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正弦函数的性质


新余市第六中学 高中数学 必修④

5.3 正弦函数的性质
数学老师:简艳辉 制作人:简艳辉

新余市第六中学 高中数学 必修④
6 5

4

5.3 正弦函数的性质

3

? 观察下图,回答一下问题:

2

/>
1





-

7π 2


-

5π 2


-

3π 2

π
-

π 2

O
1

π 2

π

3π 2



5π 2



7π 2



9π 2





①函数f(x)=sinx的定义域是什么? 正弦函数的定义域是R(实数集) 正弦函数的值域是[-1,1] ②函数f(x)=sinx的值域是什么? ③当x为何值时,函数f(x)有最大值,有最小值? ④当x∈[0,2π]的图像与当x∈[2π,4π]的图像有什么区别? ⑤通过观察图形,函数f(x)的单调区间是什么? ⑥通过观察图形,该图形是否具有对称性,关于什么对称?
2 3 4 5

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函数 定义域 值域 周期性 奇偶性 y=sinx R [-1,1] 最小正周期是 2π 奇函数 π π 当x?[2kπ- ,2kπ+ ](k?Z),函数是单调递增; 2 2 π 3π 当x?[2kπ+ ,2kπ+ ](k?Z),函数是单调递减。 2 2 π 当x=2kπ- (k?Z),最小值是 -1, 2 π 当x=2kπ+ (k?Z),最大值是 1. 2
kπ 2 ( k?Z)对称

新知归纳

单调性

最值

对称性 函数图形关于点(kπ,0)对称,也关于直线 x=

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正弦函数的性质的应用
? 例1 利用五点法画出函数y=-1+sinx的简图,并根据图像讨论它的性质。
解:
x y=sinx y=-1+sinx

列表,根据表中数据画出简图。
0
? 2

?

3? 2

2?

函数 定义域 值域 奇偶性

y=-1+sinx R [-2,0] 既不是奇函数也不是偶函数 2π π π 当x?[2kπ- ,2kπ+ ](k?Z)时,函数是单调增, 2 2 π 3π 当x?[2kπ+ ,2kπ+ ](k?Z)时,函数是单调减 2 2 π 当x=2kπ- (k?Z)时,最小值是-2, 2 π 当x=2kπ+ (k?Z)时,最大值是0 2

0
-1

1

0
-1

-1

0
-1

0
f(x) = sin(x)

-2

1

周期性

π 2 1

π

3π 2



单调性

g(x) = 1 + sin(x)
最值

2

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小试牛刀
? 画出下列函数的简图,并根据图像讨论函数的性质

(1) y ? 3 ? sin x, ( x ?[0,2? ]);(2) y ? 2 ? sin x, ( x ?[0,2? ]).

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正弦函数的定义域
? 例2 (1)求函数 y ? 2 sin x ?1 的定义域; (2)求函数 y ? sin x 在 [ 4 , ? ] 的最大值和最小值。
解:(1) 由于2sinx-1≧0,知sinx≧?
y
1

?

做出y=sinx,x∈[0,2π]的图像可知

2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

5? ,k ?Z 6

π 2

π 2

π

3π 2



x

所以定义域为:

1

? ? ? 5? x 2 k ? ? ? x ? 2 k ? ? , k ? Z ? ? 6 6 ? ?

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正弦函数的定义域
? 例2 (1)求函数 y ? 2 sin x ?1 的定义域; (2)求函数 y ? sin x 在 [ 4 , ? ] 的最大值和最小值。
?

? 解:(2) 由y=sinx, x ?[ ,? ] 知 4 ? ? ? [ 在[ , ] 上递增,在 2 , ? ] 上递减,如图所示 4 2 ? y 故当 x ? 时, ymax ? 1 2 当 x ? ? 时, ymin ? 0
1

π

π

3π 2

x



所以,最大值是1,最小值是0.
1

2

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小试牛刀
? 求函数 y ?

1 的定义域。 1 ? sin x

? 求下列函数的定义域

(1) y ? 2 ? sin x; (2) y ? ? 3sin x.

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正弦函数的周期性与奇偶性
? 例3 求下列函数的周期及判断它的奇偶性

T?

