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2008年全国青年教师数学大赛高中数学优秀教案、教学设计及说课稿精选


课题:随机事件的概率(第一课时) 授课教师:贺航飞(2008 年 9 月 20 日) 一、教学目标分析: 1、知识与技能:⑴了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; ⑵ 通过试验了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性; 2、过程与方法:⑴创设情境,引出课题,激发学生的学习兴趣和求知 欲; ⑵发现式教学,通过抛硬币试验,获取数据,归纳总结试验结果, 体会随机事件发生的随机性和规

律性,在探索中不断提高; ⑶明确概率与频率的区别和联系,理解利用频率估计概率的思想方法. 3、情感态度与价值观:⑴通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解 知识,体会数学知识与现实世界的联系; ⑵培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识,并通过数学史 实渗透,培育学生刻苦严谨的科学精神. 二、重点与难点: ⑴重点:通过抛掷硬币了解概率的定义、明确其与频率的区别和联系; ⑵难点:利用频率估计概率,体会随机事件发生的随机性和规律性; 三、学法与教学用具: ⑴指导学生通过实验,发现随机事件随机性中的规律性,更深刻的理解 事件的分类,认识频率,区分概率; ⑵教学用具:硬币数十枚,表格,幻灯片,计算机及多媒体教学. 四、教学基本流程: ↓ ↓ ↓ ↓ 第 1 页(共 6 页) 随机事件的概率

五、教学情境设计:(第一课时) 1、创设情境,引出课题——狄青征讨侬智高 故事: 北宋仁宗年间, 西南蛮夷侬智高起兵作乱, 大将狄青奉命征讨. 出 征之前, 他召集将士说: “此次作战, 前途未卜, 只有老天知道结果. 我 这里有 100 枚铜钱,现在抛到地上,如果全部正面朝上,则表明天助我 军,此战必胜.”言罢,便将铜钱抛出,100 枚铜钱居然全部正面朝上! 将士闻讯,欢声雷动、士气大振!宋军也势如破竹,最终全胜而归. 2、温故知新、承前启后——温习随机事件概念: ⑴必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的~; ⑵不可能事件: 在条件 S 下, 一定不会发生的事件, 叫相对于条件 S 的~; ⑶随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于 S 的~; ⑷确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确 定事件. 讨论:在生活中,有许多必然事件、不可能事件及随机事件.你能举出 现实生活中随机事件、必然事件、不可能事件的实例吗? 例 1:判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机 事件? ⑴“导体通电后,发热”; ⑵“抛出一块石块,自由下落”; ⑶“某人射击一次,中靶”; ⑷“在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰自然融化”; 0 有实数根”;?1?⑸“方程 x2 ⑹“如果 a>b,那么 a-b>0”;

⑺“西方新闻机构 CNN 撒谎”; ⑻“从标号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张标签中,得到 1 号签”。 答:根据定义,事件⑴、⑵、⑹是必然事件;事件⑷、⑸是不可能事件; 事件⑶、⑺、⑻是随机事件. ◆频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否 出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事 件 A 出现的比例 fn(A)=nA 为事件 A 出现的频率. n 讨论:随机事件、必然事件、不可能事件频率的取值范围? 随机事件的概率 答:必然事件出现的频率为 1,不可能事件出现的频率为 0,随机事件 出现的频率介于 0 和 1 之间. 3、师生合作,共探新知——抛掷硬币试验: ◆试验步骤:(全班共 48 位同学,小组合作学习) 第一步,个人试验,收集数据:全班分成两大组,每大组分成六小组, 每小组四人,前三排每人试验 15 次,后三排每人试验 10 次; 第二步,小组统计,上报数据:每小组轮流将试验结果汇报给老师; 第三步,班级统计,分析数据:利用 EXCEL 软件分析抛掷硬币“正面朝 上”的频率分布情况,并利用计算机模拟掷硬币试验说明问题; 组别 第一大组 第二大组 正面朝上次数正面朝上比例正面朝上次数正面朝上比例 小组 1 2

3 4 5 6 合计

第四步,数据汇总,统计“正面朝上”次数的频数及频率; 第五步,对比研究,探讨“正面朝上”的规律性.(教师引导、学生归 纳) ①随着试验次数的增加,硬币“正面朝上”的频率稳定在 0.5 附 近; ②抛掷相同次数的硬币,硬币“正面朝上”的频率不是一成不变 的。 (在试验分析过程中,由学生归纳出来) 提问:如果再做一次试验,试验结果还会是这样吗?(不会,具有随机 性) 第 3 页(共 6 页) 随机事件的概率 (讨论:0.5 的意义,引出概率的概念.) ◆概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发 生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率。 讨论:事件 A 的概率 P(A)的范围?频率与概率有何区别和联系?

◆频率与概率的区别和联系:(重点、难点) ⑴频率是概率的近似值, 随着试验次数的增加, 频率会稳定在概率附近; ⑵频率本身是随机的,在试验前不能确定; ⑶概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关。 ◆讨论:研究随机事件的概率有何意义? 任何事件的概率是 0~1 之间的一个确定的数, 它度量该事情发生的可能 性。小概率事件很少发生,而大概率事件则经常发生。知道随机事件的 概率有利于我们作出正确的决策。(例子) ◆数学思想方法点拨——如何求随机事件的概率? 通过大量重复试验,利用频率估计概率。 例子:天气预报、保险业、博彩业等。 4、参考例题及课后练习: 例 2:做同时掷两枚硬币的试验,观察试验结果: ⑴试验可能出现的结果有几种?分别把它们表示出来。 ⑵做 100 次试验,每种结果出现的频数、频率各是多少? 重复⑵的操作, 你会发现什么?你能估计“两个正面朝上”的概率吗? (利用计算机模拟掷两次硬币试验,说明问题) 照应:通过模拟试验,我们知道抛两枚硬币,得到“两个正面朝上”的 概率为 0.25, 那狄青抛 100 个铜钱都正面朝上, 这种事情你敢相信吗? 揭示谜底:狄青所抛铜钱正面朝上是必然事件,而不是随机事件,因为 他所抛的铜钱正反两面是相同的。 备用练习:P113,练习题第 2 题(利用计算机模拟掷骰子试验)

5、课堂小结——知识内容:⑴随机事件、必然事件、不可能事件的概 念; ⑵概率的定义及其与频率的区别和联系, 体会随机事件的随机性与规律 性。 ◆思想方法:利用频率(统计规律)估计概率. 随机事件的概率 6、课后任务: (必做) 如果某种彩票的中奖概率为 0.001, 那么买 1000 张彩票一定能 中奖吗?试论述中奖概率为 0.001 的含义。 (要求突出频率与概率的区 别和联系) (选做)试求上题中,买 1000 张彩票都不中奖的概率? 六、教学反思(参评教师课后讨论——网络教研): ◆观课教师的课后评析(2008 年 4 月 30 日海南省高中数学优质课比赛 决赛) (注:以下内容来自数学教育交流站,录像课为 2008 年 9 月 20 日在演播大厅重拍) http://blog.cersp.com/index/1000026.jspx?articleId=1469267 2008 年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛 13. 评:2008 年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛, 2008-04-30 18:16:00,? 贺航飞老师这节课应该说上得非常完整非常精彩,在《十面埋伏》的音 乐背景中引入一个传说故事,也引起了学生的好奇和兴趣。教学中一环

扣一环,使得学生不断的开发智力,只是板书少了些。这个过程明确目 的,强调重难点,非常顺畅的完成这个课时的教学。 33. 评:2008 年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛, 2008-04-30 20:03:00, 选择性失明? 1,海南中学,贺航飞老师。“随机事件的概率”最难上,所有上过该 课的老师都有体会,我认为贺老师做得很好,详略得当,重点突出,趣 味灵动;对概率的定义,处理很到位,从直观到理性,细腻有味,凸显 了数学思想方法。我提倡上这样的数学课。 95. 评:2008 年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛, 2008-05-01 00:36:00,? 最后的贺选手整节课把握的不错,不论是开局,过程,结尾;还是思想, 教法都显得浑然一体,完美。特别是结尾,此次比赛前面许多选手把握 不到火候,硬给罗老师喊“停”。 但有一细节请教,我看到课前他将 一椅子让学生放在前几行的中间,是否另有妙招还没展示? 103. 评:2008 年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛, 2008-05-01 09:54:00, 我也评评? 首先,我是一个高级教师,非常欣赏贺老师,课 堂设计非常漂亮,执行得也非常好,特别是分组试验设计得很好,否则 这节课很难完成教学任务。但我也有几个问题要问贺老师,第一,你怎 么看几何概型?第二,教材中利用频率估计概率这种提法,我觉得很别 扭,你怎么看。 141. 评:2008 年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛, 2008-05-01 23:03:00,?

