 的圆柱体,初始温度均匀,然后将其四周曲面完全绝热,而上、下底面暴露于气流中, 气流与两端面间的表面传热系数均为 50W /(m ? K ) 。圆柱体导热系数 ? ? 20W /(m ? k ) ,热扩散率
2

? ? 5.6 ?10 ?6 m 2 / s 。试确定圆柱体中心过余温度下降到初值一半时间所需的时间。
解:因四周表面绝热,这相当于一个厚为 2? ? 0.4m 的无限大平壁的非稳态导热问题,

?m h? 50 ? 0.2 ? 0.5, Bi ? ? ? 0.5 ?0 ? 20
F0 ? 1.7,?? ? F0
由图 3-6 查得

?2
a

? 1.7 ?

0.2 2 ? 12142 s ? 3.37 h 5.6 ? 10 ?6

3-25 有一航天器,重返大气层试壳体表面温度为 1000 C,随即落入温度为 5 C 的海洋中,设海水与壳体表面 间的传热系数为 1135W /(m ? K ) ,试问此航天器落入海洋后 5min 时表面温度是多少?壳体壁面中最高温度
2

0

0

是多少?壳体厚 ? ? 50 mm , ? ? 56.8W /(m ? k ) , ? ? 4.13 ?10 m / s ,其内侧可认为是绝热的。
?6 2

1 ? 56.8 a? 4.13 ? 10 ?6 ? 300 ? ? ? 1.0, F0 ? 2 ? ? 0.496 ? 0.05 2 解: Bi h? 1135 ? 0.05

?m ?l ? ? ? 0 .8 ? 0.65,? m ? l ? 0.8 ? 0.65 ? 0.52 ?0 ?m ?0 ?m 由图 3-6 查得 ,由图 3-7 查得
t m ? t n ? 0.8(t n ? t ? ) ? 5 ? 0.8 ? (1000 ? 5) ? 801 0 C , t m ? 5 ? 0.52 ? 995 ? 522 0 C
0 0

3-26 厚 8mm 的瓷砖被堆放在室外货场上,并与-15 C 的环境处于热平衡。此后把它们搬入 25 C 的室内。为 了加速升温过程,每快瓷砖被分散地搁在墙旁,设此时瓷砖两面与室内环境地表面传热系数为

4.4W /(m 2 ? K ) 。为防止瓷砖脆裂,需待其温度上升到 100C 以上才可操作,问需多少时间?已知瓷砖地

? ? 7.5 ?10 ?7 m 2 / s , ? ? 1.1W /(m ? k ) 。如瓷砖厚度增加一倍,其它条件不变,问等待时间又为多长?

? m ? 10 ? 25 ? ?15 0 C ,? 0 ? ?15 ? 25 ? ?40 0 C ,
解:

?m 1 1.1 ? 0.375, ? ? 62.5. ?0 Bi 4.4 ? 0.004

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由图 3-6 查得

F0 ? 60. ?? ? F0
厚度加倍后,

?2
a

? 60 ?

0.004 2 ? 1280 s ? 21.3 min 7.5 ? 10 ?7

1 ?2 0.008 2 ? 31.25, 查得F0 ? 31,?? ? F0 ? 31 ? ? 2645 s ? 44 min Bi a 7.5 ? 10 ?7
3-27 汽轮机在启动一段时间后,如果蒸汽速度保持匀速上升,则汽缸壁中的温度变化会达到或接近这样的 工况:壁中各点的温度对时间的偏导数即不随时间而异,又不随地点而变(称准稳态工况) 。试对准工况导出 汽缸壁中最大温差的计算公式。

解:把气缸壁作为平壁处理且假定其外表面绝热, 如右图所示,则准稳态工况时气缸壁中温度分布可用下列数学式描写:

d 2t w dt ? , x ? 0, ? 0, x ? ? , t ? t w2 2 dx d ? a
式中 w 为气缸壁的升温速度,K/s。

t?
上式的通解为

1 wx 2 1 w? 2 ? c1 x ? c,由边界条件得,c1 ? 0, c 2 ? t w2 ? , 2 a 2 a

1 w( x 2 ? ? 2 ) t? ? t w2 , 最大温差是x ? 0及x ? ?处的壁温差其值为 2 a 故得 ?t ? t w2 ? (? 1 w? 2 1 w? 2 ? t w2 ) ? , 2 a 2 a
0

3-28 一块后 300mm 的板块钢坯 (含碳近似为 0.5%) 的初温为 20 C, 送于温度为 12000C 的炉子里单侧加热, 不受热侧面可近似地认为是绝热的。已知钢板热扩散率 ? ? 5.55 ?10 m / s ,加热过程中平均表面传热系数
?6 2
0 为 290W /(m ? K ) ,设确定加热到钢板表面温度低于炉温 15 C 时所需的时间,及此时钢板两表面间的温差。

2

导热系数可按 600 C 查附录。

0

?? ? ? sin ?1 cos ?1 ? ln ? ? ? 1 ? 2 sin ?1 cos ?1 ? ? ? 2.78545 由式(3-21) Fo ? ? 0 2 ? ?1

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?2 Fo ? 45169 s ? 12 .55 h ? ?? ? 15 由式(3-23):? m ? ? ? ?36 .4 cos ?1 cos1.1461 ??
?? ? ? ? ? ? m ? ?15 ? ( ?36 .4) ? 21 .4 0 C
3 ? 29、已知:初温为t0,厚为2?的无限大平板,两表面的温度突然降到t ? , 此后平板中各点的温度按下式计算:

? 4 ? 1 ? ? n? / ? 2 ? ? ? a? n?x ? ? e sin ? 0 ? n ?1 n 2? 其中? ? t ?x, ? ? ? t w , ? 0 ? t0 ? t w
2

今有一厚为3cm的平板,t0 ? 150 ?C,t w ? 30 ?C,a ? 2 ? 10 ?6 m 2 / s
求:用上式(仅取无穷级数的的第一项)计算 1min 后平板中间截面上的温度,并与海斯 勒图及(3-27)相比较,又,如取级数的前四项来计算,对结果有何影响? 解:由所给出的解的形式可以看出,此时坐标原点是取在板的一侧表面上的(x=0,

?x ? ? ? 2 ? ? t ? t1 ? 0), 对于板的中心, ? , ( ) 2 a? ? ( ) ? (2 ?10 ?6 ) ? 60 ? 1.31595 , 2? 2 2? 0.03 ? m 4 ?1.31995 a? 2 ? 10 ? 4 ? 60 ? 故得 ? ?e ? 0.3415 ,由 2 ? ? 0.5333 ,由图3 - 6查得 m ? 0.34 . 2 ?0 ? ? 0.015 ?0
如取前四项,得:

? m 4 ?1.31995 1 ?15.8435 1 ?64.481 ? (e - e ? e ) ?0 ? 3 7
? 4

?

(0.2682 ? 4.3866 ?10 ?8 ? 1.0310 ?10 ?15 ? 1.4155 ?10 ? 29 ) ? 0.3415

在四位有效数字内与取级数一项的结果毫无差别。 按分析解t w ? 30 ? 120 ? 0.3415 ? 70 .98 ?C.
3- 30 火箭发动

0 机的喷管在起动过程中受到 T? ? 1 500 K 的高温燃气加热,受材料的限制其局部壁温不得大于 1 50 K.为延

?6 2 长运行时间在喷管内壁喷涂了一层厚 10mm 的陶瓷,其物性参数为 ? ? 10W /(m ? k ) , ? ? 6 ?10 m / s 。试

对此情况下喷管能承受的运行时间作一保守的估计。设内表面与高温燃气间的表面传热系数为

h ? 2 500W /(m 2 ? K ) ,喷管的初始温度 To ? 300 K 。
解:一种保守的估计方法是假定喷管壁面是绝热的,则相当于厚为 2δ 1 的平板,

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? m 1500 ? 2300 800 h? 2500 ? 0.01 ? ? , ? 0.4, Bi ? 2 ? ? 2.5, x / ? ? 0 ? ? , ?0 300 ? 2300 2000 ? 10 ?m ? Ae ? ? F f ( ?1? ) ? Ae ? ? F , ?0
2 1 0 2 1 0

b ?1 0.9188 ?1 ) ? (0.4022 ? ) ? (0.4022 ? 0.3675 ) ?1 ? 1.2992 , Bi 2.5 ? cBi ?1 ? 1.1398 , A ? a ? b(1 ? e ) ? 1.0101 ? 0.2575 (1 ? e ?0.4271?2.5 )

?12 ? (a ?

? 1.0101 ? 0.2575 (1 ? e ?1.06775) ? 1.0101 ? 0.2575 (1 ? 0.3438 ) ? 1.10595 ,
? 0.4 ? 1.10595 e ?12992 F0 , ln 0.4 ? ln 1.10595 ? 1.2992 2 F0 ,
2

? 0.9163 ? 0.1007 ? 1.6879 F0 , F0 ?

1.017 ? 0.6025 , 1.6879 a? 6 ? 10 ?6? 0.6025 6.03 ? 10 ?5 6.03 ? ? 0.6025 ,? ? 0.012 ? ? ? ? 10 ? 10 .05 s ?2 0.012 6 ? 10 ?6 6 ? 10 ?6 6

分析:如果喷管表面不涂层,则允许使用的条件是 由于

?i ? m ?i ? ? 0.4, ?0 ?0 ?m

? ?i ? 1, 因而此时 m 必大于0.4,在相同的Bi下,F0必小于0.603,如果?相同, ?m ?0
3-31 一火箭发
0 0

则由于陶瓷的a小于金属的a,因而所允许的?值必更小。

动机喷管,壁厚为 9mm,出世温度为 30 C。在进行静推力试验时,温度为 1 750 C 的高温燃气送于该喷管,燃 气与壁面间的表面传热系数为 1 950W /(m ? K ) 。喷管材料的密度 ? ? 8 400 kg / m ,导热系数为
2 3

? ? 24.6W /(m ? k ) , c ? 560 J /(kg ? K ) 。假设喷管因直径与厚度之比较大而可视为平壁,且外侧可作绝热
处理,试确定: (1) 为使喷管的最高温度不超过材料允许的温度而能允许的运行时间; (2) 在所允许的时间的终了时刻,壁面中的最大温差; (3) 在上述时刻壁面中的平均温度梯度与最大温度梯度。

解: Bi ?

h?

