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选修4-5


第一讲 不等式和绝对值不等式 课题:第 01 课时 不等式的基本性质
教学目标: 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义,建立不等式研究 的基础。 2.掌握不等式的基本性质,并能加以证明;会用不等式的基本性质判断不 等关系和用比较法,反证法证明简单的不等式。 教学重点:应用不等式的基本性质推理判断命题的真假;代数证明,特别是反证 法。 教学难点:灵活应用不等

式的基本性质。 教学过程: 一、引入: 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。 《列子?汤问》 中脍炙人口的 “两 小儿辩日” : “远者小而近者大” 、 “近者热而远者凉” ,就从侧面表明了现实世界 中不等关系的广泛存在;日常生活中息息相关的问题,如“自来水管的直截面为 什么做成圆的,而不做成方的呢?” 、 “电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮?” 、 “用一块正方形白铁皮, 在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒 子。要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小正方形?”等,都属于不等 关系的问题,需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且,不等式在数学研 究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努 利不等式、排序不等式等)和它们的证明,数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不 同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的, 而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发,说明本章知识的地位 和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题:a 克糖水中含有 b 克糖 (a>b>0),若再加 m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么? b b?m 分析:起初的糖水浓度为 ,加入 m 克糖 后的糖水浓度为 ,只要证 a a?m b?m b > 即可。怎么证呢? a?m a 二、不等式的基本性质: 1、实数的运算性质与大小顺序的关系: 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数, 从实数的减法在数轴

1

上的表示可知:
a ? b ? a ?b ? 0
a ? b ? a ?b ? 0

a ? b ? a ?b ? 0

得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。 2、不等式的基本性质: ①、如果 a>b,那么 b<a,如果 b<a,那么 a>b。(对称性) ②、如果 a>b,且 b>c,那么 a>c,即 a>b,b>c ? a>c。 ③、如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b ? a+c>b+c。 推论:如果 a>b,且 c>d,那么 a+c>b+d.即 a>b, c>d ? a+c>b+d. ④、如果 a>b,且 c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,且 c<0,那么 ac<bc. ⑤、如果 a>b >0,那么 a n ? b n (n ? N,且 n>1) ⑥、如果 a>b >0,那么 n a ? n b (n ? N,且 n>1)。 三、典型例题: 例 1、比较 ( x ? 3)(x ? 7) 和 ( x ? 4)(x ? 6) 的大小。 分析:通过考察它们的差与 0 的大小关系,得出这两个多项式的大小关系。 例 2、已知 a ? b, c ? d ,求证: a ? c ? b ? d . 例 3、已知 a>b>0,c>d>0,求证: 四、课堂练习:
a ? d b c



1:已知 x ? 3 ,比较 x 3 ? 11x 与 6 x 2 ? 6 的大小。 b a ? 2:已知 a>b>0,c<d<0,求证: 。 a?c b?d 五、课后作业: 课本 P9 第 1、2、3、4 题 六、教学后记:

2

课题:第 02 课时 基本不等式
教学目标: 1.学会推导并掌握均值不等式定理; 2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点:均值不等式定理的证明及应用。 教学难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程: 一、知识学习: 定理 1:如果 a、b∈R,那么 a 2+b 2 ≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号) 证明:a 2+b 2-2ab=(a-b)2 当 a≠b 时, (a-b)2>0,当 a=b 时, (a-b)2=0 所以, (a-b)2≥0 由上面的结论,我们又可得到 定理 2(基本不等式) :如果 a,b 是正数,那么 =b 时取“=” 号) 证明:∵( a )2+( b )2≥2 ab a +b ∴a +b≥2 ab ?,即? ≥ ab a2+b 显然,当且仅当 a=b 时, = ab 2 a +b 说明:1)我们称 为 a,b 的算术平均数,称 ab 为 a,b 的几何平均 2 数, 因而, 此定理又可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a + b 2)a 2+b 2≥2ab 和 ≥ ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都 2 是实数,而后者要求 a,b 都是正数. 3) “当且仅当”的含义是充要条件. 4)几何意义. 二、例题讲解: 例 1 已知 x,y 都是正数,求证: (1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; 1 (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 S2 4 x+y 证明:因为 x,y 都是正数,所以 ≥ xy 2 x+y (1)积 xy 为定值 P 时,有 ≥ P ∴x+y≥2 P 2 上式当 x=y 时,取“=”号,因此,当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P . S 1 2 (2)和 x+y 为定值 S 时,有 xy ≤ ∴xy≤ S 2 4 1 上式当 x=y 时取“=”号,因此,当 x=y 时,积 xy 有最大值 S 2. 4
3

即 a 2+b 2 ≥2ab

a +b
2

≥ ab (当且仅当 a

说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件: ⅰ)函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; ⅲ)等号成立条件必须存在。 例 2 :已知 a、b、c、d 都是正数,求证: (ab+cd) (ac+bd)≥4abcd 分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确 运用,同时加强对均值不等式定理的条件的认识. 证明:由 a、b、c、d 都是正数,得 ab+cd ac+bd ≥ ab·cd >0, ≥ ac·bd >0, 2 ab+cd)(ac+bd) 2 ( ∴ ≥abcd 4 即(ab+cd) (ac+bd)≥4abcd 例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如 果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能 使总造价最低,最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后 求函数的最值,其中用到了均值不等式定理. 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得 1600 1600 l=240000+720(x+ )≥240000+720×2 x·

x

x

=240000+720×2×40=297600 1600 当 x= ,即 x=40 时,l 有最小值 297600

x

因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总 造价是 297600 元. 评述: 此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数 解析式的建立, 又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条 件. 三、课堂练习:课本 P91 练习 1,2,3,4. 四、课堂小结: 通过本节学习, 要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值, ,但是在应用时,应注 意定理的适用条件。 五、课后作业 课本 P10 习题 1.1 第 5,6,7 题 六、教学后记:

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课题:第 03 课时 三个正数的算术-几何平 均不等式
教学目标: 1.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决最 值问题; 2.了解基本不等式的推广形式。 教学重点:三个正数的算术-几何平均不等式 教学难点:利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决 最值问题 教学过程: 一、知识学习: 定理 3:如果 a, b, c ? R? ,那么 成立。 推广:
a?b?c 3 ? abc 。当且仅当 a ? b ? c 时,等号 3

a1 ? a 2 ? ? ? a n ≥ n a1a2 ?an 。 当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时, 等号成立。 n 语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考:类比基本不等式,是否存在:如果 a, b, c ? R? ,那么 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc(当 且仅当 a ? b ? c 时,等号成立)呢?试证明。 二、例题分析:
3 例 1:求函数 y ? 2 x 2 ? ( x ? 0) 的最小值。 x 3 1 2 1 2 解一: y ? 2 x 2 ? ? 2 x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 4 ∴ ymin ? 33 4 3 x x x3 3x 3 x 12 解二: y ? 2 x 2 ? ? 2 2 x 2 ? ? 2 6 x 当 2 x 2 ? 即 x ? 时 3 x x 2 x 12 ∴ y min ? 2 6 ? ? 2 33 12 ? 26 324 2 上述两种做法哪种是错的?错误的原因是什么? 1 若a, b ? R ? 且a ? b, 求a ? 变式训练 1 的最小值。 (a ? b)b 由此题,你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________

例 2 :如下图,把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形, 再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子, 问切去的正方形边长是多少 时,才能使盒子的容积最大?

