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【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破:第8章 第8节 曲线与方程


第八节

圆锥曲线的综合问题

考点一

圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题

x2 y2 [例 1] (2013· 新课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1 (a>b>0) a b 1 右焦点的直线 x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB

的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的 最大值. [自主解答] (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 2 2 y2-y1 x1 y2 x2 y2 1 2 则 2+ 2=1, 2+ 2=1, =-1, a b a b x2-x1 2 b ?x2+x1? y2-y1 由此可得 2 =- =1. a ?y2+y1? x2-x1 y0 1 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, = , x0 2 2 2 所以 a =2b . 又由题意知,M 的右焦点为( 3,0),故 a2-b2=3. 因此 a2=6,b2=3. x2 y2 所以 M 的方程为 + =1. 6 3

?x= 3 , ? ?x+y- 3=0, 2 2 (2)由?x y 解得? + =1, 3 ? ?6 3 ?y=- 3
4 3 4 6 . 3 由题意可设直线 CD 的方程为 5 3 ?, y=x+n?- ? 3 <n< 3? 设 C(x3,y3),D(x4,y4). y=x+n, ? ?2 2 由?x y ? 6 + 3 =1, ? 因此|AB|= 得 3x2+4nx+2n2-6=0. -2n± 2?9-n2? 于是 x3,4= . 3 因为直线 CD 的斜率为 1, 4 所以|CD|= 2|x4-x3|= 9-n2. 3 由已知,四边形 ACBD 的面积 1 8 6 S= |CD|· |AB|= 9-n2. 2 9

?x=0, 或? ?y= 3.

8 6 当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 . 3 8 6 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 3 【互动探究】 若本例的条件不变,则四边形 ACBD 的面积有最小值吗?若有,求出其值;若没有, 说明理由. 解:由(2)可知 3x2+4nx+2n2-6=0, x2 y2 又∵y=x+n 与椭圆 + =1 相交, 6 3 2 ∴Δ=(4n) -4×3(2n2-6)=8(9-n2)>0, 即-3<n<3,0≤n2<9, 8 6 而 SACBD= 9-n2, 9 8 6 ∴0<SACBD≤ , 3 即 SACBD 没有最小值. 【方法规律】 1.解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的 等量关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参 数的取值范围. 2.圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 (1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆 锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题. (2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考 虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可 先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法等求解. 已知动圆 C 过点 A(1,0),且与直线 l0:x=-1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 D 的方程; (2)设圆心 C 的轨迹在 x≤4 的部分为曲线 E,过点 P(0,2)的直线 l 与曲线 E 交于 A,B 两个不同的点,且 PA =λ PB (λ>1),试求 λ 的取值范围. 解:(1)设动圆圆心 C 的坐标为(x,y),圆心 C 到直线 l0 的距离为 d, 由题意可知|CA|=d,故由抛物线的定义可知动圆圆心 C 的轨迹 D 的方程为 y2=4x. (2)易知曲线 E 的方程为 y2=4x(x≤4), 显然当直线 l 的斜率为零或不存在时不符合题意, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+2(k≠0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 PA =λ PB (λ>1)知 x1=λx2, 且 0<x2<4,0<x1≤4. 2 ? ?y =4x, 由? ?y=kx+2, ? 消去 y 得 k2x2+4(k-1)x+4=0,(*) 则方程(*)在[0,4]内有两个不相等的实数根, 记 f(x)=k2x2+4(k-1)x+4,

? ?f?0?=4>0, 则?f?4?=4?4k +4k-3?≥0, ? ?0<2?1k-k?<4,
2 2

Δ=16?k-1?2-16k2>0,

3 从而可得 k≤- . 2

由根与系数的关系可知 4?1-k? 4 x1+x2= ,x1x2= 2. k2 k 又 x1=λx2, ?1+λ?2 4?1-k?2 ?1 ?2 所以 = =4? k-1? , λ k2 3 2 1 而 k≤- ,所以- ≤ <0, 2 3 k 1 ?2 25 ?1+λ?2 100 -1 ≤ ,从而可得 4< 故可得 1<? ≤ , ?k ? 9 λ 9 1 解得 ≤λ<1 或 1<λ≤9, 9 又 λ>1,所以 λ 的取值范围是(1,9]. 考点二 定 点 问 题

