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周二小测试—集合与逻辑


周二小测试—集合与逻辑
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 1.(2014· 烟台)已知集合 S={1,2},集合 T={a},?表示空集,如果 S∪T=S,那么 a 的值构成的集合是( ) A.? B.{1} C.{2} ) D.{1,2}

2.已知命题 p:? x0∈R, -3x0+3≤0,则下列说法正确的是(
2 A. p:? x0∈R, x0 -3x0+3>0,且 p 为真命题

2 B. p:? x0∈R,x0 -3x0+3>0,且 p 为假命题

C. p:? x∈R,x -3x+3>0,且 p 为真命题

2

D. p:? x∈R,x -3x+3>0,且 p 为假命题

2

1 1 3.已知 ab>0,若 a>b,则 < 的否命题是( ) a b 1 1 1 1 A.已知 ab≤0,若 a≤b,则 ≥ B.已知 ab≤0,若 a>b,则 ≥ a b a b 1 1 1 1 C.已知 ab>0,若 a≤b,则 ≥ D.已知 ab>0,若 a>b,则 ≥ a b a b 1 4.设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”成立的( ) a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.(2014·济宁模拟)给定下列两个命题: ①“p∨q”为真是“ p”为假的必要不充分条件; ②“? x0∈R,使 sinx0>0”的否定是“? x∈R,使 sinx≤0”. 其中说法正确的是( A.①真②假 ) B.①假②真 C.①和②都为假 D.①和②都为真 )

6.(2013·山东高考)给定两个命题 p,q,若 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是 q 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.(2014·淄博模拟)给出下列命题: (1)等比数列{an}的公比为 q,则“q>1”是“an+1>an(n∈N )”的既不充分也不必要条件;(2)“x≠1” 是“x ≠1”的必要不充分条件;(3)函数 y=lg(x +ax+1)的值域为 R,则实数-2<a<2;(4)“a=1”是“函 数 y=cos ax-sin ax 的最小正周期为π ”的充要条件. 其中真命题的个数是(
2 2 2 2 2 *

)A.1

B.2

C.3

D.4 )

8.已知函数 f(x)=x +bx+c,则“c<0”是“? x0∈R,使 f(x0)<0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
-1-

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 9.(2014·枣庄模拟)已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集 A 具有性质 P:当 a∈A 时,必有 6-a∈A.则具有 性质 P 的集合 A 的个数是 . . .

10.(2014· 银川模拟)若命题 “? x0∈R,x2 为假命题,则实数 a 的取值范围是 0 +(a-3)x0+4<0” 11.(2014·青岛模拟)已知 A= x
1 8

< 2?x <

1 2

,B={x|log2(x-2)<1},则 A∪B=
2

12.(2014·玉溪模拟)已知命题 p:函数 f(x)=2ax -x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题 q:函数 y=x 在(0,+∞)上是减函数.若 p 且 q 为真命题,则实数 a 的取值范围是 13.已知下列四个结论: ①命题“若 p,则 q”与命题“若 q,则 p”互为逆否命题; ②命题 p:? x0∈[0,1],e ≥1, 命题 q:? x0∈R,x2 0 +x0+1<0,则 p∨q 为真; ③若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题; ④“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真命题.其中正确结论的序号是
2 2 2-a

.

x0

.

三、解答题(本大题共 3 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(12 分)已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不相等的负实根,命题 q:不等式 4x +4(m-2)x+1>0 的解 集为 R.若 p∨q 为真命题、p∧q 为假命题,求实数 m 的取值范围.
2 2

-2-

15.(12 分)(2014·黄山模拟)已知全集 U=R,集合 A={x|(x-2)(x-3)<0},B={x|(x-a)(x-a -2)<0}. (1)当 a=2时,求(?UB)∩A. (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.
1

2

16.(12 分)(2014· 枣庄模拟)设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a≠0,q:实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

2

2

x2 ? x ? 6 ≤ 0, x 2 + 2x ? 8 > 0.

-3-

能力挑战题(选做不计成绩)
若函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1 在区间[-1,1]上至少存在一个实数 x0,使 f(x0)>0,求 p 的取值范围.
2 2

-4-

答案解析
1. 【解析】 选 B.由 A={x|x2-2x>0}得, A={x|x<0 或 x>2}, 又 B={x|- 5 <x< 5 }, 所以 A∪B=R. 2.【解析】选 D.因为 S={1,2},T={a},S∪T=S,所以 T? S,a∈S,所以 a=1 或 a=2,故选 D. 3.【解析】选 C.依题意,命题 p:? x0∈R,x2 0 -3x0+3≤0 的否命题为不存在 x∈ R,使得 x2-3x+3≤0,即对任意的 x∈R,x2-3x+3>0.又 x2-3x+3= x ? 所以命题 p 为假命题,所以 p 为真命题. 4.【解析】选 B. B={x||x|<2}={x|-2<x<2},则 A∩B={0,1,2,3,4}∩ {x|-2<x<2}={0,1}. 5.【解析】选 C.条件 ab>0 是大前提,所以其否命题是:已知 ab>0,若 a≤b, 则
1 a 3 2 3 2

