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安徽省六安市毛坦厂中学2015届高三模拟考试二模 数学理


2015 年高考模拟测试题
理科数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的;每小题选出答案后,请用 2B 铅笔把机读卡上对应 号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.) 题目的答案标

1、若 i 为虚数单位,图 1 中网格纸的小正方形的边长是 1,复 平面内 z 点 Z 表示复数 z,则复数 的共轭复数是 1 ? 2i 3 3 A. ? i B. ?i C. i D. i 5 5 第 1 题图 2、能够把圆 O : x 2 ? y 2 ? 16 的周长和面积同时分为相等的两 部分的函数称为圆 O 的“和谐函数”,下列函数不是 圆 O 的“和谐函数”的是 .. A. f ( x) ? 4 x 3 ? x B. f ( x) ? e x ? e ? x C. f ( x) ? tan
x 2

D. f ( x) ? 1n

5? x 5? x

ax 3 、若函数 f ( x) ? ? e (a ? 0, b ? 0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切, 则

4、设集合 A ? ? ( x, y ) x ? y ? 2 ? , B ? ( x, y ) ? A y ? x 2 ,从集合 A 中随机地取出一个 元素 P( x, y ) ,则 P( x, y ) ? B 的概率是 1 2 17 5 A. B. C. D. 12 3 24 6 5 、在 ?ABC 中, ?CAB ? ?CBA ? 30 , AC , BC 边上的高分别为 A BD, AE ,则以 A, B 为焦点,且过 D, E 两点的椭圆和双曲线的离 率的乘积为 3 A. 1 B. C. 2 D. 2 3 6、根据如图所示程序框图,若输入 m ? 2146 , n ? 1813 , 则输出 m 的值为 A. 34 B. 37 C. 148 D.333 7、下列命题,正确的个数是 5? ①直线 x ? 是函数 y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的一条对称轴 3
E C D

a ? b 的最大值是 A. 4 B. 2 2

1 b

C. 2

?

D.

?

2

B

第 5 题 图



·1 ·

②将函数 y ? cos( x ? 再向左平行移动

? 个单位长度变为函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像. 4 4 ③设随机变量 ? ~ N (3,9) ,若 P(? ? a) ? 0.3 , (a ? 3) ,则 P(? ? 6 ? a ) ? 0.7 1 ④ (2 x ? )10 的二项展开式中含有 x ?1 项的二项式系数是 210. x A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为 A1 D1 的中点, Q 为 A1 B1 上任 意一点, E、F 为 CD 上任意两点,且 EF 的长为定值,则下面的四个值中不为定值 的是 D A. 点 P 到平面 QEF 的距离 B. 三棱锥 P ? QEF 的体积 P Q C. 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 D. 二面角 P ? EF ? Q 的大小 A B
?
1 1 1

3? 1 , ) 的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) 2 2

C1

?x ? 3y ?1 ? 0 ? 9、 已知 O 为坐标原点, A, B 两点的坐标均满足不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 , ?x ?1 ? 0 ?

D

E

F

C

则 tan ?AOB 的最大值等于 A B 3 5 4 9 A. B. C. D. 第 8 题图 4 7 7 4 10、已知函数 f ( x) ? sin ? x 和函数 g ( x) ? cos ? x 在区间 [0, 2] 上的图像交于 A, B 两点,则 ?OAB 的面积是 3 2 2 5 2 3 2 A. B. C. D. 8 2 8 4 2 y ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,双曲线的离心率为 e ,若双曲线 11、已知双曲线 x 2 ? 3 sin ?PF2 F1 上一点 P 使 且 PQ ? 3QF1 , 则 F2Q ? F2 F1 的 Q 点为直线 PF1 上的一点, ?e, sin ?PF1 F2 值为 10 5 25 5 A. B. C. D. 2 2 2 2 3 12 、 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 ? a7 ? 1? ? 2012(a7 ? 1) ? 1 ,

? a2006 ? 1?

