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高中数学素材——均值不等式、柯西不等


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三个重要的不等式 ——均值不等式、柯西不等式、排序不等式
【知识聚焦】
1.【均值不等式】 设 a1 , a2 , a3 , , an 是 n 个正数,则有

a1 ? a2

? a3 ? ? an n ? a1a2 a3 an ,当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ? n 设 a1 , a2 , a3 , , an 是 n 个正数,则有
2 a12 ? a2 ? n 2 ? an

? an 时取等号。

?

a1 ? a2 ? n

? an

? n a1a2

an ?

即:平方平均数 ? 算术平均数 ? 几何平均数 ? 调和平均数 特别地,

n 1 1 ? ? a1 a2

?

1 an

1 1 ? a b 2 2 常用变式结构: ab ? a ? b , 2
2. 【柯西不等式】 设 ai , bi ? R(i ? 1, 2,
2 (a12 ? a2 ?

min{a, b} ?

2

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? ? max{a, b} 2 2
a2 ? b 2 ? 1 a2 2 (a ? b) , ? 2a ? b 2 b

a?b 2 , ab ? ( ) 2

, n) ,则有

2 2 2 ? an )(b12 ? b2 ? ? bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ? anbn )2 , 若 bi ? 0 则等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? an 时成立;若 bi ? 0 则规定对应的 ai ? 0 。 b1 b2 bn 两个变式结构:当 ai 与 bi (i ? 1, 2, , n) 同号时,

a1 a2 ? ? b1 b2

2 2 an (a1 ? a2 ? ? an )2 , a1 a 2 ? ? ? ? bn a1b1 ? a2b2 ? ? anbn b1 b2

2 an (a1 ? a2 ? ? an )2 ? ? bn b1 ? b2 ? ? bn

3.【排序不等式】 给定两组实数 ai , bi ? R(i ? 1, 2,

a1bn ? a2bn?1 ?

如果 a1 ? a2 ? ? an , b1 ? b2 ? ? bn ,则: , n), ? anb1 ? a1bi1 ? a2bi2 ? ? anbin ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn

(反序和) (乱序和) (顺序和) 其中 i1 , i2 . , in 是 1,, 的一个排列,当且仅当 a1 =a2 = =an , b1 =b2 = 2 ,n

=bn 取等号。

【名题精析】
(IMO-36 试题)设 a, b, c ? R , abc ? 1 。求证: 法一:构造均值定理
?

1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2
3

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法二:均值定理变式应用

法三:构造柯西不等式

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