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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)抛物线


2016 届高考数学一轮复习教学案 抛物线

[知识能否忆起] 1.抛物线定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点

F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2=2px(p>0

)

y2=-2px(p>0)

图形

范围 对称轴 顶点坐标 焦点坐标

x≥0,y∈R x轴
原点 O(0,0)

x≤0,y∈R

?p ? ? ,0? ?2 ?
p x=-
2

? p ? ?- ,0? ? 2 ?
p x=
2

准线方程 离心率

e=1

标准方程

x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)

图形

范围 对称轴 顶点坐标 焦点坐标

y≥0,x∈R y轴
原点 O(0,0)

y≤0,x∈R

? p? ? 0, ? ? 2?
p y=-
2

? p? ?0,- ? 2? ?
p y=
2

准线方程 离心率

e=1

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程是( A.x2=-12y C.y2=-12x B.x2=12y D.y2=12x )

解析:选 A ∵ =3,∴p=6,∴x2=-12y. 2 2.(教材习题改编)抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则 a 的值是( 1 A. 8 C.8 1 B.- 8 D.-8 )

p

1 解析:选 B 抛物线的标准方程为 x2= y.

a

1 1 则 a<0 且 2=- ,得 a=- . 4a 8 3.已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2=4y 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两 点,则弦 AB 的长为( )

A.4 C.10

B.6 D.16

解析:选 D 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则依题意得焦点 F(0,1),准线方程是 y=-

1,直线 l:y=

3x+1,由?

? ?y= 3x+1, ? ?
x2=4y,

消去 x 得 y2-14y+1=0,y1+y2=14,|AB|

=|AF|+|BF|=(y1+1)+(y2+1)=(y1+y2)+2=16. 4.(2012·郑州模拟)已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a>0)的焦点 F,且与 y 轴 相交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为________. 解析:依题意得,|OF|= ,又直线 l 的斜率为 2,可知|AO|=2|OF|= ,△AOF 的面 4 2 1 a2 积等于 ·|AO|·|OF|= =4,则 a2=64.又 a>0,所以 a=8,该抛物线的方程是 y2=8x. 2 16 答案:y2=8x 5.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ________. 解析:其准线方程为 x=-2,又由点 P 到 y 轴的距离为 4,则 P 点横坐标 xP=4,由 定义知|PF|=xP+ =6. 2 答案:6 1.抛物线方程中,字母 p 的几何意义是抛物线的焦点 F 到准线的距离, 等于焦点到抛 2 物线顶点的距离,记牢对解题非常有帮助. 2.用抛物线定义解决问题,体现了等价转换思想的应用. 3.由 y2=mx(m≠0)或 x2=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将 x 或 y 的系数除以 4,再 确定焦点位置即可.

a

a

p

p

抛物线的定义及应用

典题导入 [例 1] (1)(2011·辽宁高考)已知 F 是拋物线 y2=x 的焦点, A, B 是该拋物线上的两点, |AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( 3 A. 4 5 C. 4 B.1 7 D. 4 )

(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线 C:y=2x2 上有一点 P,若它到点 A(1,3)的距离 与它到抛物线 C 的焦点的距离之和最小,则点 P 的坐标是( A.(-2,1) C.(2,1) B.(1,2) D.(-1,2) )

[自主解答] (1)如图,由抛物线的定义知,|AM|+|BN|=|AF|+|BF|= 3 3 1 5 3,|CD|= ,所以中点 C 的横坐标为 - = . 2 2 4 4 (2)由题知点 A 在抛物线内部,根据抛物线定义,问题等价于求抛物线 上一点 P,使得该点到点 A 与到抛物线的准线的距离之和最小,显然点 P 是直线 x=1 与抛 物线的交点,故所求 P 点的坐标是(1,2). [答案] (1)C (2)B

由题悟法 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到 准线(焦点)的距离问题求解.

以题试法 1.(2012·安徽高考)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点.若|AF| =3,则|BF|=________. 解析:由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),又∵|AF|=3, 由抛物线定义知,点 A 到准线 x=-1 的距离为 3,∴点 A 的横坐标 为 2. 将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8,由图知,y=2 ∴A(2,2 2),∴直线 AF 的方程为 y=2 2,

2(x-1).