[例 2] (2013· 陕西高考)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴 是∠PBQ 的角平分线,证明直线 l 过定点. [自主解答]

(1)如图,设动圆圆心 O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|, 当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点, ∴|O1M|= x2+42, 又|O1A|= ?x-4?2+y2, ∴ ?x-4?2+y2= x2+42, 化简得 y2=8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x. (2)证明:由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y2=8x 中,得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0, 其中 Δ=-32kb+64>0. 8-2bk 由根与系数的关系得,x1+x2= ,① k2 2 b x1x2= 2,② k 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线, y1 y2 所以 =- ,即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, x1+1 x2+1

(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b=0,③ 将①②代入③,得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,∴k=-b,此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),∴直线 l 过定点(1,0). 【方法规律】 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与 参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 3? 1 椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,该椭圆经过点 P? ?1,2?且离心率为2. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左,右顶点),且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. x2 y2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b c 1 由 e= = ,得 a=2c,∵a2=b2+c2,∴b2=3c2, a 2 x2 y2 则椭圆方程变为 2+ 2=1. 4c 3c 3 1, ?,将其代入求得 c2=1, 又椭圆过点 P? ? 2? x2 y2 故 a2=4,b2=3,即椭圆的标准方程为 + =1. 4 3 (2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2), y=kx+m, ? ?2 2 联立?x y ? ? 4 + 3 =1, 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,

?x +x =- 8mk , 3+4k 则? 4?m -3? ?x x = 3+4k .
1 2 2 2 1 2 2

Δ=64m2k2-16?3+4k2??m2-3?>0,



又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3?m2-4k2? . 3+4k2

∵椭圆的右顶点为 A2(2,0),AA2⊥BA2, ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0. 3?m2-4k2? 4?m2-3? 16mk ∴ + + +4=0. 3+4k2 3+4k2 3+4k2 ∴7m2+16mk+4k2=0. 2k 解得 m1=-2k,m2=- , 7 由①得 3+4k2-m2>0. 当 m1=-2k 时,l 的方程为 y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾. 2? 2k ?2 ? 当 m2=- 时,l 的方程为 y=k? ?x-7?,直线过定点?7,0?. 7

2 ? ∴直线 l 过定点,定点坐标为? ?7,0?. 高频考点 考点三 圆锥曲线中的定值问题

1.圆锥曲线中的定值问题,是近几年来高考命题的热点,多以解答题的形式出现,试 题难度较大,多为高档题. 2.高考中关于圆锥曲线中的定值问题有以下几个命题角度: (1)求代数式为定值; (2)求点到直线的距离为定值; (3)求某线段长为定值. x2 y2 3 [例 3] (2013· 江西高考)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,a+b=3. a b 2 (1)求椭圆 C 的方程;

(2)如图所示,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m.证明:2m-k 为 定值. 3 c 2 1 [自主解答] (1)因为 e= = ,所以 a= c,b= c. 2 a 3 3 代入 a+b=3,得 c= 3,a=2,b=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2) 证明: 法一: 因为 B(2,0) , P 不为椭圆顶点,则直线 BP 的方程为 y = k(x - 1? 2)? 2?,① ?k≠0,k≠± 8k2-2 4k ? x2 2 ? 把①代入 +y =1,解得 P? 2 ,- 2 ?. 4 4k +1? ?4k +1 1 直线 AD 的方程为:y= x+1.② 2 ?4k+2, 4k ?. ①与②联立解得 M? ? ?2k-1 2k-1? 2 4k ? ?8k -2 由 D(0,1),P? 2 ,- 2 ?,N(x,0)三点共线知 4 k + 1 4 k +1? ? 4k - 2 -1 4k +1 0-1 ?4k-2,0?. = ,解得 N? ? 2 8k -2 x-0 ?2k+1 ? -0 4k2+1 所以 MN 的斜率为 4k -0 2k-1 4k?2k+1? 2k+1 m= = = , 4 4k+2 4k-2 2?2k+1?2-2?2k-1?2 - 2k-1 2k+1 2k+1 1 则 2m-k= -k= (定值). 2 2

