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江苏省盐城市时杨中学高二数学假期文科


江苏省盐城市时杨中学高二数学假期练习文科
一、填空题: 1.函数 y ? x ? x ? 5 x ? 5 的单调递增区间是______________________.
3 2

1、

2、

3、

4、

5、 . 9、 二、解答题:

>6、

7、

8、

2.已知自由下落物体的路程为
4

1 2

gt

2

,则物体在 t0 时刻的瞬时速度为

3.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ? 2, 3 ? 上的最小值为_________. 4.函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________.
3

10、

13、

14、

5.曲线 y ? x ? 3 x ? 6 x ? 10 的切线中,斜率最小的切线方程为
3 2



3 15.已知曲线 y ? x ? 1 与 y ? 1 ? x 在 x ? x 0 处的切线互相垂直,求 x 0 的值.
2

6.已知函数 f
f

?x?

3 2 ? 2 ? ? x ? a x ? 2 x ? 5 在 ? ? , 1 ? 上单调递减,在 ? 1, ? ? ? 上单调递增,且函数 ? 3 ?

? x ? 的导数记为
2 3

f ? ? x ? ,则下列结论正确的个数是_______个.

① ?

是方程 f ? ? x ? ? 0 的根;

②1 是方程 f ? ? x ? ? 0 的根; ④有极大值 f ? ?
?
?
4

③ 有极小值 f ? 1 ? ; 7.曲线 sin 2 x ? y ? 6 ? 0 在 x ? ?

?

2?

?; 3?

⑤ a ??

1 2



处的切线的倾斜角是________.
3 2

8. 在曲线 y ? sin x (0 ? x ? ? ) 上取一点 M , 使过 M 点的切线方程与直线 y ? 点的坐标是
3

x 平行, M 则


2

9.已知 f ( x ) ? x ? 2 x ? ax ? 1 在区间[1,2]上递增,则实数 a 的取值范围是______________. 10.过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则切线方程为__________________.
2

16.已知 a 为实数, f ( x ) ? ( x 2 ? 4 )( x ? ) .
2

1

(1)求导数 f '( x ) ; .

(2)求 f ( x ) 在 [ ? 2, 2 ] 上的最大值和最小值.

11.曲线 y ?

1 x

和 y ? x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是
2

12.若 a ? 2 ,则方程 13.设 f ( x ) ?
1 3
3

1 3

x ? ax
3
2

2

? 1 ? 0 在(0,2)上恰好有____个根.

x ? ax 1 3

? 5 x ? 6 在区间[1,3]上为单调函数,则实数 a 的取值范围为________.
3

14.已知函数 f ( x ) ?

x ?

1 2

ax

2

? 2 bx ? c 的两个极值分别为 f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ,若 x 1 , x 2 分别在

区间(0,1)与(1,2)内,则

b ? 2 a ?1

的取值范围是______________.

17.已知 f ( x ) ? 2 ax ?

b x

? ln x 在 x ? ? 1, x ?

1 2

处取得极值.

19.设函数 f ( x ) ? x ? 6 x ? 5 , x ? R
3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间和极值;求该曲线在 x ? 1 处的切线方程。 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x ) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)已知当 x ? (1, ?? )时 , f ( x ) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

(1)求 a、b 的值; (2)若对 x ? ? , 4 ? 时, f ( x ) ? c 恒成立,求 c 的取值范围. ?4 ?

?1

?

20.已知函数 (1)求函数 18. 出版社出版某一读物, 一页上所印文字占去 150 cm , 上、 下要留 1 . 5 cm 空白, 左、 右要留 1cm 空白,出版商为节约纸张,应选用怎样的尺寸的页面? 1.5
2

f (x)

=

ax x ?b
2

,在 x ? 1 处取得极值 2.
2 m ? 1)

f (x)

的解析式; (2) m 满足什么条件时,区间 ( m ,
f (x)

为函数

f (x)

的单调增区间?

(3)设直线 l 为曲线

=

ax x ?b
2

的切线,求直线 l 的斜率的取值范围。

1

1.5

江苏省盐城市时杨中学高二数学假期练习文科
一、填空题: 1.函数 y ? x ? x ? 5 x ? 5 的单调递增区间是______________________.
3 2

13.设 f ( x ) ? 解析

1 3

x ? ax
3

2

? 5 x ? 6 在区间[1,3]上为单调函数,则实数 a 的取值范围为________.

?f′?1?≤0, ? f′(x)=x2+2ax+5,当 f(x)在[1,3]上单调减时,由? 得 a≤-3;当 f(x)在[1,3] ? ?f′?3?≤0

2.已知自由下落物体的路程为
4

1 2

gt

2

,则物体在 t0 时刻的瞬时速度为



? ?Δ≥0, 上单调增时,f′(x)=0 中,Δ=4a2-4×5≤0,或? 得 a∈[- 5, 5]∪( 5,+∞).综 ?f′?3?≥0, ?

