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12-13-2概率论与数理统计试题A及答案


山东建筑大学试卷
装订线 二、选择题(每题 3 分,共 18 分) 2012 至 2013 学年第 2 学期 考试时间: 120 分钟 1、设 A 、 B 为两事件,则 P ( A ? B) ? A) P ( A) ? P( B) ; C) P ( A) ? P ( AB) ; 总分 A) E (2 X ? 1) ? 2np ;

共 3

页第 1 页

课程名称: 概率论与数理统计 (A)卷 考试形式: (闭卷) 年级: 题号 分数 学号 一、填空题(每空 3 分,共 24 分) 1、 设事件 A , 且 P( A ? B) ? 0.8 , 则 P( B) ? ______. P( A) ? 0.2 , B 相互独立, 2、设在一次试验中,事件 A 发生的概率为 p ,现进行 n 次独立试验,则 A 至 少发生一次的概率为 .
2

B) P ( A) ? P ( B) ? P ( AB) ; D) P ( A) ? P ( B) ? P ( AB) . B) E (2 X ? 1) ? 4np ;

专业: 全校各专业 ;层次: (本科) 一 二 三

2、设随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布,则 C) D(2 X ? 1) ? 2np(1 ? p) ;D) D(2 X ? 1) ? 4np(1 ? p) . 3 、 设 随 机 变 量 X ,Y 独 立 同 分 布 且 X 的 分 布 函 数 为 F ? x? , 则

Z ? max ? X , Y ? 分布函数为( )
A) F
2

? x? .
2

B) F ? x ? F ? y ? . D) ? ?1 ? F ? x ? ? ?? ?1 ? F ? y ? ? ?.

3、设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松(Poisson)分布,则 E ( X ) ? 4、设随机变量 X 服从参数为 ? ( ? ? 0 )的指数分布,且 P{ X ? 1} ? 装订线 姓名 参数 ? = 5、设随机变量 X 和 Y 相互独立,且 X 和 Y 的概率分布分别为

C) 1 ? ? ?1 ? F ? x ? ? ? .

?0 X ~?1 ? ? ?2 则 P{ X ? Y ? 2} ?
班级

1 1 4

2 1 8

3? ? 1?; ? 8?

? ?1 0 Y ~? 1 1 ? ? ?3 3

1? ? 1? ? 3?

1 4、将长度为 1m 的木棒随机地分成两段,两段的长度分别为 X 和 Y ,则 X 和 ,则 Y 的相关系数为 ( ) 2 1 1 A)1; B) ; C) ? ; D) ?1 2 2 2 2 5、设一批零件的长度服从正态分布 N ( ? , ? ) ,其中 ? , ? 均未知. 现从中随
机抽取 16 个零件,测得样本均值 x ? 20(cm) ,样本标准差 s ? 1(cm) ,则 ? 的置信度为 0.90 的置信区间是 A) (20 ?

1 1 1 1 t0.05 (16), 20 ? t0.05 (16)) ;B) (20 ? t0.1 (16), 20 ? t0.1 (16)) ; 6、设 X 和 Y 相互独立,且 E ( X ) ? 2 , E (Y ) ? 3 , D( X ) ? D(Y ) ? 1 ,则 4 4 4 4 2 1 1 1 1 E[( X ? Y ) ] ? _ C) (20 ? t0.05 (15), 20 ? t0.05 (15)) ;D) (20 ? t0.1 (15), 20 ? t0.1 (15)) 4 4 4 4 2 7、 设 X1 , X 2 ,? X m 为来自二项分布总体 B(n, p) 的简单随机样本,X 和 S 分 6、设 X 1 , X 2 , ? , X n 是正态总体简单随机样本,样本均值和样本方差分别为 2 2 别为样本均值和样本方差,若 X ? kS 为 np 的无偏估计量,则 k ? . X ?? 2 2 ) 8、设总体 X ~ N ( ? , ? ) , ( X 1 , X 2 ,…, X n )为取自 X 的一个简单随 X 和 S ,则 n S ~ ( n 2 2 A) t ?n? ; (B) t ?n ? 1? ; C) N ?0,1? ; (D) ? ?n ? 。 X ??

考场

??
i ?1

i

?

装订线

机样本,则

?2



.

山东建筑大学试卷
装订线 三、计算和应用题(58 分) 1、 (8 分)袋中有 5 个球,分别编号 1,2,3,4,5, 从其中任取 3 个球, 求取出的 3 个球中最大号码 X 的概率分布、数学期望、方差与标准差.

共 3 页第 2 页

3、 (12 分)设随机变量 X 和 Y 同分布, X 的概率密度为

学号

?3 2 0 ? x ? 2 ? x f ( x) ? ? 8 其他 ? ? 0
(1)已知事件 A ? { X ? a} 和 B ? {Y ? a} 独立,且 P( A ? B) ? (2)求

3 ,求 a ; 4

1 的数学期望. X2

装订线

姓名

2、 (8 分)设随机变量 X ~ N (0,1) ,求 Y ? 2 X 2 ? 1 的概率密度.

