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竞赛讲座函数与方程


高中数学竞赛专题一

函数与方程思想

函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,它主要包括函数的概念、 图象和性质以及几类典型的函数,函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼, 是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题,研究问题和解决问题。函数思想贯穿 于高中代数的全部内容,它是在学习指数函数、对数函数以

及三角函数的过程中逐渐形成,并 为研究这些函数服务的,如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容,一直是高考的热 点、重点内容。函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建 立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本 质特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化,联系和发展角度拓宽解题思路. 和函数有必然联系的是方程,方程是初中代数的主要内容,初中阶段主要学习了几类方程 和方程组的解法,方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系,通过设未知数、 列方程或方程组,解方程或方程组等步骤,达到求值目的的解题思路和策略。

一、考点回顾
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关 求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建 立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易, 化繁为简的目的。 比如,对于满足 0≤p≤4 的一切实数,不等式 x2+px>4x+p-3 恒成立, 试求 x 的取值范围一例,我们习惯上把 x 当作自变量,构造函数 y=x2+(p-4)x+3-p,于是 问题转化为:当 p∈[0,4]时,y>0 恒成立,求 x 的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二 次函数以及二次方程的区间根原理,可想而知,这是相当复杂的. 如果把 p 看作自变量,x 视为参数,构造函数 y=(x-1)p+(x2-4x+3),则 y 是 p 的一 次函数,就非常简单.即令 f(p)=(x-1)p+(x2-4x+3).函数 f(p)的图象是一条线段,要

使 f(p)>0 恒成立,当且仅当 f(0)>0,且 f(4)>0,解这个不等式组即可求得 x 的取值范围是 (-∞,-1)∪(3,+∞).本题看上去是一个不等式问题,但是经过等价转化,我们把它化归为 一个非常简单的一次函数,并借助于函数的图象建立了一个关于 x 的不等式组来达到求解的目 的 在函数的学习和复习中,要做到熟练掌握基础知识,充分理解各知识点间的内在联系, 如数列中的 an、Sn 都可以看作是 n 的函数而应用函数思想以获得新的解法。要总结、归纳运用
1

函数的观点和方法解决常见数学问题的解题规律。在解题中,充分、合理地运用函数与方程的 思想方法,会产生意想不到的效果 方程 f(x)=0 的解就是函数 y=f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标, 函数 y=f(x)也可以看作二 元方程 f(x)-y=0 通过方程进行研究,要确定变化过程的某些量,往往要转化为求出这些量满 足的方程,希望通过方程(组)来求得这些量.这就是方程的思想,方程思想是动中求静,研 究运动中的等量关系. 1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系 或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造 方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。方程 思想是动中求静,研究运动中的等量关系; 3.函数方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方程 f(x)=0,也 可以把函数式 y=f(x)看做二元方程 y-f(x)=0。 (2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不等式 f(x) >0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式; (3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重 要; (4)函数 f(x)=(1+x)^n (n∈N )与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法和比 较系数法可以解决很多二项式定理的问题; (5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程 组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论; (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达 式的方法加以解决。
*

二、

经典例题剖析

1. (湖北卷)关于 x 的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题: ①存在实数 k,使得方程恰有 2 个不同的实根;
2

②存在实数 k,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是( A. 0 B. 1 ). C. 2 D. 4

解析:本题是关于函数、方程解的选择题,考查换元法及方程根的讨论,属一题多选型试题, 要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力. 思路分析: 1. 根据题意可令|x2-1|=t(t≥0),则方程化为 t2-t+k=0,(*) 作出函数 t=|x2-1|的图象,结合函数的图象可知①当 t=0 或 t>1 时,原方程有两上不等的 根,②当 0<t<1 时,原方程有 4 个根,③当 t=1 时,原方程有 3 个根. (1)当 k=-2 时,方程(*)有一个正根 t=2,相应的原方程的解有 2 个; 1 1 (2)当 k= 时,方程(*)有两个相等正根 t= ,相应的原方程的解有 4 个; 4 2 (3)当 k=0 时,此时方程(*)有两个不等根 t=0 或 t=1,故此时原方程有 5 个根; 1 (4)当 0<k< 时,方程(*)有两个不等正根,且此时方程(*)有两正根且均小于 1,故相应 4 的满足方程|x2-1|=t 的解有 8 个,故选 A. 2. 由函数 f(x)=(x2-1)2-|x2-1|的图象(如下图)及动直线 g(x)=k 可得出答案为 A.

3. 设 t=|x2-1|(t≥0),t2-t+k=0,方程的判别式为 Δ=1-4k,由 k 的取值依据 Δ >0、△=0、△<0 从而得出解的个数.

