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抽象函数的单调性和奇偶性


抽象函数的单调性和奇偶性
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式, 只是给出一些特殊关系式的函数。 它是 高中数学中的一个难点,因为抽象,解题时思维常常受阻,思路难以展开,而高考中会出现 这一题型, 本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、 归类, 大概有以下几种题型:

一、判断单调性和奇偶性
1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、

单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题迅速获解。 例1.如果奇函数 f ( x ) 在区间 [3, 7] 上是增函数且有最小值为5,那 么 f ( x ) 在区间 [?7 , ? 3] 上是 A. 增函数且最小值为 ?5 B. 增函数且最大值为 ?5 C. 减函数且最小值为 ?5 D. 减函数且最大值为 ?5 分析:画出满足题意的示意图,易知选B。 例2. 偶函数 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上是减函数, 问 f ( x ) 在 (??, 0) 上是 增函数还是减函数,并证明你的结论。 分析:如图所示,易知 f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数,证明如下: 任取 x1 ? x2 ? 0 ? ? x1 ? ? x2 ? 0 因为 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上是减函数,所以

y

5 -7 O -3 3 -5 7 x

f (? x1 ) ? f (? x2 ) 。
又 f ( x ) 是偶函数,所以

y

f (? x1 ) ? f ( x1 ),f (? x2 ) ? f ( x2 ) ,
从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求 f ( x ) 与 f (? x ) 的关系。

O

x

例3.若函数 y ? f ( x )( f ( x ) ? 0) 与 y ? ? f ( x ) 的图象关于原点对称,判断:函数

y ? f ( x ) 是什么函数。
解:设 y ? f ( x ) 图象上任意一点为P( x0 ,y0 )

? y ? f ( x ) 与 y ? ? f ( x ) 的图象关于原点对称,

? P( x0 ,y0 ) 关于原点的对称点 (? x0 , ? y0 ) 在 y ? ? f ( x ) 的图象上,
1

? ? y0 ? ? f (? x0 ) ? y0 ? f (? x0 )
又 y0 ? f ( x0 )

? f (? x0 ) ? f ( x0 )
即对于函数定义域上的任意x都有 f (? x ) ? f ( x ) ,所以 y ? f ( x ) 是偶函数。

二、证明单调性和奇偶性
1.证明单调性 例 4.已知函数 f(x)=

g ( x) ? 1 ,且 f(x),g(x)定义域都是 R,且 g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是 g ( x) ? 1

增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 求证: f(x)是R上的增函数 解:设x1>x2

? ? ? ?

g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0 g(x1) > g(x2) >0 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0

2 2 > >0 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1 2 2 >0 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1
f(x1)- f(x2)=

? ?

g ( x1 ) ? 1 g ( x2 ) ? 1 2 2 =1-(1) g ( x1 ) ? 1 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1 g ( x2 ) ? 1

=

2 2 >0 g ( x2 ) ? 1 g ( x1 ) ? 1

? ?

f(x1) >f(x2) f(x)是R上的增函数

例5.已知 f ( x ) 对一切 x,y ,满足 f (0) ? 0,f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时,

f ( x ) ? 1,求证:(1) x ? 0时, 0 ? f ( x) ? 1; (2) f ( x ) 在R上为减函数。
证明:? 对一切 x,y ? R 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 。
2

且 f (0) ? 0 ,令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? 1 , 现设 x ? 0,则 ?x ? 0 , f ( ? x ) ? 1 , 而 f (0) ? f ( x) ? f ( ? x) ? 1

? f (? x) ?

1 ?1 f ( x)

? 0 ? f ( x) ? 1 ,
设 x1 ,x2 ? R 且 x1 ? x 2 , 则 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1,

f ( x2 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
即 f ( x ) 为减函数。 2.证明奇偶性 例6.已知 f ( x ) 的定义域为R,且对任意实数x,y满足 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,求证: f ( x ) 是偶函数。 分析:在 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) 中,令 x ? y ? 1 , 得 f (1) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0 令 x ? y ? ?1 ,得 f (1) ? f (?1) ? f (?1) ? f (?1) ? 0 于是 f (? x ) ? f (?1 ? x ) ? f (?1) ? f ( x ) ? f ( x ) 故 f ( x ) 是偶函数。

三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中, 关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的 增减性,去掉“ f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。 例7.已知 f ( x ) 是定义在( ?1,1 )上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,满足

f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ? 0 ,试确定 a 的取值范围。
3

解:? f ( x ) 是偶函数,且在(0,1)上是增函数,

? f ( x ) 在 ( ?1,0) 上是减函数,
由?

??1 ? a ? 2 ? 1
2 ??1 ? 4 ? a ? 1

得 3?a? 5。

(1)当 a ? 2 时,

f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ? f (0) ,不等式不成立。
(2)当 3 ? a ? 2 时,

f ( a ? 2) ? f ( 4 ? a 2 ) ? ?1 ? a ? 2 ? 0 ? ? f ( a ? 4 ) ? ? ?1 ? a 2 ? 4 ? 0 ?a ? 2 ? a 2 ? 4 ?
2

解之得, 3 ? a ? 2
(3)当 2 ? a ? 5 时,

f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 )
?0 ? a ? 2 ? 1 ? ? f (a 2 ? 4) ? ?0 ? a 2 ? 4 ? 1 ?a ? 2 ? a 2 ? 4 ? 解之得, 2 ? a ? 5
综上所述,所求 a 的取值范围是 ( 3,2) ?(2, 5) 。
2 2 例8.已知 f ( x ) 是定义在 ( ??,1] 上的减函数,若 f (m ? sin x) ? f (m ? 1 ? cos x) 对

x ?R 恒成立,求实数 m 的取值范围。 ?m2 ? sin x ? 3 ? 2 解:? ?m ? 1 ? cos x ? 3 ?m2 ? sin x ? m ? 1 ? cos2 x ?
对 x ?R 恒成立 ? ? 对 x ?R 恒成立 ?