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变式训练 2

已知:长方体的全面积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高

各是多少时,它的体积最大,求出这个最大值. 由例题,我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________,三者缺一不可。另 外,由不等号的方向也可以知道:积定____________,和定______________. 三、巩固练习
12 ( x ? 0) 的最小值是 ( ) x2 A.6 B. 6 6 C.9 D.12 16 2.函数 y ? 4 x 2 ? 2 的最小值是____________ ( x 2? 1) 2 4 3.函数 y ? x (2 ? x )(0 ? x ? 2 ) 的最大值是( ) 16 32 A.0 B.1 C. D. 27 27 2 4.(2009 浙江自选)已知正数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ,求 4 x ? 4 y ? 4 z 的最小值。 1 1 1 5(2008,江苏,21)设 a, b, c 为正实数,求证: 3 ? 3 ? 3 ? abc ? 2 3 a b c 四、课堂小结:

1.函数 y ? 3 x ?

通过本节学习, 要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值, ,但是在应用时,应注 意定理的适用条件。 五、课后作业 P10 习题 1.1 第 11,12,13 题 六、教学后记:

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课题:第 04 课时 绝对值三角不等式
教学目标: 1:了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法, 会进行简 单的应用。 2:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数 形结合的数学思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证 明。 教学重点:绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程: 一、复习引入: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类 是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1.请同学们回忆一下绝对值的意义。 ? x,如果x ? 0 ? x ? ?0,如果x ? 0 。 ?? x,如果x ? 0 几何意义: 在数轴上, 一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。 ? 2.证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质 之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质: (1) a ? a ,当且仅当 a ? 0 时等号成立, a ? ?a. 当且仅当 a ? 0 时等号成 立。 (2) a ? a 2 , 二、讲解新课:
探究: a , b , a ? b , a ? b 之间的什么关系?

(3) a ? b ? a ? b ,

(4)

a b

?

那么 a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ?

a (b ? 0) b

结论: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.) 已知 a , b 是实数,试证明: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.) 方法一:证明:10 .当 ab≥0 时, 20. 当 ab<0 时,
ab ? ? | ab |, | a ? b |? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | ab | ? | b |2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2
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ab ?| ab |, | a ? b |? ( a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |) 2 ?| a | ? | b |

? (| a | ? | b |) 2 ?| a | ? | b |

综合 10, 20 知定理成立. 方法二:分析法,两边平方(略) 如果 a , b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.) ? ? (1)若把 a , b 换为向量 a, b 情形又怎样呢? 定理 1

? ? a?b

? a

? a

? b

? ? a?b

根 据 定 理 1 , 有 a ?b ? ?b ? a ?b ?b , 就 是 , a ?b ? b ? a 。 所 以 ,

a?b ? a ? b 。
定理(绝对值三角形不等式) 如果 a , b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b 注:当 a , b 为复数或向量时结论也成立. 推论 1: a1 ? a2 ? ?? an ≤ a1 ? a2 ? ?? an 推 论 2 : 如 果 a、b、c 是 实 数 , 那 么 a ? c ≤ a ? b ? b ? c , 当 且 仅 当

(a ? b)(b ? c ) ≥ 0 时,等号成立.
思考:如何利用数轴给出推论 2 的几何解释? (设 A, B, C 为数轴上的 3 个点, 分别表示数 a, b, c, 则线段 AB ? AC ? CB. 当且仅当 C 在 A,B 之间时,等号成立。这就是上面的例 3。特别的,取 c=0(即 C 为原点) ,就得到例 2 的后半部分。 ) 三、典型例题:
c c , y ? b ? ,求证 ( x ? y) ? (a ? b) ? c. 2 2 证明 ( x ? y) ? (a ? b) ? ( x ? a) ? ( y ? b) ? x ? a ? y ? b (1) c c ? x?a ? , y ?b ? , 2 2 c c x?a ? y ?b ? ? ? c ∴ 2 2 (2)

例 1、已知 x ? a ?

由(1) , (2)得: ( x ? y) ? (a ? b) ? c a a 例 2、已知 x ? , y ? . 求证: 2x ? 3 y ? a 。 a4 a6 a a 证明 ? x ? , y ? ,∴ 2 x ? , 3 y ? , 4 6 2 2
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a a ? ? a。 2 2 注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写

由例 1 及上式, 2 x ? 3 y ? 2 x ? 3 y ?

法,只能用于不等号方向相同的不等式。 例 3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别 位于公路路碑的第 10 公里和第 20 公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同 临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次 ,要使两个施工 队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 解:如果生活区建于公路路碑的第 x km 处,两施工队每天往返的路程之和为 S(x)km 那么

· S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 10

· x

· 20

四、课堂练习: 1.(课本 P20 习题 1.2 第 1 题)求证: ⑴ a ? b ? a ? b ≥ 2 a ;⑵ a ? b ? a ? b ≤ 2 b 2. (课本 P19 习题 1.2 第 3 题)求证: ⑴ x ? a ? x ? b ≥ a ? b ;⑵ x ? a ? x ? b ≤ a ? b c c 3. (1) 、已知 A ? a ? , B ? b ? . 求证: ( A ? B) ? (a ? b) ? c 。 2 c c2 (2) 、已知 x ? a ? , y ? b ? . 求证: 2x ? 3y ? 2a ? 3b ? c 。 4 6 五、课堂小结: 1.实数 : (a ? 0) ?a 的绝对值的意义 ? ⑴ a ? ?0 (a ? 0) ;(定义) ? ?a (a ? 0) ⑵ a 的几何意义 : ? 2.定理(绝对值三角形不等式) 如果 a , b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b 注意取等的条件。 六、课后作业:课本 P19 第 2,4,5 题

七.教学后记:

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课题:第 05 课时 绝对值不等式的解法
教学目标: 1:理解并掌握 x ? a与 x ? a(a ? 0) 型不等式的解法. 2:掌握 ax ? b ? c与 ax ? b ? c(c ? 0) 型不等式的解法. 教学重点: x ? a与 x ? a(a ? 0) 型不等式的解法. 教学难点:把绝对值不等式转化为一次不等式(组)来求解. 教学过程: 一、复习引入: 在初中课程的学习中, 我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定 的了解。 请同学们回忆一下绝对值的意义。 在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 ? x,如果x ? 0 ? x ? ?0,如果x ? 0 。 ?? x,如果x ? 0 在此基础上,本节讨论含有绝对值的不等式。 ? 二、新课学习: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类 是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式) ,关键在于 去掉绝对值符号,化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义. 2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型:设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x ? a 的解集是
{x | ?a ? x ? a} ,它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开

区间(-a,a) ,如图所示。

图 1-1 如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型:设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x ? a 的解集是 { x | x ? a 或 x ? ?a },它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合 是两个开区间 (??,?a), (a, ?) 的并集。如图 1-2 所示。

–a
10

a

图 1-2 同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。 3、 ax ? b ? c 和 ax ? b ? c 型不等式的解法。

ax ? b ? c ? ?c ? ax ? b ? c

ax ? b ? c ? ax ? b ? ?c或ax ? b ? c
4、 x ? a ? x ? b ? c 和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法。 (三种思路) 三、典型例题: 例 1、解不等式 3x ? 1 ? x ? 2 。 例 2、解不等式 3x ? 1 ? 2 ? x 。 方法 1:分类讨论。 方法 2:依题意,原不等式等价于 3x ? 1 ? 2 ? x 或 3x ? 1 ? x ? 2 ,然后去解。 例 3、解不等式 2x ? 1 ? 3x ? 2 ? 5 。 例 4、解不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? 5 。 解:本题可以按照例 3 的方法解,但更简单的解法是利用几何意义。原不等 式即数轴上的点 x 到 1,2 的距离的和大于等于 5。因为 1,2 的距离为 1,所以 x 在 2 的右边,与 2 的距离大于等于 2(=(5-1) ? 2) ;或者 x 在 1 的左边, 与 1 的距离大于等于 2。这就是说, x ? 4 或 x ? ?1. 例 5、不等式 x ? 1 ? x ? 3 > a ,对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围。 四、课堂练习:解下列不等式: 1、 2 2x ? 1 ? 1. 4、 x ? 1 ? 2 ? x . 7、 x ? x ? 2 ? 4 10、
x ? x ? 4 ? 2.