4. 设函数 f(x)=

,利用数

轴标根法得出函数与 x 轴的交点个数为 5 个,以及函数的单调性大体上画出函数的图象, 从而得出答案 A.
3

答案:A 点评:思路 1、思路 2、思路 4 都是利用函数图象求解,但研究的目标函数有别,思路 2 利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解,很好地体现了数形结合的数学思想,是数形结合法中 值得肯定的一种方法;思路 3 利用方程的根的个数问题去求解,但讨论较为复杂,又是我们的 弱点,有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质. 2. (广东卷)已知等差数列共有 10 项, 其中奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差是( ).

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

解析:设等差数列的首项为 a1,公差为 d 据题意得: 答案:C 点评:运用等差、等比数列的基本量(a1,d,q)列方程,方程组是求解数列基本问题的通 法. 3. (安徽卷)已知 <α<π,tanα+cotα=- .

(1)求 tanα 的值;

(2)求

的值.

10 1 解析:(1)由 tanα+cotα=- 得 3tan2α+10tanα+3=0,即 tanα=-3 或 tanα=- , 3 3 3π 1 又 <α<π,所以 tanα=- =为所求. 4 3

4

答案: 10 点评: 第(1)问是对方程思想方法灵活考查, 能否把条件 tanα+cotα=- 变形为关于 tanα 3 的一元二次方程,取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解. 1 4. (江西卷)若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈(0, ]成立,则 a 的最小值是( 2 ).

A. 0

B. -2

C. -

5 2

D. -3

解析:与 x2+ax+1≥0 在R上恒成立相比,本题的难度有所增加. 思路分析: 1 1 5 1. 分离变量,有 a≥-(x+ ),x∈(0, ]恒成立.右端的最大值为- ,故选C. x 2 2 1 2. 看成关于 a 的不等式,由 f(0)≥0,且 f( )≥0 可求得 a 的范围. 2 3. 设 f(x)=x2+ax+1,结合二次函数图象,分对称轴在区间的内外三种情况进行讨 论. 1 1 4. f(x)=x2+1,g(x)=-ax,则结合图形(象)知原问题等价于 f( )≥g( ),即 a≥- 2 2 5 . 2 5. 利用选项,代入检验,D不成立,而C成立.故选C. 答案:C 点评:思路1~4具有函数观点,可谓高屋建瓴.思路5又充分利用了题型特点.
5

5. (全国卷Ⅱ)已知抛物线 x2=4y 的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且 >0).过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M. (1)证明 为定值;



(2)设△ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ)的表达式,并求 S 的最小值. 解:(1)证明:由已知条件,得 F(0,1),λ>0.设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 得(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1), 即 ③ 解②、③式得 y1=λ,y2= 1 1 2 ,且有 x1x2=-λ x2 =-4λy2=-4,抛物线方程为 y= x2, λ 4 将①式两边平方并把 代入得 ,

1 1 1 求导得 y′= x.所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 y= x1(x-x1)+y1,y= x2(x 2 2 2 -x2)+y2, 即 解出两条切线的交点 M 的坐标为 . ,

所以 所以

= 为定值,其值为 0. 1 (2)由(1)知在△ABM 中,FM⊥AB,因而 S= |AB| |FM|. 2

.

|FM|=









.

因为|AF|、 |BF|分别等于 A、 B 到抛物线准线 y=-1 的距离, 所以|AB|=|AF|+|BF|
6

1 =y1+y2+2=λ+ +2=( λ 1 1 于是 S= |AB| |FM|= ( 2 2 时,S 取得最小值 4.

)2

.

)3 由

≥2 知 S≥4,且当 λ=1

点评:在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点,求解的关键是建立面积 的目标函数,再求函数最值,至于如何求最值应视函数式的特点而定,本题是用均值定理求最 值的. 6. 设 f(x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 当 x<0 时, f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x) >0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ).

A. (-3,0)∪(3,+∞) C. (-∞,-3)∪(3,+∞)

B. (-3,0)∪(0,3) D. (-∞,-3)∪(0,3)

解析:以函数为中心,考查通性通法,设F(x)=f(x)g(x),由 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x), 即 F(x)为奇函数.又当 x<0 时, F′(x)=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 所以 x<0 时,F(x)为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以 x>0 时,F(x)也为增函数. 因为 F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).