3

? 2012(a2006 ? 1) ? ? 1,则下列结论正确的是

A. S 2012 ? ?2012 , a2012 ? a7 C. S 2012 ? ?2012 , a2012 ? a7

B. S 2012 ? 2012 , a2012 ? a7 D. S 2012 ? 2012 , a2012 ? a7

第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

·2 ·

3 13、 在△ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 ,AB ? AC ? 0 , 且△ ABC 的面积为 , 则 ?BAC =_______ 2 14、采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 1,2,3,4 表示下雨,用 5,6,7,8,9,0 表示不下 雨;再以每三个随机数作为一组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如 下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________ P 15、 某几何体的三视图如图所示, 则此几何体的对应直观图中 ?PAB 的 面积为__________. 2 16、若对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,其图象是连续不断的,且 存在常数 ? (? ? R) 使得 f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ? 0 对任意实数 x 都 1 1 3 成立,则称 f ( x) 是一个“ ? —伴随函数”. 有下列关于 正视图 侧视图 “ ? —伴随函数”的结论:① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一个 “ ? —伴随函数”;② f ( x) ? x 不是“ ? —伴随函数”; 2 2 1 数”至 ③ f ( x) ? x 2 是一个“ ? —伴随函数”;④“ —伴随函 2 A B 2 少有一个零点. 其中不正确 的序号是_________ (填上所有 第 15题图 俯视图 ...

不 正确 的结论序号) . . .. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 3S 2 ? 2 , a2 n ? 2an , (1)求等差数列 {an } 的通项公式 an . 2n ? 1 (2)令 bn ? ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .证明:对任意 n ? N * ,都有 (n ? 1) 2 an 2 3 1 ? Tn ? . 16 4 18. (本小题满分 12 分)如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互 E 相垂直. AB ∥ CD , AB ? BC , AB ? 2CD ? 2 BC , EA ? EB . (1)求证: AB ? DE ; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (3)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ?若存在,求 EF B 出 ;若不存在,说明理由. EA C D 主招 19.(本小题满分 12 分)某校对参加高校自 第 18 题图 生测试的学生进行模拟训练,从中抽出 N 名 学 生,其数学成绩的频率分布直方图如图所 示.已知成绩在区间[90,100]内的学生人数 为 2
·3 ·

A

人。 (1)求 N 的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数; (2) 学校从成绩在[70, 100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取 12 名学生进行复 1 试, 若成绩在[80, 90) 这一小组中被抽中的学生实力相当, 且能通过复试的概率均为 , 2 设成绩在[80,90)这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为 ? ,求 ? 的分布列和 数学期望. x2 y 2 1 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 的离心率为 ,椭圆 C 的右焦点 F 和抛 a b 2 2 物线 G : y ? 4 x 的焦点相同. (1)求椭圆 C 的方程. (2)如图,已知直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 及抛物线 G 都 有两 个不同的公共点, 且直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点; 过 焦点 F 的直线 l ? 与抛物线 G 交于 C , D 两点,记

? ? OA ? OB ? OC ? OD ,求 ? 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性;
1 (2)对于任意正实数 x ,不等式 f ( x) ? kx ? 恒成立,求实 数 k 的取值范围; 2 ( 3 )是否存在最小的正常数 m ,使得:当 a ? m 时,对于任意正实数 x ,不等式 f (a ? x) ? f (a) ? e x 恒成立?给出你的结论,并说明结论的合理性.

四、选答题(请考生在第

22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所选的第一题记分.

作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.)

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是 ?O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E, F 为 BA 延长线上一点,且 BD ? BE ? BA ? BF ,求证: (1) EF ? FB ; (2) ?DFB ? ?DBC ? 90? .

第 22 题图

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. ? x ? sin ? ? cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为 ? ( ? 为参数),若以该直 ? y ? sin 2? 角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 N 的极坐标方 程为: ? sin(? ? ? ) ? 2 t (其中 t 为常数).
4 2
·4 ·

(1)若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围; (2)当 t ? ?2 时,求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 3 x ? 1| ? ax ? 3. (1)若 a=1,解不等式 f ( x) ? 5 ; (2)若函数 f ( x) 有最小值,求实数 a 的取值范围.

·5 ·

海南省 2015 年高考模拟测试题
数学理科卷参考答案 一、选择题 题号 1 答案 B 二、填空题 2 B 3 D 4 C 5 C 6 B 7 B 8 C 9 A 10 A 11 A 12 D

13、 150 14、0.25 15、 7 16、 ① ③ 三、解答题 17、解: (1).设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则由 S 4 ? 3S 2 ? 2 , a2 n ? 2an 得