2、 41 ? 3x ? 1 ? 0 5、 x ? 2 x ? 4 ? 1
2

3、 9、

3 ? 2x ? x ? 4 .
x ? x ?1 ? 2

6、 x 2 ? 1 ? x ? 2 .

8、 x ? 1 ? x ? 3 ? 6.

五、课后作业:课本 20 第 6、7、8、9 题。 六、教学后记:

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第二讲 证明不等式的基本方法 课题:第 01 课时 不等式的证明方法之一: 比较法
教学目标:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 教学重、难点:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 教学过程: 一、新课学习: 要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性 质:
a ? b ? a ?b ? 0
a ? b ? a ?b ? 0
a ? b ? a ?b ? 0

二、典型例题: 例 1、设 a , b 都是正数,且 a ? b ,求证: a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab2 。 例 2、若实数 x ? 1 ,求证: 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 证明:采用差值比较法:

3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2
= 3 ? 3 x 2 ? 3x 4 ? 1 ? x 2 ? x 4 ? 2 x ? 2 x 2 ? 2 x 3 = 2( x 4 ? x 3 ? x ? 1) = 2( x ? 1) 2 ( x 2 ? x ? 1) 1 3 = 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ]. 2 4 1 3 ? x ? 1, 从而 ( x ? 1) 2 ? 0, 且( x ? ) 2 ? ? 0, 2 4 1 3 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ] ? 0, ∴ 2 4 ∴ 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换? 例 3、已知 a, b ? R ? , 求证 a a b b ? a b b a . 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 a , b 对称,不妨设 a ? b ? 0. ?a ? b ? 0 ,从而原不等式得证。 ? a a b b ? a b b a ? a b b b ( a a ?b ? b a ?b ) ? 0 2)商值比较法:设 a ? b ? 0, a a abb a ? ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. 故原不等式得证。 b b a b 例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 m 行 走,另一半时间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度
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n 行走。如果 m ? n ,问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的 时间分别为 t1 , t 2 。要回答题目中的问题,只要比较 t1 , t 2 的大小就可以了。 解:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的 t t S S 2S ? ? t 2 ,可得 t1 ? 时间分别为 t1 , t 2 ,根据题意有 1 m ? 1 n ? S , , 2m 2n m?n 2 2 S (m ? n) t2 ? , 2mn 2S S ( m ? n ) S [ 4 m n ? ( m ? n) 2 ] S ( m ? n) 2 ? 从而 t1 ? t 2 ? , ? ?? m?n 2mn 2(m ? n)m n 2(m ? n)m n 其中 S , m, n 都是正数,且 m ? n 。于是 t1 ? t 2 ? 0 ,即 t1 ? t 2 。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论:如果 m ? n ,甲、乙两人谁先到达指定地点? 三、课堂练习: 1.比较下面各题中两个代数式值的大小: (1) x 2 与 x 2 ? x ? 1 ; (2) x 2 ? x ? 1 与 ( x ? 1) 2 . 2.已知 a ? 1. 求证: (1) a 2 ? 2a ? 1; 3.若 a ? b ? c ? 0 ,求证 a a b b c c ? (abc) 四、课时小结: 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的 步骤是:作差(或作商) 、变形、判断符号。 “变形”是解题的关键,是最重一步。 因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 五、课后作业: 课本 23 页第 1、2、3、4 题。 六、教学后记:
a ?b ? c 3

(2)

.

2a ? 1. 1? a2

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课题:第 02 课时 不等式的证明方法之二: 综合法与分析法
教学目标: 1、结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综 合法。 2、了解分析法和综合法的思考过程。 教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程。 教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方 法。 教学过程: 一、引入: 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法, 也是不等式证明中的基 本方法。由 于两者在证明思路上存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以认识、学习, 以便于对比研究两种思路方法的特点。 所谓综合法,即从已知条件出发,根据不等式的性质或已知的不等式,逐步 推导出要证 的不等式。而分析法,则是由结果开始,倒过来寻找原因,直至原因成为明显的 或者在已知中。前一种是“由因及果” ,后一种是“执果索因” 。打一个比方:张 三在山里迷了路, 救援人员从驻地出发, 逐步寻找, 直至找到他, 这是 “综合法” ; 而张三自己找路,直至回到驻地,这是“分析法” 。 二、典型例题: 例 1、已知 a, b, c ? 0 ,且不全相等。求证:

a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc
分析:用综合法。 例 2、设 a ? 0, b ? 0 ,求证 a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab2 . 证法一 分析法 要证 a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab2 成立. 只需证 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? ab(a ? b) 成立,又因 a ? b ? 0 , 只需证 a 2 ? ab ? b 2 ? ab 成立,又需证 a 2 ? 2ab ? b 2 ? 0 成立, 即需证 (a ? b) 2 ? 0 成立.而 (a ? b) 2 ? 0 显然成立. 由此命题得证。 证法二 综合法

(a ? b) 2 ? 0 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 0 ? a 2 ? ab ? b 2 ? ab
14

注意到 a ? 0, b ? 0 ,即 a ? b ? 0 , 由上式即得 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? ab(a ? b) ,从而 a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab2 成立。 议一议:根据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗? a?m a ? . 例 3、已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b. 求证: (1) b?m b 证法一 要证(1) ,只需证 b(a ? m) ? a(b ? m) (2) 要证(2) ,只需证 bm ? am 要证(3) ,只需证 b ? a 已知(4)成立,所以(1)成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 得(1) 。 例 4、证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等, 那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截 2 L ? L ? L L 面的周长为 ,则周长为 2 的圆的半径为 ,截面积为 ?? 2 ? ;周长为 L 的正 2 2 ? 2 ? ? L ?L? ? L ? ? L ?? 方形为 ,截面积为 ? ? 。所以本题只需证明 ? ? ? ? ? ? 。 2 4 ?4? ? 2? ? ?4? ? L ? 证明:设截面的周长为 L ,则截面是圆的水管的截面面积为 ? ? ? ,截面 2 2 2 ?L? ? L ? ? L ? ? 2? ? 是正方形的水管的截面面积为 ? ? 。只需证明: ? ? ? ? ? ? 。 ? 4 ? ?L2 L2 ? 2? ? ?4? 为了证明上式成立,只需证明 2 ? 。 16 ? 4 1 41 4 ?? 。 两边同乘以正数 2 ,得: 2 ? 。因此,只需证明 2 ? 4 L ? L ? ? L? 上式显然成立,所以 ? ? ? ? ? ? 。 ? 2? ? ?4? 这就证明了:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等, 那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 例 5、证明: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 。 证法一: 因为
a 2 ? b 2 ? 2ab b ? c ? 2bc
2 2

(3) (4)

因为 b ? a, m 是正数,所以 bm ? am 两边同时加上 ab 得 b(a ? m) ? a(b ? m) 两边同时除以正数 b(b ? m)

(2) (3) (4)
2 2 2

c 2 ? a 2 ? 2ca

所以三式相加得 2(a ? b ? c ) ? 2(ab ? bc ? ca) 两边同时除以 2 即得(1) 。 证法二:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? (ab ? bc ? ca ) ? 1 1 1 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0, 2 2 2

(5)

所以(1)成立。

例 6、证明: (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 .