?m 2 ? sin x ? 3 ? 2 2 ? ?m ? sin x ? m ? 1 ? cos x

4

?m2 ? 3 ? sin x ? ? 2 1 2 5 2 ?m ? m ? 1 ? sin x ? cos x ? ?(sin x ? 2 ) ? 4 ?
对 x ?R 恒成立,

?m2 ? 3 ? 1 ? ?? 2 5 ?m ? m ? 1 ? 4 ? ?? 2 ? m ?
四、不等式
1.解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值, 再通过函数的单调性去掉函 数符号“ f ”,转化为代数不等式求解。 例9.已知函数 f ( x ) 对任意 x,y ? R 有 f ( x) ? f ( y) ? 2 ? f ( x ? y) ,当 x ? 0 时,

1 ? 10 为所求。 2

f ( x ) ? 2 , f (3) ? 5 ,求不等式 f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3 的解集。
解:设 x1 、x2 ? R 且 x1 ? x 2 则 x2 ? x1 ? 0

? f ( x 2 ? x1 ) ? 2 ,
即 f ( x2 ? x1 ) ? 2 ? 0 ,

? f ( x2 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 )
故 f ( x ) 为增函数, 又 f (3) ? f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) ? 2 ? 3 f (1) ? 4 ? 5

? f (1) ? 3 ? f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3 ? f (1) , 即a 2 ? 2a ? 2 ? 1 ? ?1 ? a ? 3
因此不等式 f (a ? 2a ? 2) ? 3 的解集为 ?a|?1 ? a ? 3? 。
2

2. 讨论不等式的解

5

求解这类问题利用函数的单调性进行转化,脱去函数符号。 例10.已知函数 f ( x ) 是定义在 (??,1] 上的减函数,且对一切实数x,不等式

f (k ? sin x ) ? f (k 2 ? sin 2 x ) 恒成立,求k的值。
分析:由单调性,脱去函数记号,得
2 2 ? ?k ? sin x ? 1 ? 2 2 ? ?k ? sin x ? k ? sin x ?k 2 ? 1 ? sin 2 x (1) ? ?? 2 1 1 2 ?k ? k ? 4 ? (sin x ? 2 ) ?

(2)

由题意知(1)(2)两式对一切 x ? R 恒成立,则有

?k 2 ? (1 ? sin 2 x ) min ? 1 ? ? ? ? 2 1 1 2 9 ? ? k ? ?1 ?k ? k ? 4 ? (sin x ? 2 ) max ? 4 ? ? ?

五、比较函数值大小
利用函数的奇偶性、 对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内, 然后利用其单调 性使问题获解。 例11. 已知函数 f ( x ) 是定义域为R的偶函数,x ? 0 时, f ( x ) 是增函数, 若 x1 ? 0 ,x2 ? 0 , 且 | x1 | ?| x2 | ,则 f (? x1 ) ,f (? x2 ) 的大小关系是_______。 分析:? x1 ? 0,x2 ? 0 且 | x1 | ?| x2 | ,

? 0 ? ? x1 ? x2 ? ? x2 ? x 1 ? 0
又 x ? 0 时, f ( x ) 是增函数,

? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x ) 是偶函数, ? f (? x1 ) ? f ( x1 )
故 f (? x1 ) ? f (? x2 )

六、综合问题求解
解题时需把握好如下三点: 一是注意函数定义域的应用, 二是利用函数的奇偶性去掉函 数符号“ f ”前的“负号”,三是利用函数单调性去掉函数符号“ f ”。 例12.设函数 y ? f ( x) 定义在R上,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1,且对任意 m,n ,有
6

f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,当 m ? n 时 f (m) ? f (n) 。
(1)证明 f (0) ? 1 ; (2)证明: f ( x ) 在R上是增函数;
2 2 (3)设 A ? ( x,y )| f ( x ) ? f ( y ) ? f (1) ,

?

?

B ? {( x,y)| f (ax ? by ? c) ? 1,a,b,c ? R,a ? 0} ,若 A ? B ? ? ,求
a,b,c 满足的条件。
解:(1)令 m ? n ? 0 得 f (0) ? f (0) ? f (0) ,

? f (0) ? 0 或 f (0) ? 1 。
若 f (0) ? 0 , 当 m ? 0 时, 有 f (m ? 0) ? f (m) ? f (0) , 这与当 m ? n 时,f (m) ? f (n) 矛盾,

? f (0) ? 1 。
(2) 设 x1 ? x 2 ,则 x 2 ? x1 ? 0 ,由已知得 f ( x 2 ? x1 ) ? 1 ,因为 x1 ? 0 , f ( x1 ) ? 1 , 若 x1 ? 0 时, ? x1 ? 0,f ( ? x1 ) ? 1 ,由 f (0) ? f ( x1 ) ? f ( ? x1 )

? f ( x1 ) ?

1 ?0 f ( ? x1 )

f ( x 2 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x ) 在R上为增函数。
(3)由 f ( x ) ? f ( y ) ? f (1) 得 x ? y ? 1 (1)
2 2 2 2

由 f (ax ? by ? c) ? 1 得 ax ? by ? c ? 0
2 2 2

(2)
2 2

从(1)、(2)中消去 y 得 (a ? b ) x ? 2acx ? c ? b ? 0 ,因为 A ? B ? ?

? ? ? (2ac) 2 ? 4(a 2 ? b 2 )(c 2 ? b 2 ) ? 0 ,
即a ?b ? c
2 2 2

7


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