? 4a1 ? 6d ? 3(2a1 ? d ) ? 2 ?a1 ? 2 ,解得 ? ,所以 an ? 2n, n ? N * ???.6 分 ? ?d ? 2 ?a1 ? (2n ? 1)d ? 2[a1 ? (n ? 1)d ] 2n ? 1 1 1 1 ( 2 ) . 因 为 an ? 2n, n ? N * , 所 以 bn ? ? [ 2? ] , 则 2 2 (n ? 1) 4n 4 n (n ? 1) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? [1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ] = [1 ? ]. 2 4 2 2 3 3 4 n (n ? 1) 4 (n ? 1) 2 3 1 * 因为 n ? 1, n ? N ,所以 ???.12 分 ? Tn ? . 16 4 18、证明: (Ⅰ)取 AB 中点 O ,连结 EO , DO .因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB . 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED .??4 分 解: (Ⅱ)因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 EO ? AB , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OB, OD, OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐 标系 O ? xyz .因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OD ? OE ,设 OB ? 1 ,所以
O(0, 0, 0), A( ?1, 0, 0), B(1, 0, 0), C (1,1, 0), D(0,1, 0), E (0, 0,1) . 所以 EC ? (1,1,?1) ,平面 ABE 的
一 个 法 向 量 为 OD ? (0,1, 0) . 设 直 线 EC 与 平 面 ABE 所 成 的 角 为

? ,所以

sin ? ? | cos? EC , OD? | ?


3 | EC ? OD | 3 , 即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 .?8 ? 3 | EC || OD | 3

1 1 1 EF 1 ? 时,有 EC // 平面 FBD . 证明如下:由 EF ? EA ? (? ,0,? ) , EA 3 3 3 3 1 2 4 2 F (? ,0, ) ,所以 FB ? ( ,0,? ) . 3 3 3 3 ??a ? b ? 0, ? ?v ? BD ? 0, ? 设 平 面 FBD 的 法 向 量 为 v ? (a, b, c) , 则 有 ? 所以 ?4 取 a ?1 ,得 2 a ? z ? 0. v ? FB ? 0. ? ? ? 3 ?3
(Ⅲ)存在点 F ,且 因为 EC ? v ? (1,1,?1) ? (1,1,2) ? 0 , 且 EC ? 平面 FBD , 所以 EC // 平面 FBD . 即 v ? (1,1,2) . EF 1 点 F 满足 ? 时,有 EC // 平面 FBD .????12 分 EA 3 19、解: ( 1)由频率分布直方图可知,成绩在区间 [90, 100]内的频率为 0.005 ? 10 ? 0.05 ,所以
·6 ·

N?

2 ? 40, 0.05































45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72.所以,估计这次考试的平均分是 72 分.由频率分布直方图可知,成绩分布在[70,80]间的频率最大,所以众数的估计值为区间[70,80] 的中点值 75 分 ?????(6 分) (注:这里的众数、平均值为估计量,若遗漏估计或大约等词语扣一分) (2)由(1)知,成绩在[70,100]内的学生共有 40 ? (0.3 ? 0.25 ? 0.05) ? 24 人,成绩在 [80,90)这一小组的人数有 40 ? 0.025 ? 10 人.所以从这一小组中抽出的人数为

12 1 1 1 1 ?10 ? 5 人,依题意知 ? B(5, ) , P( x ? k ) ? C5k ( ) k ? ( )5? k ? C5k ( )5 , 24 2 2 2 2 1 1 5 10 1 1 5 2 1 5 , P (? ? 1) ? C5 , P (? ? 2) ? C5 , P(? ? 0) ? C50 ( )5 ? ( ) ? ( ) ? 2 32 2 32 2 32 10 5 1 3 1 5 4 1 5 5 1 5 , P (? ? 4) ? C5 , P (? ? 5) ? C5 , P(? ? 3) ? C5 ( ) ? ( ) ? ( ) ? 2 32 2 32 2 32 所以 ? 的分布列为: ? 0 3 5 1 2 4 1 5 10 10 5 1 P 32 32 32 32 32 32 1 5 数学期望 E? ? 5 ? ? . ????..(12 分) 2 2 c 1 2 20. 解: (1) 椭圆的离心率 ? , 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 (1, 0) , 所以椭圆中的 c ? 1 ,a ? 2 , a 2 x2 y 2 2 ??4 分 ? 1. b ? 3 .所以椭圆的方程为 ? 4 3 (2)设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ), D ( x4 , y4 ) ,则