(1)

15

证明

(1) ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 ? 0

(2) (4) (5)

? a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 d 2 ? (a 2 c 2 ? 2abcd ? b 2 d 2 ) ? 0 (3) ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? 2abcd ? 0 ? (bc ? ad) 2 ? 0
(5)显然成立。因此(1)成立。 例 7、已知 a, b, c 都是正数,求证 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc. 并指出等号在什么时候 成立? 分析:本题可以考虑利用因式分解公式

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) 着手。
证明:
a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc

= (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) 1 = (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ]. 2 由 于 a, b, c 都 是 正 数 , 所



a ? b ? c ? 0.



(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? 0 ,
2 2 2

可知 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? 0 即 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc(等号在 a ? b ? c 时成立) 探究:如果将不等式 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc 中的 a 3 , b 3 , c 3 分别用 a, b, c 来代替, 并在两边同除以 3,会得到怎样的不等式?并利用得到的结果证明不等式:
(1 ? a ? b)(1 ? b ? c)(1 ? c ? a) ? 27 ,其中 a, b, c 是互不相等的正数,且
abc ? 1 .

三、课堂小结: 解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边同时加上 (或减去)一个数或代数式,移项,在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正 数或一个正的代数式,得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法,也是利 用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。 四、课堂练习:
1 ? 2. x 1 1 4 . 2、已知 x ? 0, y ? 0, x ? y, 求证 ? ? x y x? y 3、已知 a ? b ? 0, 求证 a ? b ? a ? b.

1、已知 x ? 0, 求证: x ?

4、已知 a ? 0, b ? 0. 求证: (1) (a ? b)(a ?1 ? b ?1 ) ? 4. (2) (a ? b)(a 2 ? b 2 )(a 3 ? b 3 ) ? 8a 3b 3 . 5、已知 a, b, c, d 都是正数。求证: a?b?c?d 4 a?b?c?d ? abcd . ? ab ? cd ; (2) (1) 4 2 6、已知 a, b, c 都是互不相等的正数,求证 (a ? b ? c)(ab ? bc ? ca) ? 9abc.

16

五、课后作业: 课本 25 页第 1、2、3、4 题。 六、教学后记:

课题:第 03 课时 不等式的证明方法之三: 反证法
教学目标: 通过实例,体会反证法的含义、过程与方法,了解反证法的基本步骤,会用反证法证 明简单的命题。 教学重点:体会反证法证明命题的思路方法,会用反证法证明简单的命题。 教学难点:会用反证法证明简单的命题。 教学过程: 一、引入: 前面所讲的几种方法,属于不等式的直接证法。也就是说,直接从题设出发,经过一系 列的逻辑推理,证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这 时可考虑采用间接证明的方法。 所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性, 而是 证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真,以间接地达到目的。其中,反证法是 间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明:若肯定命题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。具体地说,反证 法不直接证明命题“若 p 则 q” ,而是先肯定命题的条件 p,并否定命题的结论 q,然后通过 合理的逻辑推理,而得到矛盾,从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因, 在于开始所作的假定不正确, 于是原证不等式成立。 二、典型例题: 例 1、已知 a ? b ? 0 ,求证: n a ? n b ( n ? N 且 n ? 1 ) 例 1、设 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2.
3 3

证明:假设 a ? b ? 2 ,则有 a ? 2 ? b ,从而
17

a 3 ? 8 ? 12b ? 6b 2 ? b 3 , a 3 ? b 3 ? 6b 2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) 2 ? 2.
因为 6(b ? 1) 2 ? 2 ? 2 ,所以 a ? b ? 2 ,这与题设条件 a ? b ? 2 矛盾,所以,
3 3 3 3

原不等式 a ? b ? 2 成立。 例 2、设二次函数 f ( x) ? x 2 ? px ? q ,求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小 于

1 . 2 1 ,则 2
(1)

证明:假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.
另一方面,由绝对值不等式的性质,有

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q) ? 2(4 ? 2 p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? 2

(2)

(1) 、 (2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。 注意:诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通 常采用反证法进行。 议一议:一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推 出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情 况。试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点? 例 3、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 证:设(1 ? a)b >

1 4

1 1 1 , (1 ? b)c > , (1 ? c)a > , 4 4 4 1 64

2

则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <

又∵0 < a, b, c < 1 同理: (1 ? b)b ?

1 ? (1 ? a) ? a ? ∴ 0 ? (1 ? a)a ? ? ? ? 2 4 ? ?
1 , 4 (1 ? c)c ? 1 4 1 64
与①矛盾∴原式成立

以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤

例 4、已知 a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0 证:设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = ?a > 0

18

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 ∴必有 a > 0 同理可证:b > 0, c > 0 三、课堂练习:

与题设矛盾 又:若 a = 0,则与 abc > 0 矛盾,

1、利用反证法证明:若已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b ,则

a?m a ? . b?m b

2、设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1 3、若 x, y > 0,且 x + y >2,则

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2。 x y
∵x, y > 0,可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾。

提示:反设

1? y 1? x ≥2, ≥2 x y

四、课时小结:利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因, 在于开始所作的假定不正确, 于是原证不等式成立。 五、课后作业: 课本 29 页第 1、4 题。 六、教学后记:

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课题:第 04 课时 不等式的证明方法之四: 放缩法
教学目标: 1.感受在什么情况下,需要用放缩法证明不等式。 2.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。 教学重、难点: 1.掌握证明不等式的两种放缩技巧。 2.体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。 教学过程: 一、引入: 所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当地放大(或缩小) ,使之得出明 显的不等量关系后,再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方 法。 这种方法是证明不等式中的常用方法,尤其在今后学习高等数学时用处更为 广泛。 下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。 二、典型例题:
1 1 1 1 例 1、若 n 是自然数,求证 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2. 2 3 n 1 1 11 1 ? ? , k ? 2,3,4,?, n. 证明:? 2 ? k (k ?1 1) k ? 11 k 1 1 k 1 1 1 1 ? ??? ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? 1 1 1? 2 1 2 ? n ? 1) ? n 1 1 2 3 n 13 1 (1 1 ? ) = ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( 1 1 1 2 2 3 n ?1 n = 2 ? ? 2. 1 1 1n 1 注意:实际上,我们在证明 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 的过程中,已经得到一 11 2 1 3 n 1 1 1 个更强的结论 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ,这恰恰在一定程度上体现了放缩法 n 1 2 3 n 的基本思想。 1 1 1 1 ? ??? ? 3. 例 2、求证: 1 ? ? 1 1 ? 2 1 ? 2 ?1 3 1? 1 12 ? 3 ? ? ? n ? ? k ?1 , ( k 是大于 2 的自然数) 证明:由 1 ? 2 ?1 3 ??? k 2 1 1 1? 2 ? 2 ??? 2 1 1 ? ??? 得1 ? ? ?? n 1 1? 1? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ?1 ? 12 1 13 1 2 n ? 3 ? 1 ? 3. ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? 1 ? 1 1 2 2+ 2 2 a 2 n?c b d 1 ? 1? ? ? ? ?2 例 3、 若 a, b, c, d?R , 求证: 2 a ? bc ? d b ? cd ? a c ? d ? b d ? a ?+c a b ? ? ? 证:记 m = ∵a, b, c, d?R a?b? ?a?c a d b ? c ? a b c ? d ? b dc d ? ? ? ?1 ∴m ? aa ?b?c? bd a ? c b ? c ?da c ? d ? a ? b d ? a ? b ? c m? ? ? ? ?2 ∴1 < m < 2 即原式成 a?b a?b c?d d ?c 立。