2?

(1) y ? sin

1 1 x ? m sin x ? sin m 是周期函数,也是奇函数,且周期是2π 解:(1)令 ,则 2 2 所以,sin( 1 x ? 2? ) ? sin 1 x 2 2
1 1 sin[ ( x ? 4? )] ? sin x 2 2

1 x; (2) y ? sin x . 2

?

所以, y ? sin

1 x 的周期为4π,且是奇函数 2

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正弦函数的周期性与奇偶性
? 例3 求下列函数的周期及判断它的奇偶性

(1) y ? sin

1 x; (2) y ? sin x . 2
2

解:(2)做出 y ? sin x 的函数图像,如图所示:
y = sin(x)
1



3π 2

π

π 2 1

π 2

π

3π 2



通过观察发现,该函数为偶函数,且周期为π 所以,y ? sin x 的周期为π,且是偶函数

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小试牛刀
? 求下列函数的周期且判断该函数的奇偶性

(1) f ( x) ? sin x ?1; (2) f ( x) ? sin 4x

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正弦函数的单调性及应用
? ? 例4 已知函数 y ? 2 sin( ? 2 x),求
3

(1)单调递增区间;(2)最大值及相应的x的集合。
解:(1) 令? ?
? 2 x在R上是单调递增的 3 3 而y ? sin ?的单调递增区间为

?

? 2 x,则有 ? ?

?

? ? [2k? ?
?

?

?
3

? 2 x ? [2k? ?

?

2

,2k? ?

?

解得 x ? [k? ?

5? ? , k? ? ]( k ? Z ) 12 12

,2k? ? ]( k ? Z ) 2 2

?

2

]( k ? Z ) 即2k? ?

?
2

?

?
3

? 2 x ? 2k? ?

?
2

, (k ? Z )

?函数 y ? 2 sin(

?

3

? 2 x)的单调递增区间为

[k? ?

5? ? , k? ? ]( k ? Z ) 12 12

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正弦函数的单调性及应用
? ? 例4 已知函数 y ? 2 sin( ? 2 x),求
3

(1)单调递增区间;(2)最大值及相应的x的集合。
? 解:(2) ? sin ( ? 2 x)的最大值为 1 3 ? ? y ? 2 sin( ? 2 x)的最大值为 2 3 ? ? 由 ? 2 x ? 2k? ? , (k ? Z ) 3 2 ? 解得 x ? k? ? , (k ? Z ) 12 ? ? ? ? x的集合为? x x ? ? k? , k ? Z ?. 12 ? ?

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小试牛刀
? 求函数 y ? sin(? x) 的单调递增区间; ? 求函数 y ? log1 sin x 的单调递增区间。
2

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正弦函数的值域
? 例5 求下列函数的值域

(1) y ? sin x ? sin x; (2) y ? 2 sin( 2 x ? ), x ? [? , ]. 3 6 6
2

?

? ?

解:(1)令sinx ? t , 则有 -1 ? t ? 1

y
3

?有y ? t 2 ? t (?1 ? t ? 1),并作出图形

2

根据图形可知
ymin ? f (?
2

1

1 ? y ? t ? t (?1 ? t ? 1)的值域是 [? ,2] 4 1 即y ? sin 2 x ? sin x的值域是 [? ,2] 4

b 1 ) ? ? ,ymax ? f (?1) ? 2 2a 4

2

-1

1

2

x

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正弦函数的值域
? 例5 求下列函数的值域

(1) y ? sin x ? sin x; (2) y ? 2 sin( 2 x ? ), x ? [? , ]. 3 6 6 y ? 解:(2)令2 x ? ? ?
2
4

?

? ?

? x ? [?

2? ? y ? 2sin? , ? ? [0, ]的图形如图所示 3 由图可知y ? 2sin?的值域是 [0,2]

? 2? , ], ?0 ? 2x ? ? 6 6 3 3 2? 即? ? [0, ] 3

? ?

3

2

π 3

2π 3

π

4π 3

5π 3



x

2

4

? y ? 2sin (2 x ? ), x ? [- , ]的值域是 [0,2] 3 6 6

?

? ?

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? 求函数

y ? log2 sin x 的定义域和值域

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