?

? 0.7134

? ?1=0.76921 (1)

?? 1000 ? 1750 ? ? 0.43605 ?m 30 ? 1750

?? ? ? sin ?1 cos ?1 ? ln ? ? ? 1 2 sin ?1 cos ?1 ? ??0 ? ? 0.9993 Fo ? ? ?12

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??

?2 ? c? 2 Fo ? Fo ? 15 .5s ? ?
1 ) cos ?1

( 2) ?? max ? ? ? ? ? m ? ?? ? ? m ? ?? (1 ? ? (1000 ? 1750 )(1 ? (3)

1 ) ? 293 .9 0 C cos 0.76921

?t ?t h ?? ? 59 4510 C / m max ? x ?? ? ? ?x ?x ? ? ?t 1 ? ?? 1 x ? ? dx ? ? ( x) ? ? m cos(?1 ) ? 0 0 0 ?x ?x ? ? ? ? ? 1000 ? 293 .9 ? 1750 ? m (cos ?1 ? 1) ? ? (cos 0.76921 ? 1) ? 32 655 0 C / m ? 0.009 无限长圆管

3-32 对于一无内热源的长圆柱体的非稳态导热问题,在某一瞬间测得 r=2 cm 处温度的瞬间变化率为-0.5K /s。试计算此时此处圆柱体单位长度上的热流量沿半径方向的变化率,并说明热流密度矢量的方向。已知

? ? 43W /(m ? k ) , ? ? 1.2 ?10 ?5 m 2 / s 。
解:由无内热源常物性一维非稳态方程式: ?t 1 ? ?t ? ?t r ?? (r ) ? ?0.5 (r ) ? ?0.5 ? ?r r ?? ?? ?? ?? ? ? ?t ? ? ?? 2?r ?r ?? ? ?t r ?r? 3.14 ? 43 ? 0.02 ? 2?? (r ) ? ?2?? (?0.5 ) ? ? ? 225 ? 10 3W / m ?5 ?r ?? ?? ? ? 1.2 ? 10 ? 225 KW / m 热流密度矢量指向圆柱的中心。
3 ? 33、已知:一黄铜柱体,d ? 20cm, 初温为20?C的值,t ? ? 100 ?C , 柱体中心 温度在10 min 内上升到80?C.
解:由附录5得a ? Fv ?

? ? 109 80 ? 100 ? ? 3.43 ? 10 ?5 m 2 / s, m ? ? 0.25, ?c 8440 ? 377 ? 0 20 ? 100

a? 3.43 ? 10 ?3 ? 600 ? ? 2.06,由附录2图1查得Bi ? 0.4, R2 0.12 ?Bi 109 ? 0.4 h? ? ? 436W /(m 2 ? K ). R 0 .1

3 - 34已知:一长轴,d ? 170 mm, 初温为17 ?C,? ? 30W /(m ? K ), a ? 6.2 ? 10 ?6 m 2 / s, 炉温t m ? 850 ?C , h ? 141W /(m 2 ? K ). 求:使长轴的中心温度达到800 ?C所需的时间,及该时刻钢轴表面的温度。

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解:Bi ?

hR

?

?

? 141 ? 0.085 850 ? 800 ? 0.40; m ? ? 0.060 , 30 ?0 850 ? 17

a? R2 0.085 2 ? 4,?? ? F0 ? 4? ? 4661 s; R2 a 6.2 ? 10 ?6 t ? 850 r ?i 由 ? 1及Bi ? 0.4 查附录2图2得 ? w ? 0.83 . R ? m 800 ? 850 由附录2图1查得Fo ? ? t w ? 850 ? 0.83 ? 50 ? 808 .5?C.
3 ? 35、已知:一长轴,d ? 40 cm, 初温为600 ?C,? ? 22.3W /(m ? K ), a ? 8.8 ? 10 ?6 m 2 / s, t? ? 30 ?C , h ? 18 .5W /(m 2 ? K ). 求:长轴的最低温度达到450 ?C所需的时间。 1 ? 22 .3 ? 解: ? ? ? 6.03,由附录2图2查得 m ? 0.923, Bi hR 18 .5 ? 0.2 ?0

按已知

? s 420 ? ? ? 0.737 ? ? 0.737 ,? m ? s / m ? ? 0.798 . ? 0 570 ? 0 ? 0 ? s 0.923

由附录2图1查得F0 ? 0.7,?? ? F0

R2 0. 2 2 ? 0.7 ? ? 3181 .8s ? 53 min . a 8.8 ? 10 ?6 18 .5 ? 0.2 0.4349 ?1 或:Bi ? ? 0.166 , ?12 ? (0.1700 ? ) ? 2.7899 ?1 ? 0.3584 , ?1 ? 0.5987 , 22 .3 0.166 ? ? 1.0042 ? 0.5877 ? (1 ? 0.9352 ) ? 1.0042 ? 0.03810 ? 1.0423 ,

J ( ?1 ) ? 0.9967 ? 0.0354 ? 0.5987 ? 0.3259 ? 0.5987 2 ? 0.0577 ? 0.5987 3 ? 0.09967 ? 0.02119 ? 0.1168 ? 0.0577 ? 0.2146 ? 0.9135 .

?w 0.737 ? 1.0423 ? e ?0.3584F ? 0.9135 ? 0.737 ? e ?0.3584F ? ? 0.7740 , ?0 0.9524
0 0

? 0.3584 F0 ? ?0.2561, F0 ? ?0.2561, F0 ? 0.715 .下同。
3 ? 36、已知:一钢锭可视为长圆柱体,d ? 600 mm, 初温为30 ?C,? ? 43.5W /(m ? K ), a ? 7.5 ? 10 ?6 m 2 / s, t? ? 1400 ?C , h ? 290W /(m 2 ? K ). 求:装炉后2h、h、h及5h等四个时刻钢锭表面及中心的温度,并画出时间 - 温度曲线。 3 4

解:装炉后2h,Bi ?

hR

?

?

? 290 ? 0.3 a? 7.5 ? 10 ?6 ? 7200 ? 2, F0 ? 2 ? ? 0.6, s ? 0.46 2 43 .5 R 0.3 ?m

?m ? 0.3, t m ? 1400 ? 0.3 ? (1400 ? 30 ) ? 989 ?C , t s ? 1400 ? 0.138 ? (1400 ? 30 ) ? 1211 ?C. ?0
同理可算出其他时间的数据,结果列于下表:

?
2h

Bi
2

F0
0.6

?s / ?m
0.46

? m / ?0
0.3

t m ,?C
989

t s ,?C
1211

3h

2

0.9

0.46

0.14

1208

1312

3h

2

1.2

0.46

0.063

1314

1360

5h

2

1.5

0.46

0.03

1359

1381

为画出温度-—时间曲线,需计算数个

F0 ? 0.2 数 下的温度,此处从略。

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3 ? 37、已知:一钢锭d ? 500 mm, 高为800 mm,初温为30?C,? ? 40W /(m ? K ), a ? 8 ?10 ?6 m 2 / s, t? ? 1200?C , h ? 180W /(m 2 ? K ). 求: 后再钢锭高400 mm处的截面上半径为0.13 m处的温度。 3h 解:所求之点位于平板的中心截面与无限长圆柱r ? 0.13 m的柱面相交处。 hR 18 0 ? 0.4 a? 0.8 ? 10 ?6 ? 3 ? 36 00 对平板:Bi ? ? ? 1.8, F0 ? 2 ? ? 0.54, ? 40 R 0.4 2 ? 由图3 - 6查得 m ? 0.66; ?0

? ? r 0.13 1 由附录2图1查得 m ? 0.12, 又据 ? ? 0.52, ? 0.889 . ?0 R 0.25 Bi ? ? ? ? 由附录2图1查得 ? 0.885,? ? m ? 0.12 ? 0.885 ? 0.1062 . ?m ?0 ?0 ?m ? ? ? 所求点处的无量纲温度为: ? m ) ( ( ) ? 0.66 ? 0.1062 ? 0.0701 . ? c ?0 ?0 ?m t ? 0.0701? 0 ? 1200 ? ?0.0701 ?1170 ? 1200 ? 1118 ?C
t? ? 150 ?C , h ? 8.5W /(m 2 ? K ),3 min 后,棒表面由初温降到200 ?C。

对圆柱:Bi ?

hR

?

18 0 ? 0.25 a? 0.8 ? 10 ?6 ? 3 ? 36 00 ? 1.125 , F0 ? 2 ? ? 1.38 , 40 R 0.25 2

3 ? 38、已知:一长塑料棒d ? 30mm, ? ? 0.3W /(m ? K ), ?c ? 1050 k J /(m 3 ? K ). 求:棒的初温是多少? ? 0 .3 hR 8.5 ? 0.015 解:a ? ? ? 2.86 ? 10 ?7 m 2 / s, Bi ? ? ? 0.425 , 3 ?c 1050 ? 10 ? 0.3
F0 ?
2 t ?t a? 2.86 ? 10 ?7 ? 60 ? ? 0.229 , ? w ? w ? ? Ae ? ?1 F0 J ( ?1? ). 2 2 R 0.015 t0 ? t?

A ? a ? b(1 ? e ? cBi ) ? 1.0042 ? 0.5877 (1 ? e ?0.4038?0.425 ) ? 1.0042 ? 0.5877 ? (1 ? 0.8423 ) ? 1.0042 ? 0.09268 ? 1.0969 .

