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2012-2013高中数学《第二讲 参数方程》质量评估 新人教A版选修4-4


本讲质量评估(二)
(时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1 ? ?x=t, 1.参数方程? (t 为参数)所表示的曲线是 1 ?y=t t -1 ?
2

(

).

1 1

1 2 解析 将参数方程进行消参,则有 t= ,把 t= ,代入 y= t -1中,得当

x

x

t

x>0 时,x +y =1,此时 y≥0;当 x<0 时,x +y =1,此时 y≤0.对照选项,
可知 D 正确. 答案 D 2.直线?

2

2

2

2

?x=-2- 2t, ?y=3+ 2t

(t 为参数)上与点 P(-2,3)的距离等于 2的点的坐标是( B.(-3,4) D.(-4,5)或(0,1)

).

A.(-4,5) C.(-3,4)或(-1,2)

解析 可以把直线的参数方程转化成标准式,或者直接根据直线参数方程的 非标准式中参数的几何意义可得 (- 2) +( 2) ·|t|= 2,
2 2

可得 t=±

?x=-3, ? ?x=-1, ? 2 ,将 t 代入原方程,得? 或? 所以所求点的坐标 2 ? ? ?y=4 ?y=2,

为(-3,4)或(-1,2).
-1-

答案 C 3.在方程?
?x=sin θ , ? ? ?y=cos 2θ

(θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为

(

).

A.(2,-7)

?1 2? B.? , ? ?3 3?
D.(1,0)
2

?1 1? C.? , ? ?2 2?

解析 把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性,普通方程是 y=1-2x (-1≤x≤1),再根据选择项逐个代入进行检验即可. 答案 C 4.若 P(2,-1)为圆?
?x=1+5cos θ , ? ? ?y=5sin θ

(θ 为参数且 0≤θ <2π )的弦的中点,则该弦所在的直线方程为 ( ).

A.x-y-3=0 C.x+y-1=0 解析 ∵由?
? ?x=1+5cos θ ?y=5sin θ ?

B.x+2y=5 D.2x-y-5=0 消去 θ 得,(x-1) +y =25
2 2

∴圆心 C(1,0),∴kCP=-1,∴弦所在的直线的斜率为 1 ∴弦所在的直线方程为 y-(-1)=1·(x-2) 即 x-y-3=0. 答案 A 5.下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x -y=0 表示同一曲线的方程是( A.?
? ?x=|t| ?y=t ?
2

).

B.?

? ?x=cos ?y=cos ?
2

t t

x=tan t ? ? C.? 1+cos 2t y= ? ? 1-cos 2t

x=tan t ? ? D.? 1-cos 2t y= ? ? 1+cos 2t
2 2

解析 注意参数范围,可利用排除法.普通方程 x -y=0 中的 x∈R,y≥0.A 2cos t 2 中 x=|t|≥0,B 中 x=cos t∈[-1,1],故排除 A 和 B.而 C 中 y= =cot t 2 2sin t = 1 1 2 = 2,即 x y=1,故排除 C. 2 tan t x

答案 D 6.直线 3x-4y-9=0 与圆?
?x=2cos θ , ? ?y=2sin θ ?

(θ 为参数)的位置关系是

(

).
-2-

A.相切 C.直线过圆心

B.相离 D.相交但直线不过圆心
2 2

解析 把圆的参数方程化为普通方程,得 x +y =4,得到半径为 2,圆心为 (0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,即可判断直线 和圆的位置关系. 答案 D 1 ? ?x=t+ , t (t 为参数)所表示的曲线是 7.参数方程? ? ?y=-2 A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 ( ).

D.两条直线

解析 根据参数中 y 是常数可知,方程表示的是平行于 x 轴的直线,再利用 不等式知识求出 x 的范围可得 x≤-2 或 x≥2,可知方程表示的图形是两条射 线. 答案 B 8.设 r>0,那么直线 xcos θ +ysin θ =r 与圆?
? ?x=rcos φ , ?y=rsin φ ?

(φ 是参数)的位置关系是

( A.相交 C.相离 B.相切

).

