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编辑2012年高考文科数学试题分类汇编--三角函数(含答案)


2012 高考试题解析分类汇编:三角函数(文科)
一、选择题 1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 (A) 向左平移 1 个单位 1 (C) 向左平移 个单位 2 【答案】C (B) 向右平移 1 个单位 1 (D) 向右平移 个单位 2 1 ,平移 y?cos 2 x ? y

? c o sx (? 2 左+1 1) 2

2.【2012 高考新课标文 9】已知 ω>0,0 ? ? ? ? ,直线 x ?

?

4 图像的两条相邻的对称轴,则 φ= π π π 3π (A) ( B) (C) (D) 4 3 2 4 【答案】A 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题. ? ? ? 5? ? 【解析】由题设知, = ? ,∴ ? =1,∴ ? ? = k? ? ( k ? Z ), 4 2 ? 4 4 ? ? ∴ ? = k? ? ( k ? Z ),∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? = ,故选 A. 4 4 x ?? 3.【2012 高考全国文 3】若函数 f ( x) ? sin (? ?[0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? 3 2? 3? 5? ? (A) (B) (C) (D) 3 2 3 2 【答案】C

和x ?

5? 是函数 f(x)=sin(ωx+φ) 4

【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质。 【解析】由 f ( x) ? sin
x ?? (? ? ?0, 2? ?) 为偶函数可知, y 轴是函数 f ( x) 图像的对称轴,而三 3

角 函 数 的 对 称 轴 是 在 该 函 数 取 得 最 值 时 取 得 , 故
f (0) ? sin

?
3

? ?1 ?

?
3

?

?
2

? k? ? ? ?

3? 3? , ? 3k? (k ? Z ) ,而 ? ? ? 0, 2? ? ,故 k ? 0 时, ? ? 2 2 3 ,则 sin 2? ? 5 12 24 (C) (D) 25 25

故选答案 C。 4【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? (A) ?
24 25 【答案】A

(B) ?

12 25

【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。 【解析】因为 ? 为第二象限角,故 cos ? ? 0 ,而 sin ? ? 以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?
3 4 ,故 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ,所 5 5

24 ,故选答案 A。 25 5.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵
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坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【答案】A 【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在 x 轴上的伸缩变换,在 x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换。 【解析】由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 即解析式为 y=cosx+1 ,向左平移一个单位为 y=cos ( x-1)+1, 向下平移一个单位为 y=cos
?? ? ?? ? (x-1),利用特殊点 ? , 0 ? 变为 ? ? 1, 0 ? ,选 A. ?2 ? ?2 ?

6.【2012 高考上海文 17】在△ ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则△ ABC 的形状是( A、钝角三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理,得
a b c ? sin A, ? sin B, ? sin C , 代入得到 a 2 ? b2 ? c 2 , 2R 2R 2R



B、直角三角形

C、锐角三角形

D、不能确定

由余弦定理的推理得 cos C ? 故选择 A.

a 2 ? b2 ? c2 ? 0 ,所以 C 为钝角,所以该三角形为钝角三角形. 2ab

【点评】 本题主要考查正弦定理及其推理、 余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择 定理,如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理,如果出现角度的余弦值就选择余弦定理 . 本题属于中档题. 7. 【2012 高考四川文 5】 如图, 正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC 、
D C

ED 则 sin ?CED ? (
1、
3 10 10

) B、

E

A

B

10 10

C、

5 10

D、

5 15

【答案】B
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[解析]? AE ? 1,正方形的边长也为 1? ED ?
2 EC ? ( EA ? AB) ? CB ? 5 2

AE ? AD ? 2

2

2

CD ? 1 ? cos?CED ? ED ? EC - CD 2 ED ? EC
2 2 2

?

3 10 10

sin ?CED ? 1 ? cos2 ?CED ?

10 10

[点评]注意恒等式 sin2α+cos2α=1 的使用,需要用 α 的的范围决定其正余弦值的正负情况. sin ? ? cos ? 1 8.【2012 高考江西文 4】若 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2 3 3 4 4 A. B. C. D. 4 4 3 3 【答案】B 【解析】先利用同角函数间的关系求出 tan ? ,再利用二倍角公式求出 tan 2? . 因为
sin ? ? cos ? 1 ? , 所 以 2(sin ? ? cos ? ) ? sin ? ? cos ? , 则 sin ? ? ?3cos ? , 所 以 sin ? ? cos ? 2 sin ? 2 tan ? 3 tan ? ? ? ?3 .故 tan 2? ? ? .故选 B. 2 cos ? 1 ? tan ? 4

【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系,二倍角公式等. 体现了考纲中要求会进行简 单的恒等变换,来年关于恒等变换的考查可能会涉及到和与差的三角函数公式 . 熟练掌握三 角公式,灵活变换是解决这类问题的关键.