?1 ? (a ?

b ?1/ 2 0.4349 ?1/ 2 ) ? (0.1700 ? ) ? 0.9154 ,? ? 1, Bi 0.425 J? ( ?1? ) ? J 0 ( ?1 ) ? a ? b? ? c?12 ? d?13

? 0.9967 ? 0.0354 ? 0.9154 ? (?0.3259 ) ? 0.9154 2 ? 0.0577 ? 0.9154 3 ? 0.8003
解:a ?

? 0. 3 hR 8.5 ? 0.015 ? ? 2.86 ? 10 ?7 m 2 / s, Bi ? ? ? 0.425 , 3 ?c 1050 ? 10 ? 0. 3

2 t w ? t? 200 ? 150 ? ? 1.0969 e ?0.9154 ?0.229 ? 0.8003 ? 1.0969 ? 0.8254 ? 0.8003 ? 0.7246 . t0 ? t? t0 ? 150

50 ? 0.7246 (t0 ? 150 ), t0 ? ? 应加热到至少219 ?C.

150 ? 0.7246 ? 50 ? 219 ?C. 0.7246

3-39 有一耐热玻璃棒,直径为 25mm,为改善其表面的机械特性,在表面上涂了一层极薄的导热系数很大的
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金属层。在此金属涂层与芯棒之间平均存在有

Rl ? 0.10 m ? K / W 的热阻。该棒起初处于均匀温度 800K,然
2

后突然被置于 300K 的气流中冷却, 表面传热系数 h ? 120W /(m ? K ) , 试确定将该棒的中心温度降低到 500K
3 c ? 808 J /(kg ? K ) ? ? 3.98W /(m ? k ) 所需的时间。玻璃棒物性参数如下 ? ? 2 600 kg / m , p , 。

解:当量表面传热系数: h ' ? (1 / h ? Rl ?l ) ? 61.78W / m 2 ? K Bi ? h' R 61.78 ? 0.0125 ? 0.19402 ? ?1 ? 0.64396 ,A ? 1.04849 3.98

?

?

? m 500 ? 300 ? ? 0.4 ? 0 800 ? 300
R2

?m ) A? 0 Fo ? ? 2.3238 ? ?12
ln(

?cR 2 ?? Fo ? Fo ? 191 .75 s ? ?
一维球体

3 ? 40、已知:洋山芋近似看作球,d ? 5cm, 初温为20 ?C,物性近似取50 ?C水的值, 烘箱温度t ? ? 250 ?C , h ? 20W /(m 2 ? K ). 求: 20min 后山芋中心的温度。 解:查附录10得? ? 0.648W /(m ? K ),a ? 15 .7 ? 10 ?6 m 2 / s, F0 ? 1 ? 0.648 ? ? ? 1.296 . Bi hR 20 ? 0.025

a? 15 .7 ?10 ?6 ?1200 ? ? ? 0.301,由附录2图4查得 m ? 0.7. 2 2 R 0.025 ?0
0 0

? t ? t? ? 0.7? 0 ? 250 ? 0.7 ? (250 ? 20 ) ? 89 ?C.
3-41 一钢球直径为 10cm,初温为 250 C,后将其置于温度为 10 C 的油浴中。设冷却过程中的表面传热系数
0 可取为 200W /(m ? K ) ,问欲使球心温度降低到 150 C 需要经过多长时间,此时球表面的温度为多少?球的

2

?5 2 导热系数为 ? ? 44.8W /(m ? k ) ,热扩散率为 ? ? 1.229 ?10 m / s 。

解: Bi ?

200 ? 0.05 ? 0.2232 ? 44 .8 由近似计算: ?1=0.86265, ? 1.0683 A hR ?

? m 150 ? 10 ? ? 0.5833 ? 0 250 ? 10 ??
又 R2

?m ) A? 0 Fo ? ? 0.81283 ? ?12
ln(

?

Fo ? 165 .3s ? 0.8805

sin ?1

?1

? R ? ? m ? 0.8805 ? 140 ? 0.8805 ? 123 .30 C
t R ? ? R ? t f ? 123 .3 ? 10 ? 133 .30 C
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3 ? 42、已知:滚珠d ? 20mm. 初温为300K ,? ? 50W/(m/K), c ? 500J/(kg ? K),

? ? 7800kg/m 3 , t? ? 1300 K , h ? 5000W /(m 2 ? K ).
求:滚珠离开表面1mm深的地方温度达到 1000 K的时间。 1 ? 50 r 0.009 ? 解: ? ? ? 1, ? ? 0.9, 查附录2图5的 r ? 0.705 , Bi hR 5000 ? 0.01 R 0.01 ?m

? r 1000 - 1300 ? 0 .3 ? ? 0.3, m ? ? ? 0.426 . ? m 300 - 1300 ? 0 0.705 a? ? 50 查附录2图4得F0 ? 2 ? 0.449 , a ? ? ? 1.28 ? 10 ?3 m 2 / s R ?c 7800 ? 500
按题意 ?? ? F0 R 2 0.449 ? 0.012 ? ? 3.51s a 1.28 ? 10 ?3

3 ? 43、已知:半球形玻璃r ? 0.15m ,初温为300 ?C,? ? 0.8W/(m/K) , c ? 840J/(kg ? K),

? ? 275 0kg/m3 , t? ? 410 ?C, 平面一侧绝热,球面一侧的表面传热系数h ? 10.5W /(m 2 ? K ).
求: 后半球内的最高温度。 8h 1 ? 0.8 ? 0.8 解: ? ? ? 0.508 , a ? ? ? 3.463 ? 10 -7 m 2 / s Bi hR 10.5 ? 0.15 ?c 2750 ? 840 F0 ? ? a? 3.46 ? 10 -7 ? 3600 ? 8 ? ? ? ? 0.443, 查附录2图4、得 ? m ? 0.28, r ? 0.45. 5 2 2 R 0.15 ?0 ?m

?r ? 0.45 ? 0.28 ? 0.126. 最高温度为表面温度t ? ? 410 ? 0.126 ? (410 ? 30 ) ? 362 ?C. ?m

3 ? 44、已知:橘子可近似看作d ? 6cm的圆球, , 初温为10 ?C,物性近似取5?C水的值 近似计算,t ? ? 5?C , h ? 7W /(m 2 ? K ). 求:橘子多长时间结霜。
解:橘子外表面的温度应c大于零度,故物性按( ? 0) 2 ? 5?C查取。 10 / 1 ? 0.563 ? ? ? 2.68, Bi hR 7 ? 0.03 ? ? t ?t 0 ? (?5) 5 查附录2图5得 s ? 0.84, 按已知 s ? s ? ? ? ? 0.333, ?m ? 0 t0 ? t? 10 ? (?5) 15

? ? 0.593W/(m ? K), a ? 13 .4 ? 10 ?3 m 2 / s,

? m ? s ? s 0.333 a? ? / ? ? 0.3964 , 查附录2图4得F0 ? 2 ? 1, ? 0 ? 0 ? m 0.84 R
?? ? F0 R 2 1 ? 0.03 2 ? ? 6716.4 s ? 1.87h . a 13.4 ? 10 ?8

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3 ? 45、已知:卵石d ? 10cm. 初温为20 ?C,? ? 2.2W/(m/K), c ? 780 J/(kg ? K), t? ? 80 ?C, h ? 35W /(m 2 ? K ), a ? 1.13 ?10 ?6 m 2 / s. 求:半小时和两小时后,卵石的中心温度及没立方米对方体积的卵石的出热量。 解:( )半小时后,F0 ? 1 查附录2图4得 a? 1 ? 2.2 ? 0.8136, ? ? ? 1.26 , 2 R Bi hR 35 ? 0.05

?m ? 0.24,t ? ? 80 ? 0.24 ? (80 ? 20 ) ? 65 .6?C.查附录2图5得: ?0 ?s ? ? 0.685 ,? s ? 0.685 ? 0.24 ? 0.1644 , t s ? 80 ? 0.1644 ? (80 ? 20 ) ? 70 .1?C ?m ?0 70.1 ? 65.6 球体平均温度可近似地取为两者间的平均值,则? ? ? 67.9 ?C 2 4?R 3 故这一段时间中的蓄热量为:? ? 1000 ? ? ? ? c ? (t ? t0 ) 3
4 ? 3.1416 ? 0.05 3 ? 780 ? 2496 ? (67 .9 ? 20 ) ? 4.88 ? 10 7 J . 3 或查附录2图3,得Q / Q0 ? 0.8, ? ? 1000 ? 4 ? 3.1416 ? 0.05 3 ? 780 ? 2496 ? (80 ? 20 ) ? 6.113 ? 10 7 J 3 Q ? 0.8Q0 ? 0.6113 ? 10 7 ? 0.8 ? 4.89 ? 10 7 J。 Q0 ? 1000 ?

(2)二小时后,F0 ? ?

a? ? ? 3.254,查附录2图4得 m ? 0.0017 2 R ?0

?s ? 0.0017 ? 0.685 ? 0.00116 ,t ? ? 80 ? 0.0017 ? 60 ? 79 .90 ?C , ?0
4 ? 3.1416 ? 0.05 3 ? 780 ? 2496 ? 79.902 - 20) 6.11 ? 10 7 J . ( ? 3

t s ? 80 ? 0.0016 ? 60 ? 79 .904 ?C , 平均温度为79.9 ?C, ? ? 1000 ?

3-46、已知:两个固体球,初温为 600K, ? ? =300K, d A =200mm, d B =20mm,

? A ? 1600 Kg / m3 , c A ? 0.4kJ /(kg ? K ) , cB ? 1.6kJ /(kg ? K ) , ?A ? 170W /(m ? K ) ,

?B ? 1.7W /(m ? K ) , hA ? 5W /(m 2 ? K ) , hB ? 50W /(m2 ? K ) .
求:把两个球表面冷却到 415K 及把两球中心冷却到 415K 所需的时间,并对计算结果作 出定性分析。

解:Bi A ? (

hR

?