如上图, 是一个符合题意的图象, 观察知不等式 F(x)<0 的解集是(-∞, -3)∪(0, 3),所以选 D. 答案:D 点评:善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数
7

F(x)=f(x)g(x),再根据题意明确该函数的性质,然后由不等式解集与函数图象间的关系使问 题获得解决的. x 7. 函数 f(x)是定义在[0,1]上的增函数,满足 f(x)=2f( )且 f(1)=1,在每一个区间 2 ( ](i=1,2??)上,y=f(x)的图象都是斜率为同一常数 k 的直线的一部分. 1 1 (1) 求 f(0)及 f( ),f( )的值,并归纳出 f( 4 2

)(i=1,2,??)的表达式;

(2)设直线 x=

,x=

,x 轴及 y=f(x)的图象围成的梯形的面积为 ai(i=1,

2,??),记S(k)=lim(a1+a2+?an),求S(k)的表达式,并写出其定义域和最小值.
n→∞

解析:以函数为细节,注重命题结构网络化,(1)由 f(0)=2f(0),得 f(0)=0. 1 由 f(1)=2f( )及 f(1)=1,得 2 1 1 1 f( )= f(1)= . 2 2 2 1 1 1 1 同理,f( )= f( )= . 4 2 2 4 归纳得 f( )= (i=1,2,??).

(2)当

<x≤

=时,

1 k 1 所以{an}是首项为 (1- ),公比为 的等比数列,所以 4 4 2
8

. 1 2

S(k)的定义域为{k|0<k≤1},当 k=1 时取得最小值 .
点评:高考命题寻求知识网络化已是大势所趋,而函数是把各章知识组合在一起的最好的 “粘合剂”.高考试题注重知识的联系,新而不偏,活而不怪.这样的导向,就要求在学习中必 须以数学思想指导知识、方法的运用,注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.

8. 对任意实数 k,直线:y=kx+b 与椭圆: 值范围是 .

(0≤θ<2π)恒有公共点,则 b 取

解析:方法1,椭圆方程为 方程并整理得 由直线与椭圆恒有公共点得

,将直线方程 y=kx+b 代入椭圆 .

化简得 由题意知对任意实数 k,该式恒成立, 则 Δ′=12(b-1)2-4[16-(b-1)2]≤0, 即-1≤b≤3. 方法2,已知椭圆 与 y 轴交于两点(0,-1),(0,3).

对任意实数 k,直线:y=kx+b 与椭圆恒有公共点,则(0,b)在椭圆内(包括椭圆圆 周)即有 ≤1,得-1≤b≤3.

点评:方法1是运用方程的思想解题,这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法2 运用数形结合的思想解题, 是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的
9

试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判 出能力与素养上的差异. 07 年 8.设 a>1,函数 f ( x) ? log, x 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为

1 ,则 a= (D) 2

A. 2

B.2

C.2 2

D.4

9. f ( x), g ( x) 是定义在 R 上的函数, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f ( x), g ( x) 均为偶函数”是 “ h( x) 为偶函数”的 A.充要条件 C.必要而不充分的条件 10. (x ? ) 的展开式中,常数项为 15,则 n=
2 n

(B) B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件 (D) D.6 (A)

1 x

A.3
2

B.4
2

C.5

12.函数 f ( x ) ? cos x ? 2 cos

x 的一个单调增区间是 2 π ? , ) 6 2
C.( 0,

A.(

π 2π , ) 3 3

B.(

π π π ) D.(- , ) 3 6 6
1/3 。

15. 等比数列{an}的前 n 项和 Sn, 已知 S1 ,2S2 ,3S3 成等差数列, 则{an}的公比为 20.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=ex-e
- x



(Ⅰ)证明:f(x)的导数 f'(x)≥2; (Ⅱ)若对所有 x≥0 都有 f(x)≥ax,求 a 的取值范围。 20.解: (Ⅰ)f(x)的导数 f ?( x) ? e ? e 。
x ?x

10

由于 ex ? e-x ≥ 2 ex e? x ? 2 ,故 f ?( x) ≥ 2 。 (当且仅当 x ? 0 时,等号成立)。 (Ⅱ)令 g(x)= f(x)-ax,则

g ?( x) ? f ?( x) ? a ? e x ? e? x ? a ,
(ⅰ)若 a ≤ 2 ,当 x>0 时, g?( x) ? ex ? e? x ? a ? 2 ? a ≥ 0 ,

? ) 上为增函数, 故 g(x)在 (0,∞
所以, x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ,即 f ( x) ≥ ax 。

(ⅱ)若 a>2,方程 g’(x)=0 的正根为 x1 ? ln

a ? a2 ? 4 , 2

此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 g’(x)<0,故 g(x)在该区间为减函数。 所以, x ? (0,x1 ) 时,g(x)< g(0)=0,即 f(x)<ax,与题设 f ( x) ≥ ax 相矛盾。 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?∞, 2? 。 21.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

x2 y2 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线交椭圆于 B、D 两点,过 3 2
y A P B D