三亚港中有一位年青教师给我递纸条:“随机事件的概率范围是(0,1) 这样的话经常出现在许多数学教师口中,这原本就是一个错误,我想请 您在这次大赛中向一些老师纠正一下。 随机事件的概率 随着人教试验版数学教科书几何概型的引入, 概率为零的事件也可能发 生,而概率为 1 的事件也可能不发生。也就是说原来随机事件概率范围 (0,1)已经是一个错误,必须随着教材版本的改进而加以更正。否则我 们作为数学教师的就是对数学这门学科的大不敬。 不当之处,请给予 指正。” 这位老师提的问题很好,大家可以讨论讨论。另外,比较有意思的还有 几个问题:1,关于零向量问题,共线向量与平行向量的关系;2,复数 定义问题,虚轴与实轴定义问题。 144. 评:2008 年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛, 2008-05-01 23:15:00, 鹏仪? 有关数学概念的细节问题,我们是否有必要在概念课时与学生纠缠更 多?这三个问题都是争论很久也没有定论的,所以我的意见还是,高考 都回避了,我们没必要太多纠缠。从小概率事件的定义来讲,在一个圈 内投豆,豆子落到某点是随机事件,但正好落到这点的概率为 0,有关 几何概型中出现的悖论,历史上最有名的就是 Buffon 的悖论,所以才 有后来概率论的严格定义。如果为了讲这个问题,而搬出那么多历史问 题,这样的课堂将更加失败。

145. 评:2008 年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛, 2008-05-01 23:30:00,? 关于利用频率逼近概率问题,这是一种非常重要的数学应用问题,新课 程所提倡的,随机模拟方法,也就是 Monte-Carlo 法,至于他的数学公 理性,没有人刻划,但这个方法比较有效。最简单的例子就是 Buffon 的投针问题: 平面上画有等距离的平行线, 平行线间的距离为 a (a>0) , 向平面任意投一枚长为 l(l<a)的针,试求针与平行线相交的概率。利 用这个问题估计 π (pi)的值。 “随机事件的概率”教案说明 海南省海南中学 贺航飞 “随机事件的概率”是人教 A 版《数学必修 3》第三章第一节的内容, 本节课是其中的第一课时.课程标准要求:“在具体情境中,了解随机 事件发生的不确定性和频率的稳定性, 进一步了解概率的意义以及频率 与概率的区别”.并指出:“概率教学的核心问题是让学生了解随机现 象与概率的意义”.要求“教师应通过日常生活中的大量实例,鼓励学 生动手试验,正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性,并 尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识.”根据课程标准的要求,结合 教材实际,我将从背景分析、目标定位、教法学法、教学设想、教学评 价等五个方面对本节课的教学设计进行说明. 一、背景分析 1.教材分析:

相对于传统的代数、 几何而言, 概率论形成较晚, 其定义方式新颖独特, 具有不确定性, 这是理解概率的难点所在. 新教材在教学内容的编排上, 采用了模块化、螺旋上升的方式.本节课就是在学习了“随机抽样”、 “用样本估计总体”等统计知识的基础上展开对概率的研究的——利 用频率估计概率,即当试验次数较大时,频率渐趋稳定的那个常数就叫 概率.本节课的学习,将为后面学习古典概型、几何概型、条件概率等 打下基础.因此,我认为“通过抛掷硬币了解概率的定义、明确其与频 率的区别和联系”是本节课的教学重点; 2.学情分析: 学生在初中阶段学习了概率初步,对频率与概率的关联有一定的认识, 但他们不知道如何利用频率去估计概率, 这是教学中的一大难点; 另外, 随机事件发生的随机性和规律性是如何辩证统一的, 这是教学中的又一 大难点. 二、目标定位 1、知识与技能目标:⑴了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; ⑵通过试验了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性; 2、过程与方法目标:⑴创设情境,引出课题,激发学生的学习兴趣和 求知欲; ⑵发现式教学,通过抛硬币试验,获取数据,归纳总结试验结果,体会 随机事件发生的随机性和规律性,在探索中不断提高;

⑶明确概率与频率的区别和联系,理解利用频率估计概率的思想方 法. 3、情感态度与价值观目标:⑴通过学生自己动手、动脑和亲身试 验来理解知识,体会数学知识与现实世界的联系; ⑵培养学生的辩证唯物观, 增强学生的科学意识, 并通过数学史实渗透, 培育学生刻苦严谨的科学精神. 第 7/365 页 三、教法学法 针对本节课的特点, 在教法上, 我采用以教师引导为主, 学生合作探索、 积极思考为辅的探究式教学方法;在教学过程中,我注重启发式引导、 反馈式评价,充分调动学生的学习积极性,鼓励同学们动手试验,让同 学们积极主动分享自己的发现和感悟;在教学手段上,我灵活运用黑板 板书和多媒体展示,通过打擂台等竞赛方式,激发学生的创造力,活跃 了气氛,加深了理解;在教学思想上,我以建构主义为主,强调数学知 识的建构过程,让学生亲历随机事件随机性与规律性的发现之旅. 四、教学设想 教学基本流程 ↓ ↓ ↓ ↓ 设计意图与评述 本节课的总体设计思想是建构主义的.

首先通过狄青将军讨伐侬智高的传说,创设情境,激发兴趣. 然后回顾随机事件、频数、频率相关概念,为抛掷硬币试验做好准备; 高效的抛掷试验和富有成效的试验研讨是本节课的关键. 建构主义要求教师通过问题为载体,以学生活最后通过例题分析、动为 主线开展教学,尊重“受体”课堂小结, 达到教学目的. 1、创设情境,引出课题——狄青征讨侬智高 教学过程 音乐(十面埋伏) 故事: 北宋仁宗年间, 西南蛮夷侬智高起兵作乱, 大将狄青奉命征讨. 出 征之前,“此次作战,前途未卜,只有老天知道结果.我这里有 100 枚 铜钱, 现在抛到地上, 如果全部正面朝上, 则表明天助我军, 此战必胜. ” 言罢,便将铜 设计意图与评述 本节课的内容相对简 单,学生在初中已经有所涉及,如何激发学生的学习兴趣、主动参与课 堂,是教学的一大难点. 说书形式评讲狄青将 第 8/365 页 钱抛出,100 枚铜钱居然全部正面朝上! 军讨伐侬智高的传说,能 将士闻讯,欢声雷动、士气大振!宋军也势如够激发学生的学习兴趣, 破竹,最终全胜而归. 调动听课者情绪,以饱满 的精神参与课堂. 2、温故知新、承前启后——进一步认识随机事件、频率:

教学过程 2.1 复习随机事件概念 ⑴必然事件: 在条件 S 下, 叫相对于条件 S 的必 然事件; ⑵不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的 不可能事件; ⑶随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于 S 的 随机事件; ⑷确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件. 2.2 讨论:在生活中,有许多必然事件、不可能事件及随机事件.你能 举出现实生活中随机事件、必然事件、不可能事件的实例吗? 2.3 例 1:判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是 随机事件? ⑴“导体通电后,发热”; ⑵“抛出一块石块,自由下落”; ⑶“某 人射击一次,中靶”; ⑷“在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰自然融化”; 设计意图与评述 由于是章节的第一课 时, 又涉及到全新概念, 本节课有许多枝节内容需要介绍, 颇显繁琐. 在 课堂中如何组织这部分内容的教学,考验了教师教学的基本功. 对随机事件的概念,笔者直接利用多媒体展示出来,重点放在对生活中 随机事件的讨论上,调动了同学们的积极性,活跃了气氛.在实际教学 中,学生总能想到一些奇特的例子,生动活泼,出人意料.

第一个例题,鼓励同 0 有实数根”?1?; ⑸“方程 x2 学们抢答,或轮流回答, ⑹“如果 a>b,那么 a-b>0”; 突出参与意识. ⑺“西方新闻机构 CNN 撒谎”; ⑻“从标号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张标签 中,得到 1 号签”。 答:事件⑴、⑵、⑹是必然事件;事件⑷、⑸ 是不可能事件;事件⑶、⑺、⑻是随机事件. 第 9/365 页

3、师生合作,共探新知——抛掷硬币试验: 教学过程 ◆试验步骤:(全班共 48 位同学,小组合作学习) 第一步,个人试验,收集数据:每大组分成六小组,每小组四人,前三 排每人试验 15 次,后三排每人试验 10 次; 第二步,小组统计,上报数据:每小组轮流将试验结果汇报给老师; 第三步,班级统计,分析数据:利用 EXCEL 软件分析抛掷硬币“正面朝 上”的频率分布情况,并利用计算机模拟掷硬币试验说明问题; 组别 第一大组 第二大组 设计意图与评述

分组试验是本节课最重要的环节,不能忽略,这也是本节课教学中最难 控制的一个环节——必须把试验的自主权交给学生, 让同学们亲历抛掷 硬币的随机过程,唯有如此,才能建构起正确的随机观,才能辩证的理 解随机性中的规律性. 正面朝正面朝正面朝正面朝 小组 上次数上比例 上次数上比例 试验环节的要点: 1 第一,试验不能拖 2 沓,每位同学必须参与其 3 中,而且要确保抛掷硬币 4 的随机性; 5 第二,必须能自主归 6 纳出抛掷硬币试验中的合计 第四步,数据汇总,统计“正面朝上”次数的频随机性和规律性. 数及频率;

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◆频率与概率的区别和联系:(重点、难点) 大组长总结频率与 ⑴频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,概率的区别和联系.频率会稳

