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高二数学选修2-1第一章测试题


常用逻辑用语综合测试题
一、选择题:(本题共 10 小题,50 分) 1.集合 P={x」x2-16<0},Q={x」x=2n,n ? Z},则 P ? Q= A.{-2,2} B.{-2,2,-4,4} C.{2,0,2} D.{-2,2,0,-4,4} )

① A ? B ? ? 的充要条件是 card ( A ? B) ? card (

A) ? card ( B) ; ② A ? B 的充要条件是 card ( A) ? card ( B) ; ③ A ? B 的充要条件是 card ( A) ? card ( B) ; ④ A ? B 的充要条件是 card ( A) ? card ( B) ; 其中真命题的序号是 A.③④ B.①② C.①④ 二填空题 11.下列命题中_________为真命题. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B”; ②“若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 12.若 p:“平行四边形一定是菱形”,则“非 p”为___ 13.下列四个命题中,真命题的序号有 ( ) _____.

2.a=1”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间[1, +∞)上为增函数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 3.设函数 f ( x) ? 围是 ( A.(-∞,1) ) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

D.②③

x?a ,集合 M= {x | f ( x) ? 0} ,P= {x | f ' ( x) ? 0} ,若 M P,则实数 a 的取值范 x ?1

4.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.“a 和 b 都不是偶数”的否定形式是 A.a 和 b 至少有一个是偶数 B.a 和 b 至多有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数 D.a 和 b 都是偶数
2



(写出所有真命题的序号).

①将函数 y= x ? 1 的图象按向量 v=(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为 y= x ②圆 x2+y2+4x+2y+1=0 与直线 y=

a 2 ? b2 ? a?b? ? 6.设 a, b ? R ,已知命题 p : a ? b ;命题 q : ? ,则 p 是 q 成立的( ? 2 ? 2 ?
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若命题“p 或 q”为真,“非 p”为真,则 A.p 真 q 真 B.p 假 q 真 C .p 真 q 假 D.p 假 q 假



③若 sin( ? + ? )=

1 2

1 x 相交,所得弦长为 2 2 1 ,sin( ? - ? )= ,则 tan ? cot ? =5 3

④如图,已知正方体 ABCD- A1B1C1D1,P 为底面 ABCD 内一动点, P 到平面 AA1D1D 的距离与到直线 CC1 的距离相等,则 P 点的轨迹是抛物线的一部分. ( ) 14.设 p、q 是两个命题,若 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 p 是非 q 的 15. 若函数 f ( x) = | 2 - 1| - 2a 有两个零点,则 a 应满足的充要条件是 三、解答题 16.(12 分)写出由下述各命题构成的“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的复合命题,并指 出所构成的这些复合命题的真假. (1)p:连续的三个整数的乘积能被 2 整除,q:连续的三个整数的乘积能被 3 整除; ( ) (2)p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是菱形;
x

条件.

8.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下 4 个 命题中,假命题 是( ) ... A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 9.2x2-5x-3<0 的一个必要不充分条件是

1 A.- <x<3 2

1 B.- <x<0 2

1 C.-3<x< 2

D.-1<x<6

10.(湖北卷)有限集合 S 中元素的个数记做 card ( S ) ,设 A, B 都为有限集合,给出下列命题:

19 . ( 全 国 II 卷 ) 设 a ? R , 函 数 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的 解 集 为 A , 17.(12 分)给定两个命题,

B ? ? x |1 ? x ? 3? , A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。
2

P :对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立;Q :关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根;
2

如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

20.求证:关于 x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根,且两根均小于 2 的充分但不必要条件是 a≥2 且 |b| ≤4..

18.已知集合 M ? {x | x ? 3或x ? 5} , P ? {x | ( x ? a)( x ? 8) ? 0} . (1)求实数 a 的取值范围,使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8}的充要条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8}的一个充分但不必要条件; (3)求实数 a 的取值范围,使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8}的一个必要但不充分条件. 21. (06 年上海卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y ? 2 x 相交于 A、B 两点.
2

(1)求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.

?? ?

?? ?

