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幂函数的性质与图象


幂函数的性质与图象
上海大学附属中学 钱寒静 【教学材料】高中一年级第一学期数学 4.1《幂函数的性质与图像》 【教材分析】 幂函数、指、对函数是最基本、最常用的函数模型,是学习其它函数的基础。学生在初 中已经学过了正比例、反比例、一次和二次函数,学过指数和幂的知识,本节课是在初中知 识的基础上对形如 y ? x k (k为常数,k ? Q) 的函数进行系统、全面的探究

,这既有利于 学生对函数概念的理解, 又对今后学习其它函数提供了方法, 从而提高学生的数学应用能力。 【学情分析】 学生在初中已经接触过函数,学习过有关幂的运算性质,并具有一定的列表、画图的 能力,授课的班级为上海市示范性高中的学生,他们的数学基础扎实。 【教学目标】 知识与技能: 1、 知道幂函数的概念,理解幂函数当 k>0 时在第一象限内的图象特征; 2、 类比让学生发现当 k<0 时,幂函数在第一象限内的图象特征; 3、掌握幂函数当 k 变化时的图象特征; 过程能力与方法: 在教学中充分发挥学生的主体作用,让他们经历幂函数性质发现的全过程,体会数形 结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察反思,最终自己得到幂函数的所 有性质。 情感、态度与价值观: 让学生认识到幂函数图象的奇特魅力,体会数学的对称美与和谐美,增强学生科学严 谨的学习态度,最终深刻理解到量变引起质变的哲学道理。 【重点难点】 重点:幂函数的概念和幂函数在第一象限内的图象性质。 难点:幂函数性质的总结。 【教学方法】 采用“引导、探究、再创”的教学模式,即引导学生观察特例,提炼规律,化抽象为具 体,探究其性质,再化具体规律到一般规律。 【教学手段】 多媒体辅助教学。 【教学过程】 一、 引入:以教材的编排为切入点,说明我们学习函数的定义域、值域、奇偶性、单调 性等一系列性质都是为了研究具体的函数,今天我们就来研究一类新的函数:幂函 数。 二、 幂函数的定义: 形如 y ? x (k为常数,k ? Q) 的函数叫做幂函数。
k

例 1:判断下列函数是否是幂函数:

(1) y ? 4x 2
三、

(2) y ? x 2 ? 1

(3) y ? 3 x

(4) y ? ? x

研究幂函数的图象:

1、 在幂函数作图器中任意做出几个幂函数的图象。观察图象: 提问:1)是否所有幂函数在第一象限内均有图象? 2)所作的图象中有没有经过第四象限的? 3)在所有的幂函数中是否存在某个幂函数,它的图象经过第四象限? 结论: 对于一切幂函数, 当 x ? 0,总有y ? x k ? 0 , 因此幂函数在第一象限内均有图象。 2、 着重研究第一象限内下列各组幂函数的图象:
3 2

1) y ? x

y?x

3

2) y ? x

2 3

y?x

1 3

共同点:都过点(0,0)和点(1,1) 图象都是上升的 结 论:幂函数 y ? x k, 当k ? 0 时的图象特点: (1) 都过点(0,0)和点(1,1) ; (2) 在区间(0,+∞)上单调递增。 3、 进一步探究幂函数 y ? x k, (k ? 0) 在区间(0,+∞)内图象的上升方式有何不 同? 以 y ? x 3 为例,在(0,1)上,图象在直线 y ? x 的下方(凹增)
1

以 y ? x 3 为例,在(0,1)上,图象在直线 y ? x 的上方(凸增) 结论:0<k<1 时,图象在(0,+∞)内凸增 k>1 时,图象在(0,+∞)内凹增 思考:怎样作出 y ? x , (k ? 0) 在整个直角坐标系内的图象
k

y?x

3 2

D=[0,+∞] D=R D=R

非奇非偶函数(只在第一象限内有图象) 奇函数(在一、三象限内有图象,关于原点对称) 偶函数(在一、二象限内有图象,关于 y 轴对称)
k

y ? x3
2

y ? x3
4、

类比,让学生发现幂函数 y ? x

, 当k ? 0 时的图象特征。
y ? x ?3

y?x

?