定在概率附近; ⑵频率本身是随机的,在试验前不能确定; 建构主义要求在课

⑶概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次堂上体现概念、思想方 法试验无关。 的自主建构过程,让学生去尝试、探索,总结、沉淀, 内化成知识结构. 4、讨论探究、例题演练——深化概率认识,巩固所学知识: 教学过程 ◆讨论:研究随机事件的概率有何意义? 任何事件的概率是 0~1 之间的一个确定的数, 它度量该事情发生的可能 性。小概率事件很少发生,而大概率事件则经常发生。知道随机事件的 概率有利于我们作出正确的决策。(例子) ◆数学思想方法点拨——如何求随机事件的概率? 通过大量重复试验,利用频率估计概率。 例子:天气预报、保险业、博彩业等。 例 2:做同时掷两枚硬币的试验,观察试验结果: ⑴试验可能出现的结果有几种?分别把它们表示出来。 ⑵做 100 次试验,每种结果出现的频数、频率各是多少? 重复⑵的操作, 你会发现什么?你能估计“两个正面朝上”的概率吗? (利用计算机模拟掷两次硬币试验, 照应:通过模拟试验,我们知道抛两枚硬币,得到“两个正面朝上”的 概率为 0.25, 那狄青抛 100 个铜钱都正面朝上, 这种事情你敢相信吗?
揭示谜底:设计意图与评述 区分频率和概率,也就初步理解了随机性和规律性 的辩证统一. 接受了概率概念, 研究随机事件的概率有何意义? 组织学生讨论, 通过具体例子说明问题, 能加深学生对概念的理解. 统计概率的基本思想方法, 就是通过大量重复试验,利用频率来估计概率. 例 2 是上述讨论的自然延伸,

展示利用频率估计概率的具体做法. 讨论:狄青将军的故而不是随机事件,因 为他所抛的铜钱正反两面是相同的。

备用练习:P113,练习题第 2 题(利用计算机 模拟掷骰子试验) 5、课堂小结、布置作业 教学过程 拓展、巩固所学知识 设计意图与评述 课堂小结 引导学生总结本节课◆知识内容:⑴随机事件、必然事件、不可能事件 的概念; 所学内容,并分享自己的 ⑵概率的定义及其与频率的区别和联系,体会一些体会(鼓励同学们自 随机事件的随机性与规律性。 由发言) ◆思想方法:利用频率(统计规律)估计概率. 课后任务: 分层次的作业安排,突

(作业

)如果某种彩票的中奖概率为 0.001,显教学的层次性,必做题 那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?试论述中奖概重在巩固本课所学; 选做 率为 0.001 的含义。 (要求突出频率与概率的区别题重在引出后继内容. 所选练习,可以澄清日和联系)(必做题) (课后思考)试求上题中,买

1000 张彩票都常生活遇到的一些错误认

识.

不中奖的概率? 五、教学评价 1、教学内容:概率统计内容在新教材里得到加强,概率统计思想的应 用得到重视,作为概率统计的第一课时,必须把学生的认识力引导到随 机性上来,让学生习惯统计方法.说书形式开讲分组试验竞赛生活实例 讨论 课堂小结反思 2、教学理念:始终贯彻以学生为中心的教育理念。关注学生的认知过 程,重视
学生的合作与讨论, 随时发现、 肯定学生的闪光点, 让学生及时享受成功的愉悦。 同时,结合学生暴露出的思想或方法上的问题,给予适时点拨。在教学设计中, 我突显了教学的有效性:引导学生积极、主动地参与学习;使教师与学生、学生 与学生之间保持有效互动的过程; 为学生的自主建构创设平台, 鼓励学生参与

讨论、表述思想、展示自我,形成对知识真正的个性化的理解;关注学 习者对自己以及他人学习的反思,及时分享学习感想,使学生获得对该 学科的积极体验与情感. 3、教学预想:“概率”概念枯燥抽象,学生似懂非懂;抛币试验简单 无趣, 道理似易实难; 教学活动, 单调乏味; 思辩之美, 无从体会——“随 机事件的概率”对许多高中教师而言,“食之无味、弃之可惜”.抛币 试验是取是舍?频率估计概率的题型训练是否必要?再三权衡,笔者 认为,抛币试验是本节课的精华,唯有亲历随机过程,体会其随机性与 规律性, 才能真正理解概率概念; 另外, 关于频率估计概率的题型训练,

笔者则一笔带过——因为频率估计概率,重在其思想方法,而非具体操 练,而且对具体估计值的处理,没有确信的统一方法. 笔者希望通过这节课的教学,能使学生感受到随机现象有趣的一面,纠 正生活中一些错误常识,更客观的看待一些“偶然”情况;能使学生在 紧张而活泼的教学环节中,亲历随机性和规律性的统一过程;能使学生 初步理解随机性, 并感受利用统计方法处理随机性中的规律性——随机 性是表象,规律性才是我们研究的主题. 当然,课堂是一个动态的过程,为使严谨的课堂更具弹性,我还做了其 他准备,比如模拟抛掷骰子试验,航空意外险理赔及赌徒分金币等学生 感兴趣的且与本节课相关的问题,以便适时的给学生拓宽知识,让学生 更充分地感受到数学知识在生产、 生活、 娱乐、 服务等方面的广泛应用。 诚朴信雅 恒毅乐巧 9.6 空间向量的夹角和距离公式 南昌大学附属中学 高莹 三维目标: 知识与技能: ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系,掌握向量的长 度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并会用这些公式 解决有关问题; ⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程,从而提高 分析问题、解决问题的能力. 过程与方法: 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使 学生在积极活跃的思维过程中,从“懂”到“会”到“悟”.情感、态

度和价值观:⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置,激发学生 的学习热情和求知欲,充分体现学生的主体地位; ⒉通过数形结合的思想和方法的应用,让学生感受和体会数学的 魅力,培养学生“做数学”的习惯和热情.教学重点:夹角公式、距离 公式. 教学难点:数学模型的建立. 关键: 将生活中的问题转化为数学问题,建立恰当的空间直角坐标系, 正确写出空间向量的坐标. 教具准备:多媒体投影,实物投影仪. 教学过程: (一) 创设情境,新课导入 2008 年 5 月 16 日, 南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚 集在圣火的传递上, 让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的 南昌大学,其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程,我 校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题. 引例:在离江面高 30 米的大桥上, 火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进, 小船以 1 m/s 的速度由南向北匀速行驶,现在火炬手在桥上 D1 点以东 30 米的 C1 点处,小船在水平 D 点以南方向 30 米的 A 处(其中 D1D⊥水 面) 求(1)6s 后火炬手与小船的距离?

(2)此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? (不考虑火炬手与小船本身的大小) . 今天我们从另一个角度来分析这 个问题. C1 分析:建立数学模型 问题(1)转化为:如何求空间中两点间的距离? 问题(2)转化为:如何求空间中两条直线所成角的余弦值? ????1、空间两点间的距离公式 已知:A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 x2??AB

x1,y2?

?z1?y1,z2? ??AB????

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A(x1,y1,z1) ? O b y ??2、夹角公式 ,?x2,y2,z2??,b?x1,y1,z1??设 a x B(x2,y2,z2) OB?OA,b?则 a?????????? ?? ???a,b?bcos?a?? ab (二)例题示范,形成技能 例 1: 在离江面高 30 米的大桥上, 火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进, 小船以 1 m/s 的速度由南向北匀速行驶,现在火炬手在桥上 D1 点以东 30 米的 C1 点处,小船在水平 D 点以南方向 30 米的 A 处(其中 D1D⊥水 面) 求(1)6s 后火炬手与小船的距离? (2)此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? (不考虑火炬手与小船本身的大小). 第 16/365 页 ?0,30,30?,C1?30,0,0?解:建立如图空间直角坐标系, 则 A

;?24,0,0?,N?0,18,30?M (1)?????

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此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值, 而不是两个空间向量夹角 的余弦值,两者有什么区别?我们又如何转化为本题的结论 (三)学生互动 巩固提高 变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离, 两条直线所成的角,而在正方体中还有许多的点与线,

例 2:(1)若 G 为 MN 的中点,求 GB 两点间的距离. ?D1F1?(2)若 B1E1 A1B1 ,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值. 4 (1)解:设 G 点的坐标为 G(x,y,z),则 DN?DM? DG?????????1???? ???21

? 2???24,0,0???0,18,30 ?? ?G?. ?12,9,15??

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第 17/365 页 ?15? .?0,,30?,F1?0,0,0?D ?2? ??????1515???????? .?0,,30??,DF1?,30?0,??BE1 ?2???2 ??BE1,DF1?. cos?DF1?BE1??????????3015?30???????????????15?15?

DF1?17BE1?22 请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目. 拓展提高:我们知道平面上到两点距离相等的点的轨迹是一条直线,那 么猜想空间上到两点距离相等的点的轨迹是一个平面,我们能不能把它 表示出来呢? 例 3:求到 M, N 两点距离相等的点 P(x,y,z)的坐标 x、 y、 z 满足的条件.解: 点 P(x,y,z)到 M,N 两点距离相等, PN?则 PM

化简,得 0?54?5z?3y?4x 即到到 M,N 两点距离相等的点的坐标点(x,y,z)满足的条件是

0 (四)概括提炼,总结升华?54?5z?3y?4x 求空间两点间的距离 求空间两条直线的夹角

第 18/365 页 (五)布置作业,探究延续 1.课本 P42 习题 9.6 ⒎ ⒏ ⒐ 2.请同学们各编写一道关于求夹角和距离的题目,并解答. 3.思考题: 引例:何时小船与火炬手之间的距离最短? (六)板书设计: §9.6 空间向量的夹角和距离公式 1.两点间的距离公式 例题 作业 2.向量的夹角公式 小结 3.中点公式 第 19/365 页 教案说明 一、授课内容的数学本质与教学目标定位 本节课是人教版第九章第六节空间向量的坐标运算之夹角和距离公式 的第一课时,它是在学生学习了空间向量的坐标表示,空间向量的数量 积的基础上进一步学习的知识内容, 沟通了代数与几何的关系, 体现了

