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【课堂新坐标】2015届高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库:考点40 椭圆(含详解,13高考题)]


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考点 40 椭圆
一、选择题 1. (2013· 新课标全国Ⅱ高考文科· T5) 设椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

的左、右焦点分别为 F1 , F

2 , P 是 C 上的点, PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30 , 则 C 的离心率为( A.
3 6


1 3

B.

C.

1 2

D.

3 3

【解题指南】 利用已知条件解直角三角形, 将 PF1 , PF2 用半焦距 c 表示 出来,然后借助椭圆的定义,可得 a,c 的关系,从而得离心率. 【解析】选 D. 因为 PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30 , 所以 PF2 ? 2c tan 30 ? 又 PF1 ? PF2 ?
2 3 4 3 c, PF1 ? c。 3 3

c 1 3 6 3 , c ? 2a ,所以 ? ? 3 a 3 3
3 ,选 D. 3
x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点 4 3

即椭圆的离心率为

2.(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆 C:

分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是 ? ?2, ?1? ,那么直 线 PA1 斜率的取值范围是
? A. ? ,? ? ?2 4? 1 3

(

)
? B. ? ,? ? ?8 4 ? 3 3

? C. ? 1? ? , 1 ?2 ?

? D. ? 1? ? , 3 ?4 ?
x2 y2 ? ? 1 中,得到 x0 与 y0 之间的关系, 4 3

【解题指南】将 P( x0 , y0 ) 代入到
1 2 2

利用 k PA ? k PA 为定值求解 k PA 的取值范围. 【解析】选 B.设 P( x0 , y0 ) ,则
2 x0 y2 y0 y + 0 = 1 , k PA2 ? , k PA1 ? 0 4 3 x0 ? 2 x0 ? 2

k PA1 ?k PA2

3 2 3 - x0 2 y0 3 3 1 = 2 4 = - ,故 k PA1 ? ? .因为 k PA2 ? [?2,?1] ,所以 2 x0 - 4 x0 - 4 4 4 k PA2

3 3 k PA1 ? [ , ] 8 4

3. (2013·大纲版全国卷高考文科·T8)已知 F1(-1,0),F2(1,0) 是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交于 A,B 两点,且 则 C 的方程为
x2 A. ? y 2 ? 1 2

=3,

(

)
x2 y 2 B. ? ? 1 3 2

x2 y 2 C. ? ? 1 4 3

x2 y 2 D. ? ? 1 5 4

【解题指南】由过椭圆
2b 2 求解. a

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点且垂直 x 轴的通径为 a2 b2

x2 y2 b2 3 【解析】选 C.设椭圆得方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由题意知 ? , a 2 a b

又 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 1,解得 a ? 2 或 a ? ? (舍去) ,而 b 2 ? 3 ,故椭圆得方 程为
x2 y2 ? ? 1. 4 3

1 2

x2 y 2 4. (2013·四川高考文科·T9)从椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 a b

x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1 , A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是

椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB / /OP ( O 是坐标原点) ,则该椭圆的 离心率是( A.
2 4

) B.
1 2

C.

2 2

D.

3 2

【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质,解题时要注意两个 条件的应用,一是 PF1 与 x 轴垂直,二是 AB / /OP 【解析】选 C ,根据题意可知点 P (c, y0 ) ,代入椭圆的方程可得
y b bc b2c 2 PF BO y0 ? b ? 2 ,根据 AB / /OP ,可知 1 ? ,即 0 ? ,解得 y0 ? , c a a a F1O OA
2 2

b2c 2 b2c 2 c 2 即 b ? 2 ? 2 ,解得 e ? ? ,故选 C. a a a 2
2

5. (2013·广东高考文科·T9)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点 为 F (1, 0) ,离心率等于 ,则 C 的方程是( )
x2 y2 ? ?1 A. 3 4 x2 y2 D. ? ? 1 4 3
1 2

x2 y2 B. ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 C. 4 2

【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质,用好 a, b, c, e 的 关系即可. 【 解 析 】 选 D. 设 C 的 方 程 为
c c ?1 ,e ? a

x2 y 2 + =1 ,(a > b > 0 ), 则 a 2 b2

1 x2 y2 ? ,a ? 2 b , ?,C 3 的方程是 ? ? 1. 2 4 3

6. (2013·辽宁高考文科·T11)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左 a 2 b2

焦 点 为 F,C 与 过 原 点 的 直 线 相 交 于 A,B 两 点 , 连 接 AF ,BF. 若

|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为 A.
3 5

4 5

(

)

B.