3.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ? 2, 3 ? 上的最小值为_________. 4.函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________.
3

上:a 的取值范围为(-∞,-3]∪[- 5,+∞). 14.已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

1 2

ax

2

? 2 bx ? c 的两个极值分别为 f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ,若 x 1 , x 2 分别在

5.曲线 y ? x ? 3 x ? 6 x ? 10 的切线中,斜率最小的切线方程为
3 2



区间(0,1)与(1,2)内,则 二、解答题:

b ? 2 a ?1

的取值范围是(

(

1 4

,1 )

).

6.已知函数 f
f

?x?

3 2 ? 2 ? ? x ? a x ? 2 x ? 5 在 ? ? , 1 ? 上单调递减,在 ? 1, ? ? ? 上单调递增,且函数 ? 3 ?

? x ? 的导数记为
2 3

f ? ? x ? ,则下列结论正确的个数是___5 _个.

3 15.已知曲线 y ? x ? 1 与 y ? 1 ? x 在 x ? x 0 处的切线互相垂直,求 x 0 的值.
2

① ?

是方程 f ? ? x ? ? 0 的根;

②1 是方程 f ? ? x ? ? 0 的根;
? 2? ④有极大值 f ? ? ? ; ? 3?
?
4

16.已知 a 为实数, f ( x ) ? ( x 2 ? 4 )( x ? ) .
2

1

(1)求导数 f '( x ) ; ⑤ a ??
1 2

(2)求 f ( x ) 在 [ ? 2, 2 ] 上的最大值和最小值.
1

③ 有极小值 f ? 1 ? ; 7.曲线 sin 2 x ? y ? 6 ? 0 在 x ? ?



解: (1) f '( x ) ? 2 x ( x ? ) ? ( x 2 ? 4 ) ? 1 ? 3 x 2 ? x ? 4 .
2

……(4 分)
4 3

处的切线的倾斜角是________.
3 2

(2)令 f '( x ) ? 3 x 2 ? x ? 4 ? (3 x ? 4 )( x ? 1) ? 0 ,解得 x ? ? 1 或 x ?
x 平行, M 则
4 3

. ……(5 分)
4 3

8. 在曲线 y ? sin x (0 ? x ? ? ) 上取一点 M , 使过 M 点的切线方程与直线 y ? 点的坐标是 ((π /6,1/2)) .
3 2

当 x ? ( ? 2, ? 1) 时, f '( x ) ? 0 , f ( x ) 递增; 当 x ? ( ? 1, ) 时, f '( x ) ? 0 , f ( x ) 递减; 当 x ? ( , 2 ) 时,
f '( x ) ? 0

, f ( x ) 递增.
9 2

……(7 分)
4 3 50 27

9.已知 f ( x ) ? x ? 2 x ? ax ? 1 在区间[1,2]上递增,则实数 a 的取值范围是_ (-∞,7] _. 10.过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则切线方程为__________________.
2

f (?2) ?

0, f ( ? 1) ?

, f( )??

, f (2) ? 0 .
9 2

f (x)

在 [ ? 2, 2 ] 上的最大值为 f ( ? 1) ?

, 最小值为 f ( ) ? ?
3

4

50 27

.

……(9 分)

11.曲线 y ?

1 x

和 y ? x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是
2



解析:曲线 y ?

1 x

和 y=x2 在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是 y=-x+2 和 y=2x-1,
3 4

它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 12.若 a ? 2 ,则方程
1 3 x ? ax
3 2

.

? 1 ? 0 在(0,2)上恰好有____个根.

1 解析 设 f(x)= x3-ax2+1,则 f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2)上 3 8 11 为减函数,又 f(0)f(2)=1?3-4a+1?= -4a<0,f(x)=0 在(0,2)上恰好有 1 个根. ? ? 3

17.已知 f(x)=2ax-

b x

+lnx 在 x=-1,x=

1 2

处取得极值.(1)求 a、b 的值;

(2)若对 x∈[

1 4

,4]时,f(x)>c 恒成立,求 c 的取值范围.
b x

解:(1)∵f(x)=2ax-

+lnx, ∴f′(x)=2a+
1 2

b x
2

+

1 x

.
1 2

19.设函数 f ( x ) ? x ? 6 x ? 5 , x ? R (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间和极值;求该曲线在 x=1 处的切线方程。 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x ) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)已知当 x ? (1, ?? )时 , f ( x ) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.
3

∵f(x)在 x=-1 与 x=

处取得极值,∴f′(-1)=0,f′(

)=0,

(Ⅰ) f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?? , ? 2 ) 及 ( 2 , ?? ) ,单调递减区间是 ( ? 2 , 2 ) …4 分
f ( x ) 有极大值 5? 4 2 ; f ( x ) 有极小值 5?4 2

?2 a ? b ? 1 ? 0, ? a ? 1, 即? 解得 ? ?2 a ? 4b ? 2 ? 0. ?b ? ? 1.