向量的工具性、应用性,渗透了转化、数形结合等数学思想.同时它也 是数学建模中很典型的一堂课,是数学研究过程的一个缩影. 这节课希望达到以下教学目标: 三维目标: 知识与技能: ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系,掌握向量的长 度公式、 夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并会用这些公式 解决有 关问题;⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程,从而提 高分析问题、解决问题的能力. 过程与方法: 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使 学生在积极活跃的思维过程中,从“懂”到“会”到“悟”. 情感、态度和价值观:⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置, 激发学生的学习热情和求知欲,充分体现学生的主体地位; ⒉通过数形结合的思想和方法的应用,让学生感受和体会数学的 魅力,培养学生“做数学”的习惯和热情. 二、学习内容的基础以及今后有何用处 在人们生活的空间中存在着大量的图形, 夹角和距离在现实生活中随处 可见,同时它们又是立体几何中的重要问题, 由于高二的学生已具备一 定的空间想象,但对把空间的问题转化为数学的问题的能力有所欠缺, 而本节课的学习使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程, 从 而有助于培养学生分析问题、解决问题的能力. 本节课是在已完成了“平面向量的数量积公式、夹角公式,空间向量的 坐标表示,空间向量的数量积”等内容的教学以后进行的,它研究的是

空间中夹角和距离公式,是空间向量在立体几何中的简单应用,是后面 学习夹角和距离的基础,同时也肩负着学生用 向量法处理立体几何问题, 把对空间图形的研究从“定性推理”转化为 “定量计算”的任务, 因此本节课的教学内容起着承前启后的作用.这 节课的教学,为向量在数学和物理上的综合运用奠定了基础. 三、教学诊断分析 (1)由于高二的学生已具备一定的空间想象,但对把空间的问题转化 为数学的问题的能力有所欠缺, 因此在创设情境中安排了实际背景材料 ——奥运火炬在南昌的传递,对学生进行爱国主义教育,通过动画演示 来引出新知, 使学生直观的体验空间中两点间的距离和空间两条直线所 成的角,目的有以下几点:①通过学生身边的实例,激发学生的学习兴 趣,变枯燥的数学为有趣的数学;②使学生感悟到数学就在身边,提高 “用数学”的意识;③使学生经历从现实生活中抽象出数学“模型”过 程,培养“建模”意识. (2)由于本节课的重点是夹角和距离公式,而关键在于如何找坐标, 学生容易了解,因此在例题的讲解上,充分的发挥学生的主观能动性, 尽可能的由他们说出点或向量的坐标,激发学生参与的热情. (3)由于高二的学生具备一定的学习能力,但在探究问题的内部联系 和内在发展上还有所欠缺,为此在例 1 的基础上设置变式训练,首先将 课本中的中点坐标以及求夹角的例题设计到变式训练中给学生以示范, 再安排学生在以上的基础上自己编题,目的:①始终以例 1 为主线,贯穿 下来②起到培养学生的合作精神以及对掌握知识的相互补充作用,同时

激发学生的学习积极性,让学生真正参与进来,真正的自主的学习.并通 过投影仪充分展示学生的成果,在师生双边活动的过程中养成反思意识 和提高有条理的表达能力,促进学生全面和谐地发展. 将课本中求空间上到两点距离相等的点的轨迹问题设计到拓展提高当 中,引发学生的兴趣,将整堂课推向高潮. (4)利用程序框图帮助总结求空间两点间的距离与两条直线所成角的 步骤. (5) 为适应不同水平的学生, 作业层次有所不同,给例 1 设计了一问留 给学生思考,使得整堂课一根红线贯穿始终. 四、本节课的教法特点以及预期效果分析 1.教学方法 为了激发学生学习的主体意识,面向全体学生,使学生在获取知识的同 时,各方面的能力得到进一步的培养.根据本节课的内容特点,本节课 采用启发探究、 讲练结合, 分组讨论等教学方法, 着重于培养学生分析、 解决问题的能力以及良好的学习品质. 2.教学中的预期效果分析 本节课我采用现代化的教学手段进行教学,运用已有的知识体系,创造 性的使用教材,一根红线贯穿始终,使学生在自主学习与教师引导相结 合的教学实践中,从“懂”到“会”到“悟”,体会钻研的意识,品尝 成功的喜悦,从而使学生在积极活跃的思维过程中,数学能力和数学素 养得到提高. 《简单的线性规划(一)》教案说明

河北省石家庄市第一中学 孟庆善 “简单的线性规划”是高中《数学》第二册(上)第七章第四节的内容, 这是《新大纲》中增加的一个新内容,反映了《新大纲》对数学知识应 用的重视.线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广 泛的一个分支,它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的 实际问题.本大节内容实质上是在学习了直线 方程的基础上,介绍直线方程的一个简单应用,它虽然只是规划论中极 小的一部分,但这部分内容,也能体现数学的工具性、应用性,同时渗 透了化归、数形结合的数学思想,为学生今后解决实际问题提供了一种 重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习,使学生进一 步了解数学在解决实际问题中的应用,激发学生学习数学的兴趣,应用 数学的意识,提高认识问题、分析问题和解决实际问题的能力. 《大纲》和教科书在这部分内容之前安排了简易逻辑、平面向量等教学 内容, 把过去教材中位于这部分内容之后的充要条件移入第一章“集合 与简易逻辑”中, 客观上使这部分内容有了新的思维角度和处理方法的 可能.数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象和概括的 认识,带有普遍的指导意义,蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数 学问题的过程之中. 数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的 手段、方式、途径或程序.数学思想方法的教学是中学数学教 学中的重要组成部分,有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌 握.本节内容重视与之密切相关的数形结合思想和坐标方法的教学.在 教学中注意把同一

数学对象在数量关系和空间形式这两方面结合起来思考,由形思数,由 数思形,互相联想,达到相互转化并使问题得以解决.对于某些数学问 题,通过引进坐标系,把问题的条件和结论用点的坐标表示为某些数量 关系式,然后用代数方法进行解决.在讨论二元一次不等式表示平面区 域时候,应用集合观点来描述直线和被直线划分所 得的平面区域, 并用集合的语言来表达这些点的集合, 比较准确和简明. 本节内容是本小节的重点.教科书首先借助于一个具体例子,提出一个 有关二元一次不等式表示平面区域的问题和猜想,然后证明这一猜想, 并不加证明地给出一般的二元一次 0 的哪儿一侧区?C?By?不等式表示 平面区域的结论,说明怎样确定不等式表示直线 Ax 域,举例说明怎样 用二元一次不等式(组)表示平面区域.依据教材的内容,教学中有两 个问题有待解决. 一个是如何理解二元一次不等式与平面区域的对应关 系, 另一个是在第一个问题解决之后如何准确作出二元一次不等式所对 应的平面区域. 如果直接告诉学生一般的二元一次不等式表示平面区域 的结论和作出区域的方法, 学生可能也能解决一些用二元一次不等式平 面区域的题目,但是很难真正理解数形结合的思想方法,并自觉地将这 种思想方法应用于其他的数学知识.普通高中《数学课程标准》指出: 在高中数学教学中,教师应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参 与和行为的参与.课堂上,既要有教师的讲授和指导,也要有学生的自 主探索与合作交流.教师要创设适当的问题情境,鼓励学生发现数学的 规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程.创设情境必须紧

紧围绕意义建构这一目的. 本节课开篇借助北京奥运会开幕式上的一幕 作为引入,创设了一个导情引思的情境.平 面直角坐标系的建立,将形(点)与数(坐标)联系在一起,为奥运场 馆、大脚印与坐标平面内的点的对应关系,为区域内的点与坐标代入代 数式的结果的对应,做了很好的铺垫. 学生已经学过了直线上的点的坐标都满足二元一次方程, 而且以二元一 次方程的解为坐标的点都在直线上.在学生得出直线方程后,如何使教 材的认知结构(不等关系)和学生的认知(相等关系)构建和谐统一? 在教学设计上,我采用以问题为中心,在老师的引导下, 通过学生独立思考、讨论、交流等形式,对数学问题进行探究、求解、 延伸和发展,通过发现问题、提出问题、解决问题来揭示二元一次不等 式与平面区域的关系.0 左上方区域内的点的坐标都?6?4y?对猜想的证 明,要从两方面来进行.在直线 3x0 右下方区域内的点的坐标都满足 ?6?4y?0,而且在直线 3x?6?4y?满足 3x0.学生在证明的时候,往往会 只证明其中的一方面,而忽略对另一方面的证?6?4y?3x 明.只有两方 面都得到证明,才能用特殊点来确定平面区域.在实际教学中,处理一 些问题时,注意不纠缠于一些细枝末节问题的讨论,重在让学生应用基 本的思想方法去解决问题.这样,学生是应用数学思想在思考问题,解 决问题,避免了复杂的记忆和一般的讨论.正是基于这样的考虑,教材 在给出猜想的证明后, 直接给出了一般的二元一次不等式表示平面区域 的结论.通过对引入的问题的回顾与反思,其实作出二元一次不等式表