? ?y=2 2 x- 又? ? ?y2=4x,



1 ? ?x=2, 解得? ? ?y=- 2,

或?

? ?x=2, ? ?y=2 2.

?1 由图知,点 B 的坐标为? ,- ?2
1 3 ∴|BF|= -(-1)= . 2 2 3 答案: 2

2?,

? ?

抛物线的标准方程及几何性质

典题导入 [例 2] (1)(2012·山东高考)已知双曲线 C1: 2-

x2

y2

a

b2

=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛

物线 C2:x2=2py (p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 ( ) 8 A.x2= 3 3

y

16 3 B.x2= y 3

C.x2=8y

D.x2=16y

(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点

M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=(
A.2 C.4 2 B.2 D.2 3 5

)

[自主解答] (1)∵双曲线 C1: 2-

x2

y2

a

b2

=1(a>0,b>0)的离心率为 2,∴ =

c

a2+b2 a

a



2,∴b=

3a, 3x±y=0,∴抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点?0, ?到双 ? 2?

∴双曲线的渐近线方程为

?

p?

曲线的渐近线的距离为

? p? ? 3×0± ? 2? ?
2

=2,∴p=8.∴所求的抛物线方程为 x2=16y.

(2)依题意,设抛物线方程是 y2=2px(p>0),则有 2+ =3,得 p=2,故抛物线方程 2 是 y2=4x,点 M 的坐标是(2,±2 [答案] (1)D (2)B 由题悟法 1.求抛物线的方程一般是利用待定系数法,即求 p 但要注意判断标准方程的形式. 2.研究抛物线的几何性质时,一是注意定义转化应用;二是要结合图形分析,同时注 意平面几何性质的应用. 以题试法 2.(2012·南京模拟)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,准线与 y 轴的交点为 M,N 为抛 物线上的一点,且|NF|= 3 2 |MN|,则∠NMF=________.( ) 3 |MN|, 2 2),|OM|= 22+8=2 3.

p

解析: 过 N 作准线的垂线, 垂足为 H, 则|NF|=|NH|=

如图.∴cos ∠MNH=

3 , 2

π π ∴∠MNH= ,∴∠NMF= . 6 6 π 答案: 6

直线与抛物线的位置关系

典题导入 [例 3] (2012·福建高考)如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q. 证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点. [自主解答] (1)依题意,|OB|=8 设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30°=4 因为点 B(4 3,∠BOy=30°. 3,y=|OB|cos 30°=12. 3)2=2p×12,解得 p=2. 3,

3,12)在 x2=2py 上,所以(4

故抛物线 E 的方程为 x2=4y. 1 1 (2)证明:由(1)知 y= x2,y′= x. 4 2 1 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x2 0,且 l 的方程为 4

y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x2 0.
2 2 4

1

1

1

1 1 ? ?y=2x x-4x , 由? ? ?y=-1,
0 2 0

x -4 ? ?x= 2x , 得? ? ?y=-1.
2 0 0

所以 Q 为?

?x2 0-4 ? 2x0

,-1?.

? ?

1 设 M(0,y1),令 MP · MQ =0 对满足 y0= x2 0(x0≠0)的 x0,y0 恒成立. 4 由于 MP =(x0,y0-y1), MQ =?

?x2 0 -4 ? 2x0

,-1-y1?,

? ?

由 MP · MQ =0,得

x2 0-4
2

-y0-y0y1+y1+y2 1=0,

即(y2 1+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*) 1 由于(*)式对满足 y0= x2 0(x0≠0)的 y0 恒成立, 4

? ?1-y1=0, 所以? 2+y -2=0, ?y1 1 ?

解得 y1=1.

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 由题悟法 1.设抛物线方程为 y2=2px(p>0),直线 Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程 联立,消去 x 得到关于 y 的方程 my2+ny+q=0. (1)若 m≠0,当 Δ>0 时,直线与抛物线有两个公共点; 当 Δ=0 时,直线与抛物线只有一个公共点; 当 Δ<0 时,直线与抛物线没有公共点. (2)若 m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行. 2.与焦点弦有关的常用结论.(以右图为依据)

(1)y1y2=-p2,x1x2=

p2
4

.

