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2[1].2.3 直线与平面平行的性质1


复习:线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线 平行,那么这条直线和这个平面平行。 a a ?? b?? a∥? b a∥ b

注明:

?

1、定理三个条件缺一不可。 2、简记:线线平行,则线面平行。 3、定理告诉我们: 要证线面平行,得在面内找 一条线,使线线平行。

r /> 知识探究(一):直线与平面平行的性质分析

思考1:如果直线a与平面α 平行,那么直 线a与平面α 内的直线有哪些位置关系? a a α

α

思考2:若直线a与平面α 平行,那么在 平面α 内与直线a平行的直线有多少条? 这些直线的位置关系如何?
2010年12月1日

思考3:如果直线a与平面α 平行,那么 经过直线a的平面与平面α 有几种位置关 系?
a a

α

α

2010年12月1日

探研新知

如果一条直线a与平面α 平行,在什么条 件下直线a与平面α 内的直线平行呢?

答:由于a与平面α 内的任何直线无公共 点,所以过直线a的某一平面,若与平 面α 相交,则直线a就平行于这条交线。

已直?? ? ? ? b 知线 , ? ?? : a a , ? 求ab 证/ :/

? 证明: a//

?没 点 a 有 与公 ? 共
?

?

又 b? 因在 为 内

a

?没 点 ab有 与公 共 ? 又a b 在面 ?与 都平? 内

b

? // b a

且有共 没公点

求证:a∥b.
证明:(反证法). 假设直线a不平行于直线b.

o
∴ 直线a与直线b相交,假设 交点为O,则a∩b=O. ∴a∩α=O,这与“a∥α”矛盾 . ∴a∥b.

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平 面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
a 图形 b β

α
符号语言:

a //?, ? ?, ? ?b a ? ?

a // b.

作用: 判定直线与直线平行的重要依据。 关键: 寻找平面与平面的交线。
上述定理反映了直线和平面平行的一个性质,其内容 可简述为“线面平行,则线线平行”.

线∥面

线∥线

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直线和平面平行的判定定理: 直线与直线平行 直线与平面平行

直线和平面平行的性质定理: 注意:

平面外的一条直线只要和平面内的任一条直 线平行,则就可以得到这条直线和这个平面平行; 但是若一条直线与一个平面平行,则这条直线并 不是和平面内的任一条直线平行,它只与该平面 内与它共面的直线平行.

例题示范 例1:有一块木料如图,已知棱BC平行于面 A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的 一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?(2)所 画的线和面AC有什么关系? 解:(1)过点P作EF∥B’C’, 分别交棱A’B’,C’D’于点E, F。连接BF,CE,则 D1 E EF,BF,CE就是应画的线。
P

C1

A1
D

F

B1
C B

A

例题示范 例2:有一块木料如图,已知棱 BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面 A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开,应 怎样画线?(2)所画的线和面AC有什么关系?

(2)因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平 面A'C'交于B'C',所以BC∥B'C',由(1)知, EF∥B'C',所以,EF∥BC,因此,EF//BC, EF?平面AC,BC?平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。

探究: 变式:如果AD∥BC,BC∥面A′C′,那么,AD 和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关 系.为什么?

例题示范 例2:已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面。 第一步:将原题改写成数学 符号语言 如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α. 第二步:分析:怎样进行平 行的转化?→如何作辅助平 面? 第三步:书写证明过程

例题示范

如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与 平面α相交,交线为c. 因为a//α,a ?β ,α ∩ =c, β 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c ?α, b? α, 所以 b// α。

例3、已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD
外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,

画出过G和AP的平面。
P M
G

D H A
O

C

B

例4:

长方体C1 ABCD - 1 中,点 B 1 A D B PBB 、 ?(异于 B ) 11 1 PA1 M ? 1 N ? ?, BA PC ? , BC 求证: MNABCD // 平面
D 1 C 1

分析 证法1

A1

B 1

P M D N C

证法2
A B

例4:证 明
连结 、 1C1 AC A 长方体中A//C1C ? A C1 // AC A 1 1 AC?面 1C1 A A C1 ?面 1C1 A 1
? // A 1B AC面1 C AC 面 ? ACP
A A1

D 1

C 1

B 1 P M D N C

B

AB PA M ? ? 1 ? 面 ? 1 面C ? ?? ACP A 1B MN PC BC N ? 1? ?

? AC // MN

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

?面 MN // ABCD

证法2

(略写)
A1

D 1

C 1

利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质
PM PB ?PBM∽ ?AA1 M ? ? MA AA1 PN PB ?PBN ∽?CC1 N ? ? NC CC1

B 1

P M D N C

A

B

PM PN ? ? ? AC // MN MA NC

CC1 ? AA1

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD
证法1

?面 MN // AB

练习 P62习题5 已知:如图,AB//平面 ? ,AC//BD,且 AC、BD与 ? 分别相 交于点C, D. 求证:AC=BD
证明:

AA定 C C 一 / ? / B与平 DB 个 D 面 确D A
A/平? B 面 / A? 面 B 平D A
平 面D 面 AC ? D 平 ?

? A /C B/ D ?

?

ABCD为 平行四边形

A /B C/ D C B ? A?D

?

四、课堂练习:

(1)以下命题(其中a,b表示直线,?表示平面

①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?,b??,则a∥b
其中正确命题的个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

填空:
(1)若两直线a、b异面,且 a ∥ α,则b与
α的位置关系可能是
或b与 α相交 b ∥ α,或b ? α,

(2)若两直线a、b相交,且a ∥ α,则b与 α的位置关系可能是 b ∥ α,b与 α相交

2.判断下列命题的真假
(1)过直线外一点只能引一条直线与 这条直线平行.

(真)

(2)过平面外一点只能引一条直线与 这个平面平行. (假) (3)若两条直线都和第三条直线垂直, 则这两条直线平行. (假)
(4)若两条直线都和第三条直线平行, 则这两条直线平行. ( ) 真

练习:
如果一条直线和一个平面平行,则这条直线( )

A 只和这个平面内一条直线平行;
B 只和这个平面内两条相交直线不相交; C 和这个平面内的任意直线都平行; D 和这个平面内的任意直线都不相交。

D

小结
线面平行的判定定理
线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

线面平行的性质定理
线面平行 线线平行

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。

作业 1.一条直线和两个相交平面平行,求证:它和这 两个平面的交线平行。 已知直线a∥平面α,直线 a∥平面β ,平面α?平面 β =b,求证a//b.
b a

b c a ? ? d ? ?

2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 D1 A1 P . Q B1 C
1

D
A B

C

练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 解析: 连结AB1、AD1, A1 P D1 . Q B1 C
1

D
A B

C

练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 解析: 连结AB1、AD1, D1 A1 P . Q B1 C
1

∵点P是面AA1D1D的中心,
∴点P是 AD1的中点,

D
A B

C

练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 解析: 连结AB1、AD1, D1 A1 P . Q B1 C
1

∵点P是面AA1D1D的中心,
∴点P是 AD1的中点, ∵PQ//面AB1,

D
A B

C

练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 解析: 连结AB1、AD1,
2 2

. Q B1 C
1

D1 A1 P

∵点P是面AA1D1D的中心,
∴点P是 AD1的中点, ∵PQ//面AB1, ∴PQ//AB1,

D
A B

C


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