5 7

C.

4 5

D.

6 7

【解题指南】 由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性) 求出点到右焦点的距离,进而求得 a , c 【解析】选 B.在三角形 ABF 中,由余弦定理得
AF ? AB ? BF ? 2 AB BF cos ?ABF ,又 AB ? 10, BF ? 8, cos ?ABF ?
2 2 2 2 2 2

4 5

解得 AF ? 6. 在三角形 ABF 中, AB ? 102 ? 82 ? 62 ? BF ? AF ,故三角 形 ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为 F ? ,连接 AF ?, BF ? ,根据椭圆的 对称性,四边形 AFBF ? 为矩形, 则其对角线 FF ? ? AB ? 10, 且 BF ? AF ? ? 8 ,即焦距 2c ? 10, 又据椭圆的定义,得 AF ? AF ? ? 2a ,所以 2a ? AF ? AF? ? 6 ? 8 ?14 . 故 离心率 e ? ? 二、填空题 7.(2013·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的
x2 y 2 标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一 a b
c a 2c 5 ? . 2a 7

个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d2 ,若
d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为

【解题指南】利用 d2 ? 6d1 构建参数 a,b,c 的关系式 . 【解析】 由原点到直线 BF 的距离为 d1 得 d1 ?
bc , 因 F 到 l 的距离为 d2 故 a

a2 a2 bc bc 2 b 2 2 d2 ? ? c , ? 1 ? e2 ? 6 e2 又 d2 ? 6d1 所以 ? c ? 6 ? a ? c ? 6 c c a a a

又 ? 1 ? e2 解得 e ?

b a

3 3

【答案】

3 . 3

8.(2013·上海高考文科·T12)与(2013·上海高考理科·T9)相 同 设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 则 ? 的两个焦点之间的距离为 .
?
4

.若 AB=4,BC= 2 ,

【解析】 如图所示,以 AB 的中点 O 为坐标原点,建立如图所示的坐 标系.

设D在AB上,且CD ? AB, AB ? 4, BC ? 2, ?CBA ? 45? ? CD ? 1, DB ? 1, AD ? 3 ? C(1,1)
? 2a ? 4, 把C (1, 1)代入椭圆标准方程得 1 1 4 8 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? , c 2 ? 2 3 3 a b

? 2c ?

4 6 3
4 6 3 .

【答案】

9.(2013·福建高考文科·T15) 与(2013·福建高考理科·T14) 相 同 椭圆Γ :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直 a 2 b2

线 y= 3 ? x ? c ? 与椭圆Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭 圆的离心率等于 【解题指南】 e ? ?
c a

.
2c ,而 2c 是焦距,2a 是定义中的|PF1|+|PF2|=2a, 2a

因此,如果题目出现焦点三角形 (由曲线上一点连接两个焦点而成 ),求

解离心率,一般会选用这种定义法: e ?

| F1 F2 | . | PF1 | ? | PF2 |

【解析】∠MF1F2 是直线的倾斜角,所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°, 所 以 △ MF2F1 中
e?

是 直 角 三 角 形 , 在
3c

Rt △ M , 所

F2F1 以

,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=
2c 2c 2 ? ? ? 3 ?1 . 2a | MF1 | ? | MF2 | 3 ?1

【答案】

3 ?1 .
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

10. (2013·辽宁高考理科·T15)已知椭圆 C :

左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两点,连接 AF , BF . 若
AB ? 10, AF ? 6, cos ?ABF ? 4 ,则 C 的离心率 e ? ____ . 5

【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性) 求出点 A 到右焦点的距离,进而求得 a , c . 【 解 析 】 在 三 角 形 ABF 中 , 由 余 弦 定 理 得
AF ? AB ? BF ? 2 AB BF cos ?ABF ,又 AB ? 10, AF ? 6, cos ?ABF ?
2 2 2 2 2 2