2p (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (θ 为 AB 的倾斜角). sin θ (3)S△AOB=

p2
2sinθ

(θ 为 AB 的倾斜角).

1 1 2 (4) + 为定值 . |AF| |BF| p (5)以 AB 为直径的圆与准线相切. (6)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切. (7)∠CFD=90°. 以题试法 3.(2012·泉州模拟)如图,点 O 为坐标原点,直线 l 经过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F. 1 (1)若点 O 到直线 l 的距离为 ,求直线 l 的方程; 2 (2)设点 A 是直线 l 与抛物线 C 在第一象限的交点. 点 B 是以点 F 为圆心,|FA|为半径的圆与 x 轴的交点,试判断 AB 与抛物线 C 的位 置关系,并给出证明. 解:(1)抛物线的焦点 F(1,0), 当直线 l 的斜率不存在时,即 x=1 不符合题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为:y=k(x-1),即 kx-y-k=0. 所以, |-k| 1 3 = ,解得 k=± . 3 1+k2 2 3 (x-1),即 x± 3 3y-1=0.

故直线 l 的方程为:y=±

(2)直线 AB 与抛物线相切,证明如下: 设 A(x0,y0),则 y2 0=4x0. 因为|BF|=|AF|=x0+1,所以 B(-x0,0).

所以直线 AB 的方程为:y= 2x0y 整理得:x= -x0①

(x+x0), 2x0

y0

y0

把方程①代入 y2=4x 得:y0y2-8x0y+4x0y0=0,
2 2 2 Δ =64x2 0-16x0y0=64x0-64x0=0,

所以直线 AB 与抛物线相切.

1.(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆 + =1 的下焦点,顶点在椭圆中心,则抛 4 9 物线方程为( A.x2=-4 C.x2=-4 ) 5y 13y B.y2=-4 D.y2=-4 5x 13x

x2 y2

解析:选 A 由椭圆方程知,a2=9,b2=4,焦点在 y 轴上,下焦点坐标为(0,-c), 其中 c=

a2-b2= 5.∴抛物线焦点坐标为(0,- 5),∴抛物线方程为 x2=-4 5y.

2.(2012·东北三校联考)若抛物线 y2=2px(p>0)上一点 P 到焦点和抛物线的对称轴的 距离分别为 10 和 6,则 p 的值为( A.2 C.2 或 18 ) B.18 D.4 或 16

解析:选 C

p x + =10, ? ? 2 设 P(x ,y ),则? |y |=6, ? ?y =2px ,
0 0 0 0 2 0 0

∴36=2p?10- ?,即 p2-20p+36=0,解得 p=2 或 18. 2? ? 3.(2013·大同模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-6x-7=0 相切, 则 p 的值为( A.2 1 C. 2 ) B.1 1 D. 4

?

p?

解析:选 A 注意到抛物线 y2=2px 的准线方程是 x=- ,曲线 x2+y2-6x-7=0, 2 即(x-3)2+y2=16 是圆心为(3,0),半径为 4 的圆.于是依题意有? +3?=4.又 p>0,因 ?2 ? 此有 +3=4,解得 p=2. 2 4.(2012·郑州模拟)已知过抛物线 y2=6x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角 是( ) π 5π A. 或 6 6 π 2π C. 或 3 3 π 3π B. 或 4 4 π D. 2

p

?p

?

p

2p 6 解析:选 B 由焦点弦长公式|AB|= 2 得 2 =12, sin θ sin θ 2 π 3π ,所以 θ = 或 . 2 4 4

所以 sin θ =

5.(2012·唐山模拟)抛物线 y2=2px 的焦点为 F,点 A、B、C 在此抛物线上,点 A 坐 标为(1,2).若点 F 恰为△ABC 的重心,则直线 BC 的方程为( A.x+y=0 C.2x+y-1=0 B.x-y=0 D.2x-y-1=0 )

解析:选 C ∵点 A 在抛物线上,∴4=2p,p=2,抛物线方程为 y2=4x,焦点 F(1,0)

设点 B(x1,y1),点 C(x2,y2),则有 y2 1=4x1,①
2=4x ,② y2 2

由①-②得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2) 得 kBC=

y1-y2

x1-x2 y1+y2



4

.

