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山西省山大附中2013届高三5月月考数学理试题+答案


山西大学附中
2012-2013 学年高三(5 月)月考数学(理科)试卷 (考试时间:120 分钟) 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)
2 1.设集合 A ? { x x ? 4 ? 0} , B ? ? x 2 x < ? ,则 A ? B ? (

审题:高三数学组

? ?

1? 4?



A. x x ? 2

?

?

B.

? x x ? ?2?

C.

? x x ? ?2 或x ? 2?

D. ? x x ?

? ?

1? ? 2?

2.如果复数

2 ? bi (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那 1 ? 2i

么 b =( (A) 2

)ks5u (B)
2 3

(C) ?

2 3

(D)2

3.程序框图如下:

如果上述程序运行的结果 S 的值比 2013 小,若使输出的 S 最大,那么判断框中应填入 ( ) A. k ? 10 B. k ? 10 C. k ? 9 D. k ? 9 4.右图为一个空间几何体的三视图,其中俯视图是下边一个等边三角形,其 内切圆的半径是 1,正视图和侧视图是上边两个图形,数据如图,则此几何 体的体积是( ) A.15 3 ?

?
3

B.15 3 ?

2? 3

C.30 3 ?

?
3

D.30 3 ?

4? 3

5.从集合 {?1, ?2, ?3, ?4,0,1, 2,3, 4,5} 中选出 5 个数组成子集,使得这 5 个 数中的任意两数之和不等于 1,则取出这样的子集的概率为( A. ) D.

5 126

B.

55 126

C.

55 163

8 63

6. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 , F2 过 a 2 b2 2 2 2 的直线与圆 x ? y ? b 相切于点 A ,并与椭圆 C 交与不同的两 点 P , Q ,如图,若 A 为线段 PF2 的中点,则椭圆的离心率为
( ) A.

2 3

B.

3 3

C.
1

5 3

D.

7 3

7. 将数 30012(4) 转化为十进制数为: ( A. 524 B. 774

) C. 256 D. 260

x ? 1? ? ? 8.设不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0? 所表示的平面区域是 ?1 ,平面区域 ?2 与 ?1 关于直线 ? y?x ?
3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称.对于 ?1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, AB 的最小值等于
( ) A. 28 C. 12

5

B.4

5

D.2

9.函数 f ( x) ? ? A.0

?ln x ? x 2 ? 2 x( x ? 0), ?2 x ? 1( x ? 0),
B.1

的零点个数为( C.2


D.3

10.已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图象与直线y ? kx(k ? 0) 有且仅有三个公共点,这三个公 共点横坐标的最大值为 ? ,则 ? 等于( A. ? cos? B. ? sin ?


C. ? tan ? D. tan ?

11.等差数列 {an } 前 n 项和为 S n ,已知 (a1006 ? 1)3 ? 2013( a1006 ? 1) ? 1,

(a1008 ? 1)3 ? 2013(a1008 ? 1) ? ?1, 则(
A. S 2013 ? 2013, a1008 ? a1006 C. S 2013 ? ?2013, a1008 ? a1006 12.已知函数



B. S 2013 ? 2013, a1008 ? a1006 D. S 2013 ? ?2013, a1008 ? a1006

f ( x) ? ln

ex e 2e 2012e , 若f( )+f( )+ ? +f( )=503(a ? b), 则a 2 ? b 2 的最小值 e? x 2013 2013 2013 为( )
C.9 D.12

A.6 B.8 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知 sin(

3 ,则 sin 2 x =________. 4 5 14.如图,在圆 O 中, O 为圆心, AB 为圆的一条弦, AB ? 4 , ? x) ?
则 AO ? AB ? .
2 2

?

O

A 14 图

B

15. 已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在

C 上, ?F1 PF2 = 60 0 ,则 | PF | ? | PF2 |? 1
直线 AB 恒过的点是

_______________

2 16.在直线 y ? ?2 上任取一点 Q ,过 Q 作抛物线 x ? 4 y 的切线,切点分别为 A 、 B ,则

2

三、解答题: 17. (本小题满分12分) 在 ?ABC 中, 角A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知 sin B ? (1)求

5 , 且a, b, c成 等比数列. 13

1 1 ? 的值; (2)若 ac cos B ? 12, 求a ? c 的值. tan A tan C

18.(本小题满分 12 分) 某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比 赛时,每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时结束. 假设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为

2 ,且各局比赛胜负互不影响. 3

(Ⅰ)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率; (Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分)ks5u

如图,正三棱柱 ABC - A1 B1C1 的所有棱长都为 2,

CD ? ?CC1 (? ? R)
(I)当 ? =

1 时,求证 AB1 丄平面 A1 BD ; 2

(II)当二面角 A — A1 D — B 的大小为 20.(本小题满分 12 分)