20

例 4、当 n > 2 时,求证: logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1 证:∵n > 2 ∴ logn (n ? 1) ? 0, logn (n ? 1) ? 0 2 2 ? logn (n 2 ? 1) ? ? logn (n ? 1) ? logn (n ? 1) ? ∴ logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ? logn n 2 ? 2 ? ? ? ?? ? ?1 ? 2 ? ∴n > 2 时, logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1

三、课堂练习:
1 1 1 1 1 ? ? ??? ? . 1、设 n 为大于 1 的自然数,求证 n? ?2 n?3 1 31 n 5 2n ? 1 2 n 1 2 )? . 2、设 n 为自然数,求证 (2 ? )( 2 ? )( 2 ? ) ? (2 ? n n n n n! 四、课时小结:

常用的两种放缩技巧:对于分子分母均取正值的分式, (Ⅰ)如果分子不变,分母缩小(分母仍为正数),则分式的值放大; (Ⅱ)如果分子不变,分母放大,则分式的值缩小。 五、课后作业:课本 29 页第 2、3 题。

第三讲

柯西不等式与排序不等式

课题: 第 1 课时 二维形式的柯西不等式 (一)
教学目标:认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义, 并会证明 二维柯西不等式及向量形式. 教学重点:会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点:理解几何意义. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问: 二元均值不等式有哪几种形式? 答案: 几种变式.
a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 及 2

2. 练习:已知 a、b、c、d 为实数,求证 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 证法: (比较法) (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 =?.= (ad ? bc)2 ? 0 二、讲授新课: 1. 柯西不等式: ① 提出定理 1:若 a、b、c、d 为实数,则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 . → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号?

21

② 讨论:二维形式的柯西不等式的其它证明方法? 证法二: (综合法) (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? a2c2 ? a2 d 2 ? b2c2 ? b2 d 2 (要点:展开→配方) ? (ac ? bd )2 ? (ad ? bc)2 ? (ac ? bd )2 . ?? ? ?? ? 证法三: (向量法) 设向量 m ? (a, b) ,n ? (c, d ) , 则 | m |? a2 ? b2 ,| n |? c2 ? d 2 . ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ∵ m ? n ? ac ? bd ,且 m ? n ?| m || n | cos ? m, n ? ,则 | m ? n |?| m || n | . ∴ ?.. 证法四: (函数法)设 f ( x) ? (a2 ? b2 ) x2 ? 2(ac ? bd ) x ? c2 ? d 2 ,则
f ( x) ? (ax ? c)2 ? (bx ? d )2 ≥0 恒成立.

∴ ? ? [?2(ac ? bd )]2 ? 4(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ≤0,即?.. ③ 讨论:二维形式的柯西不等式的一些变式? 变式: a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ?| ac ? bd | 或 或 a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ac ? bd .
? ? ??

a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ?| ac | ? | bd |
? ? ?? ? ? ??

④ 提出定理 2:设 ? , ? 是两个向量,则 | ? ? ? |?| ? || ? | . 即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 )
??

→ 讨论:上面时候等号成立?( ? 是零向量,或者 ? , ? 共线) ⑤ 练习:已知 a、b、c、d 为实数,求证 a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? (a ? c)2 ? (b ? d )2 . 证法: (分析法)平方 → 应用柯西不等式 造三角形) 2. 教学三角不等式: ① 出示定理 3:设 x1 , y1 , x2 , y2 ?R ,则 x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? (x1 ? x2 )2 ? (y1 ? y2 )2 . 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式:若 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 ? R ,则结合以上几何意义,可得到怎样的三角 不等式? 三、应用举例: 例 1:已知 a,b 为实数,求证 (a 4 ? b4 )(a 2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 )2 → 讨论:其几何意义?(构

? ? ??

说明:在证明不等式时,联系经典不等式,既可以启发证明思路,又可以简 化运算。所以,经典不等式是数学研究的有力工具。
例题 2:求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2x 的最大值。 分析:利用不等式解决最值问题,通常设法在不等式的一边得到一个常数,并寻 找不等式取等号的条件。 这个函数的解析式是两部分的和,若能化为 ac+bd 的形 式就能用柯西不等式求其最大值。 ( | ac ? bd |? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) y ? 5? 1 ? y>0 2? 5? x 解:函数的定义域为【 1,x 5? 】 ,且
? 5 2 ? ( 2 ) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( 5 ? x ) 2 127 当且仅当 2 ? x ? 1 ? 5 ? 即x ? 时, 函数取最大值 6 3 54 ?? x 时, 27 ? 6 3等号成立, 27 2 4 4 2 2 2 2 课堂练习:1. 证明: (x +y )(a +b )≥(a x+by )

22

2.求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值. 例 3.设 a,b 是正实数,a+b=1,求证 1 ? 1 ? 4 分析:注意到 1 ? 1 ? (a ? b)( 1 ? 1 ) ,有了 (a ? b)( ? ) 就可以用柯西不等式了。 四、巩固练习:
a b a b

a

b

1 a

1 b

1. 练习:试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知 x+2y=1, 求 x2+y2 的最小值. 五、课堂小结: 二维柯西不等式的代数形式、向量形式;三角不等式的两种形式(两点、 三点) 六、布置作业:P37 页,4,5, 7,8,9 七、教学后记:

课题: 第 02 课时二维形式的柯西不等式 (二)
教学目标: 会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题,体会运用经典不等式 的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系,经过适当变形,依据经 典不等式得到不等关系. 教学重点:利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点:如何变形,套用已知不等式的形式. 教学过程: 一、复习引入: 1. 提问:二维形式的柯西不等式、三角不等式? 几何意义? 答案: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ; x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 2. 讨论:如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式,拓广到三维、四维? 3. 如何利用二维柯西不等式求函数 y ? x ? 1 ? 2 ? x 的最大值? 要点:利用变式 | ac ? bd |? a2 ? b2 ? c2 ? d 2 . 二、讲授新课: 1. 最大(小)值: ① 出示例 1:求函数 y ? 3 x ? 1 ? 10 ? 2x 的最大值? 分析:如何变形? → 构造柯西不等式的形式
23

→ 板演 → 变式: y ? 3x ? 1 ? 10 ? 2x → 推广: y ? a bx ? c ? d e ? fx ,(a, b, c, d , e, f ? R? ) ② 练习:已知 3x ? 2 y ? 1 ,求 x 2 ? y 2 的最小值. 解答要点: (凑配法) x2 ? y2 ? 1 ( x2 ? y 2 )(32 ? 22 ) ? 1 (3x ? 2 y)2 ? 1 . 讨论:其它方法 (数形结合法) 2. 不等式的证明: ① 出示例 2:若 x, y ? R? , x ? y ? 2 ,求证: ? 要点: 1 ? 1 ? 1 ( x ? y)( 1 ? 1 ) ? 1 [(
x y 2 x y 2 x )2 ? ( y ) 2 ][( 1 x

13

13

13

分析:如何变形后利用柯西不等式? (注意对比 → 构造)
)2 ? ( 1 y )2 ] ? ?

1 x

1 ? 2. y

讨论:其它证法(利用基本不等式) 三、应用举例:
a b

② 练习:已知 a 、 b ? R? ,求证: (a ? b)( 1 ? 1 ) ? 4 .
1 2 2 2 例 1 已知 a1,a2,?,an 都是实数,求证: (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an n

分析:用 n 乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。

例 2 已知 a,b,c,d 是不全相等的实数,证明:a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da

分析:上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子,特别是右边式子的字 母排列顺序启发我们,可以用柯西不等式进行证明。
例3、已知 x ? 2 y ? 3 z ? 1, 求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值.