D.视 r 的大小而定

解析 根据已知圆的圆心在原点,半径是 r,则圆心(0,0)到直线的距离为 d = |0+0-r| cos θ +sin θ
2 2

=r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.

答案 B 9.过点(0,2)且与直线?

?x=2+t, (t 为参数)互相垂直的直线方程为 ?y=1+ 3t
B.?

(

).

A.?

?x= 3t ?y=2+t ?x=- 3t ?y=2-t

?x=- 3t ?y=2+t
D.?

C.?

?x=2- 3t ?y=t

解析 直线?

?x=2+t, 化为普通方程为 y= 3x+1-2 3,其斜率 k1= 3, ?y=1+ 3t ?x=- 3t 3 ,故参数方程为? (t 3 ?y=2+t
-3-

设所求直线的斜率为 k,由 kk1=-1,得 k=-

为参数). 答案 B 10.若圆的方程为? 位置关系是 A.相交过圆心 C.相切
2

?x=-1+2cos θ , ? ? ?y=3+2sin θ

(θ 为参数),直线的方程为? ( ).

?x=2t-1, ? ? ?y=6t-1

(t 为参数),则直线与圆的

B.相交但不过圆心 D.相离
2

解析 圆的标准方程为(x+1) +(y-3) =4, 直线的方程为 3x-y+2=0, 圆心坐标为(-1,3), 易验证圆心不在直线 3x-y+2=0 上. |-1×3-3+2| 4 而圆心到直线的距离 d= = <2, 2 2 3 +(-1) 10 ∴直线与圆相交. 答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确答案填在题中的横线上) 11.圆的参数方程为? ________. 4 解析 当 θ = π 时, 3

?x=2+4cos θ , 4 (0≤θ <2π ),若圆上一点 P 对应参数 θ = π ,则 P 点的坐标是 3 ?y=- 3+4sin θ

x=2+4cos π =0, y=- 3+4sin π =-3 3,
∴点 P 的坐标是(0,-3 3). 答案 (0,-3 3) 12.已知直线 l:x-y+4=0 与圆 C:?
2 2

4 3

4 3

? ?x=1+2cos θ ?y=1+2sin θ ?

,则 C 上各点到 l 的距离的最小值为________.

解析 圆方程为(x-1) +(y-1) =4, ∴d= |1-1+4| 1 +(-1)
2 2

=2 2,

∴距离最小值为 2 2-2. 答案 2 2-2
-4-

13.已知 P 为椭圆 4x +y =4 上的点,O 为原点,则|OP|的取值范围是________. 解析 由 4x +y =4,得 x + =1. 4 令?
?x=cos φ ? ? ?y=2sin φ
2 2 2 2 2

2

2

y2

(φ 为参数),
2 2 2 2

则|OP| =x +y =cos φ +4sin φ =1+3sin φ . ∵0≤sin φ ≤1,∴1≤1+3sin φ ≤4, ∴1≤|OP|≤2. 答案 [1,2]
2 2

x=2t, ? ? 14.点(-3,0)到直线? 2 (t 为参数)的距离为________. y= t ? 2 ? x=2t ? ? 解析 ∵直线? 2 的普通方程为 x-2 2y=0, y= t ? 2 ?
∴点(-3,0)到直线的距离为 d= 答案 1 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.已知 x,y 满足(x-1) +(y+2) =4,求 S=3x-y 的最值. 解 由(x-1) +(y+2) =4 可知曲线表示以(1,-2)为圆心,半径等于 2 的
2 2 2 2

|-3-0| 1+(-2 2)
2

=1.