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 由? 4 消去 y 可得 (3 ? 4k ) x ? 16kx ? 4 ? 0 (①) ,由 ?1 ? (16k ) 2 ? 4 ? 4 ? (3 ? 4k 2 ) ? 0 3 ? y ? kx ? 2 ? 1 1 解得 k ? ? 或 k ? ; 2 2 2 ? y ? 4x 2 2 由? 消去 y 可得 k x ? 4(k ? 1) x ? 4 ? 0 ,由 ? 2 ? 16(k ? 1) 2 ? 16k 2 ? 0 ? y ? kx ? 2 1 1 解得 k ? ,所以 k ? ? 。 ???????6 分 2 2 16k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 3 ? 4k 2 由 ① 可 得 , ? ? x ?x ? 4 1 2 ? 3 ? 4k 2 ? 12 ? 12k 2 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2) ? (kx2 ? 2) ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? , 3 ? 4k 2
·7 ·

16 ? 12k 2 ???????8 分 3 ? 4k 2 当 l ? 的斜率不存在时, C (1, 2), D (1, ?2) ,此时, OC ? OD ? ?3
所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ?

? y2 ? 4x 当 l ? 的 斜 率 存 在 时 , 设 l ? 的 方 程 为 y ? m( x ? 1) , (m ? 0) , 由 由 ? 消去 y 可得 ? y ? m( x ? 1) m 2 x 2 ? (2m 2 ? 4) x ? m 2 ? 0 , 所 以 x3 ? x4 ? 1 , y3 y4 ? ?4 x1 x2 ? ?4 , 所 以

OC ? OD ? ?3 ,???????10 分 16 ? 12k 2 25 1 1 25 则? ? , 因为 k ? ? ,所以 k 2 ? ,所以 0 ? ? ? .?12 分 ?3 ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 4 4 1 1 1 ? 21. 解: ⑴令 f 当 x ? ( , ?? ) 时,f ?(x) ? 0. () x ? l n x ? 10 ?,得 x ? .当 x ? ( 0 , ) 时,f ?(x) ? 0; e e e 1 1 所以函数 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递减,在 ( , ? ? ) 上单调递增. (3 分) e e 1 1 1 ⑵ 由 于 x ? 0 , 所 以 fx ,则令 ( ) ? x l n xk ?? x ? k ? l n x ? . 构 造 函 数 k(x) ? ln x ? 2x 2 2 x 1 1 2 x ? 1 1 1 1 ? , 得x ? .当 x ? ( 0 , ) 时, 当 x ? ( , ?? ) 时, kx () ? ? 2? 2 ? 0 k?(x) ? 0; k?(x) ? 0. x2 x 2 x 2 2 2 1 1 1 所以函数在点 x ? 处取得最小值,即 k . () x ? k () ? l n? 11l ? ? n 2 m i n 2 2 2 因此所求的 k 的取值范围是 ( (7 分) ? ? ,1 ? l n 2 ). ⑶结论:这样的最小正常数 m 存在. 解释如下: (a ? x) ln(a ? x) a ln a f (a ? x) ? f (a ) ? e x ? (a ? x) ln(a ? x) ? a ln a ? e x ? ? a . ea ? x e x ln x 构造函数 g ( x) ? ,则问题就是要求 g (a ? x) ? g (a ) 恒成立. (9 分) ex (ln x ? 1)e x ? x ln x ? e x ln x ? 1 ? x ln x ? 对于 g ( x) 求导得 g ( x) ? . ? e2 x ex 1 令 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x ,则 h?( x) ? ? ln x ? 1 ,显然 h?( x) 是减函数. x 又 h?(1) ? 0 ,所以函数 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数,而
1 1 1 1 2 2 ? e2 ) ? ln ? 1 ? ? ln ? ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 0, e2 e2 e2 e2 e2 e h(1) ? ln1 ? 1 ? ln1 ? 1 ? 0 , h(e) ? ln e ? 1 ? e ln e ? 1 ? 1 ? e ? 2 ? e ? 0 . 所以函数 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x 在区间 (0,1) 和 (1, ??) 上各有一个零点, 令为 x1 和 x2 ( x1 ? x2 ) , 并且有: 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上, h( x) ? 0, 即 g ?( x) ? 0 ;在区间 ( x1 , x2 ) 上, h( x) ? 0, 即 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递增. g ?( x) ? 0 . 从而可知函数 g ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上单调递减, g (1) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 还有 g ( x2 ) 是函数的极大值,也 h(
是最大值. 题目要找的 m ? x2 ,理由是:
·8 ·