)A ?

5 ? 0 .1 ? 0.00294 ? 0.1,? A可用集总参数法。 170
h?
2

? ? 0 ? 600 - 300 ? 300 K,? ? 415 - 300 ? 115 K , ? e ?cV , ?0
115 3? 5 ? exp( ? ),0.3833 ? exp( ?0.0002344 ? ), 300 1600 ? 400 ? 0.1 ? 0.0002344 ? ? ?0.9589 ,? ? 4091 s. Bi B ? ( hR

?

)B ?

50 ? 0.01 ? 0.294 ? 0.1,? B球应采用图线法或Campo拟合公式。 1. 7
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? ? Ae ? ? ?0 ?12 ? (a ?

2 1 F0

f ( ?1? ) ? Ae ? ?1 F0 ,
2

b ?1 0.2779 ?1 ) ? (0.0988 ? ) ? 0.9578 , Bi 0.294 ?1 ? 0.9787 , A ? a ? b(1 ? e ?cBi ) ? 1.0003 ? 0.9858 (1 ? e ?0.0191?0.294 ) ? 1.0886 对球中心,? ? 0,f ( ?1? ) ?
2 ? sin(0) ? 1, m ? 1.0886 e ?0.9787 F0 ? 1.0886 e ?0.9579F0 , 0 ?0

0.3833 ? 1.0886 e ?0.9579F0 , e ?0.9579F0 ? 0.3521,?0.9579 F0 ? ?1.0438 ,
F0 ? 1.0897 , a ?

? 1.7 a? ? ? 2.656 ?10 ?6 m 2 / s, 2 ? 1.0897 . ?c p 400 ?1600 R

? ? 1.0897 ? 0.012 /(2.656 ?10 ?6 ) ? 41.03s. sin(?1 ) sin(0.9897 ) 对球面上,? ? 1,f ( ?1? ) ? f ( ?1 ) ? ? ? 0.8478 , ?1 0.9897
0.3833 ? 1.0886 ? 0.8478 e ?0.9579F0 , e ?0.9579F0 ? 0.4153 ,?0.9579 F0 ? ?0.8787 , F0 ? 0.9137 ,? ? 0.9173 ? 0.012 /(2.656 ?10 ?6 ) ? 34.54 s. A球中心或表面达415 K,需4091 s; B球中心达到415K ,需41.03s, 表面需34.54s 。温度与时间定性分析图如下:

3-47.在温度为-30℃的高空云层中形成了直径为 5mm 的球状冰雹,然后开始落下并穿过温度为 5℃的热空气 层.试计算冰雹需落下多少时间其表面才开始熔化,并确定此时冰雹中心的温度.冰雹的物性可取冰的值, 即取 h ? 240 W m K ,c ? 2040 J ?kgK? .
2

?

?

半无限大物体 3-48 一种测量导热系数的瞬态法是基于半无限大物体的导热过程而设计的。设有一块厚材料,初温为 30 C, 然后其一侧表面突然与温度为 100 C 的沸水相接触。在离开此表面 10mm 处由热电偶测得 2min 后该处的温度
0 为 65 C。已知材料的 ? ? 2 200 kg / m , c ? 700 J /(kg ? K ) ,试计算该材料的导热系数。 0 0

3

水积成川。载澜载清。土积成山。歊蒸郁冥。山不让尘。川不辞盈。勉尔含弘。以隆德声。 - 55 -

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解:t w ? 100 0 C, t 0 ? 30 0 C, x ? 0.01m,

t ? 65 0 C

? ? 2 ? 60 ? 120 s, ? ? 2 200 Kg / m 3, C ? 700 J / Kg ? K ? 65 ? 100 ? ? 0.5 ? erfn 由参考文献:?=0.477 ? 0 30 ? 100
由?= x 2 ??

? ? ?c? ?

?cx 2 2200 ? 700 ? 0.012 ? ? 1.41W / m ? K 4?? 2 4 ?120 ? 0.477 2
3

0 3-49、已知:有两个很大的不锈钢制及木制的家具,初温为 20 C 。木制的物性可取为 ? ? 545kg / m ,

? ? 0.17W / ? m ? K ? 及 c ? 2385 J / ? kg ? K ? ;不锈钢的物性可取为 ? ? 7820kg / m3 , ? ? 18W / ? m ? K ? 及
c ? 460 J / ? kg ? K ? 。
求:用定量分析说明用手去触摸他们时,哪一个感觉更冷一些? 解:温度不同的两种物体接触时界面上要保持热流连续及温度连续,如图所示有:

? dT ? ? dT ? ?T1 ?T2 ??1 ? 1 ? ? ??2 ? 2 ? ? dx1 ? ? dx2 ? ,近似地以 x1 , x2 代替导数,则有: ?T ?T ??1 2 ? ??2 2 x1 x2 ,另一方面,在 x1 中物体 1 放出之热应等于 x2
中物体吸收之热,则有:

?1c1 x1

?T1 ?T ?T1 ?T2 ? ?2 c2 x2 2 2 2 ,其中 2 , 2 为平均温升或温降,将
?T1 ? ?T2

以上二式结合得:

?1c1?1 ? ?T1 ? ? ? 2 c2 ?2 ? ?T2 ? ,即: ?1c1?1 如果接触处温度 T0 接近 T1 ,则人体感觉不是很凉;
2 2

? 2 c2 ?2

如果接触处温度 T0 接近 T2 ,则人体感觉就凉。 对于木材 对于人体 对于木材

? 2 c2 ?2 ? 545 ? 2385 ? 0.17 ? 470.0 ;

?1c1?1 ? 1000 ? 0.618 ? 4174 ? 1606

? 2 c2 ?2 ? 7820 ? 460 ? 18 ? 8047 。

?T1 470.0 ?T1 8047 ? ? 0.293 ? ? 5.01 ?T2 1606 ?T2 1606 所以木材: ;不锈钢 。
因而人手与 20 C 木材及钢接触时,人的皮肤温度完全不同,对于木材下降不多;而对于不锈钢则大幅度下 降。
3 0 ? ? 1.4W / ? m ? K ? 及 c ? 880 J / ? kg ? K ? , 3-50、已知:夏天高速公路初温为 50 C , ? ? 2300kg / m ,
0

突然一阵雷雨把路面冷却到 20 C 并保持不变,雷雨持续了 10min。 求:此降雨期间单位面积上所放出的热量。作为一种估算,假设公路路面以下相当厚的一层混凝土上均为 50 C ,分析这一假设对计算得到的放热量的影响。 解
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0



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10 ? 6 2300 ? 880 ? 1.4 ? ? 50 ? 20 ? 3.14 ? 2 ? 191.08 ? 2833600 ? 30 ? 139.6KJ 。 q?2

? ?

?

? c? ? ? t w ? t 0 ? ? 2

?

?

?

夏天路面以下温度实际上低于表面温度,因而这一假设使计算得到的值偏高。 3-51、已知:要在寒冷地区埋设水管,把地球简化成半无限大的物体,冬天用较长时间内地球表面突然处于 较低的平均温度这样一种物理过程来模拟。某处地层的 a ? 1.65 ? 10 m / s ,地球表面温度由原来均与的
2 ?7

15 C 突然下降到-20 C ,并达 50 天之久。 求:估算为使埋管上不出现霜冻而必须的最浅埋设深度。 解:埋管的深度应使五十天后该处的温度仍大于等于零度。

0

0

t ? x, ? ? ? t x
因而得

t0 ? t x

?

15 ? ? ?20 ?

0 ? ? 20 ?

? 0.5714

x
,由误差函数表查得 2 a?
?2

? 0.56


所以 x ? 2 ? 0.26 a? ? 2 ? 0.56 ? 1.65 ? 10

? 50 ? 24 ? 3600 ? 0.946m 。
0

3-52、已知:医学知识告诉我们:人体组织的温度等于,高于 48 C 的时间不能超过 10s,否则该组织内的细 胞就会死亡。今有一劳动保护部门需要获得这样的资料,即人体表面接触到 60 C 、70 C 、80 C 、90 C 、 100 C 的热表面厚,皮肤下烧伤程度随时间而变化的情况。人体组织性取 37 C 水的数值,计算的最大时间 为 5min,假设一接触到热表面,人体表面温度就上升到了热表面的温度。 求:用非稳态导热理论做出上述烧伤深度随时间变化的曲线。
0 0

0

0

0

0

? x ? erf ? ? 0 ?8 2 ? 2 a? ? 解:按半无限大物体处理,37 C 时 a ? 15.18 ? 10 m / s 。利用习题 54 中给出的公式,可得 x
0 之值,由误差函数表可查得相应的 2 a? 的数值,从而确定不同 ? (单位秒)下温度为 48 C 的地点的 x 值,
0 0 即皮下烧伤深度。令对于 t x ? 60 C 及 70 C 两种情形给出计算结果如下:

烧伤深度,mm

t x ,0 C

t ? x,? ? ? t x t0 ? t x

x 2 a?
0.5 分 钟 1 分钟 2 分钟 3 分钟 4 分钟 5 分钟

60

0.52174

0.5014

2014

3.03

4.28

5.24

6.05

6.77

70

0.66666

0.6852

2.92

4.14

5.85

7.16

8.27

9.25

变化曲线略。 3-53.70℃的热茶突然倒入初温为 25℃的陶瓷茶杯中.茶杯壁面厚 6mm.假设茶杯内表面温度立即上升到
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70℃,试确定茶杯内表面下 2mm 处温度达 30℃所需的时间.陶瓷材料的热扩散率 a ? 4 ? 10 多维非稳态导热 3-54、已知:一正方形人造木块,边长为 0.1m, ? ? 0.65W /(m ? K ), ? ? 810 kg / m ,
3

?7

m2 s .

c ? 2550 J /(kg ? K ), 初温为 25 ?C , t? ? 425 ?C , h ? 6.5W /(m2 ? K ), 经过 4 小时 50 分
24 秒后,木块局部地区开始着火。 求:此种材料的着火温度。 解:木块温度最高处位在角顶,这是三块无限大平板相交处。

Bi ? a?

h?