圆.令 x=1+2cos θ ,y=-2+2sin θ ,则 S=3x-y=3(1+2cos θ )-(-2 +2sin θ )=5+6cos θ -2sin θ =5+2 10sin(θ +φ )(其中 tan φ =-3), 所以,当 sin(θ +φ )=1 时,S 有最大值 5+2 10; 当 sin(θ +φ )=-1 时,S 有最小值为 5-2 10. 所以 S 的最大值 Smax=5+2 10;

S 的最小值 Smin=5-2 10.
16.如图所示, 连结原点 O 和抛物线 y=2x 上的动点 M,延长 |OM|=|MP|,求 P 点的轨迹. 解 1 2 因为抛物线标准方程为 x = y, 2
2

OM 到点 P,使

-5-

1 ? ?x=2t, 所以它的参数方程为? (t 为参数), 1 ? ?y=2t
2

? ? 得 M? , ?.设 P(x,y),则 M 是 OP 的中点, ?2 2 ?
1 0+x ? ?2t= 2 , ? ?x=t, 所以? 即? (t 为参数), ?y=t 1 0+y ? ?2t = 2 , ?
2 2

t t2

消去参数 t,得 y=x .

2

? 1? 2 所以,点 P 的轨迹方程为 y=x ,它是以 y 轴为对称轴,焦点为?0, ?的抛物 ? 4?
线. 17.已知点 A 为椭圆 + =1 上任意一点,点 B 为圆(x-1) +y =1 上任意一点,求|AB|的最大值和最小 25 9 值. 解 化椭圆普通方程为参数方程?
? ?x=5cos θ , ?y=3sin θ ?

x2

y2

2

2

(θ 为参数),圆心坐标为 C(1,

0),再根据平面内两点之间的距离公式可得 |AC|= (5cos θ -1) +9sin θ = 16cos θ -10cos θ +10 = 5 ?2 135 ? 16?cos θ - ? + , 16? 16 ?
2 2 2

5 3 15 所以,当 cos θ = 时,|AC|取最小值为 ; 16 4 当 cos θ =-1 时,|AC|取最大值为 6. 5 3 15 所以,当 cos θ = 时,|AB|取最小值为 -1; 16 4 当 cos θ =-1 时,|AB|取最大值为 6+1=7. 18. 设直线 l 的参数方程为? (θ 为参数). (1)若直线 l 经过圆 C 的圆心,求直线 l 的斜率. (2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点,求直线 l 的斜率的取值范围. 解 (1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3,4),而圆 C 的圆心是 C(1,-1),
?x=3+tcos α , ? ?y=4+tsin α ?

(t 为参数, α 为倾斜角), 圆 C 的参数方程为?

?x=1+2cos θ , ? ?y=-1+2sin θ ?

5 所以,当直线 l 经过圆 C 的圆心时,直线 l 的斜率为 k= . 2

-6-

(2)由圆 C 的参数方程?

? ?x=1+2cos θ , ?y=-1+2sin θ ?

得圆 C 的圆心是 C(1,-1),半径为 2,

由直线 l 的参数方程为?

?x=3+tcos α , ? ? ?y=4+tsin α

(t 为参数,α 为倾斜角),

得直线 l 的普通方程为 y-4=k(x-3), 即 kx-y+4-3k=0, 当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径, 即 |5-2k| 21 <2,由此解得 k> . 2 20 k +1

?21 ? 直线 l 的斜率的取值范围为? ,+∞?. ?20 ?
?x=cos θ , ? 19.已知曲线 C1:? (θ ? ?y=sin θ

2 ? x = t- ? 2 为参数),曲线 C :? 2 ? ?y= 2 t
2

2, (t 为参数).

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C′1,C′2. 写出 C′1,C′2 的参数方程.C′1 与 C′2 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数 是否相同?说明你的理由. 解 (1)C1 是圆,C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2+y2=1,圆心 C1(0,0),半径 r=1. C2 的普通方程为 x-y+ 2=0.
因为圆心 C1 到直线 x-y+ 2=0 的距离为 1, 所以 C2 与 C1 只有一个公共点.

x=cos θ , ? ? (2)压缩后的参数方程分别为 C′1:? 1 y= sin θ , ? ? 2
2 ? ?x= 2 t- 为参数),C′ :? 2 y= t ? ? 4
2

2, (t 为参数),



1 2 2 2 化为普通方程为 C′1:x +4y =1,C′2:y= x+ , 2 2 联立消元得 2x +2 2x+1=0, 其判别式 Δ =(2 2) -4×2×1=0, 所以压缩后的直线 C′2 与椭圆 C′1 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点的
-72 2

个数相同.

-8-


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