又∵

y1+y2+2
3

=0,∴y1+y2=-2,∴kBC=-2.

又∵

x1+x2+1
3

=1,∴x1+x2=2,

∴BC 中点为(1,-1), 则 BC 所在直线方程为 y+1=-2(x-1),即 2x+y-1=0. 6.(2013·湖北模拟)已知直线 y=k(x-m)与抛物线 y2=2px(p>0)交于 A、B 两点,且

OA⊥OB,OD⊥AB 于 D.若动点 D 的坐标满足方程 x2+y2-4x=0,则 m=(
A.1 C.3 B.2 D.4

)

解析:选 D

b 1 ? ?a=-k, 设点 D(a,b),则由 OD⊥AB 于 D,得? ?b=k a-m ?

则 b=- ,

km
1+k2

,a=-bk;又动点 D 的坐标满足方程 x2+y2-4x=0,即 a2+b2-4a=0,将 a=-

bk 代入上式, 得 b2k2+b2+4bk=0, 即 bk2+b+4k=0, -
则(1+k2)(4-m)=0,因此 m=4.

k 3m

1+k

- 2

km
1+k2

+4k=0, 又 k≠0,

7.(2012·乌鲁木齐模拟)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交 y 轴于点 A,抛物线上有 一点 B 满足 OB ,= OA ,+ OF , (O 为坐标原点),则△BOF 的面积是________. 解析:由题可知 F(1,0),可设过焦点 F 的直线方程为 y=k(x-1)(可知 k 存在),则 A(0,

-k),∴B(1,-k),由点 B 在抛物线上,得 k2=4,k=±2,即 B(1,±2),

S△BOF= ·|OF|·|yB|= ×1×2=1.
2 2 答案:1 1 1 8.(2012·渭南模拟)已知抛物线 C:y= x2,则过抛物线焦点 F 且斜率为 的直线 l 被 4 2 抛物线截得的线段长为________. 1 解析:由题意得 l 的方程为 y= x+1,即 x=2(y-1).代入抛物线方程得 y=(y-1)2, 2 即 y2-3y+1=0.设线段端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则线段长度为 y1+y2+p=5. 答案:5 9.(2012·广州模拟)已知直线 y=k(x-2)(k>0)与抛物线 y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为抛物线的焦点,若|FA|=2|FB|,则 k 的值为________.

1

1

解析:直线 y=k(x-2)恰好经过抛物线

y2=8x

? ?y2=8x, 的焦点 F(2,0),由? ?y=k x- ?



8 得 ky2-8y-16k=0,因为|FA|=2|FB|,所以 yA=-2yB,则 yA+yB=-2yB+yB= ,所

k

8 以 yB=- ,yA·yB=-16,所以-2y2 B=-16,即 yB=±2

k

2,又 k>0,故 k=2

2.

答案:2

2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),

10.已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2

B(x2,y2)(x1<x1)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求 λ 的值. 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2 2?x- ?,与 y2=2px 联立, ? 2?

?

p?

5p 从而有 4x2-5px+p2=0,所以 x1+x2= . 4 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1, x2=4, y1=-2 2,

y2=4 2,
从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). 2)+λ (4,4 2)=(4λ +1,4 2λ -2 2),

设 OC =(x3,y3)=(1,-2 又 y2 3=8x3,即[2

2(2λ -1)]2=8(4λ +1),

即(2λ -1)2=4λ +1, 解得 λ =0 或 λ =2. 11.如图,过抛物线 y2=4px(p>0)上一定点 M(x0,y0)(y0>0)作两条 直线,分别交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)求该抛物线上纵坐标为 4p 的点到点(p,0)的距离; (2)当 MA 与 MB 的斜率都存在,且

y1+y2 y0

=-2 时,求 MA 与 MB 的斜率之和;