F2 的直线交椭圆于 A、C 两点,且 AC⊥BD,垂足为 P。

x2 y2 (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x0,y0),证明: 0 + 0 ? 1 ; 3 2
(Ⅱ)求四过形 ABCD 的面积的最小值。

F1 O

F2
C

x

11

21.证明: (Ⅰ)椭圆的半焦距 c ? 3 ? 2 ? 1 ,
2 2 由 AC⊥BD 知点 P 在以线段 F1F2 为直径的圆上,故 x0 ? y0 ? 1,

所以,

2 y2 x2 y 2 1 x2 ? 0 ≤ 0 ? 0 ? ? 1。 3 2 2 2 2

(Ⅱ)(ⅰ)当 BC 的斜率 k 存在且 k ? 0 时,BD 的方程为 y=k(x+1),代入椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 ,并化简得 (3k 2 ? 2) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 。 3 2
设 B(x1,y1),D(x2,y2) B( x1,y1 ) , D( x2,y2 ) ,则

x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 6 x x ? , 1 2 3k 2 ? 2 3k 2 ? 2

2 BD ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ? ?( x2 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ??

4 3(k 2 ? 1) ; 3k 2 ? 2

因为 AC 与 BC 相交于点 P,且 AC 的斜率为 ?

1 , k

? 1 ? 4 3 ? 2 ? 1? 2 ?k ? ? 4 3(k ? 1) 。 所以, AC ? 1 2k 2 ? 3 3? 2 ? 2 k
四边形 ABCD 的面积

S?

1 24(k 2 ? 1) 2 ??( k 2 ? 1) 2 96 BD AC ? ≥ ? 。 2 2 2 2 (3k ? 2)(2k ? 3) ? (3k 2 ? 2) ? (2k 2 ? 3) ? 25 ? ? 2 ? ?

当 k2=1 时,上式取等号。
12

(ⅱ)当 BD 的斜率 k=0 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积 S=4。 综上,四边形 ABCD 的面积的最小值为

96 。 25

三、 配套练习: 1、填空 (1) 若 二 次 函 数 y ? f ( x) 满 足 f ?3 ? x ? ? f ?3 ? x ? 且 f ?x ? ? 0 有 实 根 x1 , x 2 , 则

x1 ? x2 ? _ _ _ _ _ _ 。 __
(2) 设函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,若当 x ≤1 时, y ? x 2 ? 1 ,则当
x ? 1 时,y=



(3) 若函数 y ? x 2 ? 3x ? 4 与函数 y ? 2 x ? a 2 的图象有公共点,则 a 的取值范围 是 。

(4) 已知函数 y ? x 2 ? ax ? 6a 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点, 若线段 AB 的长不超 过 5,则 a 的取值范围是 。 2、方程 x 2 ? ?2 ? a?x ? ?5 ? a? ? 0 的两根都大于 2,求实数 a 的取值范围。

1 3、已知关于 x 的方程 kx 2 ? kx ? k ? 2 ? 0 两个实根分别在(0,1)与(-1,0)之 2 间,试求实数 k 的取值范围。

4、已知方程 3x 2 ? 6?m ? 1?x ? m 2 ? 1 ? 0 的两个实根绝对值之和为 2,求实数 m 的值。

13

5、当 m 取何值时,关于 x 的方程 sin 2 x ? cos x ? m ? 0 有实数解?

6、已知关于 x 的方程 2 lg?x ? 1? ? lg?2 ? x ? ? lg?a ? 2? 有两个不相等的实根,求 a 的取 值范围,并求出两根。

7、当 0≤m≤2 时,求方程 x 2 ? mx ? ?2m ? 1? ? 0 的实根的取值范围。

2 ? ?x ? 2x ? a ? 0 } ,(a,b∈R),如果 A ? B ,确定 8、设 A ? {x | 1 ? x ? 3}, B ? {x | ? 2 ? ? x ? 2bx ? 5 ? 0

a、b 的取值范围。

9、若不等式 ?a 2 ? 2a ? 3?x 2 ? ?a ? 2?x ? 围。

1 ? 0 对于任何实数 x 都成立,求 a 的取值范 2

10、已知 ? , ? 是方程 x 2 ? ?2m ? 1?x ? 4 ? 2m ? 0 的两个实根,且 ? ? 2 ? ? ,求 m 的 取值范围。

11、若方程 cos 2 x ? sin x ? a ? 0 有解,求 a 的取值范围。
14


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