当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题.doc


2009 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛 试题参考答案及评分标准
说明: 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 7 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、 步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分。 填空题( ) 1.已知复数 m 满足 m + . 2.设 f ( x ) = .


1 1 = 1 ,则 m 2008 + 2009 = m m

0



1 3 π π cos 2 x + sin x cos x + 2 , x ∈ [? , ] ,则 f (x) 的值域为 2 2 6 4

3 [2, 2 ] 4



3.设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S15 > 0, S16 < 0 ,则 .

S S1 S 2 S , ,L, 15 中最大的是 8 . a1 a 2 a15 a8

4.已知 O 是锐角△ABC 的外心, AB = 6, AC = 10 ,若 AO = x AB + y AC ,且 2 x + 10 y = 5 ,则 .

cos ∠BAC =

1 . 3

5.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别是棱 A1D1 和 CC1 . 的中点.则四面体 O ? MNB1 的体积为

7 . 48

6.设 A U B U C = {1,2,3,4,5,6} ,且 A I B = {1,2} , {1,2,3,4} ? B U C ,则符合条件的 ( A, B, C ) 共 . 有 1600 组. (注: A, B, C 顺序不同视为不同组. )

7.设 y = sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x ,则 | y | 的最小值为 . 8 . 设 p 是 给 定 的 正 偶 数 , 集 合 A p = {x | 2 < x < 2
p p +1

2 2 ?1



, x = 3m, m ∈ N} 的 所 有 元 素 的 和 是

22 p ?1 ? 2 p ?1 .
二、解答题(本题满分 64 分,第 9 题 14 分,第 10 题 15 分,第 11 题 15 分,第 12 题 20 分。 解答题( ) 9.设数列 {a n }( n ≥ 0) 满足 a1 = 2 , a m + n + a m ? n ? m + n = (1)证明:对一切 n ∈ N ,有 a n + 2 = 2a n +1 ? a n + 2 ;

1 (a 2 m + a 2 n ) ,其中 m, n ∈ N, m ≥ n . 2

(2)证明:

1 1 1 + +L+ < 1. a1 a 2 a 2009
1

证明 (1)在已知关系式 a m + n + a m ? n ? m + n = 令 n = 0 ,可得

1 (a 2 m + a 2 n ) 中,令 m = n ,可得 a 0 = 0 ; 2

a 2 m = 4a m ? 2m
令 m = n + 2 ,可得



a 2n+2 + a2 ? 2 =

1 (a 2 n + 4 + a 2 n ) 2



由①得 a 2 n + 2 = 4a n +1 ? 2( n + 1) , a 2 = 4a1 ? 2 = 6 , a 2 n + 4 = 4a n + 2 ? 2( n + 2) , a 2 n = 4a n ? 2n , 代入②,化简得 a n + 2 = 2a n +1 ? a n + 2 . ------------------------------------------7 分

( 2 ) 由 a n + 2 = 2a n +1 ? a n + 2 , 得 (a n + 2 ? a n +1 ) = ( a n +1 ? a n ) + 2 , 故 数 列 {a n +1 ? a n } 是 首 项 为

a1 ? a 0 = 2 ,公差为 2 的等差数列,因此 a n+1 ? a n = 2n + 2 .
于是 a n =
n

∑ (a
k =1

k

? a k ?1 ) + a 0 = ∑ (2k ) + 0 = n(n + 1) .
k =1

n

因为

1 1 1 1 = = ? (n ≥ 1) ,所以 a n n(n + 1) n n + 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +L+ = (1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) = 1? < 1. a1 a 2 a 2009 2 2 3 2009 2010 2010
------------------------------------------14 分 10.求不定方程 x1 + x 2 + x 3 + 3 x 4 + 3 x5 + 5 x 6 = 21 的正整数解的组数. 解 令 x1 + x 2 + x 3 = x , x 4 + x 5 = y , x 6 = z ,则 x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 .

先考虑不定方程 x + 3 y + 5 z = 21 满足 x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 的正整数解.

Q x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 ,∴ 5 z = 21 ? x ? 3 y ≤ 12 ,∴1 ≤ z ≤ 2 .----------------------------------5 分
当 z = 1 时,有 x + 3 y = 16 ,此方程满足 x ≥ 3, y ≥ 2 的正整数解为 ( x, y ) = (10, 2), (7, 3), ( 4, 4) . 当 z = 2 时,有 x + 3 y = 11 ,此方程满足 x ≥ 3, y ≥ 2 的正整数解为 ( x, y ) = (5, 2) . 所以不定方程 x + 3 y + 5 z = 21 满足 x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 的正整数解为

( x, y, z ) = (10, 2, 1), (7, 3, 1), (4, 4, 1), (5, 2, 2) .