(3)证明:直线 AB 不可能平行于 x 轴. 解:(1)当 y=4p 时,x=4p,抛物线的准线方程为 x=-p,焦点为(p,0),抛物线上纵 坐标为 4p 的点到点(p,0)的距离,就是该点到焦点的距离,由抛物线的定义得,所求距离为 4p-(-p)=5p. (2)设直线 MA 的斜率为 kMA,MB 的斜率为 kMB,
2 由 y2 1=4px1,y0=4px0,得 kMA=

y1-y0

x1-x0 y1+y0



4p



同理 kMB=

4p

y2+y0

, 4p 4p



y1+y2 y0

= - 2 , 所 以 y1 + y2 = - 2y0 , 因 为 kMA + kMB =

y1+y0



y2+y0



4p y1+y2+2y0

y1+y0

y2+y0

=0,

所以 kMA+kMB=0, 故 MA 与 MB 的斜率之和为 0. (3)证明:设直线 AB 的斜率为 kAB,则 kAB=

y2-y1 x2-x1



y2-y1 y2 2

- 4p 4p

y1

= 2

4p

y1+y2

,由(2)知 y1+y2

=-2y0,所以 kAB=-

2p 2p 2p ,由于 M(x0,y0)为定点,所以- 为定值且- ≠0,故直线

y0

y0

y0

AB 不可能平行于 x 轴. x2 y2 3 12.(2012·安徽模拟)已知椭圆 C1: + 2=1(0<b<2)的离心率为 ,抛物线 C2: 4 b 2 x2=2py(p>0)的焦点是椭圆的顶点.
(1)求抛物线 C2 的方程; (2)过点 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E,F 两点,过 E,F 作抛物线 C2 的切线 l1,

l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程.
解:(1)∵椭圆 C1 的长半轴长 a=2,半焦距 c= =1, ∴椭圆 C1 的上顶点为(0,1),即抛物线 C2 的焦点为(0,1), 故抛物线 C2 的方程为 x2=4y. (2)由已知可得直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2, 4-b2.由 e= =

c

4-b2 2

a



3 2

得 b2

y2).由 x2=4y 得 y= x2,
4 1 ∴y′= x. 2 1 1 ∴切线 l1,l2 的斜率分别为 x1, x2. 2 2

1

1 1 当 l1⊥l2 时, x1· x2=-1,即 x1x2=-4. 2 2

由?

? ?y=k x+ ?x2=4y ?

得 x2-4kx-4k=0, ∴Δ=(4k)2-4×(-4k)>0, 解得 k<-1 或 k

>0.① 且 x1x2=-4k=-4,即 k=1,满足①式,∴直线 l 的方程为 x-y+1=0.

1.(2013·郑州模拟)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直 线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3, 则此抛物线的方程为( A.y2=9x C.y2=3x ) B.y2=6x D.y2= 3x

解析:选 C 过点 B 作准线的垂线,垂足为 B1,记准线与 x 轴的交 |BB1| |BC| 2 2 2p 点为 F1,则依题意得 = = ,所以|BB1|= |FF1|= ,由抛物线 |FF1| |CF| 3 3 3 2p 的定义得|BF|=|BB1|= .过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 D,E,由 3 2

3 3 3 △BEF∽△ADF 得 = ,解得 p= .所以此抛物线的方程是 y2=3x. 3 3-p 2 2.(2012·安徽高考)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为 坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( A. 2 2 2 2 B. 2 )

p p-

2p

3 C.

D.2

2

解析:选 C 由题意,抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 l:x=-1,可得 A

点的横坐标为 2,代入 y2=4x 得 y2=8,不妨设 A(2, 2

2),则直线 AB 的方程为 y=2

2

?1 (x-1),与 y2=4x 联立得 2x2-5x+2=0,可得 B? ,- ?2
1 3 2 = ×1×|yA-yB|= . 2 2

2?,所以 S△AOB=S△AOF+S△BOF

? ?

? 1? 3.(2012·浙江高考)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P?1, ?到抛物 ? 2?
5 线 C:y2=2px(p>0)的准线的距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 4

C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分.
(1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值.

2pt=1, ? ? 解:(1)由题意知? p 5 1+ = , ? 2 4 ?

1 ? ?p=2, 得? ?t=1. ?

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m), 设直线 AB 的斜率为 k(k≠0).

?y2 1=x1, ? 由? ? 2=x2, ?y2
得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, 故 k·2m=1, 1 所以直线 AB 的方程为 y-m= (x-m), 2m 即 x-2my+2m2-m=0.

由?