装订线

山东建筑大学试卷
装订线 4、 (10 分) 设箱中有 5 件产品, 其中三件是优质品, 从该箱中任取 2 件, 以X 表示所取得 2 件产品中的优质品数, Y 表示 3 件剩余产品中的优质品件数, (1)求 ( X , Y ) 的概率分布; (2)求 cov(X , Y )

共 3 页第 3 页

学号

? ? ? , 6、 (10 分)设总体 X 的密度函数为 f ( x, ? ) ? ? x ? ?1 ? ? 0,

x ?1

,其中未知参数

x ?1 ? ? 1 , X 1 , X 2 , ?, X n 为取自总体 X 的简单随机样本,求参数 ? 的矩估计量 和极大似然估计量.

装订线

姓名

5、 ( 10 分 ) 设 ( X , Y ) 是 二 维 随 机 变 量 , X 的 边 缘 概 率 密 度 为

?3 x 2 f X ( x) ? ? ? 0

0 ? x ?1 其它

,在给定 X ? x ( 0 ? x ? 1 )的条件下,Y 的条件

?3 y2 0 ? y ? x ? 概率密度为 fY | X ( y | x) ? ? x 3 , (1)求 ( X , Y ) 的概率密度 其它 ? ? 0
(2)求 Y 的概率密度; (3)求 P( X ? 2Y )

装订线

2012-2013 学年第二学期《概率论与数理统计》A 卷 参考答案与评分标准
一、填空题(每空 3 分,共 24 分) 1、0.75;2、 1 ? (1 ? p ) ;3、 6 ;4、 ln 2 ;5、
n

1 2 ;6、3;7、 ?1 ;8、 ? (n) . 6

二、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1、C;2、D;3、A;4、D;5、C ;6、B 三、计算和应用题(58 分) 1、 (8 分)解: X 的概率分布 X ~ ?

4 5 ? ? 3 ? …………4 分 ? 0.1 0.3 0.6 ?

E ( X ) ? 4.5 ,…………5 分, E ( X 2 ) ? 20.7 ,…………6 分
D( X ) ? 0.45 ,…………7 分, ?( X ) ? 0.67082 或
3 5 …………8 分 10

y ? 1? ? 2、 (8 分)解: FY ( y ) ? P{Y ? y} ? P 2 X 2 ? 1 ? y ? P ? X 2 ? ? …………2 分 2 ? ? 当 y ? 1 时, FY ( y) ? 0 ;
? ? 当 y ? 1时, FY ( y ) ? P ?? ? ? y ?1 ?X? 2 y ?1? ? ??? 2 ? ? ?
y ?1 2 y ?1 2

?

?

1 2?

e

?

x2 2

dx

?

2 2?

?0

y ?1 2

e

?

x2 2

dx …………6 分
f Y ( y ) ? FY? ( y ) ? 2 e
? ( y ?1) 4

?

?

1 2 2 y ?1

?

1 2 ? ( y ? 1)

e

1? y 4

1? y ? 1 4 e , ? 所以: f Y ( y ) ? ? 2 ? ( y ? 1) ? 0, ?

y ?1 y ?1

…………8 分
23 1 3 3 2 矛盾,故 0 ? a ? 2 , P( A) ? P( B) ? ? x dx ? 1 ? a …………4 分 a 8 8 4

3、 (12 分)解: (1)若 a ? 0 , P( A) ? P( B) ? 1 ,若 a ? 2 , P( A) ? P( B) ? 0 ,都与 P( A ? B) ?

1 3 ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B) ? 1 ? a 6 …………8 分 64 4

a ? 3 4 …………9 分
(2) E (
2 1 3 1 3 ) ? ? 2 ? x 2 dx ? …………12 分 2 0 X x 8 4

4、 (10 分)解: ( X , Y ) 的概率分布;

Y

X
0 1 2 …………6 分 (II) E ( X ) ?

0 0 0 0

1 0 0

2 0

3

1 10
0 0

3 5
0

3 10

6 …………7 分 5

E (Y ) ?

9 …………8 分 5

E ( XY ) ?

9 9 …………9 分; cov( X , Y ) ? ? …………10 分 5 25

?9 y2 0 ? y ? x ? 1 ? 5、 (10 分)解: (1) f ( x, y ) ? fY | X ( y | x) f X ( x) ? ? x …………3 分 其它 ? ? 0
(2) fY ( y) ?

?

??

??

?? 9 y 2 ln y 0 ? y ? 1 …………7 分 f ( x, y)dx ? ? 其它 0 ?

(3) P( X ? 2Y ) ? 6、 (10 分)解:

?

1

0

dx ?

1 x 2 0

9 y2 1 dy ? …………10 分 x 8

E ( X ) ? ? xf ( x)dx ? ?
??

??

??

1

x?

?
x
? ?1

dx ?

? ? ?1

…………2 分

令 EX ? X ,即

? ? ?1

?? ? X ,得参数 ? 的矩估计量为 ?

X …………4 分 X ?1

似然函数为 L ( ? ) ?

?
i ?1

n

f ( xi , ? ) ?

?n
? n ? ? ? xi ? ? i ?1 ?
? ?1

…………6 分

ln L( ? ) ? n ln ? ? ( ? ? 1)? ln xi …………8 分
i ?1

n

d ln L( ? ) n n ? ? ? ln xi ? 0 d? ? i ?1
?? 得参数 ? 的极大似然估计值为 ? n

? ln xi
i ?1

n

…………10 分


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