? 1 9.【2012 高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin 2 ( x ? ) 若 a=f(lg5), b ? f (lg ) 则 4 5 A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1
【答案】C 【解析】先利用三角恒等变换化简 f ( x) 函数解析式,再通过换元寻找 a, b 之间的数量关系.

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? 1 ?? 2 ? 1 ? sin 2 x ? ? 因 为 f ? x ? ? sin 2 ? ? ? ? ? , 不 妨 令 lg5 ? t , 则 lg ? ?t , 所 以 ? 4? 2 2 5 ?
a ? f ? lg 5? ? f ? t ? ?
1 ? sin 2t 1 ? sin 2t ? 1? , b ? f ? lg ? ? f ? ?t ? ? ,所以 a ? b ? 1.故选 C. 2 2 ? 5?

【点评】本题考查三角恒等变换,二倍角公式以及换元思想,综合性较强,体现了考纲中对 于综合能力的考查解决,来年这种题型仍必不可少,涉及知识点多种多样,主要考查考生的 综合素质.本题的难点在于三角函数的变换, 熟练掌握三角函数的各种公式, 并能灵活应用是
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解题的关键. 10.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于 A.
3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

【答案】B 【解析】设 AB ? c ,在△ABC 中,由余弦定理知 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B , 即 7 ? c2 ? 4 ? 2 ? 2 ? c ? cos 60? , c 2 ? 2c ? 3 ? 0,即(c - 3)(c ? 1)=0.又 c ? 0,? c ? 3. 设 BC 边上的高等于 h ,由三角形面积公式 S? ABC ?
3 3 1 1 . ? 3 ? 2 ? sin 60? ? ? 2 ? h ,解得 h ? 2 2 2

1 1 AB?BC ? sin B ? BC ?h ,知 2 2

【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容 . 11.【2012 高考广东文 6】在△ ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? 3 A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D. 2 【答案】B 由正弦定理得:
BC AC 3 2 AC ? ? ? ? AC ? 2 3 ? sin A sin B sin 60 sin 45?

12.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(xA.x=

? ? ? B.x= C.x=4 2 4 【答案】C. 考点:三角函数的对称性。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为三角函数的性质,熟记三角函数的对称轴的公式即可。 ? ? 解答:令 x ? ? ? k? (k ? Z ) , 4 2 3? 则x ? ? k? ( k ? Z ) , 4 ? 当 k ? ?1 时, x ? ? 。 4 二、填空题

? )的图像的一条对称轴是 4 ? D.x=2

? ?? 4 ? 13.【2012 高考江苏 11】 (5 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin(2a ? ) 的值为 6? 5 12 ?
【答案】
17 2。 50
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【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。

【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <
? ?? 4

?
2
?

,∴

?
6

<? ?
3

?
6

<

?
2

?

?
6

=

2? 。 3

∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。 6? 5 6? 5 ? ? ∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = 。 3 6 6 5 5 25
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 3 4 24

??

∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ? ∴ sin(2a ?
?
12 )=sin(2a ?

?

??

7

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=

24 2 7 2 17 ? ? ? = 2。 25 2 25 2 50

14.【2102 高考福建文 13】在△ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°, BC ? 3 , 则 AC=_______. 【答案】 2 . 考点:正弦定理。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为三角形中正弦定理的应用。 a b c 解答:在 ?ABC 中, ? ? ? 2R , sin A sin B sin C BC AC 所以 ? sin ?BAC sin ?ABC 解得 AC ? 2 。 15. 【 2012 高 考 全 国 文 15 】 当 函 数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取 得 最 大 值 时 ,

x ? ___________. 5? 【答案】 6 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题。首先化为单一三角 函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点。 ? 【解析】由 y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) 3 ? ? 5? ? 由 0 ? x ? 2? ? ? ? x ? ? 可知 ?2 ? 2sin( x ? ) ? 2 3 3 3 3 ? 3? 11? ? ? 5? 当且仅当 x ? ? 即x? 时取得最小值, x ? ? 时即 x ? 取得最大值。 3 2 6 3 2 6 16. 【 2012 高 考 重 庆 文 13 】 设 △ ABC 的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , 且 1 a=1,b=2, cos C ? ,则 sin B ? 4
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【答案】

15 4

17. 【2012 高考陕西文 13】 在三角形 ABC 中, 角 A,B,C 所对应的长分别为 a, b, c,若 a=2 ,

? ,c=2 3 ,则 b= 6 【答案】2.
B=

.