? 时,求实数 ? 的值. 3

设点 P ( x, y ) 到直线 x ? 2 的距离与它到定点 (1, 0) 的距离之比为 2 ,并记点 P 的轨迹 为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程;ks5u (Ⅱ)设 M (?2,0) ,过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E , F 两点,当线段 EF 的中点落 在由四点 C1 (?1,0), C2 (1,0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) 构成的四边形内(包括边界)时,求直线 l 斜 率的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

ax ? b 在点 (?1, f (?1)) 的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 . x2 ?1

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? ln x ,求证: g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成立; (Ⅲ)已知 0 ? a ? b ,求证:

ln b ? ln a 2a ? 2 . b?a a ? b2
3

请考生在第 22、23 题中任选一题作答。若多做,则按所做的第一题计分。

22. 已知直线 C1 ?
(I)当 ? =

? x ? 1 ? t cos a ? x ? cos? ( ? 为参数). ’(t 为参数), 曲线C 2 ? ? y ? t sin a ? y ? sin ?

? 时,求 C1 与 C 2 的交点坐标; 3

(II)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A , P 为 OA 中点,当? 变化时, P 点轨迹的参 求 数方程,并指出它是什么曲线. ks5u

23.已知函数 f ( x) ? x ? a
(I)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ? 1 ? x ? 5 ,求实数 a 的值; (II)在 I)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 ( 围.

?

?

4

山西大学附中 2012-2013 学年高三(5 月)月考数学(理科)答案
1~6 BCCBDC 13. 7~12 BBDDBB 14. 8
2

7 25

15. 4

16. (0,2)

17. (1)依题意, b ? ac

5 25 , 得 sin A sin C ? sin 2 B ? . -------------------3 分 13 169 1 1 cos A cos C sin( A ? C ) sin B 5 169 13 ? ? ? ? ? ? ? ? . --6 分 tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin A sin C 13 25 5 (2)由 ac cos B ? 12知 cos B ? 0. 5 12 , 得 cos B ? ? . (舍去负值)-------------------------------8 分 由 sin B ? 13 13 12 2 ? 13. --------------------------------------------9 分 从而, b ? ac ? cos B
由正弦定理及 sin B ? 由余弦定理,得 b 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B. 代入数值,得 13 ? (a ? c) ? 2 ? 13 ? (1 ?
2

12 ). 13

解得: a ? c ? 3 7 . ---------------------------ks5u--------------12 分 18 解(Ⅰ)由题意知,乙每局获胜的概率皆为 1 ?

2 1 ? .????1 分 3 3

比 赛 进 行 4 局 结 束 , 且 乙 比 甲 多 得 2 分 即 头 两 局 乙 胜 一 局 , 3,4 局 连 胜 , 则

4 1 1 2 1 1 P2 ? C2 ? ? ? ? . 3 3 3 3 81
(Ⅱ)由题意知, ? 的取值为 2, 4,6 . 则 P (? ? 2) ? ( ) ? ( ) ?

????4 分 ???5 分 ????6 分 ????7 分 ????9 分

2 2 1 2 5 3 3 9 20 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 P(? ? 4) ? C2 ( ) ? C2 ( ) ? 33 3 33 3 81 1 2 2 16 1 P(? ? 6) ? (C2 ) ? 33 81

所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

2

4

6

5 9

20 81

16 81
???10 分

5 20 16 266 ? 6? ? 则 E? ? 2 ? ? 4 ? ????12 9 81 81 81
5

19.解: (Ⅰ)取 BC 的中点为 O ,连结 AO 在正三棱柱 ABC ? A B1C1 中面 ABC ? 面 CB1 , 1

?ABC 为正三角形,所以 AO ? BC ,
故 AO ? 平面 CB1 . 以 O 为坐标原点建立如图空间直角坐标系

O ? xyz ,――――2 分
则 A(0,0, 3) , B1 (1, 2, 0) , D(?1,1, 0) ,

A1 (0, 2, 3) , B(1, 0, 0) .
所 以 AB1 ? ( 1 , ?2 ,

????

, DA ? (1,1, 3) , 3 ) 1

???? ?

??? ? DB ? (2, ?1,0) ,
因为 AB1 ? DA ? 1 ? 2 ? 3 ? 0, AB1 ? DB ? 2 ? 2 ? 0 , 1 所以 AB1 ? DA1 , AB1 ? DB ,又 DA1 ? DB ? D ,ks5u 所以 AB1 ? 平面 A BD . 1 ――――-6 分

???? ???? ?

???? ??? ?

( Ⅱ ) 由 ⑴ 得 D(?1, 2? , 0) , 所 以 DA ? (1, 2 ? , 3, DB ? (2, ?2?,0) , ? 2 ) 1

???? ?

??? ?

??? ? DA ? (1, ?2?, 3) ,
设平面 A BD 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,平面 AA D 的法向量 n2 ? (s, t , u) , 1 1

??

?? ?