+ >0,
4

≥ .
b

1

【误区警示】解答本题易误选 A,出错的原因是忽视了大前提与条件的关系. 6.【解析】选 D.若 0<ab<1,则当 a>0 时,有 b< ,当 a<0 时,有 b> .当 b< 时,
a a a 1 1 1

不妨设 b=-1,a=1,则满足 b< ,但 ab=-1,不满足 0<ab<1.所以 0<ab<1 是 b< 成
a a

1

1

立的既不充分也不必要条件,选 D. 【加固训练】(2014·滨州模拟)“10a>10b”是“lga>lgb”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
-5-

)

【解析】选 B.由 10a>10b 得 a>b.由 lga>lgb 得 a>b>0,所以“10a>10b”是

“lga>lgb”的必要不充分条件,选 B. 7.【解析】选 D.①中,“p∨q”为真,说明,p,q 至少有一为真,但不一定 p 为 真,即“ p”不一定为假;反之,“ p”为假,那么 p 一定为真,即“p∨q”为 真,命题①为真 ;特称命题的否定是全称命题 ,所以,②为真,综上知,①和② 都为真. 8.【解析】选 A.因为 p 是 q 的必要而不充分条件,所以 q 是 p 的必要而不充 分条件,即 p 是 q 的充分而不必要条件. 【加固训练】(2012·山东高考)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是 减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

【解析】选 A.因为函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数, 所以 0<a<1. 由函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数可得:2-a>0,即 a<2. 所以若 0<a<1,则 a<2,而若 a<2,推不出 0<a<1. 所以“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函 数”的充分不必要条件. 9.【解析】选 B.若首项为负,则公比 q>1 时,数列为递减数列,an+1<an(n∈N*), 当 an+1>an(n∈N*)时,包含首项为正,公比 q>1 和首项为负,公比 0<q<1 两种情 况,故(1)正确;“x≠1”时,“x2≠1”在 x=-1 时不成立,“x2≠1”时,“x≠1” 一定成立,故(2)正确;函数 y=lg(x2+ax+1)的值域为 R,则 x2+ax+1=0 的Δ=a2-4
-6-

≥0,解得 a≥2 或 a≤-2,故(3)错误;“a=1”时,“函数 y=cos2x-sin2x=cos2x 的最小正周期为π”,但“函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为π”时,“a= 〒1”,故“a=1”是“函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为π”的充分不必 要条件,故(4)错误.故选 B. 【加固训练】已知下列命题,其中错误的是( )

A.已知 p,q 为两个命题,若“p∨q”为假命题,则( p)∧( q)为真命题 B.在△ABC 中,A=B 是 sinA=sinB 的充要条件 C.“ p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件 D.命题“若实数 x,y 满足 x2+y2=0,则 x=y=0”的逆否命题为“若实数 x,y 中 至少有一个不为 0,则 x2+y2≠0” 【解析】选 C.由 p∨q 为假命题知,p,q 都是假命题,所以 p, q 都为真命题, 故( p)∧( q)为真命题,A 正确;在△ABC 中,A=B?a=b?sinA=sinB,所以 B 正 确;由 p 为真知,p 为假,所以 p∧q 为假,反过来,若 p∧q 为假,则 p 与 q 都假 或一个为假,所以 p 不一定为真,故“ p”为真是“p∧q”为假的充分不必要 条件,所以 C 错误;因为 x=y=0 的否定是 x≠0 或 y≠0,即实数 x,y 中至少有一 个不为 0,所以 D 正确. 10.【思路点拨】把问题转化为方程 x2+bx+c=0 有根的情况解答. 【解析】选 A.若 c<0,则Δ=b2-4c>0,所以? x0∈R,使 f(x0)<0,成立.若? x0∈ R,使 f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,即 b2-4c>0 即可,所以当 c=1,b=3 时,满足Δ =b2-4c>0,所以“c<0”是“? x0∈R,使 f(x0)<0”的充分不必要条件,故选 A. 【误区警示】解答本题易误选 C,出错的原因就是不能进行合理转化,尤其反
-7-

推时,不知道举反例,而导致误选 C. 11.【解析】由题意,知 3∈A 可以,若 1∈A,则 5∈A,若 2∈A,则 4∈A,所以具 有 性 质 P 的 集 合 A 有

