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高等数学(本科) 试卷 2010-9-2 2:50


武汉理工大学网络学院试卷 A
课程名称:高等数学 选择题 15 填空题 15
备注:

专业班级: 应用题 20 证明题 10 总分 100

计算题 40

学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)

一、选择题(本题共 5 道小题,每小题 3 分,共 15 分) 1、

当 x ? 0 时, 1 ? cos x 是关于 x 2 的(

) D、等价无穷小

A、高阶无穷小

B、低阶无穷小

C、同阶无穷小但不等价 )

2、 x ? 1 是函数 f ( x) ? ?

? x ?1 ?2 ? x

0 ? x ?1 的( 1? x ? 2

A、连续点

B、可去间断点

C、跳跃间断点

D、无穷间断点 )条件 D、无关的 )

3、函数 f (x) 在 x ? x0 处连续是 f (x) 在 x ? x0 处可导的(

A、充分

B、必要
a

C、充要

4、设函数 f (x) 在 ?? a, a?上连续,则定积分

??a f (?x)dx等于 (
f ( x)dx
D. )

A. 0

B. 2? f ( x)dx
0 x

a

C. - ?

a

?a

??a f ( x)dx

a

5、设 f(x) 为连续函数,则

?a f (t )dt (

A. 为 f(t) 的一个原函数 C.为 f(x) 的一个原函数

B.为 f(t) 的所有原函数 D.为 f(x) 的所有原函数

二、填空题(本题共 5 道小题,每小题 3 分,共 15 分) 1、 lim

2 n ?1 ? 3 n ?1 = n ?? 2 n ? 3 n

2、设 f ( x) ? 2 x ,则 f ??(0) = 3、若点 (1, 3) 是曲线 y ? ? 4、若 5、设

3 3 x ? ax 2 的拐点,则 a ? 2

? f ( x)dx ? e

? x2

? C ,则 f ? x ? =

?a f (t )dt ? a

x

2x

, f ( x)为连续函数,则 f (x) =

.

三、计算题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,共 40 分)

1、求 y ?

1
3

1 ? ln(x ? 1)
1

的定义域.

) . 2、 lim ( ? x x ?0 x e ?1
3、 y ? arctan x ,求 4、 ? x sin xdx . 5、计算定积分

1

dy . dx

?

1 1 2

1? x2 x2

dx .

四、应用题(本题共 2 道小题,每小题 10 分,共 20 分) 1、某房地产公司有 50 套公寓要出租,当租金定为每月 180 元时,公寓会全部租

出去.当租金每月增加 10 元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月 需花费 20 元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?
2、求由曲线 y 2 ? 2 x 和直线 y ? x ? 4 所围图形的面积. 五、证明题(本题共 1 道小题,每小题 10 分,共 10 分) 1、设 f ( x) 在 ?0, 1? 上连续,且 f ( x) ? 1 .又 F ( x) ? 2 x ? 1 ?

?0 f (t )dt .证明: F (x) 在

x

(0, 1) 内只有一个零点.

武汉理工大学网络学院试卷参考答案
课程名称:高等数学 一、选择题(5×3 分 = 15 分) C;C;B;D;C; 二、填空题(5×3 分 = 15 分) 1、3 2、 ln 2 2 3、
9 2
2

专业班级:

4、 ? 2 xe? x

5、 2a 2 x ln a 三、计算题(5×8 分 = 40 分)

?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ?x ? 1 ? 0 1、由 ? 得 ? 或 ? , ?1 ?1 ?1 ? ln(x ? 1) ? 0 ?x ? 1 ? e ?x ? 1 ? e
从而定义域为 (1,1 ? e?1 ) ? (1 ? e ?1 , ? ?) .
ex ?1? x 1 1 ex ?1 1 ex ?1? x 2、 lim ( ? x = lim = lim = ) = lim x ?0 x 2 x?0 2 x e ? 1 x ?0 x (e x ? 1) x?0 x2

3、 y ? ?
?

1 ( x )? 1? x

1 1 1 ? ? 1 ? x 2 x 2 x (1 ? x)

4、 ? x sin xdx . ? ? xd (? cos x) ? ? x cos x ? ? cos xdx ? ? x cos x ? sin x ? C . 5、令 x ? sin t , dx ? cos tdt , x ? 1, t ? 原式 ? ? ?2
4

?
2

; x?

1 2

,t ?

?
4

.

?