?

?

? 6.5 ? 0.05 ? 0.5 ? 0.1;由图3 - 7查得 s ? 0.8, 0.65 ?m

? 0.65 a? 3.147 ?10 ?7 ? 17424 ? ? 3.147 ? 10 ?7 m 2 / s, Fo ? 2 ? ? 2.19; ?c 810 ? 2550 R 0.05 2 ? ? ? ? 由图3 - 6查得 m ? 0.4, s ? s m ? 0.8 ? 0.41 ? 0.328 . ?0 ?0 ?m ?0 ? 3 角顶处无量纲温度:? ? s ) ? 0.328 3 ? 0.0353, ( 0 ?0
? 角顶温度:t ? t? ? 0.0353 (t0 ? t? ) ? 425 ? 0.0353 ? (25 ? 425 ) ? 411 ?C.
3-55、已知:一易拉罐饮料,初温为

30?C ,物性可按水处理,罐的直径为 50mm,高为 120mm,
t? ? 5?C , h ? 10W /(m 2 ? K ).

罐壳的热阻可以忽略,罐中的饮料的自然对流可以忽略。

求:饮料到达

10?C 所需的时间。

30 ? 10 ? 20?C 2 解:物性按 计,则有

? ? 0.599W /(m ? K ), a ? 14.3 ?10 ?8 m 2 / s, h? 10 ? 0.06 hR 10 ? 0.025 ?1 ?1 Bi ? ? ? 1.002 , Bi ? 1.0, Bi c ? ? ? 0.417 , Bi c ? 2.4. ? 0.599 ? 0.599 ? 5 ? ? 0 ? 30 ? 5 ? 25 ?C , ? ? 10 ? 5 ? 5?C , ? ? 0.2, ? Ae ? ? F . ? 0 25 ?0
2 1 0

对平板:?12 ? (a ?

b ?1 0.9188 ?1 ) ? (0.4022 ? ) ? 0.7580 , Bi 1.002 A ? a ? b(1 ? e ?cBi ) ? 1.0101 ? 0.2575 (1 ? e ?0.4271?1.002 ) ? 1.0998,

? 0 ? 30 ? 5 ? 25 ?C , ? ? 10 ? 5 ? 5?C ,
对柱体:?12 ? (a ?

? 5 ? ? ? 0.2, ? Ae ? ? F . ? 0 25 ?0
2 1 0

b ?1 0.4349 ?1 ) ? (0.1700 ? ) ? 0.8245 , Bic 0.417

A ? a ? b(1 ? e ?cBi c ) ? 1.0042 ? 0.5877 (1 ? e ?0.4238?0.417 ) ? 1.0953,

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a? 2 , ? ? 0.06 2 ? 0.0036 , R 2 ? 0.025 2 ? 0.000625 . 2 ? R 0.0036 F0? ? F0 ? ? ? 5.76 F0 ? , 于是有: 0.000625 F0 ? ?
2

a?

, F0? ?

?m ?m ?m F ? ( ) ? ( ) c ? 1.2046 e ? , ?0 ?0 ?0
0

0.2 ? e ?5.3071F0? ? 0.1660 ,?1.7856 ? ?5.5071 F0 ? , F0 ? ? 0.324 , 1.2046 ? ? 0.324 ? 0.06 2 /(14 .3 ?10 ?8 ) ? 8162 .65 s ? 2.27 h.
3-56 一直径为 0.15m,高 0.05m 的平板玻璃圆盘,送入退火炉中消除应力,其初始温度为 30 C,炉中温度 为 450 C。设玻璃盘在炉内各时各表面均可受到加热,表面传热系数为
0 0

9.5W /(m 2 ? K ) 。按工艺要求,需加热到盘内各点温度均为 4000C 以上,试估算所需时间。已知该盘导热系数

? ? 0.78W /(m ? k ) , ? ? 2 700 kg / m 3 , c ? 835 J /(kg ? K ) 。
解:平板玻璃盘在几何上是直径为0.15 m的圆柱与厚为0.05 m的无限大平板相交而成 按加热工艺要求,使最低温度即中心温度达到400 0 C 1 ? 0.78 对平板: ? ? ? 3.284 Bi h? 9.5 ? 0.025 1 ? 0.78 对圆柱: = = ? 1.095 Bi h? 9.5 ? 0.075 ? 400 ? 450 按题意:m ? ? 0.119 ?o 30 ? 450

采用试凑法求解,取一组?值,计算每个?值下? m / ? 0值,由此确定所需的时间 其中(Fo) ? p t (min) 150 160 170 ?? ? ?? ? ?? ?? ? , ) c ? 2 ,m ? ? m ? ? m ? ( Fo 2 ? R ?o ? ?o ? p ? ?o ? c ( Fo) c 0.554 0.590 0.627 ?? m ? ? ? ? ?o ? p 0.30 0.28 0.25 ?? m ? ? ? ? ?o ? c 0.57 0.50 0.46

(Fo) p 4.982 5.314 5.646

?m ?o
0.171 0.140 0.115

由此可见,大约 min( 2.8h)后可达到要求。 170 3 ? 57、已知:牛肉尺寸为40 mm ? 60 mm ? 100 mm, 初温为5?C,牛肉的物性可按水处理,
t ? ? 180 ?C , h ? 20W /(m 2 ? K ). 求:把牛肉加热到80 ?C所需要的时间。 解:这是三块平板相交的问题,要计算使中心温度达到80?C所需的时间,牛肉按

5 ? 80 ? 42.5 ?C计算,查得物性:? ? 0.638W /(m ? K ),a ? 15.0 ?10 ?8 m 2 / s 2

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20 ? 0.02 ? 0.62696 ? 0.638 h? y 20 ? 0.03 Bi y ? ? ? 0.94044 ? 0.638 h? 20 ? 0.05 Bi z ? z ? ? 1.5674 ? 0.638 2 ? ? 100 ? 0 ? 175 ?C ,? ? 100 ?C , ? ? 0.5714286 , m ? Ae ? ?1 F0 ? 0 175 ?0 Bi x ? ?
对平板x(轴向),?12 ? 0.4022 ? ( 0.9188 ?1 0.9188 ?1 ) ? (0.4022 ? ) ? 0.53542 Bi 0.62696

h? x

A1 ? a ? b(1 ? e ?cBi ) ? 1.0101 ? 0.2575 (1 ? e ?0.42718?0.62696 ) ? 1.070592 .
2 对平板y,? 2 ? 0.4022 ? (

0.9188 ?1 ) ? 0.725064 , 0.94044 A2 ? 1.0101 ? 0.2575 (1 ? e ?0.42718?0.94044) ? 1.09528 . 0.9188 ?1 ) ? 1.01174 , 1.5674 A2 ? 1.0101 ? 0.2575 (1 ? e ?0.42718?1.5674) ? 1.13576 .

2 对平板z,?3 ? 0.4022 ? (

F0 x ?

a?

?x

2

, F0 y ?

a?

?y

2

, F0 z ?

a?

? z2

, F0 y ? 0.4444 F0 x , F0 z ? 0.16 F0 x ,
0x

?m ?m ?m ?m ? ( ) x ( ) y ( ) z ? 0.5714 ? e ?1.01935F ? 0.4291 ? F0 x ? 0.83 ?0 ?0 ?0 ?0 ? ? 0.83 ? 0.0004 /(15 ?10 ?8 ) ? 2213 s ? 37 min .
3-58、已知:一短钢圆柱体,直径为 10cm、高 10cm,初温

1 ? 47.5 ?? 9.55 ?10 -6 ?180 解:对无限长圆柱体: ? ? ? 3.8,Fo ? 2 ? ? 0.688, Bi hR 250 ? 0.05 ? 0.05 2 查附录2图1得

?m ? ? ? 0.71,由附录2图2查得 s ? 0.88, s ? 0.88 ? 0.71 ? 0.625 ? ?o ?m ?o
? 47.5 ?? 9.55 ?10 -6 ?180 ? 3.8,Fo ? 2 ? ? 0.688, 250 ? 0.05 ? 0.05 2

对无限长平板:

? ? 0.5, ?

1 Bi

?
hR

?m ? ? ? 0.9,由图3 - 7查得 s ? 0.88, s ? 0.88 ? 0.9 ? 0.792 ? ?o ?m ?o ? ? ? ? 短圆柱体中的最低温度为 s ? s ) s ) ? 0.625 ? 0.792 ? 0.495 . ( ( ? c ?o ?o ?o
由图3 - 6查得 t ? t f ? 0.495 ? (t0 ? t f ) ? 143 .9?C ; 最高温度为

? ? ?m ? m ) m ) ? 0.71 ? 0.9 ? 0.639 , ( ( ? c ?o ?o ?o

t ? t f ? 0.639 ? (t0 ? t f ) ? 177 ?C , ?t ? 177 ? 143 .9 ? 33 .1?C.
3-59、已知:对于 3-5 节中所讨论的长棱柱体的非稳态导热问题(图 3-14a) ,假设平板 p1

及 p2 从过程开始到 t 时刻的换热量与该平板在这一非稳态导热过程中的最大换热量之比分

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别为?Q / Q0 ?p1 及?Q / Q0 ?p 2 .
求:导出用上述两个值表示的在同一时间间隔内柱体的

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Q / Q0

之值的计算式。

解:对一维问题按式(3-34)有:

? ? 1 t ? t? 2 1 ? )1 ? 1 ? ? ( )dV ? 1 ? ? ? 1dx ? 1 ? ? dx, ?0 V t0 ? t? 2? 1 ?1 ?0 ?1 ?0 ? 1 ? ? 1 t ? t? 2 1 ? ( )2 ? 1 ? ? ( )dV ? 1 ? ?0 ? ? 2 dx ? 1 ? ? 2 ?0 ? ? 2 dy, ?0 V t0 ? t? 2? 2 ?1

(

1

1

1

2

据乘积解法? ? ? ? 1 ? ? ? 2,于是有对二维方柱体

(

? ? 1 t ? t? 2 1 )1 ? 1 ? ? ( )dV ? 1 ? ?0 ? ?1dx ? 1 ? ?1 ?0 V t0 ? t? 2?1 ?1
1

?