解:(1)证法一:设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). ①当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于点 A(3, 6 )、 B(3, - 6 ). ∴ OA ? OB =3;

? OA ? OB = x1 x2 ? y1 y 2 ? (ty1 ? b)(ty2 ? b) ? y1 y 2 ? t 2 y1 y 2 ? bt( y1 ? y 2 ) ? b 2 ? y1 y 2
? ?2bt 2 ? bt ? 2t ? b 2 ? 2b ? b 2 ? 2b ,令 b 2 ? 2b ? 3 得 b ? 3 或 b ? ?1 .此时直线 l 过点 ( 3,0 )
或( ? 1,0 ),故原命题为假命题。 证明:(用反证法)若 (1 ? a)b , (1 ? b)c , (1 ? c)a 三式中都大于

?? ?

?? ?

②当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,其中 k ? 0 ,

? y2 ? 2x 由? 得 ky 2 ? 2 y ? 6k ? 0 ? y1 y 2 ? ?6 ? y ? k ( x ? 3)

1 .则有 4

(1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ?
而 (1 ? a)b ?

1 2 又 ∵ x1 ? 1 y12 , x2 ? 1 y2 2 ,∴ OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( y1 y 2 ) ? y1 y 2 ? 3 2 2 4
综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题。 证法二:设直线 l : x ? ty ? 3 代入抛物线 y2=2x 消去 x ,得 y ? 2ty ? 6 ? 0 .
2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 2t , y1 y 2 ? ?6 ,
2 从而 OA ? OB = x1 x2 ? y1 y 2 ? (ty1 ? 3)(ty2 ? 3) ? y1 y 2 ? t y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9 ? y1 y2
?? ? ?? ?

(1 ? a) ? b (1 ? b) ? c (1 ? c) ? a , (1 ? b)c ? , (1 ? c)a ? ,三式相加 2 2 2 3 得 (1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? ,此与(*)式矛盾,故假设错误,从而原命题成立。 2 解:(1)由 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8},得 ? 3 ? a ? 5 ,因此 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} 的充要 条件是 {a | ?3 ? a ? 5} ; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8}的一个充分但不必要条件,就是在集 合 {a | ?3 ? a ? 5} 中 取 一 个 值 , 如 取 a ? 0 , 此 时 必 有 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} ; 反 之 , M ? P ? {x | 5 ? x ? 8}未必有 a ? 0 ,故 a ? 0 是所求的一个充分而不必要条件; (3) 求实数 a 的取值范围, 使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} 的一个必要但不充分条件就是另求 一 个 集 合 , 故 {a | ?3 ? a ? 5} 是 它 的 一 个 真 子 集 。 如 果 {a | a ? 5} 时 , 未 必 有 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8},但是 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8}时,必有 a ? 5 ,故 {a | a ? 5} 是所求的
一个必要而不充分条件.

3 2

(*)

? ?6t 2 ? 3t ? 2t ? 9 ? 6 ? 3 ,

?“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题。
(2)逆命题是: 设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、 B 两点,如果 OA ? OB =3,那么该直线过点 T(3,0).

?? ?

?? ?

解:由 f(x)为二次函数知 a ? 0 ,令 f(x)=0 解得其两根为 x1 ? 由此可知 x1 ? 0, x2 ? 0 (i)当 a ? 0 时, A ? {x | x ? x1} ? {x | x ? x2 }

1 1 1 1 ? 2 ? 2 , x2 ? ? 2 ? 2 a a a a

??? ? ??? ? 1 OB =3,直线 AB 的方程为: y ? 2 ( x ?1) ,而 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( ,1),此时 OA? 3 2
T(3,0)不在直线 AB 上. 对于(2)的证明如下: 证明:设直线 l : x ? ty ? b 代入抛物线 y2=2x 消去 x ,得 y ? 2ty ? 2b ? 0 .,设 A( x1 , y1 ) ,
2

该命题是假命题.

6 A ? B ? ? 的充要条件是 x2 ? 3 ,即 1 ? 2 ? 12 ? 3 解得 a ? 7 a a
(ii)当 a ? 0 时, A ? {x | x1 ? x ? x2 }

B( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 2t , y1 y 2 ? ?2b ,

A ? B ? ? 的充要条件是 x2 ? 1 ,即 1 ? 2 ? 12 ? 1 解得 a ? ?2 a a

6 综上,使 A ? B ? ? 成立的 a 的取值范围为 (??, ?2) ? ( , ??) 7


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