? cos 2 t ? dt ? ? ? cot t ? t ??2 =1 ? . 2 4 sin t 4

四、应用题(2×10 分 = 20 分)
? x ? 180 ? 1、设房租为每月 x 元,租出去的房子有 50 ? ? ? 套,每月总收入为 ? 10 ? x ? 180 ? ? R( x) ? ( x ? 20) ? 50 ? ? 10 ? ?

x? x ? ? 1? R?( x) ? ? 68 ? ? ? ( x ? 20) ? ? ? ? 70 ? R?( x) ? 0 ? x ? 350 (唯一驻点), 故 10 ? 5 ? ? 10 ?

每月每套租金为 350 元时收入最高,最大收入为 10890元
? y2 ? 2x 2、联立 ? ,得两曲线的交点 (2, ?2),(8, 4). 选 y 为积分变量, y ?? ?2, 4? ?y ? x ? 4

? y2 ? dA ? ? y ? 4 ? ? dy , 2 ? ?
所以 A ? ? dA ? 18.
?2 4

五、证明题(1×10 分 = 10 分) 1、 F ?( x) ? 2 ? f ( x) ? 2 ? 1 ? 0 ,所以 F (x) 在 (0, 1) 单调递增. 又 F (0) ? ?1, F (1) ? 1 ? ? f ( x)dx ? 0 ,
0 1

所以 F (x) 在 (0, 1) 内只有一个零点.

武汉理工大学网络学院试卷 B
课程名称:高等数学 选择题 15 填空题 15
备注:

专业班级: 应用题 20 证明题 10 总分 100

计算题 40

学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)

一、选择题(本题共 5 道小题,每小题 3 分,共 15 分) 1、函数 f ( x) ? cos

A、周期函数

1 是定义域内的( x B、单调函数

) C、有界函数 D、无界函数

2、若 f x?( x0 , y0 ) , f y?( x0 , y0 ) 存在,则 f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处

A. 一定不可微.

B. 一定可微.

C. 有定义. )

D. 无定义.

3、 f ( x, y) ? ln(1 ? x2 ? y 2 ) ,则 f ( x, y) 在 (0, 0) 处(

A. 取得最大值 0. C. 不取得极值.
4、微分方程 y "? 3 y? ? 2 y ? 0 的通解为(

B. 取得最小值 0. D. 无法判断是否取得极值. ) D. c1e? x ? c2e?2 x .

A. c1e2 x ? c2ex .
?

B. c1e?2 x ? c2ex .
1
k

C. c1e2 x ? c2e? x . ) . C. k <1.

5、若正项级数

?n
n ?1

收敛,则(

A. k >1.

B. k ≥1.

D. k ≤1.

二、填空题(本题共 5 道小题,每小题 3 分,共 15 分) 1、若点 (1, 3) 是曲线 y ? ?

3 3 x ? ax 2 的拐点,则 a ? 2
2x

2、如果 f ?x ? 的导函数是 4e ,则 f ?x ? 的一个原函数的是 3、

??1x sin

1

8

x dx =

.
?2 z = ?x 2
.

4、已知 z ? x 2 y 3 ,则
?

5、级数

xn ? n 2 的收敛区间为 n ?1



三、计算题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,共 40 分) 1、判定函数 y ? ln(x ? 1 ? x 2 ) 的奇偶性.

2、设 f ( x) ? ?

?x x ? 0 ,求(1) f ( x ? 1) ; (2) f ( x) ? f ( x ? 1) . ?1 x ? 0
?u ?v , . ?x ?y

3、设 f , g 均为连续可微函数。 u ? f ( x, xy ), v ? g ( x ? xy ) ,求 4、已知 x2 ? 2 y ? z 2 ? 2z 确定的 z ? z ( x, y ) ,求 dz . 5、 计算二重积分 I ?

其中 ?? xydxdy, D 是由 x ? 1 , y ? x 及 y ? 2 所围成的闭区域.
D

四、应用题(本题共 2 道小题,每小题 10 分,共 20 分) 1、长为 24 m 的线要剪成两段,一段围一个圆,另一段围一个正方形.问在何处

剪断可以使得圆形和正方形的面积之和最小?
2、设平面薄板由 ?