?? ???? ? ?? ?n1 ? DA1 ? 0, ? ?2 ? ), 由 ? ?? ??? 得平面 A BD 的一个法向量为 n1 ? (? ,1, ? 1 3 ?n1 ? DB ? 0, ? ?? ? 同理可得平面 AA D 的一个法向量 n2 ? ( 3,0, ?1) , 1

?? ?? ? ?? ?? ? 1 n1 ? n2 1 ?? ? ,解得 ? ? ,为所求.――――12 分 ? 由 cos ? n1 , n2 ?? ?? 4 | n1 | ? | n2 | 2
20.解:(Ⅰ)有题意

| x?2| ( x ? 1)2 ? y 2

? 2,

??????2 分

x2 x2 2 C 的方程为 ? y 2 ? 1??????4 分 ? y ? 1,所以曲线 整理得 2 2
6

(Ⅱ)显然直线 l 的斜率 k 存在,所以可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) . 设点 E , F 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 线段 EF 的中点为 G ( x0 , y0 ) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?2
得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 由 ? ? (8k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 解得 ?

2 2 .?(1) ????7 分 ?k? 2 2

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

?8k 2 ,于是 1 ? 2k 2
?????8 分

x0 ?

x1 ? x2 2k 4k 2 =? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

4k 2 ? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边, 因为 x0 ? ? 1 ? 2k 2
又直线 C1B2 , C1B1 ,方程分别为 y ? x ? 1, y ? ? x ? 1 所以点 G 在正方形内(包括边界)的充要条件为

? 2k ?4k 2 ? ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 1 ?2k 2 ? 2k ? 1 ? 0, ? y0 ? x0 ? 1 ? ? 即? 亦即 ? 2 ??????10 分 ? 2k 4k 2 ?2k ? 2k ? 1 ? 0. ? y0 ? ? x0 ? 1 ? ? ? ?1 ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?
解得 ?

3 ?1 3 ?1 ,?????(2) ?k? 2 2 3 ?1 3 ?1 , ]. ??????12 分 2 2

由(1) (2)知,直线 l 斜率的取值范围是 [?

21.解: (Ⅰ)将 x ? ?1 代入切线方程得 y ? ?2 ∴ f ( ?1) ?

b?a ? ?2 ,化简得 b ? a ? ?4 1?1

????????????????

2分

f ?( x) ?

a( x 2 ? 1) ? (ax ? b) ? 2 x (1 ? x 2 ) 2

7

f ?(?1) ?

2a ? 2(b ? a) 2b b ? ? ? ?1 4 4 2

解得: a ? 2, b ? ?2 . ∴ f ( x) ?

2x ? 2 . x2 ?1

????????????????

4分

(Ⅱ)由已知得 ln x ?

2x ? 2 在 [1,??) 上恒成立 x2 ?1

化简 ( x 2 ? 1) ln x ? 2x ? 2 即 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立
2

设 h( x) ? x 2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ,

h?( x) ? 2 x ln x ? x ?
∵x ?1

1 ?2 x x? 1 ? 2 ,即 h?( x) ? 0 x

????????????????

6分

∴ 2 x ln x ? 0,

∴ h(x) 在 [1,??) 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 0 ∴ g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成立 (Ⅲ)∵ 0 ? a ? b ∴
????????????????

8分

b ? 1, a

b 2 ?2 b 由(Ⅱ)知有 ln ? a , ????????????????10 分 a ( b )2 ? 1 a ln b ? ln a 2a ? 2 整理得 b?a a ? b2 ln b ? ln a 2a ? 2 ∴当 0 ? a ? b 时, . ????????????????12 分 b?a a ? b2 ? 2 2 22.解: (Ⅰ)当 a ? 时,C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) ,C2 的普通方程为 x ? y ? 1, 3
联立方程组 ?

? y ? 3 ( x ? 1) ? , 解 得 C1 与 C2 的 交 点 坐 标 为 ( 1 , 0 ) , ?x 2 ? y 2 ? 1 ?

1 3 ( ,? ) .――――5 分 2 2
( Ⅱ ) C1 的 普 通 方 程 为 x sin ? ? y cos? ? sin ? ? 0 , A 点 坐 标 为

(sin2 ? ,? sin ? cos? ) ,

8

1 2 ? ? x ? 2 sin ? , ? 故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? ? 1 sin ? cos ? , ? ? 2
P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ?
故 P 点轨迹是圆心为 ( ,0 ) ,半径为

1 4

1 . 16

1 4

1 的圆.――――10 4

23.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? x ? 3 . 又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5?,所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 ?a ? 3 ? 5

a ? 2 .――――4 分
(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) ,

?? 2 x ? 1, x ? ?3, ? 于是 g ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |? ?5,?3 ? x ? 2, ?2 x ? 1, x ? 2. ?
ks5u ――――6 分 所以当 x ? ?3 时, g ( x) ? 5 ; 当 ? 3 ? x ? 2 时, g ( x) ? 5 ; 当 x ? 2 时,

g ( x) ? 5 .
综上可得, g ( x) 的最小值为 5.――――9 分 从而若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m ,即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立, 则 m 的取值范围为(-∞,5].――――10 分

9


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