…8 分 切线方程为 y=-3x+3…12 分

∴所求 a、b 的值分别为 1、-1. (Ⅱ)当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时 , 直线 y ? a 与 y ? f ( x ) 的图象有 3 个不同交点 15 分, +
1 x
1 x
2

(2)由(1)得 f′(x)=2- ∴当 x∈[
1 4

1 x
2

=

(2x2+x-1)=
1 2 1 2

1 x
2

(2x-1) (x+1).
1 2

(Ⅲ) k ? ? 3
1 4

………………………18 分
f (x)

,

1 2

]时,f′(x)<0;当 x∈[

,4]时,f′(x)>0.∴f( )=3-ln2.

)是 f(x)在[

,4]

20.已知函数

=

ax x ?b
2

,在 x=1 处取得极值 2. (1)求函数
f (x)

f (x)

的解析式; (2)m 满足什么条
f (x)

上的极小值.又∵只有一个极小值,∴f(x)min=f(

件时,区间 ( m ,

2 m ? 1)

为函数

的单调增区间? (3)设直线 l 为曲线

=

ax x ?b
2

的切线,求直

∵f(x)>c 恒成立,∴c<f(x)min=3-ln2. ∴c 的取值范围为 c<3-ln2.

线 l 的斜率的取值范围。 (1)已知函数
f (x)

=

ax x ?b
2

? ,

f ?( x ) ?

a ( x ? b) ? ax(2 x)
2

(x ? b)
2

2

.又函数

f (x)

在 x=1 处取得极值 2? ?
2

? f ? (1) ? 0 , ? f (1) ? 2 ,

? a (1 ? b ) ? 2 a ? 0, ? a ? 4, ? ? ? 即? a ?2 ?b ? 1. ? ?1 ? b

当 a=4,b=1,

? f ?( x ) ?

4 ( x ? 1) ? 4 x (2 x )
2

( x ? 1)
2

2

?

(1 ? x ) 4 ( x ? 1)
2 2



18. 出版社出版某一读物, 一页上所印文字占去 150 cm , 上、 下要留 1 . 5 cm 空白, 左、 右要留 1cm 空白,出版商为节约纸张,应选用怎样的尺寸的页面?
150 x 150 x 300 x ? 156

2

当 ?1 ? (2)由 +3)cm…3 分

x ? 1时 , f ? ( x ) ? 0, x ? 1时 , f ?( x ) ? 0

,?

f ( x ) 在 x ? 1处 取 得 极 值 .? f ( x ) ?

4x x ?1
2

.

f ?( x ) ?

4 ( x ? 1) ? 4 x ( 2 x )
2

设所印文字的区域长 xcm,则宽为 所以纸张的面积 S ? ( x ? 2 )(
S ? 3?
/

cm,纸张的长为(x+2)cm,宽为(

( x ? 1)
2

2

? 0 ? x ? ?1 .

x 1.5
f ?( x ) f (x)

( ? ? , ? 1)

?1

(-1,1) +
?

1 0 极大值 2

(1, ? ? )

150 x

? 3) ? 3 x ?

…7 分


?

0 极小值-2
1]


?

300 x
2

,令 S ? 0 解得 x=10
/

10 分 12 分 …15 分 16 分 1 所以

x ? 1 0 时,S 单调递增

0 ? x ? 1 0 时,S 单调递减
2

f (x) ?

4x x ?1
2

的单调增区间为 [ ? 1,

.若 ( m ,

2 m ? 1)

为函数

f (x)

的单调增区间,则有

所以当 x=10 时, S m in ? 2 1 6 cm

1.5

答:当纸张的边长分别为 12cm,18cm 时最节约。

? m ? ? 1, ? ? 2 m ? 1 ? 1, ?2m ? 1 ? m, ?

解得 ? 1 ?

m ? 0.

即 m ? ( ? 1,

0 ] 时, ( m , 2 m ? 1)

为函数

f (x)

的单调增区间.

(3)?

f (x) ?

4x x ?1
2

,?

f ?( x ) ?

4 ( x ? 1) ? 4 x ( 2 x )
2

( x ? 1)
2

2

.设切点为 P(x0, y0),则直线 l 的斜率为

k ? f ?( x 0 ) ?

4 ( x 0 ? 1) ? 8 x 0
2

2

( x 0 ? 1)
2

2

? 4[

2 ( x 0 ? 1)
2 2

?

1 x0 ? 1
2

]

.令

1 x0 ? 1
2

? t , t ? (0 , 1]

,则直线 l 的斜率

k ? 4 ( 2 ? t ) , t? t
2

( 0, 1? k ? [ ? , ]

1 2

, 4] .


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