? ?x-2my+2m2-m=0, ?y2=x, ?

消去 x,整理得 y2-2my+2m2-m=0, 所以 Δ =4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m.从而|AB|= = 1+4m2· 4m-4m2. 1 1+ 2·|y1-y2|

k

|1-2m+2m2| 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= ,设△ABP 的面积为 S, 1+4m2 1 则 S= |AB|·d=|1-2(m-m2)|· 2 由 Δ=4m-4m2>0,得 0<m<1. 令 u=

m-m2.

m-m2,0<u≤ ,则 S=u-2u3,
2

1

S′(u)=1-6u2.
由 S′(u)=0,得 u= 1? 6 ? ∈?0, ?, 6 ? 2?

所以 S(u)max=S?

? 6? ? ? = 6. ? ? 6 ? 9
6 9 .

故△ABP 面积的最大值为

1.(2012·北京高考)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该 抛物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面 积为________. 解析:直线 l 的方程为 y= 3(x-1),即 x= 3 3

y+1,代入抛物线方程得 y2-

4 3

3

y

4 -4=0, 解得 yA= = 3. 答案: 3 3

3

+ 2

16 +16 3

=2

1 3(yB<0, 舍去), 故△OAF 的面积为 ×1×2 2

3

2 .(2012·东城模拟 ) 已知顶点在坐标原点,焦点在 x 轴正半轴的抛物线上有一点

A? ,m?,A 点到抛物线焦点的距离为 1.

?1 ?2

? ?

(1)求该抛物线的方程; (2)设 M(x0, y0)为抛物线上的一个定点, 过 M 作抛物线的两条相互垂直的弦 MP, MQ, 求证:PQ 恒过定点(x0+2,-y0); (3)直线 x+my+1=0 与抛物线交于 E,F 两点,问在抛物线上是否存在点 N,使得△

NEF 为以 EF 为斜边的直角三角形?若有,求出该点存在时需满足的条件;若无,请说明理
由.

p 1 解:(1)由题意可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),则由抛物线的定义可得 + =1, 2 2
即 p=1, 所以该抛物线的方程为 y2=2x. (2)由题意知直线 PQ 与 x 轴不平行,设直线 PQ 的方程为 x=my+n,代入 y2=2x 得 y2-2my-2n=0. 所以 y1+y2=2m,y1y2=-2n,其中 y1,y2 分别是 P,Q 的纵坐标,x1,x2 分别是 P,

Q 的横坐标.
因为 MP⊥MQ,所以 kMP·kMQ=-1. 即

y1-y0 y2-y0 x1-x0 x2-x0 y2 1
·

=-1,

2 2 又由 x1= ,x2= ,x0= ,代入上式得 · =-1, 2 2 2 y1+y0 y2+y0

y2 2

y2 0

所以(y1+y0)(y2+y0)=-4. 即 y1y2+(y1+y2)y0+y2 0+4=0, 所以(-2n)+2my0+2x0+4=0,即 n=my0+x0+2. 所以直线 PQ 的方程为 x=my+my0+x0+2, 所以直线 PQ 恒过定点(x0+2,-y0).

? ?y2=2x, (3)假设存在点 N(x0,y0),设 E(x1,y1),F(x2,y2).由? 消去 x 得 ?x+my+1=0, ?
y2+2my+2=0,
则 y1+y2=-2m,y1y2=2,且(2m)2-8>0,即 m2>2. 由于 NE⊥NF,所以

y1-y0 y2-y0
·

=-1,又点 E,F,N 在抛物线上,所以 x1= ,x2 x1-x0 x2-x0 2

y2 1

y1-y0 y2-y0 2 2 = ,x0= ,代入 · =-1,得 · =-1,即(y1+y0)(y2+y0)=-4, 2 2 x1-x0 x2-x0 y1+y0 y2+y0
2 即 y1y2+y0(y1+y2)+y2 0+4=0,将 y1+y2=-2m,y1y2=2 代入并整理得 y0-2my0+6

y2 2

y2 0

=0,只要 4m2-24>0,即 m2>6,该方程即有实数解.所以只要 m2>6 就存在满足条 件的点 N,当 m2≤6 时不存在满足条件的点 N.


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