{3},{1,5},{1,3,5},{2,4},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共 7 个. 答案:7 12.【解析】由题意,知“? x∈R,x2+(a-3)x+4≥0”是真命题. 故Δ=(a-3)2-16≤0,即 a2-6a-7≤0, 解得-1≤a≤7,即 a∈[-1,7]. 答案:[-1,7] 13.【解析】因为 A= x
1 8

< 2?x <

1 2

={x|2-3<2-x<2-1}={x|1<x<3},

B={x|log2(x-2)<1}={x|0<x-2<2}={x|2<x<4},所以 A∪B={x|1<x<4}. 答案:{x|1<x<4} 【加固训练】设全集 U=R,A={x|2(x ?1) <2},B={x|log1 (x2+x+1)>-log2(x2+2)},
2 2

则图中阴影部分表示的集合为

.

【 解 析 】 由 (x-1)2<1, 得 log1 (x2+x+1)>-log2(x2+2)
2

0<x<2, 故 集 合

A={x|0<x<2}; 由

=log1 (x2+2),
2

-8-

又 y=log1 x 为减函数,
2

得 0<x2+x+1<x2+2,解得 x<1, 故集合 B={x|x<1}. 图中的阴影部分为集合 A∩(?UB). A∩(?UB)={x|0<x<2}∩{x|x≥1} ={x|1≤x<2}. 答案:{x|1≤x<2} 14.【思路点拨】先分别按 p,q 为真确定 a 的取值范围,再由题意确定 a 的取 值范围. 【解析】 若 p 为真,则 f(0)· f(1)=-1· (2a-2)<0,即 a>1,若 q 为真,则 2-a<0, 即 a>2,所以 q 为真时,a≤2,故 p∧ q 为真时,1<a≤2. 答案:(1,2] 15.【解析】根据四种命题的关系,结论①正确;②中命题 p 为真命题、q 为假 命题,故 p∨q 是真命题,结论②正确;根据或命题的真假判断方法知结论③正 确; ④中命题的逆命题是“若 a<b,则 am2<bm2”,这个命题在 m=0 时不成立,结论 ④不正确. 答案:①②③ 16.【解析】(1)当 a=1 时,A={x|-3<x<5}, B={x|x<-1 或 x>5}. 所以 A∩B={x|-3<x<-1}.
-9-

(2)因为 A={x|a-4<x<a+4}, B={x|x<-1 或 x>5},且 A∪B=R, 所以 ?
?a ? 4 ? ?1, ?1<a<3. ?a ? 4 ? 5

所以实数 a 的取值范围是(1,3). 17.【解析】命题 p 为真时,实数 m 满足Δ1=m2-4>0 且-m<0,解得 m>2;命题 q 为真时,实数 m 满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得 1<m<3. p∨q 为真命题、p∧q 为假命题,等价于 p 真且 q 假或者 p 假且 q 真. 若 p 真且 q 假,则实数 m 满足 m>2 且 m≤1 或 m≥3,解得 m≥3; 若 p 假且 q 真,则实数 m 满足 m≤2 且 1<m<3, 解得 1<m≤2. 综上可知,所求 m 的取值范围是(1,2]∪[3,+≦). 18.【解析】(1)A={x|2<x<3}, 当 a= 时,B= x
2 1 2 1 1 2

< <
9 4

9 4

.

?UB= x x ≤ 或 x ≥ (?UB)∩A= x
9 4

,

≤x<3 .

(2)由若 q 是 p 的必要条件知 p? q,可知 A? B. 由 a2+2>a 知 B={x|a<x<a2+2}. 所以

a ≤ 2, 解得 a≤-1 或 1≤a≤2. a2 + 2 ≥ 3,

即 a∈(-≦,-1]∪[1,2].
- 10 -

【加固训练】已知 p: |1 ?

x ?1 2 2 | ≤2;q:x -2x+1-m ≤0(m>0),且 ? p 是 ? q 的必 3

要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 【解析】由 x2-2x+1-m2≤0(m>0), 得 1-m≤x≤1+m, 故 ? q 对应的集合为 A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}. 由 |1 ?
x ?1 | ≤2,得-2≤x≤10, 3

故 ? p 对应的集合为 B={x|x>10 或 x<-2}. 因为 ? p 是 ? q 的必要不充分条件, 所以 A
? m ? 0, B,即 ? ?1 ? m ? ?2, 解得 m≥9. ?1 ? m ? 10, ?