------------------------------------------10 分

又方程 x1 + x 2 + x 3 = x ( x ∈ N , x ≥ 3) 的正整数解的组数为 C 2 ?1 , 方程 x 4 + x 5 = y ( y ∈ N , x ≥ 2) 的 x 正整数解的组数为 C y ?1 ,故由分步计数原理知,原不定方程的正整数解的组数为
2
1

2 2 2 C 9 C1 + C 6 C1 + C 3 C1 + C 2 C1 = 36 + 30 + 9 + 6 = 81 . ------------------------------------------15 分 1 2 3 4 1

11.已知抛物线 C: y =

1 2 x 与直线 l: y = kx ? 1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动点,过 P 作抛 2

物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; (2)若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M,N 两点,证明: 证明 (1)设 A( x1 , y1 ) ,则 y1 = 由y=

PM PN

=

QM


QN

1 2 x1 . 2

1 2 x 得 y ′ = x ,所以 y ′ | x = x1 = x1 . 2

于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 y ? y1 = x1 ( x ? x1 ) ,即 y = x1 x ? y1 . 设 P ( x 0 , kx 0 ? 1) ,则有 kx 0 ? 1 = x 0 x1 ? y1 . 设 B ( x2 , y2 ) ,同理有 kx 0 ? 1 = x 0 x 2 ? y 2 . 所以 AB 的方程为 kx 0 ? 1 = x 0 x ? y ,即 x 0 ( x ? k ) ? ( y ? 1) = 0 , 所以直线 AB 恒过定点 Q ( k ,1) . (2)PQ 的方程为 y = ------------------------------------------7 分

kx0 ? 2 1 ( x ? k ) + 1 ,与抛物线方程 y = x 2 联立,消去 y,得 2 x 0 ?k 2kx0 ? 4 ( 2 k 2 ? 2) x 0 ? 2 k x ? x+ = 0. x0 ? k x0 ? k
2

设 M ( x 3 , y 3 ) , N ( x 4 , y 4 ) ,则

x3 + x 4 =

2kx0 ? 4 ( 2 k 2 ? 2) x 0 ? 2 k , x3 x 4 = x0 ? k x0 ? k



PM
要证

PN

=

QM
,只需证明

QN

x 3 ? x 0 k ? x3 = ,即 x 4 ? x0 x 4 ? k


2 x3 x 4 ? (k + x0 )( x3 + x 4 ) + 2kx0 = 0
由①知,

②式左边=

2( 2 k 2 ? 2) x 0 ? 4 k 2kx0 ? 4 ? (k + x0 ) + 2kx0 x0 ? k x0 ? k 2(2k 2 ? 2) x0 ? 4k ? (k + x0 )(2kx0 ? 4) + 2kx0 ( x0 ? k ) = 0. x0 ? k
3

=

故②式成立,从而结论成立.

------------------------------------------15 分

12.设 a, b, c, d 为正实数,且 a + b + c + d = 4 .证明:

a2 b2 c2 d 2 + + + ≥ 4 + ( a ? b) 2 . b c d a
证明 因为 a + b + c + d = 4 ,要证原不等式成立,等价于证明

a2 b2 c2 d 2 4( a ? b ) 2 + + + ≥ a+b+c+d + b c d a a+b+c+d
事实上,

① ----------------5 分

a2 b2 c2 d 2 + + + ? (a + b + c + d ) b c d a =(
=

a2 b2 c2 d2 + b ? 2a ) + ( + c ? 2b) + ( + d ? 2c) + ( + a ? 2d ) b c d a
②----------------10 分

1 1 1 1 (a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? d ) 2 + (d ? a ) 2 b c d a

由柯西不等式知

[

(a ? b)2 (b ? c)2 (c ? d ) 2 (d ? a )2 + + + ](a + b + c + d ) b c d a
③----------------15 分

≥ (| a ? b | + | b ? c | + | c ? d | + | d ? a |) 2
又由 | b ? c | + | c ? d | + | d ? a |≥| b ? a | 知

(| a ? b | + | b ? c | + | c ? d | + | d ? a |) 2 ≥ 4(a ? b) 2
由②,③,④,可知①式成立,从而原不等式成立.



------------------------------------20 分

4


相关文章:
2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛.doc
2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛.doc2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛.doc隐藏>> 2009 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛 试题参考答案及评分标准说明: 说...
2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛
高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com 2009 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛 试题参考答案及评分标准说明: 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设...
2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛
预赛试题预赛试题隐藏>> 2009 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 7 分和 0 分两档;解答题...
2009全国高中数学联赛湖北预赛高一
2009全国高中数学联赛湖北预赛高一_学科竞赛_高中教育_教育专区。2009 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛 试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填...
2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题
2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 ...
2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90...
2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题参考...
2011 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二年级)说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、 步骤正确,在...
2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及...
2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及解析 (高二年级)一、填空...
2015年全国高中数学联合竞赛湖北省高一预赛试卷及答案
2015年全国高中数学联合竞赛湖北省高一预赛试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 (高一年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请...
2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及参考答案
2010 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高一年级)说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;第 9 小题 4 分一档,...
更多相关标签:
33届物理竞赛预赛试题 | 2017安徽数学竞赛预赛 | 2016化学竞赛预赛试题 | 高中化学竞赛预赛试题 | 33届物理竞赛预赛 | 物理竞赛预赛 | 32届物理竞赛预赛试题 | 化学竞赛预赛试题 |