分析:由 x ? 2 y ? 3 z ? 1以及 x 2 ? y 2 ? z 2 的 形式,联系柯西不等式,可以通过构 造(12+22+32)作为一个因式而解决问题。
四、巩固练习: 1. 练习:教材 P37 8、9 题 练习:1.设 x,y,z 为正实数,且 x+y+z=1,求
1 4 9 ? ? 的最小值。 x y z 2.已知 a+b+c+d=1,求 a2+b2+c2+d2 的最小值。

3.已知 a,b,c 为正实数,且 a+2b+3c=9,求 3a ? 2b ? c 的最大值。 选做:4.已知 a,b,c 为正实数,且 a +2b +3c =6,求 a+b+c 的最小值。 (08 广 一模) 5.已知 a,b,c 为正实数,且 a+2b+c=1,求 莞二模) 调研) 五、布置作业:教材 P37 1、6、7 题
1 1 1 ? ? 的最小值。 (08 东 a b c
2 2 2

6.已知 x+y+z= 2 5 ,则 m=x2+2y2+z2 的最小值是____________.(08 惠州

24

a b ? 1 ,则 x ? y 的最小值. x y a b 要点: x ? y ? ( ? )( x ? y ) ? ?. → 其它证法 x y 2 2 ② 若 x, y, z ? R? ,且 x ? y ? z ? 1 ,求 x ? y ? z 2 的最小值.

① 已知 x, y, a, b ? R? ,且 ?

(要点:利用三维柯

西不等式) 变式:若 x, y, z ? R? ,且 x ? y ? z ? 1 ,求 x ? y ? z 的最大值. 六、课堂小结: 比较柯西不等式的形式,将目标式进行变形,注意凑配、构造等技巧. 七、教学后记:

课题:第 03 课时 一般形式的柯西不等式
教学目标: 1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义; 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题, 体会运用经典不等式的一般 方法 教学重点:一般形式柯西不等式的证明思路,运用这个不等式证明不等式。 教学难点:应用一般形式柯西不等式证明不等式。 教学过程: 一、复习引入: 定理 1: (柯西不等式的代数形式)设 a, b, c, d 均为实数,则

(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 ,其中等号当且仅当 ad ? bc 时成立。
定理 2: (柯西不等式的向量形式)设 ? , ? 为平面上的两个向量,则
| ? | ? | ? |?| ? ? ? | , 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反 (即两个向量共线)

时成立。 定理 3: (三角形不等式)设 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 为任意实数,则:
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x2 ? x3 ) 2 ? ( y 2 ? y3 ) 2 ? ( x1 ? x3 ) 2 ? ( y1 ? y3 ) 2

二、讲授新课: 类似的,从空间向量的几何背景业能得到|α .β |≤|α || β | .将空间向量 的坐标代入,可得到
(a1 ? a 2 ? a 3 )(b1 ? b 2 ? b 3 ) ? (a1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 )2 当 且 仅 当 α
2 2 2 2 2 2

, β 共线时,

这就是三维形式的柯西不等式. 吗?

即 β ? 0 , 或 存 在 一 个 实 数 k, 使 得 ai ? kb i ( i ? 1,2,3)时 , 等 号 成立.

对比二维形式和三维形式的柯西不等式,你能猜想出一般形式的柯西不等式

25

定理 4: (一般形式的柯西不等式) :设 n 为大于 1 的自然数, ai , bi ( i ? 1, 2, ?, 为任意实数, 则: n) (a12 ? a22 ? ?an2 )(b12 ? b22 ? ?bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ) 即

? a ?b
2 i ?1 i i ?1

n

n

2

i

? (? ai bi ) 2 ,其中等号当且仅当
i ?1

n

。 ai ? 0 时,约定 bi ? 0 , i ? 1,2,?, n )
n

b b1 b2 ? ? ? ? n 时成立(当 a1 a2 an

证明:构造二次函数: f ( x) ? (a1 x ? b1 ) 2 ? (a2 x ? b2 ) 2 ? ? ? (an x ? bn ) 2 即构造了一个二次函数: f ( x) ? (? ai 2 ) x 2 ? 2(? ai bi ) x ? ? bi 2 由于对任意实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,则其 ? ? 0 , 即: ? ? 4(? ai bi ) 2 ? 4(? ai 2 )(? bi 2 ) ? 0 , 即: (? aibi )2 ? (? ai 2 )(? bi 2 ) ,
i ?1 i ?1 i ?1 n
i ?1 i ?1 i ?1 n n

n

n

n

i ?1

n

in ?1

i ?1

等号当且仅当 a1 x ? b1 ? a2 x ? b2 ? ? ? an x ? bn ? 0 , 即等号当且仅当 b1 ? b2 ? ? ? bn 时成立(当 ai ? 0 时,约定 bi ? 0 , i ? 1,2,?, a1 a2 an 。 n) 如果 a i ( 1 ? i ? n )全为 0,结论显然成立。 三、应用举例: 例3 已知 a1,a2,?,an 都是实数,求证: 1 (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a12 ? a2 2 ? ? ? an 2 分析:用 n 乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。 例 4 已知 a,b,c,d 是不全相等的实数,证明:a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da 分析: 上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子,特别是右边式子的字 母排列顺序启发我们,可以用柯西不等式进行证明。
例5、已知 x ? 2 y ? 3 z ? 1, 求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值.

n

分析:由 x ? 2 y ? 3 z ? 1以及 x 2 ? y 2 ? z 2 的 形式,联系柯西不等式,可以通过 构造(12+22+32)作为一个因式而解决问题。 四、巩固练习: 练习:1.设 x,y,z 为正实数,且 x+y+z=1,求 1 ? 4 ? 9 的最小值。 2.已知 a+b+c+d=1,求 a2+b2+c2+d2 的最小值。
x y z

3.已知 a,b,c 为正实数,且 a+2b+3c=9,求 3a ? 2b ? c 的最大值。 选做:4.已知 a,b,c 为正实数,且 a2+2b2+3c2=6,求 a+b+c 的最小值。 (08 广 一模) 5.已知 a,b,c 为正实数,且 a+2b+c=1,求 莞二模) 调研)
1 1 1 ? ? 的最小值。 (08 东 a b c

6.已知 x+y+z= 2 5 ,则 m=x2+2y2+z2 的最小值是____________.(08 惠州

26

五、课堂小结:重点掌握三维柯西不等式的运用。 六、布置作业:P41 习题 3.2 七、教学后 2,3,4,5

课题:第 04 课时 排序不等式
教学目标: 1. 了解排序不等式的基本形式,会运用排序不等式分析解决一些简单 问题; 2. 体会运用经典不等式的一般思想方法 教学重点:应用排序不等式证明不等式 教学难点:排序不等式的证明思路 教学过程 一、复习准备: 1. 提问: 前面所学习的一些经典不等式? 2. 举例:说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课: 1. 教学排序不等式: ① 看书:P41~P44. 如 如图, 设 ?AOB ? ? ,自点 O 沿 OA 边依次取 n 个点 A1 , A2 ,?, An ,
OB 边依次取取 n 个点 B1 , B2 ,?, Bn ,在 OA 边取某个点 Ai 与 OB 边
王新敞
奎屯 新疆

(柯西不等式、三角不等式)

某个点 B j 连接,得到 ?AOB i j ,这样一一搭配,一共可得到

n 个三角形。显然,不同的搭配方法,得到的 ?AOB i j
不同,问: OA 边上的点与 OB 边上的点如何搭配,才能使 n 个三角形的 面积和最大(或最小)?

