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§15.4.2余弦定理学案


§15.4.2 余弦定理·导学案
一、学习目标:
1.知识与技能目标:识记余弦定理的推导过程。掌握余弦定理,能够根据给定的条件,求任意三角形的边和角。 2.能力与方法目标: 1)通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系。 2)通过学生动手实践,分组讨论,培养学生分析问题解决问题的能力; 3)通过微课视频等多媒体辅助教学,使学生学会将复杂问题进行分解的能力; 3.情感态度价值观目标: 1)通过主动探索,感受探索的乐趣和成功的体验,培养学生合作交流的意识,体会数学的理性和严谨; 2)培养学生普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神。

五、合作探究:
在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b . ∵ AC ? ____________,∴ AC ? AC ? __________________ 同理可得:
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bcco s , A c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 ac bo s . C
A b c C a B

二、课前准备:
复习 1.三角形内角和等于_______。 2. 直角三角形ABC中, sin A ? ______ , cos A ? ______ , tan A ? ______ 3.正弦定理: = = .

新知:余弦定理:三角形中任何一边的_______等于其他两边的_________的和减去这两边与它们的 夹角的___________的积的两倍. 思考:这个式子中有几个量? 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论:
cos A? b2 ? c 2 ? a 2 2bc ,_____________________ ,____________________________ .

三、自主学习:
观看微课视频,并自己推导钝角三角形和直角三角形的余弦定理。
A
A

[理解定理] (1)若 C= 90? ,则 cos C ? _____,这时 c 2 ? a 2 ? b2 ,由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定 理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.

C

B
C B

六、知识应用:
例 1 在 ? ABC 中,已知 AC=8,BC=4, cos C ?
1 ,证明三角形是等腰三角形。 4

四、创设情境:
某铁路的路线规划要经过一座小山丘,需要挖隧道,而两山腰之间的距离是没有办法直接测量 的,那要怎样才能知道山腰的长度呢? 练习:A:已知:b=8,c=3,A=60?,求 a 的值.

60°

4 B : 在?ABC 中, AB ? 5,BC ? 4, cos B ? ,证明 ?ABC 是 直 角 三 角 形 5

C : 在?A B C 中,已知a ? 3 3, c ? 2, ?B ? 150?,求b

例 2 已知?ABC中,a ? 2, b ? 2, c ? 3 ?1, 求?ABC的三个内角

七、学习小结
1. 2. ① ② 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 余弦定理的应用范围: 已知三边,求三角; 已知两边及它们的夹角,求第三边. A 组: 1.在?ABC中,已知a ? 7, b ? 5, C ? 45 , 求c,A,B

八、课后延伸:
练习:A:已知?ABC中,a ? 13, b ? 4 3, c ? 7, 求三个内角

2.在?ABC中,已知a ? 1, b ? 2, c ? 3, 求三个角

B :已知?ABC中,a ? 7, b ? 8, c ? 5, 判断三角形的形状

B 组: 1.在?ABC中,已知a ? 4, b ? 3, c ? 2, 求?ABC的面积

2.作用于 O 点的两个力 F1=50N,F2=60N,它们之间成 30?角,求合力 F 的大小? C:在△ABC 中,已知 a2=b2+c2+bc,判断三角形的形状

C 组: 1.在?ABC中,已知AB ? 5, BC ? 4, AC ? 21, 求BC边上中线AD的长

例 3 某观测站在目标南偏西方向,从出发有一条南偏东走向的公路,在处测得公路上与相距 31 千米的处有一人正沿此公路向走去,走 20 千米到达,此时测得距离为千米,求此人所在处距还有 多少千米?

2.如图,一艘船以 32n mile/h 的速度从 A 点向正北方向航行,起初测得灯塔 S 在船的北偏东 30o 方向,船距离灯塔 45n mile;半小时后船到达 B 点,求船离灯塔多远
北 S B

20°

A


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