【一题多解】因为 ? p 是 ? q 的必要不充分条件, 所以 p 是 q 的充分不必要条件. 由 x2-2x+1-m2≤0(m>0), 得 1-m≤x≤1+m, 故 q 对应的集合为 Q={x|1-m≤x≤1+m}. 由 |1 ?
x ?1 | ≤2,得-2≤x≤10, 3

故 p 对应的集合为 P={x|-2≤x≤10}. 因为 p 是 q 的充分不必要条件,

- 11 -

所以 P

? m ? 0, Q,即 ? ?1 ? m ? ?2, 解得 m≥9. ?1 ? m ? 10, ?

【方法技巧】条件、结论为否定形式的命题的求解策略 处理此类问题一般有两种策略: 一是直接求出条件与结论,再根据它们的关系求解. 二是先写出命题条件与结论的否定,再根据它们的关系求解. 如果 p 是 q 的充分不必要条件,那么 ? p 是 ? q 的必要不充分条件;同理,如 果 p 是 q 的必要不充分条件,那么 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,如果 p 是 q 的充要条件,那么 ? p 是 ? q 的充要条件.

x2 ? x ? 6 ≤ 0, 19.【解析】(1)由 2 得 q:2<x≤3. x + 2x ? 8 > 0,
当 a=1 时,由 x2-4x+3<0,得 p:1<x<3, 因为 p∧q 为真,所以 p 真,q 真. 由

2 < ≤ 3, 得 2<x<3, 1 < < 3,

所以实数 x 的取值范围是(2,3). (2)由 x2-4ax+3a2<0, 得(x-a)(x-3a)<0. ①当 a>0 时,p:a<x<3a, 由题意,得(2,3] 所以 (a,3a),

a ≤ 2, 即 1<a≤2; 3a > 3,
- 12 -

②当 a<0 时,p:3a<x<a, 由题意,得(2,3] 所以 (3a,a),

3a ≤ 2, 无解. a>3

综上,可得 a∈(1,2]. 20. 【思路点拨】 充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0 或 a=1 作为条件 →必要性:ax2+2x+1=0 有且只有一个负数根作为条件. 【证明】充分性:当 a=0 时,方程为 2x+1=0, 其根为 x=- ,方程只有一负根.
2 1

当 a=1 时,方程为 x2+2x+1=0,其根为 x=-1,方程只有一负根. 当 a<0 时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根, 且 <0,方程有一正一负两个根.
a 1

必要性:若方程 ax2+2x+1=0 有且只有一负根. 当 a=0 时,符合条件. 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 有实根, 则Δ=4-4a≥0,所以 a≤1, 当 a=1 时,方程有一负根 x=-1. 当 a<1 时,若方程有且只有一负根, 则

a < 1, 1 所以 a<0. < 0,
a

综上,方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负根的充要条件为 a≤0 或 a=1. 21. 【解 析】 记 p 的 取值范 围是 I, 原 题可作 为命 题 : 若 p ∈ I, 则函 数
- 13 -

f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在 区 间 [-1,1] 上 至 少 存 在 一 个 实 数 x0, 使 f(x0)>0. 若函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]上对任意的 x 都有 f(x)≤0, 则 p∈?
R I.

由对任意的 x 都有 f(x)≤0,

f(?1) ≤ 0, 2p2 ? p ? 1 ≥ 0, 结合图形知 ? f(1) ≤ 0 2p2 + 3p ? 9 ≥ 0
? p≤-3 或 p≥ ,
2 3

即?

R I=

p p ≤ ?3 或 p ≥
3 2

3 2

,
3 2

所以 I= ?3,

,故所求 p 的取值范围为 ?3,

.

【加固训练】已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0}, B= y y = x 2 ? x + , 0 ≤ x ≤ 3 .
2 2 1 5

(1)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. (2)当 a 取使不等式 x2+1≥ax 对任意 x 恒成立的最小值时,求(?RA)∩B. 【解析】由 y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0,得 (y-a)(y-a2-1)>0, 由于 a2+1-a= a ?
1 2 3 2

+ >0,
4

所以 A=(-≦,a)∪(a2+1,+≦). 集合 B 为函数 y= x2-x+ ,0≤x≤3 的值域,二次函数 y= x2-x+ 的对称轴方程
2 2 2 2 1 5 1 5

为 x=1,故在[0,3]上,当 x=1 时函数值最小,当 x=3 时函数值最大,故可得 B=[2,4].
- 14 -

(1)若 A∩B=?,则只要 a2+1≥4 且 a≤2 即可,解得 a≤- 3或 3≤a≤2, 即实数 a 的取值范围是(-≦,- 3]∪[ 3,2]. (2)不等式 x2+1≥ax 对任意 x 恒成立的充要条件是 a2-4≤0,解得-2≤a≤2, 最 小 a 值 为 -2, 此 时 A=(- ≦ ,-2) ∪ (5,+ ≦ ), ? RA=[-2,5], 所 以 ( ? RA) ∩ B=[2,4].

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- 15 -


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