示的平面区域的方法步骤,已经很明确了.我们将教材中的例1加以变 化后作为练习给出,目的是巩固作平面区域的步骤,区分边界的虚实. 本节课的教学设计始终以问题为中心, 将学生吸引到教师设置的问题之 中,启发学生探讨、辨析,主动地参与探索学习.使学生经历了一个完 整的问题提出、解决、发展的过程.通过这节课的教学,不仅仅使学生 会用二元一次不等式表示平面区域, 更让学生亲眼目睹数学过程形象而 生动的特点,亲身体会数学活动的乐趣,培养学生利用已知数学知识解 决未知问题的创新意识, 理解知识的来龙去脉, 领会知识的产生、 发展、 形成过程,真正体现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的新 课程理念. 《简单线性规划一》教案设计说明 写在前面的话 在准备本节课的过程中,新加坡--麻省理工学院联盟院士、新加坡国立 大学企业管理学院决策科学系副教授、《亚太运筹学报》副主编孙捷的 一段话引起了我的思考,他说:“在历史上,从来没有哪一种数学方法 可以像线性规划一样,在实际生产生活中有着极其广泛的应用,为人类 直接和间接地创造出如此巨额的财富,甚至对历史的进程产生影 响”.因此我决定对简单线性规划部分的教学做一些尝试:通过实际问 题创设情境,让学生体会到数学的应用价值,并通过借助信息技术主动 探究问题的解决方法,进一步让学生体会研究数学问题的基本方法思 想.下面针对本节课的整体设计做一些说明. 一.关于教学思路和内容的确定

本节课是在讲了二元一次不等式和二元一次不等式组表示的平面区域 的基础上,简单线 性规划知识的第一节课.重点是介绍线性规划的有 关概念和利用图解法求解,难点是线性规划的实际应用.在教育部制订 的《普通高中数学课程标准》(实验)中指出:“线性规划是优化的具 体模型之一,教师应引导学生体会线性规划的基本思想,借助几何直观 解决一些简单的线性规划问题.”经过仔细研究教材,结合我校学生的 实际情况,我制订了本节课的教学目标和由实际问题引入,学生自主探 究的主要思路. 二.关于教学目标的确定 根据《普通高中数学课程标准》(实验)和新课改的理念,我从知识、 能力和情感三个方 面制订了教学目标.从知识层面上看,本节课与前 面的内容联系紧密,是简单线性规划的第一节课,目的是让学生从实际 问题出发建立数学模型,从中理解相关概念,并通过学生自主探究、教 师总结点拨,初步掌握图解法.从能力层面上看,根据我校学生的实际 情况,我确立了放手让学生利用图形计算器探究问题的教学策略,以培 养学生体验、感受、掌握独立研究问题的能力为目标.并努力使学生在 探究过程中,体会数学的严谨性、系统性,帮助学生建立严谨的科学态 度,发展学生的创新意识和实践能力.同时,注意渗透数学的基本思想 和方法.从情感态度层面上看,是想训练学生的探索精神,体会独立研 究问题的乐趣和成就感,激发学习数学的兴趣.在教学过程中渗透数学 文化,充分体会数学的文化价值. 三.教学过程的设计

根据教学内容,结合学生的具体情况,我采用了学生自主探究和教师启 发引导相结合的 教学方式.在整个的教学过程中让学生尽可能地动手、动脑,调动学生 积极性,充分地参与学习的全过程. [创设情境] 《普通高中数学课程标准》(实验)中要求学生能从实际情境中抽象出 一些简单的二元线性规划问题. 经过仔细地考虑和研究, 结合生活实际, 我使用了“资金分配”和“食品配制”两个实际问题来创设情境, 激发 学生探究的兴趣.让学生体会数学与生活的紧密联系. [合作探究] 问题提出后, 教师不急于讲解, 而是由学生合作解决, 教师适当引导. 这 一环节中,列出“目标函数”,以及“图解法”的得出,都是学生可能 碰到的“难题”.但我采取的是放手由学生去做,鼓励他们自己利用已 有知识主动探究.同时,在探究过程中注重充分借助图形计算器和计算 机辅助思维. [类比深入、落实双基] 借助“问题二”、 “问题三”, 帮助学生巩固探究的结果, 落实掌握. 并 在问题层层深入的过程中,涉及约束条件和目标函数的不同情况,让学 生体会线性规划问题中最优解的几种不同可能性,使知识更加完整、严 谨,落实知识的掌握与方法的理解.此外,在探究过程中,进一步训练 学生分析问题、解决问题和总结归纳等能力. [历史回顾]

在课的最后,我设计了一个“对线性规划历史背景简单介绍”的环节, 并通过让学生课后查阅资料,渗透数学文化,体现人文精神.让学生逐 步了解数学学科与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价 值、应用价值和文化价值;开阔视野,探寻数学发展的历史轨迹,提高 学生的文化素养,激发学生在后续学习中继续探究的兴趣. [小结提升、后续铺垫] 这一环节,主要由学生完成.引导学生从知识与方法两个方面进行小 结. 培养学生及时总结, 概括提升的能力. 而思考题是针对“整数规划” 的一个设计.目的是让学生在引起了认知冲突后,在课后也能继续独立 探究、思考,不但为后面的教学埋下伏笔,也让学生养成不断思考研究 的习惯,有利于他们的持续发展. 四. 教学特点和效果分析 线性规划主要是解决日常生活中遇到的求最优解问题.有的题目背景远 离学生的生活空间,不同程度的影响了学生的求知欲望.我作课的时间 是 6 月初, 当时四川的震情牵动全国亿万人的心.我以灾后重建为背景, 编写了问题一,学生感到问题不空洞,数学就在我们身边.并且感到解 决好这个问题,也是我们向灾区献爱心的一种表现,学生的求知欲望倍 增.问题二 第 26/365 页 也取材于学生的生活空间,现在我们有 80%的学生在学校吃营养配餐. 在绿色奥运,营养健康的口号下,问题二更体现线性规划的广泛应用, 学生在学习过程中, 一种亲切感油然而生. 技术的发展促进了学习方式

的变革.在技术不普及的时候,学生学习这个内容只能单纯的听教师的 讲解.现在学生可以自己动手操作,借助 CASIO 图形计算器可以画出由 二元一次不等式组确定的平面区域,然后在限定区域内寻求最优解.学 生通过自己的操作,对于问题的理解程度加深了,自我获得知识的成就 感也会增加. 我在课堂上注重学生的主体参与,努力创设教师引导下的学生自主探 究、合作交流的学习方式.通过课堂练习及课后作业,看到学生基本上 能掌握利用图解法求解问题.课前制定的教学目标基本实现. 由于经验不足,肯定会有不当之处,欢迎各位专家老师提出建议,以更 好地改进我的教学方法,提高教学质量. 北师大二附中 数学组 王张平 第 27/365 页 《数学归纳法及其应用举例》教案 云南省曲靖市第一中学 教学目标: 1.认知目标:了解数学归纳法的原理,掌握用数学归纳法证题的方法。 2.能力目标:培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3.情感目标:激发学生的求知欲,增强学生的学习热情,培养学生辩 证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。 教学重点: 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 李德安

教学难点: 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程: 一.创设情境,回顾引入 师:本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》(板书)。首先给大 家讲一个故事:从前有一个员外的儿子学写字,当老师教他写数字的时 候,告诉他一、二、三的写法时,员外儿子很高兴,告诉老师他会写数 字了。过了不久,员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客,员外儿子自 告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写,一直到了晚间也没有写完,请问 同学们,这是为什么呢? 生:因为有姓“万”的。 师:对!有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横, 而是这么写的“万”。通过这个故事,你对员外儿子有何评价呢? 生:(学生的评价主要会有两种,一是员外儿子愚蠢,二是员外儿子还 是聪明的。) 师:其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错 的,但遗憾的是他猜错了!在数学 上,我们很多时候是通过观察→归 纳→猜想, 这种思维过程去发现某些结论, 它是一种创造性的思维过程。 那么,我们在以前的学习过程中,有没有也像员外儿子那样猜想过某些 结论呢? 生:有。例如等差数列通项公式的推导。 3d,??归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的 方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。 那么你能说说什么是 归纳法,归纳法有什么特点吗??a1?2d,a4?a1?d,a3?a1?0d,a2?a1? 师:很好。我们是由等差数列前几项满足的规律:a1 生:由特殊事例

得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳法。特点:特殊→一般。 师:对。(投影展示有关定义) 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳法。根 据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部, 分为不完全归 纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般 结论的推理方法,又叫做枚举法。那么,用完全归纳法得出的结论可靠 吗? 生:(齐答)可靠。 师:用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢?为什么? 生:不可靠。这是因为只考察了部分情况,结论不一定具有普遍性。 第 28/365 页 ??3?n??2?n??1?n??N*, an?0, 如果由此作出结论——对于任何 n?0, ?, a1000?0,a3?0,a2?容易验证 a1?1000?n???3?n??2?n??1?n??师:是不可 靠的。不妨再举一例 an 0。?1000!?0 都成立,那就是错误的。事实上, a1001??1000?n? 二.设置问题,引导探究 师:请问同学们你们玩过多米诺骨牌吗? 生:(没)玩过。(课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃) 师:无论玩没玩过,下面我们一起来玩一下。(投影仪上进行生动、形 象的骨牌演示)在观看骨牌玩法时,请思考:满足什么条件,骨牌可以 全部倒下?

1 张骨牌倒下。?N*张骨牌倒下,保证第 k?生:假设第 kk 师:这样就保证了可以递推下去,骨牌就可以全部倒下了,是吗? 2 张骨牌倒下,??,最后递归到需要第 1 张骨牌倒下,所以,还要有 一个条件:第一张骨牌倒下。?1 张骨牌倒下,需要第 k?1 张骨牌倒下; 若第 k?生:不是。我们不知道第 k 张骨牌是否倒下了,从而我们是假 设第 k 张骨牌倒下。若第 k 张骨牌倒下,需要第 k 师:大家说有了这两个条件,骨牌是不是可以顺次的倒下呢? 生:是。 1 张骨牌一定倒下。?师:上面同学说得很好,要使骨牌全部倒下应满 足两个条件(投影显示)第一个条件是:第一张骨牌倒下;第二个条件 是:假设第 k 张骨牌倒下,第 k 现在你能不能利用这种思想(递推思想)来证明等差数列通项公式呢? 是不是应该建立一种递推顺序呢? ??1 时结论正确?k?n?k 时结论正确?n???3 时,结论正确,?n?2 时结论正确?n?1 时结论正确?生:n 师:由于这个过程推理方法是一样的,能否把这个过程一般化呢? 1 时结论也正确。?k?n?k 时结论正确?生:假设 n 师:这样就保证了递推。下面你能证明等差数列通项公式了吗? 三.解决问题,引出概念 (学生共答,教师板书) a1,等式是成立的。?d?0?a1?a,右边?1 时,左边?证明:(1)当 n

1 等于什么??1 时等式也成立,那么 ak?k?1)d,下面看看是否能推出 n?(k?a1?k 时等式成立,就是 ak?(2)假设当 n d。?1?1)?(k??a1?1?生:ak 1 时等式也成立,这样做对吗??k?师:哦!看来 n 生:(齐答)不对。 1 时,等式也成立,?k?d。这就是说,当 n?1?1)?(k??a1?d??1)d?(k?a1??d?ak?1?ak??1 与 ak 有什么关系呢? (学 生齐答,教师继续板书)?k 时等式成立这一步,因为这样才能保证递 推,那么 ak?1 时,一定要用到归纳假设,n?k?师:注意在证 n 第 29/365 页 大家说有了这两步, 是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢? ??所以 n 取任何正整数等式都成立。?3 时等式成立?n?2 时等式成 立?n?1 时等式成立?生:n 师:这种证明方法叫做数学归纳法,那么你能谈谈什么是数学归纳法, 及其用数学归纳法证题的步骤是怎样的呢? 生:(在学生交流,教师引导完善下)数学归纳法(证明一个与正整数 有关的命题的步骤)是:(投影跟踪给出)。 1 或 2 等)时结论正确;?(1)证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0 1 时结论也正确。?k?n0)时结论正确,证明当 n?N*,且 k?k(k?(2) 假设当 n 根据(1)和(2),可知命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都 正确。所以数学归纳法是证明一个与正整数有关的命题的一种方法。概 括起来就是“两个步骤,一个结论。”

师:用数学归纳法证题,实质是一种什么思想? 生:递推思想。 师:在递推中,两个步骤各起到了怎样的作用呢? 生:第一步是奠基,是递推的基础,第二步是保证能够递推,是递推的 依据。(此时投影上注明) 师:这两步可以缺少哪一步吗? 生:(学生举例说明,教师点评,投影上也举出实例,从而明确)两步 缺一不可。 师:我们已经知道,由不完全归纳法得到的结论不可靠,因而必须作证 明。若命题是与正整数有关的,证明可考虑用数学归纳法。下面请同学 们看一道例题。 n2(师生共同证题,总结出用数学归纳法证题的技巧是“一凑假设,二 凑结论”。)??1?2n????5?3?例 1:用数学归纳法证明:1 练习:用数学归纳法证明: 。 2?1?n?1n?n???3?2?1.1 1。?2n?1?2n???22?2?2.1 1。?a1qn?3.首项是 a1,公比是 q 的等比数列的通项公式是 an 四.归纳小结,深化主题 师: 本节的中心内容是什么?为什么要学习数学归纳法?什么是数学归 纳法?体现什么思想? 生:(学生积极回答,从而自主地构建本节课的知识网络。) (投影展示)小结:

完全归纳法? ?不完全归纳法 1.归纳法? 特点:特殊→一般 2.数学归纳法概念及证题步骤。 3.数学归纳法实质是递推思想。 五.布置作业: P76 1,2 第 31/365 页 《数学归纳法及其应用举例》教案说明 云南省曲靖市第一中学 李德安

一、数学归纳法的地位与作用 1.数学归纳法在教材中的地位与作用 数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法, 它起源于 正整数的归纳公理或最小数原理,而演变成各种形式。《数学归纳法及 其应用举例》是人教版高中数学新教材第三册 第二章“极限”中第一部分的知识。通过对数学归纳法的学习,可对中 学数学中的许多重要结论,如等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公 式、 二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地 证明,使很多数学结论更加严密,也为后继学习打下了良好的基础。 2.数学归纳法对思维发展的地位与作用 人类对问题的研究,结论的发现认同,思维流程通常是观察→归纳→猜 想→证明。猜想的结论对不对,证明是尤为关键的。运用数学归纳法解 题时,有助于学生对等式的恒等变形,不等式的放缩,数、式、形的构

造与转化等知识加强训练与掌握。对数学归纳法原理的理解,蕴含着递 归与递推,归纳与推理,特殊到一般,有限到无限等数学思想和方法, 对思维的发展起到了完善与推动的作用。 二、数学归纳法的本质与教学目标定位 数学归纳法体现了递推的思想, 数学归纳法的本质就是利用递推思想去 证题的一种方法。一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识,更重要的是 对学生能力的培养和情感的熏陶。 根据本节课的特点及布鲁纳的教学目 标, 特设置一条明线: 如何验证等差数列通项公式的正确性; 一条暗线: 如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假。 将本节课的 教学目标定为三重目标:①认知目标:了解数学归纳法的原理,掌握用 数学归纳法证题的方法与技巧;②能力目标:培养学生理解分析、归纳 推理和独立实践的能力;③情感目标:激发学生的求知欲,增强学生的 学习热情,培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。 三、学法、教法特点及预期效果 1.学法指导 高中学生具有一定的逻辑思维和推理演算能力, 并且对事物的认识逐步 的由感性上升到理性,个体的发展由外显转化为内隐,这些都是我们学 好本节的有利因素。但不足的是,学生考虑问题的全面性及课堂气氛的 活跃性还不够好。为此,根据教育学家奥苏伯尔关于学科和认知结构组 织的假设及其“先行组织者”技术与美国心理学家布鲁纳倡导的发现 法教育理论,在学法方面我采用“导—思—点拨—练”的学习过程,让

学生自主参与知识的发生、发展、形成过程。在这个过程中对学生进行 以下学法指导。 (1)温故知新法 引导学生回顾等差数列通项公式的推导过程,从而引出归纳法的概念, 其又分为完全归纳法和不完全归纳法, 如何验证等差数列通项公式的正 确性呢?进而引出数学归纳法。 (2)体验感悟法 让学生认真观看多米诺骨牌实验,从而感悟数学归纳法原理。 (3)质疑法 引导学生主动质疑,解决问题,得到方法。 (4)练习法 通过类比,练习用数学归纳法证题,进一步体会数学归纳法原理。 2.教学特点 第 32/365 页 本节课在教法上贯彻如下两个原则: 一是建构主义原则。学生是教学的主体,学生学习数学是一种再创造过 程,他们通过吸收与融合原知识的过程来建立理解的层次结构。皮亚杰 的认知结构学说:“所有的认知结构,结构再构建,构成复杂的结构, 不断发展。”数学知识不能从一个人迁移到另一个人,一个人的数学知 识必须基于个人对经验的归纳、交流,通过反思来主动建构,这就是建 构主义的数学学习观。 为此教学设计是通过等差数列通项公式的证明 及多米诺骨牌实验引导学生积极主动的进行建构。

二是寓教于乐原则。实践证明,学生在积极愉快的情形下,学习效率会 大幅提高; 在宽松的情形下, 能够最大限度地激发其聪明才智和创造性。 结合本节课特点,将知识性与趣味性相结合,以吸引学生喜欢数学,自 觉地学习数学,以调动学生的“心理场”。比如,通过讲员外儿子学写 数字,引进了归纳法的概念,同时学生也体会到通过观察、归纳、猜想 一些结论,是很好的一个思维流程,但其结果不可靠。通过多米诺骨牌 玩法的演示,诠释了递推思想。 3.预期效果 通过学法指导,教法特点实现三重目标。 四、教学诊断与评价 1.教学诊断 1 命题的正?k?证明数学归纳法的第一步是容易实现的,第二步是重点 也是难点,在验证 n 。 确性时,极易脱离归纳假设,为此应重申递推思想,总结出证题技 巧“一凑假设,二凑结论” 2.教学评价 整个教学设计重点突出,层次分明,环环紧扣,温故知新。抓住知识的 内在联系,教师处处启发学生自己主动去获取知识,使教师的主导作用 和学生的主体作用得以充分发挥,体现了素质教育的指导思想。生活事 例贯穿整个教学过程,使数学知识人文化,使抽象的问题具体化,调动 了学生学习的积极性、主动性。使学生学有所得,学有所用,进一步激 发了学生学习的兴趣,培养了学生科学的思维态度。

第 33/365 页 《线段的定比分点》教案 新疆兵团二中 徐蓉 一、 教育教学目标: (一)知识目标: 1.“线段的定比分点”的概念; 2.“分点 P 分有向线段 P1P2 所成比 λ ”的概念; 3. 线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式。 (二)能力目标: 1. 掌握线段的定比分点坐标公式的推导过程; 2. 熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决 有关问题。 (三)德育目标: 1. 培养学生主动参与、积极探究的主体意识; 2. 渗透由特殊到一般的思想,培养用新的数学语言对原有 的数学现象加以概括、加以解决的能力; 及时解决问题的态度和能 3. 培养和锻炼学生善于发现规律、 力。 二、教学重点: 线段的定比分点问题的确立; 线段的定比分点坐标公式的推导过程以及 公式的应用。 三、教学难点: 由学生原有知识中“线段的分点”向“有向线段的定比分点”这一概 念过渡以及“分点 P 分有向线段 P1P2 所成比 λ ”这一概念的建立过程。 四、教学方法:

启发式、讲练结合法。 五、教学过程: (一)提出问题,探究新知 PP 问题:直线 l 上两点 P , 2 的任一点 P,则 P 点与有向线段 1、P2, 在 l 上取不同于 1 PP12 的位置有哪几种情形?(请一名学生回答)????? (师)我们发现,不管是上述哪一种情形,点 P、P1、P2 三点共线,有 共线向量的充要条件可知: 第 34/365 页 叫做点 P 分有向线段 PP112 所成的比。即:?PP2 ,?? ,使得 PP? 存 在唯一的实数????????????? 我们今天所要研究的课题----------线段的定比分点(板书) (二)解决问题,得到新知 1. 线段的定比分点的定义: 叫做点 P 分有向线段 PP112 所成的比。?PP2 ,?? ,使得 PP?存在唯一 的实数????????????? ?的取值范围的关系:①当? 探究:点 P 的位置与????????>0 时, PP② 当 1 与 PP2 共线同向; ??????????????<?0 时, PP1 与 PP2 共线反向(当<-1 时,点 P 在有向线 段 PP12 的延长线上;当-1< ?<0 时, 点 P 在有向线段 PP12 的反向延长线上)。????? 2. 线段的定比分点的坐标公式:

x1,?x,y11, P2 坐标分别为?,则 P?x2,y2? , ?PP2,点 Py1??设 PP???????? 怎样?用 P1,P2 的坐标来表示呢?(同学们四人一小组讨论,合作) 1?y?x,y2?x2??, PP2?y1?x1,y?x??∵PP???????? PP2 1??又∵PP???????? x? (x?

y)?x,y2?(x2??y1)?1,y (y2??y1?y?? y)?x)?2 ???1?1? y?y2??y????1???x?x2??x1 3. 线段的中点坐标公式: =1。这是我们就得到有向线段 PP12 的?若点 P 是线段 P1P2 的中点时, 此时????? 中点坐标公式: 1?y2 y?x2y?x?x??? 24. 例题讲解: 在例 1 之前,学生自己练习一道小题: =2 求点 M 的坐标(x, y)。?练习:已知 A(1,5),B(2,3),点 M 分 AB 的比 ???? 及 y 的值。?分 PP12 所成的比??????122????8,3 求点 P(,y?1 例 1 已知 P3,2,P ?(x??x1?x?

??1?22??49 解得解: 由线段的定比分点坐标公式,得 ?y?3???y2???1721???5?8?????13 ?x2,y2?,B?x1,y1?例 2 如图 ,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A .G 是△ABC 的重心,求点 G 的坐标?x3,y3?C . 解:∵D 是 AB 的中点 ?∴D 点的坐标是 ?? 22?,?y2?x2y1?x1?

??2GD ∴?又∵CG??????????? 1233?yy?y?1233y?xx?x?5. 小结: x 通过本节的学习,大家掌握线段 的定比分点坐标公式及中点坐标公式, 并能熟练运用线段的定比分点坐 标公式及中点坐标公式解决相关问题。(学生总结,教师加以概括) 6. 布置作业: 课本 126 页-127 页 1-5 题 7. 板书设计: 5.5 线段的定比分点 1.线段的定比分点的定义: 3.中点坐标公式: 2.线段的定比分点的坐标公式: 例 2 例 1 第 36/365 页 《线段的定比分点》教案说明

新疆兵团二中 徐蓉 《线段的定比分点》 是高中数学人教版第一册 (下) 第五章第五节内容, 是定比分点坐标公式的推导及应用, 主要是运用定比分点的坐标公式进 行求解,证明。它是在学习了平面向量的加法与减法、实数与向量的积 及平面向量的坐标运算之后的一个重要公式, 它为今后研究平面向量的 运算等问题做好了铺垫。因此它起着承上启下的作用,同时也培养了学 生运算和观察能力。 根据上述教材分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,制定如下教 学目标: (一) 知识目标:1.“线段的定比分点”的概念; 2.“分点 P 分有向线段 P1P2 所成比 λ ”的概念; 3. 线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式。 (二) 能力目标: 1. 掌握线段的定比分点坐标公式的推导过程; 2. 熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式 解决有关问题。 (三)德育目标:1. 培养学生主动参与、积极探究的主体意识; 2. 渗透由特殊到一般的思想,培养用新的数学语言对原 有的数学现象加以概括、加以解决的能力。 3. 培养和锻炼学生善于发现规律、及时解决问题的态度 和能力。 本节课的重点是线段的定比分点问题的确立; 线段的定比分点坐标公式 的推导过程以及公式的应用。 难点是由学生原有知识中“线段的分点”

向“有向线段的定比分点”这一概念过渡以及“分点 P 分有向线段 P1P2 所成比 λ ”这一概念的建立过程。为了讲清重难点,使学生能达 到本节课设定的教学目标,我在从教法和学法上做一说明。 教学过程是教师和学生共同参与的过程,启发学生自主性学习,充分调 动学生的积极性、主动性;有效地渗透数学思想方法,提高学生素质。 根据这样的原则和所要完成的教学目标,并为激发学生的学习兴趣,我 准备采用引导发现法、演示法、讲练结合法和多媒体辅助教学的方法。 第 37/365 页 在教学过程的第一个环节------提出问题,探究新知中,设问直线 l 上 两 点 、, 在 l 上取不同于 , 的任一点 P, 则 P 点与有向线段 PPPP2PP212 的位 11????? 置有哪几种情形?教师创设问题, 学生想办法解决问题, 从而引入课题。 PP 中,我设计了三个小题即设线段?????的取值范围的关系,通过教师 的启发点拨,在积极的双边互动中,学生找到了解决疑难的方法。整个 过程贯穿怀疑――思索――发现――解惑四个环节, 学生随时对所学的 知识产生有意注意,思想上经历了从肯定到否定,又从否定到肯定的辩 证思维过程,只有这样做,才能使学生“学”有新“思”,“思”有新 “得”,“练”有新“获”,学生也才会逐步感受到数学的美,会产生 一种成功感,从而提高学生学习数学的兴趣。在这个环节?第二个环节 ------解决问题,得到新知。学生们很容易得到三种位置关系,在用电 脑多媒体演示强化对学生感观的刺激, 采取这种形式可以极大提高学生

的学习兴趣。接着探究点 P 的位置与 1 2 的长为 5cm,写出点 P 分有向 线段 PP1 2 所成 ,目的是由特例=10cm。(3)点 P1?PPPP21????PPPPPPP2P12 的比。(1) 点 PP 在线段 1 21???????? 推广到一般时学生能根据 P 点的三种不同的位置和实数与向量的积的向 量方向确定 λ 的取值范围。在这一过程中,学生如果遇到困难,教师 采用点拨的方法,启发学生通过主动思考,动手操作表达到对知识的发 现和接受, 进而完成对知识的消化, 的含义, 从而达到教学的终极目标, 突破重难点。 接下来同学们四人一小组讨论合作推导线段的定比分点坐 标公式及线段的中点坐标公式。 引导学生自己对公?的取值范围的关系, 更好的理解定比?从而确定点 P 的三种不同位置与 ? 当?????>?0 时,点 P 在有向线段 PP 当<是关键,12 上;?-1 式需要 注意什么,例如 1. 或-1?????< ?<0 时点 P 在有向线段 PP12 的延长线或反向延长线; 2. 线 段中点坐标公 式是定比分点坐标公式的特例;3.定比分点坐标公式中知道任意三个 量可求一个。 第三个环节------运用新知。在例 1 之前,学生自己练习一道小题: =2 求点 M 的坐标(x, y)。?已知 A(1,5),B(2,3),点 M 分 AB 的比???? ,求分点。为例 1 做铺垫。?设计意图:使学生直接运用上述公式, 即知 道起点,终点,定比 第 38/365 页

122????8,3 求点 P(,y?1 本节课选取两道例题,例 1:已知 P3,2,P 分 PP12 所成??????及 y 的值。 ?的比 .?x3,y3? C?x2,y2?,B?x1,G 是△ABCy1?例 2:△ABC 的三个顶点的坐标 分别是 A 的重心,求点 G 的坐标。通过师生共同完成,让学生知道数学重在运用, 从而检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其差距。 第四个环节------小结(由学生总结,教师加以概括)通过本节的学习, 大家掌握线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式, 并能熟练运用线段 的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决相关问题。 目的在于培养学生 的概括归纳的能力。 第五个环节------巩固新知,布置作业。课本 126 页-127 页 1-5 题。目 的在于检测掌握知识的情况。 以上是我对《线段的定比分点》这节课的教案说明。 第 39/365 页 海南省琼海市嘉积中学海桂学校 粟建军 第 3 章 数系的扩充与复数的引入 §3.1.1 数系的扩充和复数的概念 【教学目标】 1.了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因,数集的扩展 过程以及复数的分类表; 2.理解复数的有关概念以及符号表示; 3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念;