27

设 OAi ? ai , OBj ? bj (i, j ? 1, 2,?, n) ,由已知条件,得

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn
因为 ?AOB i j 的面积是 以归结为 代数问题: 设c1, c2 ,?, cn是数组b1, b2 ,?, bn的任何一个排列, 则 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn 何时取最大(或最小)值? 我们把 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn 叫做数组 (a1 , a2 ,?, an ) 与 (b1, b2 ,?, bn ) 的乱序和. 其中, S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ? ? anb1 称为 序和. 序和.这样的三个和大小关系如 ,而 是常数,于是,上面的几何问题就可

S2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn 称为
何?

设有两个有序实数组 : a1 ? a2 ? · · · ? an ; b1 ? b2 ? · · · ? bn , c1 , c2 , · · · cn 是
b1 , b2 , · · · , bn 的任一排列,则有

a1b1 ? a2b2 ? · · ·+ an bn (同序和) ? a1c1 ? a2c2 +· · ·+ an cn (乱序

和) ? a1bn ? a2bn ?1 +· · ·+ an b1 (反序和) 当且仅当 a1 ? a2 ? · · ·= an 或 b1 ? b2 ? · · ·= bn 时,反序和等于同序和. (要点:理解其思想,记住其形式) 三、应用举例: 例 1:设 a1 , a2 , ???, an 是 n 个互不相同的正整数,求证: 分析:如何构造有序排列? 如何运用套用排序不等式? 证明过程: 设 b1 , b2 , ???, bn 是 a1 , a2 , ???, an 的一个排列,且 b1 ? b2 ? ??? ? bn ,则 b1 ? 1, b2 ? 2, ???, bn ? n . 又1 ?
1 1 1 ? ? ??? ? 2 ,由排序不等式,得 22 32 n a b ? a a3 b b3 a1 ? 2 ? ? ??? ? n ? b1 ? 2 ? ? ??? ? n ? 22 32 n2 22 32 n2
a a a3 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? a1 ? 2 ? ? ??? ? n 2 3 n 22 32 n2

.

小结:分析目标,构造有序排列. 四、巩固练习: 1. 练习:教材 P45 1题

2.已知 a , b, c 为正数,求证: 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? a2 (b ? c) ? b2 (a ? c) ? c2 (a ? b) . 解答要点:由对称性,假设 a ? b ? c ,则 a 2 ? b2 ? c 2 , 于是 a 2 a ? b2b ? c 2c ? a 2c ? b2 a ? c 2b , a 2 a ? b2b ? c 2c ? a 2b ? b2c ? c 2 a , 两式相加即得. 五、课堂小结:排序不等式的基本形式.

28

六、布置作业:教材 P45 七、教学后记:

3、4 题

第四讲 数学归纳法证明不等式 课题:第 01 课时 数学归纳法(一)
教学目标: 1.了解数学归纳法的原理, 能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的 数学命题; 2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力,经历知识的构建过程, 体会类比 的数学思想。 教学重点:数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。 教学难点:数学归纳法中递推思想的理解。 教学过程: 一、创设情境,引出课题 (1)不完全归纳法: 今天早上,我曾疑惑,怎么一中(永昌一中)只招男生吗?因为清晨我在学 校门口看到第一个进校园的是男同学,第二个进校园的也是男同学,第三个进校 园的还是男同学。于是得出结论:学校里全部都是男同学,同学们说我的结论对 吗? (这显然是一个错误的结论,说明不完全归纳的结论是不可靠的,进而引出 第二个问题) (2)完全归纳法: 一个火柴盒,里面共有五根火柴,抽出一根是红色的,抽出第二根也是红色 的,请问怎样验证五根火柴都是红色的呢? (将火柴盒打开,取出剩下的火柴,逐一进行验证。 ) 注: 对于以上二例的结果是非常明显的,教学中主要用以上二题引出数学归

29

纳法。 结论:不完全归纳法→结论不可靠;完全归纳法→结论可靠。 问题:以上问题都是与正整数有关的问题,从上例可以看出,要想正确的解 决一个与此有关的问题,就可靠性而言,应该选用第几种方法?(完全归纳法) 情境一: (播放多米诺骨牌视频) 问:怎样才能让多米诺骨牌全部倒下? 二、讲授新课: 探究一:让所有的多米诺骨牌全部倒下,必须具备什么条件? 条件一:第一张骨牌倒下; 条件二:任意相邻的两张骨牌,前一张倒下一定导致后一张倒下。 探究二:同学们在看完多米诺骨牌视频后,是否对怎样证明 n(n ? 1)(2n ? 1) 1 ? 22 ? 32 ? …+n 2 ? 有些启发? 6 n(n ? 1)(2n ? 1) 得出结论:证明 12 ? 22 ? 32 ? …+n 2 ? 的两个步骤: 6 (1)证明当 n ? 1 时,命题成立;
2

(2)假设当 n ? k (k ? 1, k ? N * ) 时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立。 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N * ) 时命题成立; (2) (归纳递推)假设 n ? k (k ? n0 , k ? N * ) 时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时, 命题也成立。 只要完成以上两个步骤,就可以判定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成 立。 上述方法叫做数学归纳法。 三、应用举例: 例 1 用数学归纳法证明: 1 ? 3 ? 5 ? …+(2n-1)=n 2 证明: (1)当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ? 12 ? 1 ,等式成立; (2)假设当 n ? k (k≥1,k ? N*)时, 1 ? 3 ? 5 ? …+(2k-1)=k2 ,那么:
1 ? 3 ? 5 ? …+(2k-1)+(2k+1)= [1 ? 2(k ? 1) ? 1](k ? 1) ? (k ? 1) 2 ,则当 n ? k ? 1 时也成立。 2 *

根据(1)和(2) ,可知等式对任何 n ? N 都成立。 须利用 n ? k 的归纳假设,

注:①对例 1,首先说明在利用数学归纳法证题时,当 n ? k ? 1 时的证明必 例 2:用数学归纳法证明求证: n 3 ? 5n(n ? N ? ) 能被 6 整除. [证明]: 1? . 当 n ? 1 时,13+5×1=6 能被 6 整除,命题正确;

2? . 假设 n ? k 时命题正确,即 k 3 ? 5k 能被 6 整除,
∴当 n ? k ? 1 时, (k ? 1) 3 ? 5(k ? 1) ? (k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1) ? (5k ? 5) ? (k 3 ? 5k )

30

? 3k (k ? 1) ? 6 ,

∵两个连续的整数的乘积 k (k ? 1) 是偶数,? 3k (k ? 1) 能被 6 整除,

? (k 3 ? 5k ) ? 3k (k ? 1) ? 6 能被 6 整除,即当 n ? k ? 1 时命题也正确,
由 1?,2? 知命题时 n ? N ? 都正确. 即:当 n ? k ? 1 时,等式成立。 根据(1)和(2) ,可知等式对任何 n ? N * 都成立。 注:上例可让学生独立完成,教师板书写现完整过程,以突出数学归纳法证题的 一般步骤。 四、巩固练习:P50 练习题 五、课堂小结: 问:今天我们学习了一种很重要的数学证明方法,通过本节课的学习,你有 哪些收获?(学生总结,教师整理) 1、数学来源于生活,生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我 们去发现。 2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想:递推思想; 3、数学归纳法一般步骤: 验证 n ? n0 时命题成 立 归纳奠基
若 n ? k (k ? n0 , k ? N ) 时命题成
*

第 1、2 题

立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立

?