4 , 解 5

得 BF ? 8. 在三角形 ABF 中, AB ? 102 ? 82 ? 62 ? BF ? AF ,故三 角形
ABF 为直角三角形。

设椭圆的右焦点为 F ? , 连接 AF ?, BF ? ,根据椭圆的对称性, 四边形 AFBF ? 为矩形,则其对角线 FF ? ? AB ? 10, 且 BF ? AF ? ? 8 ,即焦距 2c ? 10, 又据椭圆的定义,得 AF ? AF ? ? 2a ,所以 2a ? AF ? AF? ? 6 ? 8 ? 14 . 故离心率 e ? ? 【答案】 . 三、解答题
5 7

c a

2c 5 ? . 2a 7

11. (2013·陕西高考文科·T20) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率. 【解题指南】设出动点 M 的坐标,根据已知条件列方程即可;设出 直线方程与椭圆方程联立, 得出 k 与 x1 ,x 2 的关系式, 利用中点坐标 即可得斜率. 【解析】(1) 点 M(x,y)到直线 x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2
x2 y2 倍,则 | x ? 4 |? 2 ( x ? 1) ? y ? ? ? 1 . 4 3
2 2

所以,动点 M 的轨迹为椭圆,方程为

x2 y2 ? ?1. 4 3

2x1 ? 0 ? x 2, 2y1 ? 3 ? y2 , (2) P(0, 3), 设 A(x1, y1 ), B(x 2 , y2 ),由题意知:

椭圆的上下顶点坐标分别是 (0, 3)和(0,- 3), 经检验直线 m 不经过这 2 点,
设直线m方程为 : y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方程, 即直线 m 斜率 k 存在。

整理得:
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24 kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? 24 k 24 , x1 ? x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

x1 x2 1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 ? x2 5 (?24k ) 2 9 3 ? ? ?2? ? ? ? ?k ?? 2 x2 x1 2 x1 ? x2 2 2 (3 ? 4k ) ? 24 2

所以,直线 m 的斜率 k ? ? . 12. (2013·四川高考理科·T20)
x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且 a b

3 2

椭圆 C 经过点 P ( , ) . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且
2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程. ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

4 1 3 3

【解题指南】 (1)关注椭圆的定义,利用定义求出 a , c ,再求出离心 率; (2)首先确定椭圆的方程,设出点 Q 的坐标,结合已知
2 1 1 ? ? ,找到点 Q 的坐标满足的关系. 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

【 解 析 】 (1) 由 椭 圆 定 义 知 ,2a=|PF1|+|PF2|= + 4 1 (3?1)2+(3)2=2 2,

4 1 (3+1)2+(3)2

所以 a= 2,又由已知,c=1, c 1 2 所以椭圆的离心率 e=a= = 2 . 2 x2 2 (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 2 +y =1, 设点 Q 的坐标为(x,y). (ⅰ) 当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 与椭圆 C 交于(0,1),(0,-1)两点,,此时 3 5 点 Q 的坐标为(0,2? 5 ). (ⅱ) 当 直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,因为 M,N 在 直线 l 上,可设点 M,N 的坐标分别为 则 (x1,kx1 + 2),(x2,kx2 + 2) |AM|2=(1+k2)x 12, |AN|2=(1+k2)x22, 又|AQ|2=(1+k 2)x2, 2 1 1 2 1 1 由|AQ|2=|AM|2+|AN|2,得 (1+k2)x2=(1+k2)x 2+(1+k2)x 2, 1 2 2 1 1 (x1+x2)2?2 x1x2 即 x2= x 2+ x 2= , x12x12 1 2 ①

x2 2 将 y=kx+2 代入 2 +y =1 中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 3 由?=(8k)2?4(2k2+1)?6>0,得 k2>2.



?8k 6 18 由②可知,x1+x2=2k2+1,x1x2=2k2+1, 代入①并化简得 x2= 2 . 10k ? 3



y?2 因为点 Q 在直线 y=kx+2 上, 所以 k= x , 代入③并化简,得 10(y?2)2? 3x2=18. 3 3 6 6 由③及 k2>2,可知 0<x2<2,即 x?(? 2 ,0)∪(0, 2 ). 3 5 6 6 又(0,2? 5 )满足 10(y?2)2?3x2=18, 故 x?(? 2 , 2 ). 由题意,Q(x,y)在椭圆 C 内,所以?1?y?1, 99 又由 10(y?2)2=3x2+18 有(y?2)2?[5,4)且?1?y?1, 1 3 5 则 y?(2,2? 5 ].所以,点 Q 的轨迹方程为 10(y?2)2?3x2=18,其中 x?(? 6 6 1 3 5 , ), y ? ( 2 2 2,2? 5 ].

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