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基本不等式课件


这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个 风车,代表中国人民热情好客。

思考:这会标中含有 怎样的几何图形? 思考:你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系?

D

探究1:
1、正方形ABCD的
<

br />a ?b
2

2

b
G F E C H

a ?b 面积S=_____
2

2

2、四个直角三角形的

A

a

2ab 面积和S’ =__
3、S与S’有什么

样的不等关系?
B

S___>__S′

问:那么它们有相等的情况吗?

D b G A H

D

a 2 ? b2
F
E a a C A E(FGH) b C

B

B

重要不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有 2 2

a ? b ? 2ab

当且仅当a=b时,等号成立。

思考:你能给出不等式 a 2 ? b 2≥2ab 的证明吗?

证明:(作差法) a ? b ? 2ab ? (a ? b)
2 2

2

当a ? b时
当a ? b时
2

(a ? b) ? 0
2
2

(a ? b) ? 0

所以(a ? b) ≥0
所以a ? b ≥2ab.
2 2

结论:一般地,对于任意实数a、b,总有

a ? b ≥2ab
2 2

当且仅当a=b时,等号成立
适用范围: a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?
2 2 ( a ) ? ( b ) ≥2 a ? b 替换后得到:

即:

a ? b≥2 ab

a?b 即: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗?

a?b 证明:要证 ≥ ab 2
只要证

a?b 证明不等式: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2
分 析 法
① ②
2

a ? b≥ _______ 2 ab _____ 要证①,只要证 a ? b ? 2 ab ≥0
2

(a ? 0, b ? 0, a ? ( a ) , b ? ( b ) )
要证②,只要证

(___ a ? ___) b ≥0
2



显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

基本不等式
特别地,若a>0,b>0,则
≥ a ? b _____ 2 ab

a?b 通常我们把上式写作: ab≤ (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.

适用范围: a>0,b>0

a?b 在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______

BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB, 所以 ? DC AC

所以DC 2 ? BC ? AC ? ab

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______
≥ OD_____CD >

③OD与CD的大小关系怎样?

a?b ≥ ab 2

几何意义:半径不小于弦长的一半

填表比较:

a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0

适用范围 文字叙述 “=”成立条件

a,b∈R

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a =b

a =b

注意从不同角度认识基本不等式

例1:(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最 A D 短的篱笆是多少?

解:如图设BC=x ,CD=y , 若x、y皆为正数, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.

y
B

x

C

x ?则当 y xy的值是常数P时, ? x ? y≥2 100 ? 20, ? ≥ xy 2当且仅当x=y时, ? 2( x ? y)≥40 x+y有最小值_______. 2 P 当且仅当 x=y 时,等号成立 此时x=y=10.
x ?? yxy ≥2 xy ? 2 P? x ? 10 10m时,所用的篱笆 因此,这个矩形的长、宽都为 ? 100 解? ,可得 ? 最短,最短的篱笆是 40m. ? x? y ? y ? 10

例1:(2)如图,用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面 积最大,最大面积是多少? A D

解:如图,设BC=x ,CD=y ,
则 2( xx +、 y)= 36 , x + y =18 若 y皆为正数,
B

y

x

C

则当x+y的值是常数 矩形菜园的面积为 xy m2S时, 当且仅当 =y时, x ? y x18 ? xy ≤ ? ?1 9 2 得 xy ≤ 81 2 2 S ; xy有最大值 _______ 4 当且仅当x=y时,等号成立 即x=y=9 x? y S 1 2 因此,这个矩形的长、宽都为 xy ≤ ? ? xy≤ 9m S 时, 4 2 2 2 菜园面积最大,最大面积是 81m

已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4

利用基本不等式求最值时,要注意
①各项皆为正数; ②和或积为定值; ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”

变式:如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 花园的面积最大,最大面积是多少?
解:如图,设BC=x ,CD=y ,
则篱笆的长为 x +2y= 24 矩形花园的面积为xy x ? 2y 24 2 xy ? ≥ ? ≥ 2 xy 2 2 得 144≥2xy 即 xy ≤ 72 m2
B A D

y

x

C

当且仅当 x=2y 时,等号成立 即x=12,y=6 x ? 12 ? x ? 2 y ? 24 ?12m 因此,这个矩形的长为 、宽为6m时, 解? ,可得 ? 花园面积最大,最大面积是 ? x ? 2y ? y ? 672m2

变式:如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 花园的面积最大,最大面积是多少?
解:如图,设BC=x ,CD=y ,
则篱笆的长为 x +2y= 24 矩形花园的面积为xy x ? 2 y 24 ? ? 12 ? x ? 2 y≤ 2 2
x + 2 y不是 =24为 定值. 即 xy ≤ 72
A D

y
B

m2

x

C

得 2xy ≤ 144

当且仅当 x=2y 时,等号成立 即x=12,y=6

因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时, 花园面积最大,最大面积是72m2

变式:如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 花园的面积最大,最大面积是多少?
分析:设AB=x ,BC=24-2x ,
A D

x
B

24 ? 2 x

C

变式:如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 花园的面积最大,最大面积是多少?
解:设AB=x ,BC=24-2x ,
矩形花园的面积为x(24-2x) m2
1 x(24 ? 2 x) ? ? 2 x(24 ? 2 x) (其中2x+(24-2x)=24 是定值) 2 1 2 x ? 24 ? 2 x 2 ≤ ?( ) ? 72 2 2

当且仅当2x=24-2x,即x=6时,等号成立 因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时, 花园面积最大,最大面积是72m2

变式:如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 花园的面积最大,最大面积是多少?
解:设AB=x ,BC=24-2x ,
矩形花园的面积为x(24-2x) m2

令y ? x(24 ? 2 x)

则y ? 24 x ? 2 x 2 ? ?2( x ? 6)2 ? 72 (0 ? x ? 12)
当x=6时,函数y取得最小值为72
因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时, 花园面积最大,最大面积是72m2

小结:
1. 两个重要的不等式

(1)a, b ? R,那么a 2 ? b2≥2ab ,当且仅当a ? b时,等号成立

a?b (2) ab≤ (a >0,b>0),当且仅当a ? b时,等号成立。 2 2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4

求最值时注意把握 “一正,二定,三相等”

作 业
课本P100

习题3.4 A组 第2、3题

思考题
1 1. 求函数 f(x)=x + x+1 (x> -1) 的最小值. 2. 若 0<x< 1 2 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.

1 1. 求函数 f(x)=x + x+1 (x> -1) 的最小值. 解: ∵ x>-1, ∴x+1>0. 1 =(x +1)+ 1 -1 f ( x )= x + ∴ x+1 x+1
≥2

1 (x+1)? x+1 -1 =1,

当且仅当 x+1= x1 +1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.

2. 若 0<x< 1 2 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值. 分析: 2 x+(1-2x) 不是 =1为 常数. 1 解: ∵0<x< 2 , ∴1-2x>0. 1 ∴y=x(1-2x)= 2 ?2x?(1-2x) 1 2x+(1-2x) ]2 1 ≤ ?[ = 8. 2 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 1. ∴当 x = 1 时 , 函数 y = x (1 2 x ) 的最大值是 8 4
配凑系数


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