当 a ? x2 时,对于任意非零正数 x , a ? x ? a ? x2 ,而 g ( x) 在 ( x2 , ??) 上单调递减,所以

g (a ? x) ? g (a ) 一定恒成立,即题目所要求的不等式恒成立,说明 m ≤ x2 ;
当 0 ? a ? x2 时,取 x ? x2 ? a ,显然 x ? 0 且 g (a ? x) ? g ( x2 ) ? g (a ) ,题目所要求的不等式 不恒成立,说明 m 不能比 x2 小. 综合可知,题目所要寻求的最小正常数 m 就是 x2 ,即存在最小正常数 m ? x2 ,当 a ? m 时,对 于任意正实数 x ,不等式 f (a ? x) ? f (a )e 恒成立.
x

(12 分)

( 注意:对于 x1 和 x2 的存在性也可以如下处理: 令 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x ? 0 ,即 ln x ?

1 1 . 作出基本函数 y ? ln x 和 y ? 的图像,借助于 x ?1 x ?1 1 它们的图像有两个交点很容易知道方程 ln x ? 有两个正实数根 x1 和 x2 , 且 0 ? x1 ? 1 ,x2 ? 1 x ?1 (实际上 x2 ? 2.24 ),可知函数 g ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上单调递减,在区间 ( x1 , x2 ) 上单
调递增. g (1) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 还有 g ( x2 ) 是函数的极大

值,也是最大值. ) 22. ( Ⅰ ) 证 明 : 连 接 AD , 在 ?ADB和? EFB 中 ,

D BD BF 又 ?DBA ? ?EBF ??ADB ∽ BD ? BE ? BA ? BF ? ? BA BE ???5 分 ?EFB ,则 ?EFB ? ?ADB ? 90 ? EF ? FB B F A O (Ⅱ) 在 ?ADB 中 , ?ADB ? ?ADE ? 90 , 又 ?EFB ? 90 C ??DFB ? ?AEB ,又 AB 是⊙ O 的 ? E、F、A、D 四点共圆; 直径,则 ?ACB ? 90 , ? ?DFB ? ?DBC ? ?AEB ? ?DBC ? 90 ??10 分 y ? x 2 ? 1, x ? 2 23.解:对于曲线 M,消去参数,得普通方程为 ,曲线 M 是抛物线的一部分; 对于曲线 N,化成直角坐标方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线. (2 分) (1)若曲线 M,N 只有一个公共点,则有直线 N 过点 ( 2,1) 时满足要求,并且向左下方平行运动直 到过点 (? 2,1) 之前总是保持只有一个公共点,再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有 两个公共点, 所以 ? 2 ? 1 ? t ? 相切时仍然只有一个公共点, 由t ? x ? x2 ?1, 2 ? 1 满足要求;
5 . 综合可求得 t 的取值范围是: 4
2 得 x ? x ? 1 ? t ? 0, ? ? 1 ? 4(1 ? t ) ? 0 , 求 得 t ? ?

E

5 ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 或 t ? ? . (6 分) 4
2 (2)当 t ? ?2 时,直线 N: x ? y ? ?2 ,设 M 上点为 ( x 0 , x 0 ? 1) , x0 ?

2 ,则

d?

2 x0 ? x0 ? 1

2

1 3 ( x0 ? ) 2 ? 2 4?3 2, ? 8 2

1 3 2 时取等号,满足 x0 ? 2 ,所以所求的最小距离为 . (10 分) 2 8 24.解: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ?| 3 x ? 1| ? x ? 3 .
当 x0 ? ? 当 x≥

1 3 1 时, f ( x) ≤ 5 可化为 3 x ? 1 ? x ? 3 ≤ 5 ,解之得 ≤ x ≤ ; 3 4 3
·9 ·

当x?

1 1 1 时, f ( x) ≤ 5 可化为 ?3 x ? 1 ? x ? 3 ≤ 5 ,解之得 ? ≤ x ? . 2 3 3

综上可得,原不等式的解集为 {x | ?

1 3 ≤ x ≤ }. ??????????????5 分 2 4

1 ? (3 ? a ) x ? 2, ( x ≥ ) ? ? 3 (Ⅱ) f ( x) ?| 3 x ? 1| ? ax ? 3 ? ? 1 ?(a ? 3) x ? 4.( x ? ) ? 3 ? ?3 ? a ≥ 0, 函数 f ( x) 有最小值的充要条件为 ? 即 ?3 ≤ a ≤ 3 ????????10 分 ?a ? 3 ≤ 0,

·10·


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