?1

0

? ? 1dx,

? 1?

4 2?1 ? 2? 2 1

?

?1

0

? ? 1dx? ? ? 2 dy ? 1 ?
0

?2

1

?1? 2

?

?1

0

? ? 1dx? ? ? 2 dy
0

?2

? 1? (

?1

?

?1

0

? ? 1dx)(

1

?2

?

?2

0

? ? 2 dy)

? 1 ? ?1 ? ? ?1 ?? ?? ?? ? 0

?

?1

0

? ? 1 ? ? 1dx? ? ?1 ? ? ? ?2

?

?2

0

? ? 1 ? ? 2 dy? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?2

?

?1

0

?? 1 ? ? 1dx? ?1 ? ?? ?2

?

?2

0

? ? ? 2 dy? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?0 ? ? 2 ? ?0 ? ?1 ? ?0 ? ?? ? ? ? ?? ? ?1 ? 0

?? 其中? ?? ? 0


? ? 均可据式( - 34)算出。 3 ? ? ?2

综合分

0 ?6 2 ? ? 4.0W / ? m ? K ? ,点火 3-60、已知:一大型加热炉炉底厚 50mm,初温为 25 C , a ? 5 ? 10 m / s ,

t ? 1600 C , h ? 40W / m ? K 。按工艺要求炉内各表面均应加热到 1500 C 方可投入使用。 后 ? 求:从开始点火到满足这一条件所需的时间。
0
2

?

?

0

解:近似地认为炉底外表面是绝热的,则这是一厚为 2? ? 2 ? 0.05m 的无限大平板的非稳态导热问题。

?? 1 ? 4 ? 0.8 ? ? ? 2.0 ?m Bi h? 40 ? 0.05 ,由图 3-7 查得 ,

? m 1475 ? 1600 ? ? 0.0794 tm ? 1600 ? 100 / 0.8 ? 1475 C 。 ? 0 25 ? 1600 ,
0

由图 3-6 查得 Fo ? 6.1 ,即

??

6.1 ? 0.05 ? 30500s ? 8.47h 5 ? 10?1 。

3-61、已知:半无限大物体分别处于下列三种边界条件: (1)第一类边界条件, t w 为常数; (2)第二类边界条件, qw 为常数; (3)第三类边界条件,h 及 t ? 为常数。 求:定性地画出物体中的温度随时间变化的曲线。 解:

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? ? 43W / ? m ? K ? ,a ? 1.17 x10?5 m2 / s , 3-62、已知:一输油管,外径 d 0 ? 1m ,壁厚 45 mm ,外侧绝热,
初温为-20 C 。然后 80 C 的油突然流经该管, 求: (1)输油 5min 后油管外表面的温度; (2)输油 5min 后油管内表面的瞬时热流密度; (3)输油 5min 后油管单位长度上所吸收的热量。 解:假设按无限大平板处理,如图所示:
0 0

h ? 400W / ? m 2 ? K ?



? ? 45mm , ?2 h? 400 ? 0.045 Bi ? ? ? 0.419 ? 43 ,
油 管 外 表 面 处

Fo ?

a?

?

1.17 ? 10?5 ? 5 ? 60 ? 1.733 0.0452 ,

??

x

?

?0

。 采 用 拟 合 公 式

?m ? Ae ? ? ?0
?

2 1 Fo

f ? ?1? ?
?1



?1 ? 0.6208, A ? a ? b ?1 ? e Bi ? ? 1.0101 ? 0.2575 ?1 ? e ?0.4271?0.419 ? ? 1.0523
f ? ?1? ? ? ? cos ? ?1? ? ? cos 0 ? 1 。

?12 ? ? a ? ? ? ? 0.4022 ? ? ? 0.38535 Bi ? 0.419 ? ? ? ,

b ?

?

0.9188 ?

?1



?? ? Ae? ? (1) ? 0

2 1 Fo

? x? cos ? ?1 ? ? ? ?,
2

?m ? 1.0523 ? e?0.6208 ?1733 ? 1.0523 ? e?0.6679 ? 1.0523 ? 0.5128 ? 0.5396 所以 ? 0 , tm ? 80 ? 0.5396 t ? 80 ? 0.5396 ? ? 20 ? 8 ? ? 80 ? 53.96 ? 26.040 C ?20 ? 80 , m 。 ?? x ? ? x? ? |x ?? ? ? A?0 e? ? Fo sin ? ?1 ? ? 1 ? ? A?0 e ? ? Fo sin ? ?1 ? ? 1 ? , ? ?? ? (2) ?x
2 1 2 1

q ? ??

2 ? ? ?t ?? ? ? ?? ? ?? ? ? A? 0 e ? ? 1Fo sin ? ?1 ? ? 1 ? ?x ?x ? ? ?

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=

?43 ? ? ?20 ? 80? ? 1.0523 ? ? e?0.6679 ? ? sin ? 0.6208? ?

0.6208 0.045

2 = 43 ? 100 ? 1.0523 ? 0.5128 ? 0.5819 ? 13.796 ? 18627KW / m 。

相应温差

?t ?

18627 ? 46.60 C t ? 80 ? 46.6 ? 33.40 C 400 , w >26.04。
2 1 Fo

? ? ? 1? ? 0 , ? ? Ae? ? (3) ?0

B, a ? cBi 1.0063 ? 0.3483 ? 0.419 1.0063 ? 0.1459 B? ? ? ? 0.9372 1 ? bBi 1 ? 0.5475 ? 0.419 1 ? 0.2294 ,

? ? 1 ? 0.5057 ? 0.4943 ? ? 1.0523 ? 0.5128 ? 0.9372 ? 0.5057 , ?0 所以 , ? ? 0.4943?0 ? 0.4943? cV ? t0 ? t? ? ? 0.4943? c?? ? 1 ? ? ?20 ? 80 ?
??? 0.4943 ? ? ? ? 0.045 ? 1? ? ? 100? ? 3.14 ?a? = 0.4943 ? 3.675 ? 106 ? 0.045 ? ? ? 100? ? 3.14 =
= ?2.565 ? 10 J 。
7

3 ? ? 18W / ? m ? K ? , c ? 1200 J / ? kg ? K ? ,初温 3-63、已知:一固体球, d ? 10mm , ? ? 3200kg / m ,
0 0 h ? 10W / m 2 ? K 为 450 854J ,然后进行两步冷却:第一步, t? ? 25 C , ,球的中心温度降到 350 C ;

?
0

?

h ? 6000W / m ? K 第二步, t? ? 25 C , ,球的中心温度降到 50 C 。 求:每一阶段冷却所需时间及该阶段中球体所释放出的热量。
0
2

?

?

解: 温度计算

10 ? 0.005 ? 2.777 ?10?3 ? 18 ? 第一阶段, <<0.1,可用集总参数法。 hF h 1 h 6 10 6 hF ? ? ? ? ? ? ? ? 1.5625 ?10?3 ? cV ? ? ?0e ? c V / F ? c d 1200 ? 3200 0.01 , ? cV , ?m t ? 25 350 ? 25 ? m ? ? 0.7647 ?1.5625?10?3 ? ?0 450 ? 25 450 ? 25 ,所以 0.7647 ? e , Bi ? hR ?
?0.2683 ? ?1.5625 ?10 ? ,
?3

??

0.2683 ?10?3 ? 0.1717 ?10?3 ? 171.7 s 1.5625

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?m t ? 25 50 ? 25 ? m ? ? 0.07692 ? 第二阶段, ? 0 450 ? 25 450 ? 25 ,
Bi ? hR

A ? a ? b ?1 ? e? Bi ? ? 1.0003 ? 0.9858 ?1 ? e ?0.3191?2.667 ?
=

?

?

2 ?m 6000 ? 0.005 ? Ae? ?1 Fo f ? ?1? ? ? 1.667 18 , ?0 ,

1.0003 ? 0.9858 ? ?1 ? 0.5875? ? 1.4069 ,
? b ?
?1

?12 ? ? a ? ? ? ? 0.0988 ? ? ? 3.7664 Bi ? 1.667 ? ? ? ,

?

0.2779 ?

?1

?1 ? 1.9407 ,? ? 0 , f ? ?1? ? ? 1 ,
?m ? 0.07692 ? 1.4069 ? e?3.7663 Fo ?0 所以 , 2.565 ? 0.3414 Fo ? ? 0.7717 ?2.565 ? 0.3414 ? 3.7663Fo , 3.7663 , 2 a? 18 / ? 3200 ?1200 ?? 0.005 ? 0.7717 Fo ? 2 ? ? 0.7717 ? ? ? 4.12s 2 R 0.005 4.6875 ?10?6 , 。
换热量计算 ? 第一阶段:

6 ? 第二阶段: Q2 ? 1?? ? ? 2 Fo Q0 , ? ? Ae 1 B , a ? cBi 1.0295 ? 0.1953 ?1.667 1.0295 ? 0.3256 B? ? ? ? 0.6514 1 ? bBi 1 ? 0.6841?1.667 1 ? 1.0804 ,

Q1 ?

?d3

? c ? t0 ? t ? ?

3.14 ? 0.013 ? 3200 ?1200 ? ? 450 ? 350 ? ? 201J 6

? ? 1.4096 ? e?3.7663Fo ? 0.6514 ,

? ? 1.4096 ? e?3.7663?0.7717 ? 0.6514 ? 1.4096 ? 0.06514 ? 0.6514 ? 0.04968 ,
Q2 ? Q0 ? ?1 ? 0.04968 ? ? 0.9503 ? Q0 ? 0.9503 ? 0.9503 ?

