当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学素材——均值不等式、柯西不等


源头学子

http://www.wxckt.cn

http://www.xjktyg.com/wxc

三个重要的不等式 ——均值不等式、柯西不等式、排序不等式
【知识聚焦】
1.【均值不等式】 设 a1 , a2 , a3 , , an 是 n 个正数,则有

a1 ? a2 ? a3 ? ? an n ? a1a2 a3 an ,当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ? n 设 a1 , a2 , a3 , , an 是 n 个正数,则有
2 a12 ? a2 ? n 2 ? an

? an 时取等号。

?

a1 ? a2 ? n

? an

? n a1a2

an ?

即:平方平均数 ? 算术平均数 ? 几何平均数 ? 调和平均数 特别地,

n 1 1 ? ? a1 a2

?

1 an

1 1 ? a b 2 2 常用变式结构: ab ? a ? b , 2
2. 【柯西不等式】 设 ai , bi ? R(i ? 1, 2,
2 (a12 ? a2 ?

min{a, b} ?

2

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? ? max{a, b} 2 2
a2 ? b 2 ? 1 a2 2 (a ? b) , ? 2a ? b 2 b

a?b 2 , ab ? ( ) 2

, n) ,则有

2 2 2 ? an )(b12 ? b2 ? ? bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ? anbn )2 , 若 bi ? 0 则等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? an 时成立;若 bi ? 0 则规定对应的 ai ? 0 。 b1 b2 bn 两个变式结构:当 ai 与 bi (i ? 1, 2, , n) 同号时,

a1 a2 ? ? b1 b2

2 2 an (a1 ? a2 ? ? an )2 , a1 a 2 ? ? ? ? bn a1b1 ? a2b2 ? ? anbn b1 b2

2 an (a1 ? a2 ? ? an )2 ? ? bn b1 ? b2 ? ? bn

3.【排序不等式】 给定两组实数 ai , bi ? R(i ? 1, 2,

a1bn ? a2bn?1 ?

如果 a1 ? a2 ? ? an , b1 ? b2 ? ? bn ,则: , n), ? anb1 ? a1bi1 ? a2bi2 ? ? anbin ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn

(反序和) (乱序和) (顺序和) 其中 i1 , i2 . , in 是 1,, 的一个排列,当且仅当 a1 =a2 = =an , b1 =b2 = 2 ,n

=bn 取等号。

【名题精析】
(IMO-36 试题)设 a, b, c ? R , abc ? 1 。求证: 法一:构造均值定理
?

1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2
3

-1-

源头学子

http://www.wxckt.cn

http://www.xjktyg.com/wxc

法二:均值定理变式应用

法三:构造柯西不等式

-2-


赞助商链接
相关文章:
均值不等式与柯西不等式(改)
均值不等式柯西不等式(改)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。好东西均值不等式均值不等式柯西不等式 一、 知识提要 1、基本不等式:若 a, b ∈ R ,...
高中数学-柯西不等式与排序不等式
高中数学-柯西不等式与排序不等式 - 3.1 3.2 柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式? a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 及几种变式. 2 2.已知 a、...
...排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式_理学_高等教育_教育专区。高中数学教学整理得一点资料Mathwang 几个经典不等式的关系 几个经典不...
均值不等式的推广与柯西不等式
均值不等式的推广与柯西不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。均值不等式的推广与柯西不等式一、1、均值不等式:设 a1 , a2 , a3 , an 是 n 个正实数,...
R0019,高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西不等式...
R0019,高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西不等式及其应用(2) 隐藏>> 排序、均值、 排序、均值、柯西不等式及其应用排序不等式、均值不等式柯西不等式是不...
2018年高考备考+均值不等式和柯西不等式+含历年高考真题
2018年高考备考+均值不等式柯西不等式+含历年高考真题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1、(2008 江苏)设 a,b,c 为正实数,求证: 1 1 1 ? ? + abc ...
不等式的证明
因此这两类不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性, 对高中数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用。本文就均值不等 式柯西不等式在高中应用上的...
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛中不等式的解法摘要:本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式,平均值不等式,柯西不等式和...
均值不等式与柯西不等式
高中数学素材——均值不等... 2页 2财富值 柯西均值不等式的证明推广... 4...自选专题 均值不等式柯西不等式 均值不等式柯西不等式【均值不等式】 均值不...
均值不等式及柯西不等式
高中数学素材——均值不等... 2页 2财富值 柯西均值不等式的证明推广... 4...均值不等式柯西不等式一、 基础检测 1、下列结论正确的是( ) 1 A.当 x>...
更多相关标签: