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2 数学-2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题


2014-2015 学年度下学期高二期中调研测试 数 学(文科)

1.考试时间:120 分钟; 2.请用 0.5 毫米黑色签字水笔将答案填写在答卷纸上. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答 . 题卡相应位置上 . ) ....... 1. 命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定

是____▲________.
1 , 2 , 3 ,4 , 5 }集 合 A ? {1, 3, 4},B ? {2, 3} , 则 ? ? 2. 已 知 全 集 U ? { , B? U A?



.
1 的共轭复数是____▲____ 1 ? 2i

3. 复数 z ?

4. 函数 f ( x) ? ex sin x 的导数 f ?( x) ? 5. “ x ? 2 ”是“ x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的 ▲





条件. ( 在“充分不必要”、“必要

不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空) 6. 曲线 y ? sin x 在点 ( π , 3 ) 处的切线方程为
3 2





7. 若 ? ?

,则 tan ? ? 1”.在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中, 4 真命题个数是 ▲ 个.

?

? y ?3 ? 8. 已知集合 A ? ?( x, y) ? 1, x ? R, y ? R ? , B ? ?( x, y) y ? ax ? 2, x ? R, y ? R? , x?4 ? ?
若 A ? B ? ? ,则实数 a 的值为 ▲ . ▲ .

9. 奇函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在 x ? ?1 处有极值, 则 3a ? b ? c 的值为 10. 观察下列等式: 1 1? 2 ? ? 1? 2 ? 3 , 3 1 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? 3 ? 4 ? 5 ,?, 3 照此规律,计算 1? 2 ? 2 ? 3 ?
? n(n ? 1) ?

1 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 3 ? 4 3

,



( n ?N * ).

11. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax(a ? R) ,若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的

1

m ? R 都 不 是 曲 线 y ? f ( x) 的 切 线 , 则 a 的 取 值 范 围 是

y




y 的 x
? 3O

12. 已知复数 z ? x ? yi?x, y ? R, x ? 0? 且 z ? 2 ? 3 ,则 范围为______▲______. 13.如图为函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象, f ?( x) 为 函数 f ( x) 的导函数,则不等式 x ? f ?( x) ? 0 的解集为 ▲

3

x



(第 13 题)

14. 已知可导函数 f ( x) ( x ? R) 的导函数 f ?( x) 满足 f ?( x) > f ( x) ,则不等式

ef ( x) ? f (1)e x 的解集是 ▲ .
二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解 ....... 答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. )
2 15. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 全 集 是 实 数 集 R, A={x 2 x ? 7 x ? 3 ? 0},

B ? {x x 2 ? a ? 0}
(1) 当 a ? ?4 时,求 A B ; (2) 若 (?rR A) B ? B ,求负数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分)若函数 f ( x) ? x 3 ? px2 ? (m ? 1) x ? 2m 2 ? m ? 1在区间 (?2,0) 内单调递减,且在 (??,?2) 及 (0,??) 内单调递增,求实数 p 、 m 的值。

2

17. (本小题满分 14 分) 已知命题 p :方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的实负 根,命题 q :方程 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根;若 p 或 q 为真, p 且 q 为假, 求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 16 分)已知 z∈C , z + 2i 和

z 都是实数. 2- i

(1)求复数 z ; (2)若复数 ( z + ai)2 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 a 的 取值范围.

3

19. (本小题满分 16 分)如图,在半径为 30cm 的半圆形(O 为圆 心)铝皮上截 取一块矩形材料 ABCD,其中点 C、D 在圆弧上,点 A、B 在两半径上,现将此矩 形铝皮 ABCD 卷成一个以 BC 为母线的圆柱形罐子的侧面 (不计剪裁和拼接损耗) , 3 设矩形的边长 BC=xcm 圆柱的体积为 Vcm . (1)写出体积 V 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大?

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f( x)=lnx+

1-x

ax

,其中 a 为大于零的常数.

(1)若函数 f(x)在区间[1,+∞)内不是单调函数,求 a 的取值范围; (2)求函数 f(x)在区间[e,e2]上的最小值.

4

2014-2015 学年度下学期高二期中调研测试 数
一、填空题: 1. $ x ? R, x2
x x

学(文科)参考答案
2. {2} 5. 必要不充分 8.

2x +5 = 0

4. e sin x ? e cos x 7.1 10.

1 2 + i 5 5 p =0 6. x - 2 y + 3 3
3. 9.0

1 4

1 n(n +1)(n + 2) 3
(0, 3)

11. ( -

1 , ) 3

12. ? 3, 3

?

?

13. (??, ? 3) 二、解答题: 15. 解: (1)

14. (1, ??)

1 ? x ? 3} 2 当 a ? ?4 时, B ? {x | ?2 ? x ? 2} A ? {x |
B ? {x | ?2 ? x ? 3}

………………………………………………4 分 …………………………………………………4 分 ………………………………………………… 8 分 ………………………………………10 分

A

(2)

1 ?rR A ? { x | x ? 或x> 3 } 2

∵ a ?0, ∴ B ? {x | ? ?a ? x ? ?a} , …………………… 12 分
1 成立, 2

当 (?rR A) B ? B 时,有 B ? ?rR A ,要使 B ? ?rR A ,只需 ?a ?
1 解得 ? ? a ? 0 ………………14 分 4

16. 解:由 f ( x) ? x 3 ? px2 ? (m ? 1) x ? 2m 2 ? m ? 1,得 f ?( x) ? 3x2 ? 2 px ? m ? 1-----3 分 因为 f ( x ) 在区间 (?2,0) 内单调递减,且在区间 (??,?2) 及 (0,??) 内单调递增,
2 所以 f ?( x) ? 3x ? 2 px ? m ?1 ? 0 的两个根是 ?2, 0 -------------------------------------8 分

所以 ?

?m ? 1 ? 0 ? p ? ?3 -------------------------------------------------------14 分 ?? ?12 ? 4 p ? m ? 1 ? 0 ?m ? 1

5

∴ m ? 2 -----------------3 分 ?m ? 0 由命题 q 可以得到: ? ? [4(m ? 2)]2 ? 16 ? 0 ∴ ?2 ? m ? 6 ---------6 分 17. 解:由命题 p 可以得到: ? ∵ p 或 q 为真, p 且 q 为假 当 p 为真, q 为假时, ? ∴ p, q 有且仅有一个为真

?? ? m 2 ? 4 ? 0

?m ? 2 ? m ? 6 -----------------9 分 ?m ? ?2, orm ? 6 ?m ? 2 当 p 为假, q 为真时, ? ? ?2 ? m ? 2 --------------12 分 ??2 ? m ? 6
所以, m 的取值范围为 {m | m ? 6 或 ?2 ? m ? 2} .---------------14 分 18. 解: (1)设 z = a + bi (a , b

R ) ,???????????????????1 分

则 z + 2i = a + (b + 2)i ,

z a + bi (a + bi )(2 + i ) 2a - b a + 2b = = = + i ,??????4 分 2- i 2- i (2 - i)(2 + i) 5 5 z ∵ z + 2i 和 都是实数, 2- i ì b+ 2= 0 ? ì ? ?a= 4 ∴? ,解得 ? , ????????????????7 分 í a + 2b í ? ? b= - 2 = 0 ? ? ? ? ? 5 ∴ z = 4 - 2i . ???????????????????8 分 (2)由(1)知 z = 4 - 2i , 2 2 2 ∴ ( z + ai) = [4 + (a - 2)i] = 16 - (a - 2) + 8(a - 2)i ,??????10 分
∵ ( z + ai) 在复平面上对应的点在第四象限, ∴? í
2

ì ì ? a 2 - 4a - 12 < 0 ?- 2< a< 6 ? 即í ,∴ ? , ????????????14 分 í ? ? ? ?a< 2 ? ?a< 2 ∴ - 2 < a < 2 ,即实数 a 的取值范围是 (- 2, 2) . ?????????16 分

ì ? 16 - (a - 2) 2 > 0 , ? 8( a 2) < 0 ? ?

???????????????????12 分

19. 解 :( 1 ) 连 结 OC , 因 为 B C?

x ,所 以

OB ? 900 ? x2 ,
设圆柱底面半径为 r ,则 900 ? x2 ? ? r ,即

? 2 r 2 ? 900 ? x 2 ,所

6

以, V ? ? r ? x ? ? ?
2

900 ? x 2

?2

?x ?

900 x ? x3

?

其中 0 ? x ? 30 .??????7 分

(2)由 V ?
/

900 ? 3 x 2

?
?

? 0 ,得 x ? 10 3 ,又在 (0,10 3) 上 V / ? 0 ,在 (10 3,30) 上

V / ? 0 所以, V ?

900 x ? x 3

在 (0,10 3) 上是增函数,在 (10 3,30) 上是减函数,所以,当

x ? 10 3 时, V 有最大值.. ???????16 分

ax-1 20. 解: f ?(x)= (x>0) ?? 2 分 ax2 1 (1)由已知,得 f ?(x)在[1,+∞)上有解,即 a= 在(1,+∞)上有解,

x

1 又? 当 x∈(1,+∞)时, <1,所以 a<1.又 a>0,所以 a 的取值范围是(0,1)??6 分

x

1 2 2 (2)①当 a≥ 时,因为 f ?(x)>0 在(e,e )上恒成立,这时 f(x)在[e,e ]上为增函数, e 1-e 所以当 x=e 时,f(x)min=f(e)=1+ ????? 8 分

ae

1 2 2 ②当 0<a≤ 2时,因为 f ?(x)<0 在(e,e )上恒成立,这时 f(x)在[e,e ]上为减函数, e 1-e 2 2 所以,当 x=e 时,f(x)min=f(e )=2+ 2 ,??????10 分 ae 1 1 1 2 ③当 2<a< 时,令 f?(x)=0 得,x= ∈(e,e ), e e a 1 又因为对于 x∈(e, )有 f ?(x)<0,
2

a

1 2 对于 x∈( ,e )有 f ?(x)>0,

a

1 1 1 1 所以当 x= 时,f(x)min=f( )=ln +1- ????14 分

a

a

a

a

综上,f(x)在[e,e ]上的最小值为

2

f(x)min

? ? =? ? ?

1-e 1 1+ ,当a≥ 时, ae e 1 1 1 1 ln +1- ,当 2<a< 时,…………………16 分 a a e e 1-e2 1 2- 2 ,当0<a< 2时. ae e
7

8


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