?d3
6

? c ? 350 ? 25 ?

3.14 ? 0.013 ? 3200 ?1200 ? 325 ? 0.9503 ? 653.12 ? 621J 6 = 。 0 0 作为一种验算,比较上述换热量与球从 450 C 降温到 25 C 所释放的热量:
从 450 C ? 25 C ,
0 0

Q0 ?

?d3
6

? c ? 450 ? 25? ?

3.14 ?10?6 ? 3200 ?1200 ? 425 ? 854 J 6 。

Q1 ? Q2 ? 201 ? 621 ? 822 J < 854J 。
3-64、已知:一二维的矩形区域,初温为 t 0 ,然后其四个表面突然受到均匀的热流密度 q 的加热。 证明:该矩形区域中非稳态导热的过余温度场可以用两个相应的一维非稳态导热问题过余温度场的叠加来获 得。 解:参见陶文铨编著《数值传热学》 (第一版,西安交通大学出版社,1998)第 90~92 页。 3-65. 在一太阳能储能系统中有一卵石蓄热床, 卵石的平均直径为 60mm, 初始温度为 350℃, 后温度为 280℃ 的冷空气流经该蓄热床.试确定需经过多长时间与冷空气接触的第一排卵石能释放用于加热空气的能量的
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90%?卵石的导热系数 ? ? 1.6W ?mK ? ,热扩散率 a ? 7 ? 10

?7

m2 s .

3-66、已知:物体的非稳态导热进入正规状况阶段后,一般定义同一点上两个不同时刻的过余温度 ?1 、 ? 2 与 相应时刻 ? 1 、 ? 2 的关系 求:对无限大平板导出 m 的表达式,并利用表 3-1 所提供的信息。设计出一种测定非金属固体材料(如塑料 版等)的导温系数的简易方法。 解:对无限大平板,据式(3-22)在进入充分发展阶段后有:

m?

ln ?1 ? ln ? 2 ? 2 ? ? 1 为冷却或加热速率。

? ? x, ? ? 2sin ? ?1? ? ? ?? ? e? ? ?0 ?1? ? ? sin ? ?1? ? cos ? ?1? ? ?
1

4

Fo

x? ? cos ?? ?1? ? ? ??, ?

记 ?1? ? ?1 , Bi 数及位置有关,对平板中的固定位置,A、B 为常数(在一定 Bi 下) ,
?? ? ? x,? ? ? Ce 设记 C ? A ? B ,则有 ?0
2 1 2
2 a? 1 2

A?

2sin ? ?1? ? x? ? B ? cos ?? ?1? ? ? ( ?1? ) ? sin( ?1? ) cos( ?1? ) , ? ? ,则可见以上表达式中 A、B 两部分仅与 ?
? ? 2a ? ?? 1 2 ?? ? ? ? ? ?

?

? Ce

。两边取对数:

?? a? ln ? ? x,? ? ? ln ? 0 ? ln C ? ? ?? ? ? ,在同一位置 x,在两个时刻 ? 1、? 2 进行温度测定: ? ? ? 2a ? ? ? 2a ? ln ? ? x,? 1 ? ? ln ?1 ? ln ? 0 ? ln C ? ? 1 2 ?? 1 ln ? ? x,? 2 ? ? ln ? 2 ? ln ? 0 ? ln C ? ? 1 2 ?? 2 ? ? ? , ? ? ? 。
2 ? ? 2a ? ? 2 ln ?1 ? ln ? 2 ln ?1 ? ln ? 2 ? ? 1 2 ? ?? 2 ? ? 1 ? m ? ?1 a a ? 2 ? ?1 ? 2 ? ?1 , ? ? ? ?2 , 所以 , h? ?1与Bi=

很大 Bi 数的情况,此时

? 有关,对非金属固体, ? 一般在 10 以下,设法使流体(液体如水)发生对流换热,则可以获得 ? ? ?1 ?? ? 1.5707 ?
2 ,于是
2 2

ln ?1 ? ln ? 2 ? 2 ? ln ?1 ? ln ? 2 ? 2? ? ?2? ? ? ? a? ? 2 ? ? 1 ? ? ? ,通过实验测定的简易方法如下。 ? 2 ? ?1 ?? ? ? ? ,
将试件制成一块大平板。先将试件在恒温炉中加热到一定温度,随后放入恒温槽中,如图示。为强化换 热用搅拌器对流进行搅拌,同时也有利于建立一个均匀的温度场。在试件中固定位置装入一个热电偶的终点, 另一个结点用于测量环境温度,由温差热电偶的读书即可得被测点处的过余温度。测定两个不同时刻的 ? 值 后即可据上式计算 a 之值。

3-67、已知:一直径为 d 的钢球加热到 t s 0 温度后,被突然置于温度为 f 0 的液体中冷却。由于液体的容积有 限,在钢球冷却过程中,液体也逐渐升温。为强化钢球表面与液体之间的换热过程,液体槽中加了搅拌器, 因而可以近似地认为任一槽间夜槽中的温度是均匀的。表面传热系数为常数。
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t

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求:导出确定钢球温度及油温随时间变化的微分方程式,并求解之。 解:假设容器的外壁绝热良好,而且可按集总参数法处理。记钢球的温度分别为 微分方程:

ts 及t f ,则可列出下列两个

dt f hFf dts hFs ? ? ? ts ? t f ? ? t f ? ts ? d? ? fxV f c f d? ? xVs c? 钢球: ;液体: ,其中下标 s、f 分别表示钢球及液体。 hF f hFs B? A? ? fsV f c f ,则可得如下联立方程组: ? sVs cs , 记

dts ? Ats ? At f d? (1) ; dt f ? Bt f ? Ats d? (2) 。 ? ? 0, ts ? ts 0 , t f ? t f 0 。 初始条件为 1 dts ? ? ts A d? 由式(1)得 ,代入(2)得下列二阶微分方程: 2 dt f d ts dt ? ( A ? B ) s ? 0 , ? t? ,? ts 0 , ? A ? t f 0? ts ? ? 0 0 d? 2 d? d? 。 tf ?
? ( A? B )? 解此二阶常微分方程得 ts ? c1 ? c2e 。

由两个初始条件可得 最后得:

c1 ? ts 0 ?

A A ?t f 0 ? ts 0 ? , c2 ? ? A ? B (t f 0 ? ts 0 ) 。 A? B

ts ? ts 0 ? t f ? ts 0 ?

A (t f 0 ? ts 0 ) ?1 ? e ? ( A? B )? ? ? ? A? B ; B (t f 0 ? ts 0 ) ? A ? Be ? ( A? B )? ? ? ? A? B 。

小论文题目
3-68、已知:如果非稳态导热的求解仅着眼于正规化状况阶段(即充分发展阶段) ,则对于无限大平板、无限

??
长圆柱及球,其温度的微分方程可简化为一个常微分方程。定义无量纲温度为

t ? t? tb ? t ? , 其 中

tb ?

1 V tdV V? ,为容积平均温度。

求:对两侧对称受热(冷却)的无限大平板导出 ? 的微分方程及边界条件。

?t ? 2t ?a 2 ?x 解:厚为 2? 的无限大平板的一维非稳态导热方程为: ?? ?t ?t x ? 0, ? 0; x ? ? , ?? ? h ? t ? t? ? ?x ?x 边界条件为:
在导热进入正轨状态(充分发展阶段)时,t 仍为 ? 函数而与时间 ? 无关, 其中

(1) (2)

x,? ? 的函数,热而无量纲过余温度

??

t ? t? tb ? t? 则仅为 x 的

tb ?

1 V tdV V? ,为容积平均温度。
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??
据此

d ? tb ? t ? ? ? t ? t? ?t ? ? ? f ? x?, ? ? (th ? t? ) ? ? ?b tb ? t? ?? ?? d? ,

?t d ? ? 2t d 2? ? ? tb ? t? ? , 2 ? ? tb ? t? ? 2 ?x dx ?x dx ,代入式(1)得: ? d ? tb ? t? ? d 2? ? a ? tb ? t? ? 2 d? dx ,

d ? tb ? t ? ? d 2 ? d ? tb ? t ? ? ? 1 d 2? ?2 ? ? 或 ? ? ? ?? 2 2 2 dx d? a ? tb ? t ? ? ? d ? x / ? ? a ? t b ? t ? ? d? 1 d ? ? d ? x2 / ? 2 ?
2



其中

仅与 x 有关, a ? tb ? t? ?

?2

?

d ? tb ? t ? ? d? 仅与 ? 有关,

d ? tb ? t ? ? 1 ? ?0 d? 又因为 tb ? t? ,为使 ? 保证正值,故加上负号,于是得:
d ? tb ? t ? ? 1 d 2? ??? ? ? ?? ? 0 tb ? t? d ?? a / L2 ? 2 d ? x / L? , ? 为特征值, dX , , d? d? h? d? X ? 0, ? 0; X ? 1, ?? ? ? ? Bi ? ? dX dX ? ,即 dX 边界条件则为: 。

d 2?

2

? ?? ? 0

3-69、已知:两个很大的金属块,初温均匀并各为 tb 及tc ,然后突然在一 侧表面上将它们紧密接触,不存在接触热阻。

求证:界面温度为 证明:如图所示,

ts ?

? tbb ? tc b? 1 ?2 1 ? b ,其中

a2 ?1?1c1 ? a1 ?2 ? 2c2 。

设两物体间的接触热阻略而不计,则界面上的温度连续要求在任一时刻, 而表面的温度必相等,记为 t s ,而且 tb ? ts ? tc ,同时这一温度 t s 在接触 开始瞬间即已形成且不会随时间而变,如图所示。因而物体 1、2 中的温度均可 3-5 的公式(3-52)计算,界 面上的热流连续要求下式成立:

?1

? ?1 ?1c1 tb ? t s t ?t t s ? ? tb ?t ? ?2 s c ? ?2 ? 2 c2 c ? a1? ? a2? ,由此可得到: ?