【解析】根据余弦定理,得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 22 ? 2 3 ? 2 ? 2 ? 2 3 ?

?

?

2

3 ? 4, 2

所以 b ? 2 . 三、解答题 18.【2012 高考浙江文 18】(本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【答案】 【解析】 (1) 由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 即得 tan B ? 3 , ?bsinA= 3 acosB,
?B ?

?
3

.

( 2 ) ? sinC=2sinA , 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , 由 余 弦 定 理 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,
9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos

,解得 a ? 3 ,? c ? 2a ? 2 3 . 3 19.【2012 高考安徽文 16】(本小题满分 12 分)
ABC

?

设 △

的 内 角

A, B, C

所 对 边 的 长 分 别 为

a, b, c,

, 且 有

2 sin B cos A ? sin A cosC ? cos A sin C 。 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。

【解析】(Ⅰ) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0
2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C ) ? sin B

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? cos A ?

1 ? ? A? 2 3

(II) a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? a ? 3 ? b2 ? a 2 ? c 2 ? B ?
?( 在Rt ? A B 中, D AD ? AB 2 ? BD 2 ? 1 2 3 2 7 ) ? 2 2

?
2

20.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 【答案】 (I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos Asin C) ? sin Asin C , sin B sin( A ? C) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b2 ? ac ,所以 a, b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 ,∴ cos B ? ∴△ ABC 的面积 S ? ac sin B ? ? 1? 2 ?
1 2 1 2

a 2 ? c 2 ? b2 3 7 , ? , sin C ? 1 ? cos2 C ? 4 2ac 4

7 7 . ? 4 4

21.【2012 高考湖南文 18】(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

?

11? 5? 2? 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2( ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? 因为点 ( , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0,即sin( ? ? ) ? 0 . 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? 又? 0 ? ? ? ,? 即?= . ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 2 6 6 3 6 6

12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

又点 在函数图像上, 所以 A sin (0,1)

?

故函数 f (x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ). ? 1, A ? 2 , 6 6

?

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) 12 ? 6 ? 12 ? 6 ? ? ? ? ?

1 3 ? ? cos 2 x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ), ? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? 2 2 3 3

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由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? , k ? z. ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? 12 12 ? ? ?
11? 5? 【点评】 本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期 T ? 2( ? ) ??, 12 12 2? 从而求得 ? ? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A ,从而求出 f(x)的解析式;第二问运 T

用第一问结论和三角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得. 22.【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分)
x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域;

已知函数 f ( x) ? cos 2

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10 x x x 1 1 1 1 [解析](1)由已知,f(x)= cos2 ? sin cos ? ? ( 1 ? cosx) ? sinx ? 2 2 2 2 2 2 2

(Ⅱ)若 f (? ) ?

?

2 ? c o( s x? ) 2 4

? 2 ,2 ? , ? 。…………………6 分 所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ?? ? ? 2 2 ?

(2)由(1)知,f( ? )= 所以 cos( ? ?

2 ? 3 2 cos(? ? ) ? , 2 4 10

?
4

?

3 。 5

所以 sin2? ? ?cos( ? 2?) ? ?cos( 2 ?? ) 2 4 ? 18 7 2 ,…………………12 分 ? 1 ? 2cos( ?? ) ? 1? ? 4 25 25 [点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识, 考查运算能力,考查化归与转化等数学思想. 23.【2012 高考广东文 16】(本小题满分 12 分)
?x ?? ?? ? 已知函数 f ( x) ? A cos ? ? ? , x ? R ,且 f ? ? ? 2 ?4 6? ?3?

?

?

(1)求 A 的值;
? ?? (2)设 ? ? ? ? ?0, ? , ? 2?
4 ? 30 ? f ? 4? ? ? ? ? ? , 3 ? 17 ? 2 ? 8 ? f ? 4? ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 ? 5 ?