? x ? a(t ? sin t ) (0 ? t ? 2? ) 与 x 轴围成,它的面密度 ? ? 1 ,求形 ? y ? a(1 ? cos t )

心坐标.
五、证明题(本题共 1 道小题,每小题 10 分,共 10 分) 1、设函数 f (x) 在闭区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)内可导,且 f (1) ? 0 ,

试证:存在 ? ?(0,1) ,使得 ? f ?(? ) ? ? f (? )

武汉理工大学网络学院试卷参考答案 B
课程名称:高等数学 一、选择题(5×3 分 = 15 分) C;C;B;A;A; 二、填空题(5×3 分 = 15 分) 9 1、 2 2、 e 2 x 3、0 4、 2 y 3 5、 [?1,1] 三、计算题(5×8 分 = 40 分) 专业班级:

1、 y (? x) ? ln( ? x ? 1 ? x 2 ) ? ln

( x ? 1 ? x 2 )( ? x ? 1 ? x 2 ) x ? 1? x2

? ln

1 x ? 1? x
2

? ? ln(x ? 1 ? x 2 ) ? ? y( x) ;

故 y (x) 为奇函数. 2、 1) x ? 1 ? 0 即 x ? 1 时, f ( x ? 1) ? x ? 1 ; (
x ? 1 ? 0 即 x ? 1 时, f ( x ? 1) ? 1 ;

? x ?1 x ? 1 . ? f ( x ? 1) ? ? x ?1 ?1
?2 x ? 1 x ? 1 ? (2) f ? x ? ? f ? x ? 1? ? ?1 ? x 0 ? x ? 1 . ? 2 x?0 ?

3、

?u ?v ? f 1? ? yf 2? ; ? xg ?( x ? xy ) . ?x ?y 1 ?z x ?z 1 ( xdx ? dy ) . ? , ? , dz ? 1? z ?x 1 ? z ?y (1 ? z )
2 2
2 1

4、

5、 I ? ?? xydxdy ? ? dx? xydy = ?
1 x

D

9 x3 (2 x ? )dx = . 8 2

四、应用题(2×10 分 = 20 分) 1、 设用来作圆的一段长为 x , 另一段就是 24 ? x , 所考虑的两块面积之和记作 y . 则有函数关系
y ??( x 2 24 ? x 2 ) ?( ) , 0 ? x ? 24 2? 4

x 1 ? (24 ? x) , 2? 8 24? 令 y ? ? 0 ,得驻点 x ? . 4 ?? 144 24? 144 24 144 )? 端点和驻点的函数值: y (0) ? ( ) 2 ? , y (24) ? , y( ,比较 ? 4?? 4?? 4 4 24? 知,当长为 的一段作圆,余下一段作正方形时,两个图形的面积之和最小. 4 ?? 2、先求区域 D 的面积 A

于是

y? ?

? 0 ? t ? 2? ,? 0 ? x ? 2? a

A??

2? a

0 2?

y( x)dx

? ? a(1 ? cos t )d[a(t ? sin t )]
0

? ? a 2 (1 ? cos t )2 dt ? 3? a 2 .
0

2?

由于区域关于直线 x ? ? a 对称,所以形心在 x ? ? a 上,即 x ? ? a ,
y?
?
y( x) 1 2? a 1 ydxdy ? ? dx ? ydy 0 A 0 A ?? D

2? a 1 a [ y ( x)]2 dx ? 2 ?0 6? a 6? 5? ? . 6

?

2?

0

[1 ? cos t ]3 dt

故所求形心坐标为 (? a, 5 ? ) 6 五、证明题(1×10 分 = 10 分) 1、设 F ( x) ? xf ( x) ,显然 F ( x) 在 [0,1] 上连续,在(0,1)可导. 因为 f (1) ? 0 ,故 F (0) ? F (1) ? 0 , 由罗尔定理知存在 ? ? (0,1) 使 F ?(? ) ? 0 , 即 ? f ?(? ) ? ? f (? )

武汉理工大学网络学院试卷 C
课程名称:高等数学 选择题 15 填空题 15
备注:

专业班级:2010 秋入学考试 应用题 20 证明题 10 总分 100

计算题 40

学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)

一、选择题(本题共 5 道小题,每小题 3 分,共 15 分) 1、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是(


( D、 ln 2 ? x)

A、 ln ln x

B、 ln x

C、 )

1 ln x

2、曲线 y ? 6x ? 24x2 ? x4 的凸区间是(

A、 (-2,2)
3、 (

B、 ? ? ,0) (

C、 (0, ? ? )

D、 ?,?? ) (-

1 的一个原函数 2x 1 A、 ln 2 x B、 ? 2 2x 4、下列关系式正确的是( )

)是函数

( C、 ln 1 ? x)

1 D、 ln 2 x 2

A. ? xdx ? ? x 2 dx
0 0

1

1

B.

?0 x

1 3

dx ? ? t 2 dt
0

1

C. ?

1 x 1 2 e dx ? e x dx 0 0

?

D. 都不对 ) C. y ? ex . D. y ? sin x .

5、微分方程 y "? y ? x 有一个特解是(

A. y ? x .

B. y ? x2 .

二、填空题(本题共 5 道小题,每小题 3 分,共 15 分) 1、曲线 y ?

