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2014高中数学公式及知识点(自己整理


高中数学公式及知识点
一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数.
(2)设函数 y ? f (x)

在某个区间内可导,若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则 f (x) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f (x) 是奇函数. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. 若奇函数在原点处有意义则有 f (0) ? 0 . 3、导数: (1)函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切线方 程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) . (2)几种常见函数的导数 ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx
'
n ' x ' x n ?1


x

③ (sin x) ? cos x ;④ (cos x) ? ? sin x ;
' '

⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;
x '

⑦ (log a x) ?
'

1 1 ' ;⑧ (ln x) ? x ln a x

(3)导数的运算法则

(u ? v)' ? u ' ? v ' .

(uv)' ? u 'v ? uv ' .

u u 'v ? uv ' ( )' ? (v ? 0) . v v2

(4)会用导数求单调区间、极值、最值 求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时: ① 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ② 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
第1页

4、分数指数幂 (1) a n ? n am ( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

m

(2) a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

5.根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, a ? a ;
n n

当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

6.有理指数幂的运算性质 (1)

a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) .
r s rs

(2) (a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q) . (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
r r r

注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数 指数幂都适用. 7. 对数: 指数式与对数式的互化式

p

log a N ? b ? a b ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
(1)负数和零没有对数; (2)1 的对数是 0,即 log a 1 ? 0 ( a >0,且 a ≠1); (3)底的对数是 1,即 log a a ? 1 ( a >0,且 a ≠1); 对数的换底公式

log a N ?

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1, N ? 0 ). log m a
n

推论 log am b ?

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1, n ? 1 , N ? 0 ). m
( a >0,且 b >0).

log a b ?

1 log b a

对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ;
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(2) log a

M ? log a M ? log a N ; N
n

(3) log a M ? n log a M (n ? R) . (4) log a n N ?

1 log a N n

12. 常见的函数图象
y
y
y
y

y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

2 -1
o1

1 y=x+ x
x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1

a>1
o

a>0

y=kx+b

-2

1 a>1

x

y=ax2+bx+c

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =

sin? . cos?

9、正弦、余弦的诱导公式 k? ? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的同名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号;

k? ?

?

2

? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的余名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号。

10、和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? .

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan ? ?
11、二倍角公式

b ). a

sin 2? ? sin ? cos? .
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

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1 ? cos 2? ; 2 公式变形: 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ?
12、三角函数的周期 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A,ω, ? 为常数, A≠0)的周期 T ? 且

2? ; |? |

函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? 三角函数的图像:

?
2

, k ? Z (A,ω, ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ?

? . |? |

y=sinx
-π/2 -2π -3π/2 -π

y
1

y=cosx
π/2 π 3π/2 2π

y
1

o
-1

x

-2π -3π/2



-π/2

o
-1

π/2

π

3π/2



x

13、 函数 y ? sin(? x ? ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换 14、辅助角公式

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) 其中 tan? ?
15.正弦定理 :

b a

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C

? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C
16.余弦定理

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ;
17.面积定理

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ;

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
(1) S ? 18、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . ? ? 2 2 2

19、 a 与 b 的数量积(或内积)

a ? b ?| a | ? | b | cos?
20、平面向量的坐标运算
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(1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x 2 ? y1 y 2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则 a ? 21、两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则

??? ?

??? ??? ? ?

x2 ? y2

? ? a ?b cos ? ? ? ? ? | a |?|b |

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ).

?

?

22、向量的平行与垂直 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0

?

?

?

?

a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .
a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
*平面向量的坐标运算 (1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a = ( x, y), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y) . (5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 三、数列 23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系

? ?

? ?

? ? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

?
?

?

?

?

?

n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). ? sn ? sn ?1 , n ? 2
24、等差数列

a n ? a1 ? (n ? 1)d ? a m ? (n ? m)d (n ? N ? ) ;
* 若 m ? n ? p ? q ,则 a m ? a n ? a p ? a q (m, n, p, q ? N ) )

数列 {?a n ? b}(? , b是常数) 是公差为 ?d 的等差数列

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等差数列连续 k 项的和仍为等差数列,即 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ,仍为等差数列,公差 kd。 25、等差数列其前 n 项和公式为

sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2
a1 n ? q (n ? N * ) ; a n ? a m ? q n ?m , m, n ? N ? q

26、等比数列

an ? a1q n ?1 ?

若 m ? n ? p ? k ,则有 a m ? a n ? a p ? a k 等比数列连续 k 项的和仍为等比数列,即 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ,仍为等比数列,公比 q 。
k

27、等比数列前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ? na , q ? 1 ? 1 ? 1
四、不等式 28、常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2
?

(2) a, b ? R ?

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2

2 2 (3) a ? b ? a ? b ? ab (a, b ? R ? ) 2 2 (4)含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x<-a.
| a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | , (a, b, c ? R)
(5)指数不等式与对数不等式 ①当 a>1 时, a
f ( x)

? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
②当 0<a<1 时, a
f ( x)

? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
五、解析几何 29、直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1

第6页

(2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). ? 1 y2 ? y1 x2 ? x1

(4)截距式

x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 30、两条直线的平行和垂直 若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . 31、平面两点间的距离公式

d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
32、点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

33、 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos ? . ? y ? b ? r sin ?
2 2 2

* 点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种 若d ?

(a ? x0 ) 2 ? (b ? y0 ) 2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

34、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 弦长= 2 r 2 ? d 2

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其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 (一)椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点 F1 、 F2 的距离的和大于| F1 F2 |这个条件不可

忽视.若这个距离之和小于| F1 F2 |,则这样的点不存在;若距离之和等于| F1 F2 |,则动点的轨迹是线段

F1 F2 .
2.椭圆的标准方程:

x2 y2 y2 x2 , ? 2 ? 1 ( a > b >0) 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0). a2 b a b
2
2

3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果 x 项的分母大于 y 项的分母,则 椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上. (二)椭圆的简单几何性质

x2 y2 1.椭圆的几何性质:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0). a b
⑴ 范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线 x= ? a 和 y= ? b 所围成的矩形里. ⑵ 对称性:分别关 于 x 轴、y 轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点:有四个 A1 (-a,0) A2 (a,0) B1 (0,-b) B2 (0,b). 、 、 线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分别叫做椭圆的长 半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ?

c 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0<e<1.e a

越接近于 1 时,椭圆越扁;反之,e 越接近于 0 时,椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 ⑴ 定义:平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e ? 个动点的轨迹是椭圆. ⑵ 准线:根据椭圆的对称性,

c (e<1=时,这 a

x2 y2 a2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的准线有两条,它们的方程为 x ? ? .对 c a2 b

y2 x2 a2 于椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的准线方程,只要把 x 换成 y 就可以了,即 y ? ? . c a b
3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设 F1 (-c,0) F2 (c,0)分别为椭圆 ,

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)的左、右两焦点,M(x,y)是椭圆 a2 b2
第8页

上任一点,则两条焦半径长分别为 MF1 ? a ? ex , MF2 ? a ? ex . 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 a = b + c 、 e ?
2 2 2

c 两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独 a

立条件. 4.椭圆的的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 0 ? 0 ? 1 . a 2 b2 a2 b x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 0 ? 0 ? 1 . a 2 b2 a2 b

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 6. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1. 2 a b a b xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1. 2 a b a b

(2)过椭圆

(3)椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? c 2 2 a b

(三)双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小于| F1 F2 |)的动点

M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F1 F2 |,这一条件可以用“三角形的两边之差小
于第三边”加以理解.若 2a=| F1 F2 |,则动点的轨迹是两条射线;若 2a>| F1 F2 |,则无轨迹. 若 MF1 < MF2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 MF1 > MF2 时,轨迹为双曲线的 另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”. 2. 双曲线的标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0).这里 b 2 ? c 2 ? a 2 ,其中 a2 b a b

| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是: 如果 x 项的系数是正数, 则焦点在 x 轴上; 如果 y 项的系数是正数, 则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在 哪一条坐标轴上. (四)双曲线的简单几何性质
2
2

第9页

1.双曲线

x2 y2 c ? 2 ? 1 的实轴长为 2a,虚轴长为 2b,离心率 e ? >1,离心率 e 越大,双曲线的开口越大. 2 a a b x2 y2 x2 y2 b ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x 或表示为 2 ? 2 ? 0 .若已知双曲线的渐近线方程是 a a2 b a b

2. 双曲线

y??

m x ,即 mx ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: m 2 x 2 ? n 2 y 2 ? k ,其中 k 是一个不为零 n

的常数. 3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于 1 的常数(离心率) 的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线

x2 y2 ,与它们对应的准 ? ? 1 ,它的焦点坐标是(-c,0)和(c,0) a2 b2

线方程分别是 x ? ?

a2 a2 x2 y 2 和x ? .双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 c c a b

PF1 ?| e( x ?
4.双曲线的内外部

a2 a2 ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c

(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? 0 ? 0 ? 1 . a 2 b2 a2 b x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? 0 ? 0 ? 1 . a 2 b2 a2 b

(2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线

5.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . 2 a b a b a x y x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a b a
2 2

(2)若渐近线方程为 y ? ?

(3)若双曲线与

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点 a2 b a b

在 y 轴上). 6. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 (1)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b
(2)过双曲线

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

第 10 页

(3)双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? c 2 . 2 a b

(五)抛物线的标准方程和几何性质 1.抛物线的定义:平面内到一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点 F 叫抛物 线的焦点,这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是,点 F 不在直线 l 上,否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线,而不是抛物线。 2.抛物线的方程有四种类型:

y 2 ? 2 px 、 y 2 ? ?2 px 、 x 2 ? 2 py 、 x 2 ? ?2 py .
对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项;一次项 前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴 的负方向。 3.抛物线的几何性质,以标准方程 y ? 2 px 为例
2

(1)范围:x≥0; (2)对称轴:对称轴为 y=0,由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O(0,0) ,注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心) ; (4)离心率:e=1,由于 e 是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的; (5)准线方程 x ? ?

p ; 2

(6)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别 ,F 为(p>0) :

p ; y 2 ? ?2 px : PF ? ? x1 ? 2 p x 2 ? 2 py : PF ? y1 ? ; x 2 ? ?2 py : PF ? ? y1 ? 2 y 2 ? 2 px : PF ? x1 ?

p 2 p 2

(7) 焦点弦长公式: 对于过抛物线焦点的弦长, 可以用焦半径公式推导出弦长公式。 设过抛物线 y2=2px (p>O)的焦点 F 的弦为 AB,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的倾斜角为α,则有①|AB|=x 1 +x 2 +p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求。 (8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:x +bx+c=0,当 a≠0 时, 两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可;但如果 a=0,则直线是抛物线的对称轴或是 和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点。
2

y 2 2 4.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y ? ) 或 P(2 pt ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其中 y? ? 2 px? . 2p
2

2

5.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

第 11 页

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

(3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py ( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x ? 2 py ( p ? 0) .
2 2

(4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py ( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? ?2 py ( p ? 0) 的外部 ? x ? ?2 py ( p ? 0) .
2 2

7. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(2)过抛物线 y ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(3)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC .
2 2

(六) 若直线 l : y ? kx ? b 与圆锥曲线相交与 A 、 B 两点, A(x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 弦长 AB ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

? ( x1 ? x2 ) 2 ? [k x1 ? b ? (k x2 ? b)]2

? 1 ? k 2 x1 ? x2
? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
同理:|AB|= 1 ?

1 | y2 ? y1 | ( y2 ? y1 ) 2 ? 4 y2 y1 2 k

六、立体几何 39、平行与垂直关系的论证 1. 线线、线面、面面平行关系的转化:

第 12 页

面面平行性质

? // ? ? ? ? ? a, ? ? ?

? ??a ? b?

// b

? ? a ? ?,b ? ?? ??
a // b ? a // ?

a b

a ? ?,b ? ?? a ?b ? A a // ? , b // ?

?? ? ? ? ??

A

b a

公理 4

线面平行判定

(? a / / c a//b,b//c )

线线∥
线面平行性质

线面∥

? ? // ? 面面平行判定 1

面面∥

面面平行性质

面面平行性质 1

? // ? ? ? // ? ?
? ? // ?

? ? a?? ? ? ? ? ? b? ?
a // ? ? a // b

? // ? ?
a ? ?? ? a // ?

?

?

40. 线线、线面、面面垂直关系的转化:

? ? a ? b ? O? l? a , l? b ? ?
a, b ? ? ? l? ?

? ? ? ?? ? a ? ??
a? ?

三垂线定理、逆定理
PA?? , AO为PO 在?内射影 a?? 则a?OA ? a?PO a?PO ? a?AO

线线⊥
l? ?

线面垂直判定 1 线面垂直定义

线面⊥
?? ?

面面垂直判定 面面垂直性质,推论 2

面面⊥

? ? a ? ??
? l?a

? ? ? ? ? ? b ? ? a?? a ? ? , a? b ? ?
?? ? ?? ? ? ??

? ? ? ? a? ? ? a? ?

面面垂直定义
? ? ? ? l,且二面角? ? l ? ? ?
成直二面角

? ? ?? ? ?

七、概率统计 49、平均数、方差、标准差的计算 平均数: x ?

x1 ? x2 ? ? xn n

方差: s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ] n

第 13 页

标准差: s ?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ] n

50、回归直线方程
n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? i ?1 ? n ? ? a ? bx ,其中 ?b ? 2 y ? ? ? xi ? x ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

.

51、独立性检验 K ?
2

n(ac ? bd ) 2 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

52、古典概型的计算(必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗 ... ... ... 漏) 八、复数 53、复数的概念 : i ? ?1, a ? bi的共轭复数为a - bi .
2

54、复数 z ? a ? bi 的模 | z | = | a ? bi | = a ? b .
2 2

55、复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 56、复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a ? b .
2 2

57、复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi) ? (c ? di) ? 58、复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 九、参数方程、极坐标化成直角坐标

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

第 14 页

? ? cos? ? x 55、 ? ? ? sin ? ? y

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y ?tan? ? ( x ? 0) x ?

十、命题、充要条件 充要条件(记 p 表示条件, q 表示结论) (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 12.真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假
否命题 若 ┐p则 ┐q 原命题 若 p则 q 互 否 互 逆 互 为 为 互 否 逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p



逆 否

互 逆

第 15 页


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