? ? ?1 ?1c1 ? / ?1 ? ? ? ?2 ? 2 c2 ? ?

? ? ? ?。
R ? m2 ? K / W ?
。坐

3-70、已知:同上题,但接触面上存在恒定的接触热阻 s 标的选取如图所示。 求:两个半无限大物体非稳态导热的控制方程、边界条件。 解:设 t1 ? t2 (初始时间)接触热阻为 Rs ,令 条件成立:

hs ?

1 Rs ,则界面上应有以下

h(ts ? t2 ) ? ?1

?t ?t ?t1 ?1 1 ? ??2 2 ?x2 。 两 个 控 制 方 程 为 : ?x , ?x1

?t1 ? 2t1 ?t2 ? 2t 2 ? a1 2 , ? a2 , x1 ? 0, t1 0 ? t10 ; x2 ? ?, t2 ? t20 ?? ?x1 ?? ?x2 2 。
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第四章
复习题 1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。 2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。 3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似,为什么前者得到 的是精确描述,而后者解出的确实近似解。 4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程,也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式表示 来建立。试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。 5.对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法?试分析比较之. 6.什么是非稳态导热问题的显示格式?什么是显示格式计算中的稳定性问题? 7. 用高斯-塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解?不能得出收敛的解时是否因为初场的 假设不合适而造成?

?t 8.有人对一阶导数 ?x

n ,i

? ? ? ? 3t ni ? ? 5t ni??1 ? t ni??2 ? 2?x 2

你能否判断这一表达式是否正确,为什么? 一般性数值计算 4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具,而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数 表示的分析解,也常用计算机来获得数值结果。试用数值方法对 Bi=0.1,1,10 的三种情况计算下列特征方程的 根 ? n (n ? 1,2?,6) :

?n a? Fo ? 2 ? 0.2 ? 并用计算机查明,当 时用式(3-19)表示的级数的第一项代替整个级数(计算中用前六项之
和来替代)可能引起 的误差。 解: ? n tan ? n ? Bi ,不同 Bi 下前六个根如下表所示: Bi μ 1 μ 2 μ 3 0.1 1.0 10 0.3111 0.8603 1.4289 3.1731 3.4256 4.3058 6.2991 6.4373 7.2281 μ μ μ

tan ? n ?

Bi

, n ? 1,2,3?

4

5

6

9.4354 9.5293 10.2003

12.5743 12.6453 13.2142

15.7143 15.7713 16.2594

Fo=0.2 及 0.24 时计算结果的对比列于下表: Fo=0.2 Bi=0.1 Bi=1

x ??
Bi=10

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第一项的值 前六和的值 比值

0.94879 0.95142 0.99724 Fo=0.2 Bi=0.1

0.62945 0.64339 0.97833

0.11866 0.12248 0.96881 Bi=10 0.83889 0.82925 1.01163 Bi=10 0.10935 0.11117 0.98364 Bi=10 0.77311 0.76851 1.00598

x?0
Bi=1 0.96514 0.95064 1.01525

第一项的值 前六项和的值 比值

0.99662 0.994 1.002 Fo=0.24 Bi=0.1

x ??
Bi=1 0.61108 0.6198 0.98694

第一项的值 前六项的值 比值

0.94513 0.94688 0.99814 Fo=0.24 Bi=0.1

x?0
Bi=1 0.93698 0.92791 1.00978

第一项的值 前六项和的值 比值

0.99277 0.99101 1.00177

4-2、试用数值计算证实,对方程组

? x1 ? 2 x 2 ? 2 x3 ? 1 ? ? ? ? x1 ? x 2 ? x3 ? 3 ? ? 2 x ? 2 x ? x ? 5? 2 3 ? 1 ?
用高斯-赛德尔迭代法求解,其结果是发散的,并分析其原因。 解:将上式写成下列迭代形式

? x1 ? 1 / 2?5 ? 2 x 2 ? x3 ?? ? ? ? x 2 ? 1 / 2?1 ? 2 x3 ? x1 ? ? ?x ? 3 ? x ? x ? 1 2 ? 3 ?

假设 2 , 3 初值为 0,迭代结果如下: 迭代次数 0 1 2

x x

3 2.09375 1.171875

4 2.6328125 1.26171825

x1

0 0

2.5 -0.75

2.625 0.4375 -

x2
x3

0 1.25 -0.0625 2.078125 -0.89453125 显然,方程迭代过程发散 因为迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总大于或等于式中其他变量的系数绝对值代数和。 4-3、试对附图所示的常物性,无内热源的二维稳态导热问题用高斯-赛德尔迭代法计算 t1 , t 2 , t 3 , t 4 之值。 解:温度关系式为:

?t1 ? 1 / 4?t 2 ? t 3 ? 40 ? 30 ?? ?t ? 1 / 4?t ? t ? 20 ? 30 ?? ?2 ? 1 4 ? ? ?t 3 ? 1 / 4?t1 ? t 4 ? 30 ? 15 ? ? ?t 4 ? 1 / 4?t 2 ? t 3 ? 10 ? 5? ? ? ?

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2 开始时假设取 1 得迭代值汇总于表 迭代次数 0 20 1 26.25 2 28.59375 3 28.8671875 4 28.93554258 5 28.95263565 6 28.9569089

? ? t ?0 ? ? t ?0 ? ? 20 ℃; t 30 ? ? t 40 ? ? 15 ℃

20 22.8125 23.359375 23.49609375 23.53027129 23.53881782 23.54095446
?4

15 21.5625 22.109375 22.24607565 22.28027129 22.28881782 22.290955445 迭代终止。

15 14.84375 15.1171875 15.18554258 15.20263565 15.20690891 15..20797723

其中第五次与第六次相对偏差已小于 10

4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题用数值方法求解节点 2,3 的温度。 图中

t 0 ? 85 0 C , t f ? 25 0 C , h ? 30W /(m 2 .K ) .肋高 H=4cm,纵剖面
2

面积 AL ? 4cm , 导热系数 ? ? 20W /(m.K ) 。 解:对于 2 点可以列出:

t ?t t1? t 2 ? ?? 3 4 ? 2h?x(t1 ? t 2 ) ? 0; ?x ?x 节点 2: t ?t ?x ?? 2 3 ? ?h(t f ? t1 ) ? 2h (t f ? t 3 ) ? 0 2 ?x 2 节点 3: 。

??

由此得:

t1 ? t 2 ? t 3 ? t 2 ?

2h?x 2

??

?x ?h 2 (t ? t ) ? 0 (t f ? t 3 ) ? (t1 ? t 2 ) ? 0 t 2 ? t 3 ? f 3 ?? ?? , ,
2

h

? ? 2h?xH 2 ? ? t 2 ? ?t1 ? t 3 ? ? ?t f ? ? ?? ? ? ? ? ? h ?x 2 ? ? h t 3 ? ?t 2 ? t f ? ? ? 2?? ?t f ? ? ? ? ? ? ?

2h?xH 2 ? ? ?2 ? ? ?? ? ? ? h h ?x 2 ? ?1 ? ? ? ? 2?? ? ? ? ?

t1 ? t 2 ? 0.12t f 30 ? 0.02 2 ? 0.06 t2 ? ?? 20 ? 0.01 2 ? 0.12 ,于是有: , t 2 ? ?30 / 20 ?t f ? 0.03t f t 2 ? 1.5t f ? 0.03t f t 2 ? 1.53t f t3 ? ? = 1 ? 30 / 20 ? 0.03 2.53 2.53 ,代入得: t 2 ? 1.53t f 2.12t 2 ? t1 ? 0.12t f 5.3636 t ? 2.53t ? t ? 1.53t ? 0.3036 t 2 1 2 f f , 2.53 , h?x 2 ?
4.3636 t 2 ? 2.53t1 ? 1.8336 t f , 4.3636 , 2.53 ? 85 ? 1.8336 ? 25 215 .05 ? 45.84 t2 ? ? ? 59.79 ? 59.8? C 4.3636 4.3636 , 59.8 ? 1.53 ? 25 t3 ? ? 38.75 ? 38.8? C 2.53 。
离散方程的建立 4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式,并指出其稳定性条件
水积成川。载澜载清。土积成山。歊蒸郁冥。山不让尘。川不辞盈。勉尔含弘。以隆德声。 - 70 -

t2 ?

2.53t f ? 1.8336 t f

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( ?x ? ?y) 。 解:常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为

? ? 2t ? 2t ? ?t ? a? 2 ? 2 ? ? ?x ?? ?y ? ? ?
扩散项取中心差分,非稳态项取向前差分:
? ? i i i i i ? t i ? 2t n ? t n ?1 t n ?1 ? 2t n ? t n ?1 ? t ni ?1? ? t ni ? ? ? a? n ?1 ? ? ? ?? ?x 2 ?y 2 ? ?

所以有

? ? 1 ? 1 1 ? i 1 ?? i i i ??t n t n?1 ? a?? ? 2 ? 2 ? t n ?1 ? t n ?1 ? ?1 ? 2a?? ? 2 ? ? ?x ? ?x ?y ? ?y 2 ? ? ? ? ? ? ? Fo?x ? Fo?y ? 1 / 2 稳定性条件

?

?

4-6、极坐标中常物性无内热源的非稳态导热微分方程为

? ? 2 t 1 ?t 1 ? 2 t ? ?t ? ? a? 2 ? ? ? ?r ?? r ?r r 2 ?? 2 ? ? ?
试利用本题附图中的符号,列出节点(i,j)的差分方程式。 解:将控制方程中的各阶导数用相应的差分表示式代替,可得:

t1,j k ?i ? t k t,j ??

? t k t,j ?1 ? 2t k t,j ? t k j ?1 1 t k t,j ?1 ? t k 1,j ?1 1 ti ?1,j k ? 2t k i,j ? r k i ?1,j ? a? ? ? ? 2

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