归纳递推

命题对从 n0 开始所有的正整数 n 都成立

4、应用数学归纳法要注意以下几点: (1)第一步是基础,没有第一步,只有第二步就如空中楼阁,是不可靠的; (2)第二步是证明传递性,只有第一步,没有第二步,只能是不完全归纳 法; (3)n0 是使命题成立的最小正整数, n0 不一定取 1, 也可取其它一些正整数; (4)第二步的证明必须利用归纳假设,否则不能称作数学归纳法。 六、布置作业:P50 练习题 七、教学后记: 第 1、2、3 题

31

课题:第 02 课时
2. 对数学归纳法的认识不断深化. 3. 掌握数学归纳法的应用:

数学归纳法(二)

教学目标: 1. 掌握数学归纳法的证明步骤,熟练表达数学归纳法证明过程.

教学重点:解数学归纳法的实质意义,掌握数学归纳法的证题步骤 教学难点:数学归纳法证题有效性的理解 教学过程: 一、复习回顾: 数学归纳法两大步:

(i)归纳奠基:证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立;
(ii)归纳递推:假设 n=k(k≥n0, k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时 命题也成立. 只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 练习: 1 已知 f (n) ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? 2n ? 1? , n ? N * ,猜想 f (n) 的表达式,并给出证明? 过程:试值 f (1) ? 1 , f (2) ? 4 ,?,→ 猜想 f (n) ? n2 2. 练 习 : 是 否 存 在 常 数
1? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ...... ? n(n ? 2) ?

→ 用数学归纳法证明. 使 得 等 式

a 、 b 、 c

的结论. 二、讲授新课: 1. 教学数学归纳法的应用: 例 1:求证 1 ? ? ? ? ??? ? 设出发?
1 2 1 1 3 4

1 试证明你 n(an2 ? bn ? c) 对一切自然数 n 都成立, 6

分析:第 1 步如何写?n=k 的假设如何写? 待证的目标式是什么?如何从假 关键:在假设 n=k 的式子上,如何同补? 证明: (略)小结:证 n=k+1 时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同 增的项,朝目标进行变形. 例 2:求证:n 为奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除. 分析要点: (凑配)xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2(xk+yk)+y2·yk-x2·yk =x2(xk+yk)+yk(y2-x2)=x2(xk+yk)+yk·(y+x)(y-x). 证明: (略) 例 3:平面内有 n 个圆,任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一 点,求证这 n 个圆将平面分成 f(n)=n2-n+2 个部分.
32

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? , n ? N * 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

分析要点:n=k+1 时,在 k+1 个圆中任取一个圆 C,剩下的 k 个圆将平面分 成 f(k)个部分, 而圆 C 与 k 个圆有 2k 个交点, 这 2k 个交点将圆 C 分成 2k 段弧, 每段弧将它所在的平面部分一分为二,故共增加了 2k 个平面部分 . 因此,

f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.
证明: (略) 三、巩固练习: : (1) 求证: (1 ? 1)(1 ? ) ??? (1 ? (2) 用数学归纳法证明:
1 3 1 ) ? 2n ? 1 (n∈N*). 2n ? 1

(Ⅰ) 72 n ? 42 n ? 297 能被 264 整除; (Ⅱ) an?1 ? (a ? 1)2n?1 能被 a 2 ? a ? 1 整除(其中 n,a 为正整数) (3) 是否存在正整数 m,使得 f(n)=(2n+7) ·3n+9 对任意正整数 n 都能被 m 整除?若存在,求出最大的 m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. (4)教材 50 1、2、5 题 四、课堂小结: 两个步骤与一个结论, “递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘 掉” ;从 n=k 到 n=k+1 时,变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 五、布置作业: 教材 50 4、5、6 题. 六、教学后记:

课题:第 03 课时 用数学归纳法证明不等式(一)
教学目标: 1、了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导, 2、理解数学归纳法的操作步骤, 3、 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法 证明问题的格式书写. 教学重点:能用数学归纳法证明几个经典不等式.
33

教学难点:理解经典不等式的证明思路. 教学过程: 一、复习准备:
12 22 n2 n(n ? 1) ? ?? ? ? ,n? N* . 1 ? 31 31 ?5 1 (2n ?1 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1) 2. 求证: 1 ? ? ? ? ? ? n ? n, n ? N * . 2 3 4 2 ?1

1. 求证:

二、讲授新课:

1、用数学归纳法证明不等式的方法:作差比较法、作商比较法、综合法、 分析法和放缩法, 以及类比与猜想、 抽象与概括、 从特殊到一般等数学思想方法。 2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命 题为 P(n) . (1)证明当 n 取第一个值 n0 时,结论正确,即验证 P(n0)正确; (2)假设 n=k(k∈N 且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时,结论也正确,即 由 P(k)正确推出 P(k+1)正确, 根据(1) , (2) ,就可以判定命题 P(n)对于从 n0 开始的所有自然数 n 都正确. 在用数学归纳法证明不等式的具体过程中,要注意以下几点: (1)在从 n=k 到 n=k+1 的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数 的变化,也就是要认清不等式的结构特征; (2)瞄准当 n=k+1 时的递推目标,有目的地进行放缩、分析; (3)活用起点的位置; (4)有的试题需要先作等价变换。 三、应用举例: 例 1:比较 n2 与 2n 的大小,试证明你的结论. 分析:试值 n ? 1, 2,3, 4,5,6 → 猜想结论 → 用数学归纳法证明 → 要点: (k ? 1)2 ? k 2 ? 2k ? 1 ? k 2 ? 2k ? k ? k 2 ? 3k ? k 2 ? k 2 ? ?. 证明: (略) 小结反思:试值→猜想→证明 巩固练习 1:已知数列 ?an ? 的各项为正数,Sn 为前 n 项和,且 Sn ? (an ? 纳出 an 的公式并证明你的结论. 例 2:证明不等式 | sin n? |? n | sin ? | (n ? N ? ) . 要点: | sin(k ? 1)? |?| sin k? cos? ? cos k? sin ? |?| sin k? cos? | ? | cos k? sin ? |
?| sin k? | ? | sin ? |? k | sin ? | ? | sin ? |? ( k ? 1) | sin ? |

1 2

1 ) ,归 an

解题要点提示:试值 n=1,2,3,4, → 猜想 an → 数学归纳法证明

证明: (略) 例 3:证明贝努利不等式. (1 ? x)n ? 1 ? nx ( x ? ?1, x ? 0, n ? N , n ? 1)

34

分析: 贝努力不等式中涉及到两个字母, x 表示大于-1 且不等于 0 的任意实 数, n 是大于 1 的自然数,用数学归纳法只能对 n 进行归纳 巩固练习 2:试证明:不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列,当 n>1,n ∈N*且 a、b、c 互不相等时,均有 an+cn>2bn. 解答要点:当 a、b、c 为等比数列时,设 a=
b , c=bq (q>0 且 q≠1). ∴ q an ? cn a?c n >( ) (n≥2 且 n 2 2

an+cn=?.
∈N*). ?. 当 n=k+1 时,
1 4
k k

当 a、b、c 为等差数列时,有 2b=a+c,则需证

= (a +c )(a+c)>( 缩. 四、巩固练习:

a k ?1 ? c k ?1 1 k+1 k+1 k+1 k+1 1 k+1 k+1 k k ? (a +c +a +c )> (a +c +a ·c+c ·a) 2 a?c 4 a?c a?c 4

3. 小结反思:应用数学归纳法证明与正整数 n 有关的不等式;技巧:凑配、放

2

) ·(

k

2

)=(

2

)

k+1

.

1 1 1 tan(2 n ? ) )(1 ? )....(1 ? )? . n cos 2? 1 cos 4? 1 cos 2 ? tan ? 1 1 2. 已知 n ? N , n ? 2, 证明: ? ? ??? ? 1. 2 n ?1 n ? 2 2n

1. 用数学归纳法证明: (1 ? 五、课堂小结: 教材 P53 七、教学后记:

六、布置作业: 3、5、8 题.

35


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