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? 2 ?? ? ?? ?? A ? 2 ,解得 A ? 2 。 【答案】(1) f ? ? ? A cos ? ? ? ? A cos ? 4 2 ?3? ? 12 6 ?
4 ? ? ?? ?? 30 15 ? ? ? (2) f ? 4? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? ,即 sin ? ? , 3 ? 3 6? 2? 17 17 ? ? ? 2 ? ? ?? 8 4 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ,即 cos ? ? 。 3 ? 6 6? 5 5 ? ?

? ?? 因为 ? ? ? ? ?0, ? ,所以 c o ? s ? ? 2?

? 1

s2 i ?n ?

8 ,s i n ?? 17

? 1

3 c2o ?s ? , 5

所以 c o s ?( ? ? ? )

c? os

c ?o ?s

?s i n ??s i n ?

8 4 15 3 13 ? ? ?。 ? 17 5 17 5 85

24.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【命题意图】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比 数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。
1 ……6 分 3 2 3 (2)解法一: b2 =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin 2 B= 4 2 2 2 2 2 1 a +c -b a +c -ac = 解法二: b2 =ac , = cos B = ,由此得 a 2 +c 2 -ac =ac, 得 a=c 2 2ac 2ac ? 3 所以 A=B =C = , sin A sin C = ……12 分 3 4

【解析】(1)由已知 2 B=A+C ,A+B +C =? , ? B=

?

, cos B=

【点评】第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得 到边之间的关系,再来求最后的结果。 【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内 角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求 解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的 关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关 系,再来求最后的结果。 25.【2012 高考重庆文 19】(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ? 得最大值 2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为

?
6

处取

? (I)求 f ( x) 的解析式; (II)求函数 2

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g ( x) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域。

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 4 4 2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? 26.【2012 高考江苏 15】(14 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .

3 ? cos 2 x ? 1 2

(1)求证: tan B ? 3tan A ;
5 ,求 A 的值. 5 ??? ? ???? ??? ? ??? ? 【答案】 解: (1) ∵ AB ? AC ? 3BA? BC , ∴ AB?AC? 即 AC? cos A=3BA?BC? cos B , cos A=3BC? cos B 。

(2)若 cos C ?

由正弦定理,得

AC BC ,∴ sin B? = cos A=3sin A? cos B 。 sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A> 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 =3? cos B cos A
? 5? 5 2 5 (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = ? ? 5 ? 5 5 ? ?
2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 4 tan A 1 由 (1) ,得 tan A= ? 。 ? ?2 ,解得 tan A=1, 2 3 1 ? 3tan A

∴ tan ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴

∵ cos A> 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式 证明。
??? ? ???? ??? ? ??? ?

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(2)由 cos C ?

5 ?? ? ? A ? B ?? ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ? ,从而根据 5

两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。 27.【2012 高考天津文科 16】(本小题满分 13 分) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的分别是 a,b,c。已知 a=2.c= 2 ,cosA= (I)求 sinC 和 b 的值;
д (II)求 cos(2A+ )的值。 3
2 . 4

【解析】(I) cos A ? ?

2 14 , A ? (0, ? ) ? sin A ? 4 4 a c c sin A 7 ? ? sin C ? ? sin A sin C a 4 2 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? b ? 2 ? 0 ? b ? 1 7 3 , cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? (II) sin 2 A ? 2sin A cos A ? ? 4 4 cos(2 A ? ) ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 3 3 3

?

?

?

?3 ? 21 8

28.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........
?ABC 中,内角 A.B.C 成等差数列,其对边 a, b, c 满足 2b2 ? 3ac ,求 A .

【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用。该试题从整体看保持了往年的解题风 格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形 中的角的问题。试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角 B ,然后利 用正弦定理与三角求解运算得到答案。 【解析】由 A.B.C 成等差数列可得 2B ? A ? C ,而 A ? B ? C ? ? , ? 2? 故 3B ? ? ? B ? 且 C ? ? A, 3 3 而由 2b2 ? 3ac 与正弦定理可得 2sin 2 B ? 3sin A sin C ? 2 ? sin 2

?

3 3 2? 2? 所以可得 2 ? ? 3(sin cos A ? cos sin A)sin A ? 3 cos A sin A ? sin 2 A ? 1 ? 4 3 3

? 3sin(

2? ? A)sin A 3

3 1 ? cos 2 A ? 1 2? ? ? 7? sin 2 A ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? ,由 0 ? A ? , ? ? ? 2A ? ? 2 2 6 2 3 6 6 6

故 2A ?

?
6

?

?
6

或 2A ?

?
6

?

5? ? ? ,于是可得到 A ? 或 A ? 。 6 6 2

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