y0 法二:设 P(x0,y0)(x0≠0,x0≠± 2),则 k= , x0-2 1 直线 AD 的方程为:y= (x+2), 2 y0 直线 BP 的方程为:y= (x-2), x0-2 y0-1 ? -x0 ,0? 直线 DP 的方程为:y-1= x,令 y=0,由于 y0≠1,可得 N? ? x0 ?y0-1 ?

?y=2?x+2?, 联立? y ?y=x -2?x-2?,
0 0

1

解得 M?

?4y0+2x0-4, 4y0 ?, ? ? 2y0-x0+2 2y0-x0+2?

因此 MN 的斜率为 4y0 2y0-x0+2 m= 4y0+2x0-4 x0 + 2y0-x0+2 y0-1 4y0?y0-1? = 2 4y0-8y0+4x0y0-x2 0+4 4y0?y0-1? = 2 4y0-8y0+4x0y0-?4-4y2 0?+4 y0-1 = , 2y0+x0-2 2?y0-1? y0 所以 2m-k= - 2y0+x0-2 x0-2 2?y0-1??x0-2?-y0?2y0+x0-2? = ?2y0+x0-2??x0-2? 2 2?y0-1??x0-2?-2y0 -y0?x0-2? = ?2y0+x0-2??x0-2? 1 2?y0-1??x0-2?- ?4-x2 0?-y0?x0-2? 2 = ?2y0+x0-2??x0-2? 1 = (定值). 2 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化 简即可得出定值; (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题 设条件化简、变形求得; (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、 变形即可求得.

2 x2 y2 的椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,斜率 2 b a 为 2的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点,且 A、B、D 三点不重合. 如图所示,已知点 A(1, 2)是离心率为

(1)求椭圆 C 的方程; (2)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由; (3)求证:直线 AB、AD 斜率之和为定值. c 2 1 2 解:(1)由题意,可得 e= = , 2+ 2=1,a2=b2+c2, a 2 b a x2 y2 解得 a=2,b= 2,c= 2,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 2 4 (2)设直线 BD 的方程为 y= 2x+m,D(x1,y1),B(x2,y2),

?y= 2x+m, 由? 2 2 得 4x2+2 2mx+m2-4=0, ?2x +y =4,
所以 Δ=-8m2+64>0,则-2 2<m<2 2, 2 x1+x2=- m,① 2 m2-4 x1x2= .② 4 64-8m2 所以|BD|= 1+? 2?2|x1-x2|= 3· 4 6 = · 8-m2. 2 设 d 为点 A 到直线 BD:y= 2x+m 的距离, |m| 所以 d= . 3 1 2 所以 S△ABD= |BD|· d= · ?8-m2?m2≤ 2, 2 4 当且仅当 8-m2=m2,即 m=± 2 时取等号. 因为± 2∈(-2 2,2 2), 所以当 m=± 2 时,△ABD 的面积最大,最大值为 2. (3)证明:设直线 AB、AD 的斜率分别为 kAB、kAD,则 y1- 2 y2- 2 kAD+kAB= + x1-1 x2-1 2x1+m- 2 2x2+m- 2 = + x1-1 x2-1 x1+x2-2 =2 2+m· ,(*) x1x2-?x1+x2?+1 将(2)中①、②式代入(*)式,整理得 ? x1+x2-2 ?=0, 2 2+m? ? ?x1x2-?x1+x2?+1? 即 kAD+kAB=0. 故直线 AB、AD 斜率之和为定值. ——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————

2 种方法——求定值问题常见的两种方法 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在此过程中消去变量,从而得到定值. 4 个重视——求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视 (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用. 5 方面考虑——求最值(或范围)问题需从以下五方面考虑 见本节考点一[方法规律]. (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是两个参数之间建立等 量关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.s


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