1
3

x2

在点(1,1)处的切线方程为
? e x, x?0 在分段点 x ? 0 处可导,则常数 a ? ?ax ? b, x ? 0

2、设函数 f ? x ? ? ?

,b ?

3、曲线 y ?

4x ? 1 ( x ? 2) 2

的铅直渐近线为
2x

4、如果 f ?x ? 的导函数是 4e ,则 f ?x ? 的一个原函数的是 5、微分方程 y ?? ? cos x ? 1 的通解为 三、计算题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,共 40 分)

.

1、求 y ?

x ? x 的定义域.

2、判定函数 y ? ln(x ? 1 ? x 2 ) 的奇偶性. 3、 y ? e
sin 1 x

,求

dy . dx

4、 x3 4 ? x 2 dx 5、求微分方程 xy? ? y ? x ln x 满足 y(e) ? e 的特解. 四、应用题(本题共 2 道小题,每小题 10 分,共 20 分) 1、 半径 10 厘米的金属圆片加热后, 半径伸长了 0.05 厘米, 问面积增大了多少? 2、求由 y ? 1 ? x 2 , y ? 0 所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积 五、证明题(本题共 1 道小题,每小题 10 分,共 10 分) 1、证明方程 x ? 2 ? e x ? 0 在(0,2)内有实根.

?

武汉理工大学网络学院试卷参考答案 C
课程名称:高等数学 一、选择题(5×3 分 = 15 分) B;A;D;B;A; 二、填空题(5×3 分 = 15 分) 1、 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 2、 a ? 1, b ? 1 3、 x ? 2 4、 e 2 x
1 2 x ? c1 x ? c2 2 三、计算题(5×8 分 = 40 分)

专业班级:2010 秋入学考试

5、 y ? ? cos x ?

?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 1、由 ? 得 ? 2 或 ? , 从 ?x ? x ? x( x ? 1) ? 0 ?x ? x ? 0











?x x ? 1或x ? 0?.
2、 y (? x) ? ln( ? x ? 1 ? x 2 ) ? ln
( x ? 1 ? x 2 )( ? x ? 1 ? x 2 ) x ? 1? x2

? ln

1 x ? 1? x
2

? ? ln(x ? 1 ? x 2 ) ? ? y( x) ;

故 y (x) 为奇函数. 3、 y? ? e
sin 1 x 1 sin 1 ?? 1 ? 1 ?? 1 sin 1 1 ? sin ? ? e x ? cos ? ? ? ? ? 2 e x ? cos . ? x? x ? x? x x ?

? ? ?? 4、令 x ? 2sin t ,得 dx ? 2cos tdt , t ? ? ? , ? ? 2 2?

原式 ? ? (2sin t )3 4 ? 4sin 2 t ? 2cos tdt
? 32? sin 3 t cos 2 tdt ? 32 ? sin t (1 ? cos 2 t ) cos 2 tdt ? ? 32? (cos 2 t ? cos 4 t )d cos t

1 ?1 ? ? ? 32 ? cos3 t ? cos5 t ? ? C 5 ?3 ?
?? 32 3

?

4 ? x2

? ? 32 ? 5
3

4 ? x2

? ? C.
5

1 1 y ? ln x ,其中 P( x) ? ? , Q( x) ? ln x , x x ? ? P( x) d x (P ) x d x n ? n 通 解 为 y? e [? Q x e ( ) ? d x ? el n [ ? l xe ? xldx ? C ] Cx

5、标准化得 y ? ?

] ? x[ ?

ln x dx ? C ] x

? x[ln ln x ? C ] .

代入初始条件 x ? e, y ? e ,得所求特解为 y ? x(1 ? ln ln x) . 四、应用题(2×10 分 = 20 分) 1、设 A ? ?r 2 , r ? 10 厘米, ?r ? 0.05 厘米
? ?A ? dA ? 2?r ? ?r ? 2? ?10 ? 0.05 ? ? (厘米 2 ) ,即面积大约增大了 ? 厘米 2 .

2、 V ? 2? ? (1 ? x 2 ) 2 dx
0

1

1 2 4 ? )? ? 0 5 3 15 五、证明题(1×10 分 = 10 分)

? 2? ? (1 ? x 4 ? 2 x 2 )dx ? 2? (1 ?

1

1、证:

设 f ( x) ? x ? 2 ? e x , 则有 f (0) ? 1 ? 0, f (2) ? 4? e2 ? 0,显然 f ( x) 在 [0, 2] 连续,故由零点定

理知,存在 x0 ? (0, 2) 使 f ( x0 ) ? 0 ,即方程 x ? 2 ? e x ? 0 在 (0, 2) 有实根.


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