1 2

y?x

?

8 5

在第一象限内图象: (1)过点(1,1) ; (2)在区间(0,+∞)上单调递增。 四、 课堂练习 找出下列四个幂函数所对应的图象

y?x

?

1 2

5

2

y ? x3

y ? x ?3

y ? x3

五、 小结 六、 布置作业 P103/1,2 P106/1, 【教学后记】 这是一节市公开课,也是二期课改的示范课,为了更好地体现二期课改的精神:学生 自主学习。 我选择了较难上的幂函数的性质与图象这一节内容。 幂函数可以说是所有函数中 形式最多,图象最为复杂的函数,正因为多才有讨论的必要,才能更好地发挥学生的主体作 用。 幂函数的内容多而散乱,特别是图象容易混淆,因此这节课我考虑使用多媒体来上。 教学过程主要是以学生为主体的探究—发现式, 并在发现的基础上猜想结论, 然后说明理由, 同时还用到了特殊到一般的数学归纳思想。 这节课上下来,我自己的总体感觉不错,市里听课老师的评价也还不错,应该算是比 较成功的一课: 优点主要体现 在新技术的应用,很好地突出了幂函数图象的重要性,一直围绕对图象 的分析,课上调控能力较强,表达比较清晰,而且学生的参与性也比较强,特别是幂函数作 图器这个平台比较好。这节课始终渗透着分类讨论的数学思想:对 k<0,k=0,0<k<1,k=1, k>1 时的幂函数的图象作了一一说明, 并给出了非常形象的比喻, k<0 时的图象为双曲线型; 0<k<1 时图象在第一象限内凸增,形似眉毛,故称之为眉毛型图象;k>1 时图象在第一象限 内凹增,象作了一个举手的动作,故称之为举手型图象。有教师评价说:此类形象的比喻, 给我的印象是终生的。 函数中最重要的思想就是一个变量随另一个变量的变化而变化。 哲学 中讲到:量变引起质变。幂函数的图象同样反映了这一规律,从 k<0 的双曲线型图象到 k=0 时的直线型图象, 经过了一次量变而引起了质的变化。 从中让学生体会到数学的奥妙和数学 的美。 当然不足的地方可以预见:使用多媒体势必引起这堂课的容量较大,对基础差的学生 来讲较难适应, 因此怎样使新技术与传统的技术相协调, 是我们作为青年教师应好好考虑的 问题。 【评课】 杨高中学: 优点:新技术,多媒体技术应用于函数图象的研究,让学生知道怎样研究函数的图象, 突出了幂函数的图象, 一直围绕对图象的分析, 调控能力较强, 表达清晰, 学生参与比较强, 幂函数作图器这个平台比较好,总结可以,归纳得非常形象生动。 缺点:容量大,变化快,基础差的学生较难接受,这也是多媒体使用的通病。 丰华中学: 优点:教案非常详尽,教学目标、能力目标、情感目标都得到了体现,新课引入后提 出的设问非常好。形象、神态都不错,是一堂成功的二期课改试验课。 值得考虑的问题: (1)协调主体与主导的作用; (2)新技术与传统技术的调和; (3)新知识与旧知识的关系把握。 崇明中学: 眉毛型图象、举手型图象、双曲线型图象,给我的印象是终生的! 市教研员: 符合二期课改的理念,图形做法有新技术的支持,通过观察由学生得出性质,始终渗 透着分类讨论的数学思想,分界线画得非常清楚。 不足的地方可以预见,幂函数的图象较复杂,四十分钟的限制很难将它讲得非常透彻。 总的来讲,这是一节比较成功的二期课改示范课。


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