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高中数学课件:三角函数图象变换的两种不同解题策略(原创)


三角函数图象变换的 两种不同解题策略

三角函数图象变换主要是指(1)对称变换

(2)

振幅变换(纵向伸缩)(3)周期变换(横向伸缩)(4) 相位变换(左右平移)(5)上、下平移.本文主要探 讨,周期变换(横向伸缩)、相位变换(左右平移).可 以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变 换,但注意:先伸缩时,平移的单位要把 x 前面的系数 提取出来。下面举例说明如:函数 y = sin ? 2 x + ?
? 3π ? ? 作怎样 5 ?

的变换?才能得到函数 y = cos(4 x ?

2π ) 的图像. 5

例1:06(江苏卷)为了得到函数 y = 2 sin( x + π ), x ∈ R 的
3 6

图像,只需把函数 y = 2 sin x, x ∈ R 的图像上所有的点,作怎 样的变换? 【思路点拨】同名函数,本题主要考三角函数的图象变 换,这是一道平时训练的比较多的一种类型。

方法一:先将 y = 2 sin x, x ∈ R 的图象左移
π

π
6

个单位,得

再把各点的横坐标伸长到原来 y = 2sin( x + ), x ∈ R 的图象; 6 x π 的 3 倍(纵坐标不变)得到 y = 2 sin( + ), x ∈ R 的图像, 3 6 选择 C。

方法二:先将 y = 2 sin x, x ∈ R 的各点的横坐标伸长到原来
π x 的 3 倍, 得到 y = 2sin , x ∈ R 的图像; 再把图象向左平移 3 2 个单位(易错点左平移 π ) ,得到 y = 2 sin( x + π ), x ∈ R 的图 6 3 6

像.这种解法选者支无信息. 【解后反思】可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸

缩变换后平移变换,但注意:先伸缩时,平移的单位把 x 前面的系数提取出来。

例2:为了得到函数 y = sin(2 x ?
y = cos x 作怎样的变换?

π
6

) 的图像,只需把函数

【思路点拨】不同名函数,利用诱导公式
sin α = cos(α ? ) 化为同名函数,再作变换. 2
π π π? 2π ? y = sin(2 x ? ) = cos ? (2 x ? ) ? ? = cos(2 x ? ) 6 6 2? 3 ?

π

方法一: y = cos x 右移 2π 个单位,得 y = cos ? x ? 2π ? ;再横 ? ?
3

?

3 ?

1 2π π 坐标缩短到原来的 ,得 y = cos(2 x ? ) = sin(2 x ? ) 2 3 6 1 方法二: y = cos x 横坐标缩短到原来的 ,得 y = cos 2 x ,再 2 2π π 右移 4π 个单位,得 y = cos(2 x ? ) = sin(2 x ? ) . 3 3 6

【解后反思】利用诱导公式 sin α = cos(α ? 函数是关键.

π
2

) 化正弦为余弦

例3:为了得到函数 y = cos(2 x ? ) 的图像,只需把函数
6

π

y = sin x 作怎样的变换?

【思路点拨】不同名函数,利用诱导公式 cos α = sin(α + 化为同名函数,再作变换.

π
2

)

π π? π ? y = cos(2 x ? ) = sin ?(2 x ? ) + ? = sin(2 x + ) ,解法同例一. 6 6 2? 3 ?

π

例4:函数 y = cos ? 2 x + ?
?

3π ? ? 作怎样的变换?才能得到函数 5 ?

2π 2π 【思路点拨】 y = cos(4 x ? ) 化为 y = cos(2 2 x ? ) 5 5 3π ? ? 方 法 一 : 先 平 移 后 伸 缩 , y = cos ? 2 x + ? 5 ? ?
3π ? 3π 2π π ? =? ? x0 = ? y = cos ? 2 ( x + x0 ) + ? ,令 2 x0 + 5 5 2 5 ? ?

2π y = cos(4 x ? ) 的图像. 5

,得

3π ? π 2π ? 右移 ? y = cos(2 x ? ) ,横坐标缩短到原 y = cos ? 2 x + ? 2 5 5 ? ?

来的 ,得 y = cos(4 x ?

1 2

2π ). 5

3π ? ? 方法二:先伸缩后平移, y = cos ? 2 x + ? 横坐标缩短到原 5 ? ?

来的
4 x0 +

1 2

,得

3π ? ? y = cos ? 4 x + ? 5 ? ?

;由

3π ? ? y = cos ? 4 ( x + x0 ) + ? 5 ? ?

,令 ,得

3π 2π π =? ? x0 = ? 5 5 4
2π ). 5

,知

3π ? ? y = cos ? 4 x + ? 5 ? ?

右移

π
4

y = cos(4 x ?

【解后反思】当两个函数 x 的系数不为1时,提出一个 因数后,再作伸缩变换. 思考题:函数 y = sin ? 2 x + ?
? 3π ? ? 作怎样的变换?才能得到函 5 ?

数 y = cos(4 x ?

2π ) 的图像. 5

提示:结合例3,例4考虑解答.



谢 2009.09.13


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