4.在问题情境中了解数系得扩充过程, 体会实际需求与数学内部的矛盾 (数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性 思维的作用以及数与现实世界的联系. 【教学重点】引进虚数单位 i 的必要性、对 i 的规定以及复数的有关概 念. 【教学难点】复数概念的理解. 【教学过程】 1.对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括(教师 引导学生进行简明扼要的概括和总结) 有理数 无理数 实数 2.提出问题 0,没有实数根.我们能否将?1?2 我们知道,对于实系数一元二次方程 x 实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢? 3.组织讨论,研究问题 0 没有实数根.实际上,就是在实数?1?2x 我们说,实系数一元二次方 程 范围内,没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题,其本质就是 解决一个什么问题呢? 组织学生讨论,引导学生研究,最后得出结论:最根本的问题是要解决 -1 的开平方问题.即一个什么样的数,它的平方会等于-1. 4.引入新数 i,并给出它的两条性质 1;

2??根据前面讨论结果,我们引入一个新数 i,i 叫做虚数单位,并规 定: (1)i

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运 算律仍然成立. i)?有了前面的讨论,引入新数 i,可以说是水到渠成的事.这样,就 可以解决. 前面提出的问题(-1 可以开平方,而且-1 的平方根是 5.提出复数的概念 (2)条性质,i 可以与实数 b 相乘,再与实数 a 相加.由 根据虚数单 位 i 的第 R)的数,我们把它们叫做复数.?bi(a,b?bi 这样,数的范围又扩充了, 出现了形如 a?于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成 a 全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母 C 表示,显然有: N*

NZQRC. 【巩固练习】 下列数中,哪些是复数,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?并 分别指出这些复数的实部与虚部各是什么? ?1 例 1.实数 m 分别取什么值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是 ??2

icos766?2,0,i2,sin?i,i (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 分析:因为 m?R,所以 m+1,m-1 都是实数,由复数 z=a+bi 是实、虚 数、纯 虚数与零的条件可以确定实数 m 的值. 1 时,z 为虚数;?0,即 m?1?1 时,z 为实数; (2)当 m?0,即 m?1? 解(1)当 m 0?1?m? ?1 时,z 为纯虚数.(3)当??,即 m ?0?1?m R,当 m 为何值时,复数 z 是(1 练习:已知复数)虚数;(2)纯虚数 ?i)且 m?(m?i)?m2(1?z 6.提出两个复数相等的定义,即两个复数相等的充要条件是它们的实 部与虚部分别对应相等.也就是

由此容易得出: 第 41/365 页 R,求 x 与 y.?y)i,其中,x,y?(3?y?i?1)?例 2 已知(2x 分析:因为 x,y?R,所以由两个复数相等的定义,可列出关于 x,y 的方程组, 解这个方程组,可求出 x,y 的值. 解:由复数相等可知 y5?1?2x?

?4?,y?解得 x y)?(3??1?2 R),求实数 m 的值. 【课堂游戏】?0(m?2i?3mi?2i)x?(1?练习:已知 x2 【想一想】两个复数是否可以比较大小. 【归纳总结】 一、数系的扩 充; 二、复数有关的概念: 1、复数的代数形式; 2、复数的实部、 虚部。 3、虚数、纯虚数; 4、复数的相等. 【布置作业】 习题 3.1A 组 1 2 3 第 42/365 页 导数在研究函数中的应用教学设计 1.3.1 函数的单调性与导数 海南农垦加来高级中学:邓柏林 1 第 43/365 页 函数的单调性与导数教学设计 2008 年 9 月班级 高二 数学课型 新课 课 题 函数的单调性与导数(第一课时) 授课 方法 教 学 目 的 要 求 教学重点难点 2 启发和探究教学相结合现代化教学辅助手段多媒体课件 1、 知识与技能目标:

能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间; 能由导数信息 绘制函数大致图象。 2、 过程与方法目标: 通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法。 3、 情感、态 度与价值观目标:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、 善总结, 引导学生养成自主学习的学习习惯。 重点:探索并应用函数 单调性与导数的关系求单调区间。 难点:利用导数信息绘制函数的大 致图象。 学习过程 (一)复习引入 问题 1:(让学生思考) 求下列函数的单调区间? (1) f (x) = x2-4x-5 (2) f (x) = 2x3+3x2 -24x+1 (引出课题) 问题 2: 某点处导数的几何意义? 这一点处的导数即为这一点处切线的斜率 以问题形式复习相关的旧知识, 同时引出新问题: 三次函数判断单调性, 定义法、图象法很不方便,有没有捷径?通过创设问题情境,使学生产 生强烈的问题意识,积极主动地参与到学习中来。 第 44/365 页

(二)讨论研究 教师对具体例子进行动态演示, 学生对一般情况进行实验验证。 由观察、 猜想到归纳、总结,让学生体验知识的发现、发生过程,变灌注知识为 学生主动获取知识,从而使之成为课堂教学活动的主体。 (让学生先作图,再根据 flash 动画,归纳出定理) 定理: 一般地,函数 y=f(x)在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0,那么 y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递增; 2) 如果恒有 f′(x)<0,那么 y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递减。 注意: ①应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义, 它必是定义域内的某个子区 间。 ②如果在某个区间内恒有 f /(x)=0 ,则 f(x) 为常数函数. 3)

选用了此高考题可以进一步加强学生对用“导数法”求单调区间及能 由导数信息绘制函数大致图象的掌握。

2、如果函数 y=f(x)的图像如右图,那么导函数 y=f /(x)的同时由 于此题难图像可能是( ) (2008 福建高考试题)度不太大,对基 础 中下的学生可起到激发信心的作用。让学生按这(四)总结反思――提 高认识 一模式进行小 1、通过这堂课的研究,你明确了? 结,培养学生 学 习——总结——2、 你的收获与感受是? 学习——反思的 良好习惯, 同时(五)布置作业――自主探究 通过自我的评价 来获得成功的快 乐,提高学生学习题 1.3 A 组 第 1 大题(3)(4) 第 2 大题(2)习 的自信心。 (4) 四、走近高考

1、已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x) ,g(-x)=g(x) 且 x>0 时, f /(x)>0, g /(x)>0 则 x<0 时 ( ) A、 f /(x)>0, g /(x) >0 B、f /(x)>0,g /(x)<0 C、f /(x)<0,g /(x)>0 D、f /(x) <0,g /(x)<0 课题:§3.1.2 用二分法求方程的近似解 山东临沂市郯城美澳学校 教学目标: 知识与技能――通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件, 了解二 分法是求方程近似解的常用方法,会用二分法求解具体方程的近似解,

从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用, 体会程序化 解决问题的思想. 过程与方法――借助计算器求二分法求方程的近似解, 让学生充分体验 近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用,并 为下一步学习算法做准备. 情感、态度、价值观――通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品 质,增强合作意识。通过体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统 一. 教学重点: 重点――通过用二分法求方程的近似解, 体会函数的零点与方程根之间 的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识. 难点――恰当地使用 信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 教学方法: 问题导学、 数学探究: 通过问题引导学生自主探究二分法的原理与步骤, 以师生互动为主的教学方法。并辅以多媒体教学手段,创设问题情景, 学生根据问题研讨。 教学程序与环节设计:

由猜商品价格及实际问题引入现实生活中的二分法. 提出本节课研讨的数学问题. 分析、研讨用二分法求方程近似解的思想、

学生总结研讨成果,领悟新知识,提高认识. 应用二分法解决简单问题,体会函数零点的意义,明确二分法的适用范 围. 教学过程与操作设计: 教学环节 价格的游戏。 2、实际问题:从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个接点,现在某接 点发生故障,需及时修理,为了尽快断定故障发生点,你能找一个简便 易行的方法吗?一般至 教学过程及内容 师生互动 1、游戏:假设“幸运 52”现场,让学生做猜某一商品情境少需要检查 接点的个数为几个? 创 3、数学问题: 设与问题 1:你能求下列方程的解吗? (1)x2-2x+1=0 自学(2)lnx+2x-6=0 感 x(3)2+3x-7=0 知 问题 2:若求不出,你能确定出解的大致范围吗? 问题 3:你有进一步 缩小解的范围的方法吗? 1、 教师选两名学生猜价格。 2、 教师鼓励学生探究、交流,体会解决问题的思想和方法。 3、 教 师引入现实生活中的二分法的定义,指出其适用范围。 4、 学生先在 练习本上求解方程,发现问题,教师指出:简单方程可以通过变形或套 公式求精确解,大多数复杂方程求不出精确解,渗透数学史并引出目标

性问题的探究。0 的近似解(误差不超过?6?2x?教师引导,学生合作探 例:求方程 lnx0.1)。 究: 分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算器画 1、解决问题 1、2: 师生共出函数图象,确定函数零点大致所在的区间,然后利用同选择初 始区间,教师二分法逐步计算解答. 利用数轴演示二分法 探究交流问题: 的过程。2、解决问题 3:学生讨论 6 的零点?2x?lnx? 问题 1、 你是如何确定函数 f(x)精确度与区间长度的理大致所在的区间 的? 关系。 解问题 2、你又如何进一步缩小零点所在的区间呢? 3、 解决问题 4:学生归纳领问题 3、用该方法分到什么时才能满足精确度 要求呢?二分法解题的一般步悟 问题 4、 你能总结出用二分法求方程近 似解的一般步骤骤,教师做最后总结及吗? 强调。 1 第一步确定零点所在的大致区间(a,注意:○b),可利用函数性质, 也可借助计算机或计算器,但尽量取端点为整数的区间,通常可确定一 个长度为 1 的 区间;


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