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山东省烟台市2013届高三一模理科数学试题


山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试

数学(理)试题
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.使用答题纸时, 必须使用 0. 毫米的黑龟墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔. 5 要 字迹工整,笔迹清晰,超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效。 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 一、

选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.已知 i 是虚数单位,若 z(i+1)=i,则|z|等于 A.1 B.
3 2

C.

2 2

D.

1 2

2.若集合 M={x∈N*| x<6},N= ? x || x ? 1 | ? 2 ? ,则 M ? ( ?R N ) = A. (-∞,-1) B. ?1, 3 ?
1 2 2 2

C. (3,6)

D.{4,5}

3.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(
1 2 1 2
2 x ?1
2

,

) ,则 log2f(2)的值为

A.

B.-

C.2
?
2 ? ? )] ? 1 ,则 ? 的值为

D.-2

4.已知函数 f(x)=e A. k ? ?
?
4

,若 f [c o s ( B. k ? ?
?
4

C.

k? 2

?

?
4

D. k ? ?

?
4

(其中

k∈Z) 4 4 2 4 5.下列说法错误的是: A.命题“若 x2—4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3,则 x2-4x+3≠0” B.“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p、g 均为假命题 D.命题 P:″ ? x ? R ,使得 x2+x+1<0”,则 ? P : " ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 "
2

6.若函数 f(x)=2sin ? x (? ? 0 ) 在区间 [ ? A.
2 3

?
3

,

?
4

] 上单调递增,则 ? 的最大值等于

B.

3 2

C.2

D.3

-1-

7.若回归直线方程的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线的方程是 ^ ^ A. y =1.23x+4 B. y =1.23x+5 C. y =1. 23x+0. 08 D. y =0. 08x+1. 23

8.如右图,某几何体的三视图均为边长为 l 的正方形,则该几何体的体积是 A.
5 6

B. D.

2 3
1 2

C.1

9.若点 P 是以 A ?? 10 , 0 ? 、 B ? 10 , 0 ? 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线 与圆 x2+y2 =10 的一个交点,则|PA|+ |PB|的值为 A. 2 2 C. 4 3 B. 4 2 D. 6 2

10.函数 f(x)=-(cosx)1g|x|的部分图像是

?x ? 1 ? 11.实数 x,y 满足 ? y ? a ( a ? 1) ,若函数 z=x+y 取得垦大值 4,则实数 a 的值为 ?x ? y ? 0 ?

A.2

B.3
? 2 x ? 1, ( x ? 0 ) ? f ( x ? 1 ) ? 1, ( x ? 0 )

C.4

D.

3 2

12.已知函数 f(x)= ?

,把函数 g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的

顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为 A. a n ?
n ( n ? 1) 2

B. a n ? n ? 1 D. a n ? 2 ? 2
n

C. a n ? n ( n ? 1)

二、填空题:本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案 填在答题卡的相应位置。 13.执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为 。 14.若(x2- ) 的展弄式中含 x 的项为第 6 项,设(1-3x)n
n

1

x

-2-

=ao+a1x+a2x2+…+anxn,则 al+a2+…+an 的值为


?13 ?7 ? 15 3 ? 3 ? 3 , ?9 , ? , …, 4 ?11 ?17 ? ?19 ?

15. 对大于 l 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”: 3 ? 2

?3 ?5

仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 59,则 m 的值为 16.给出下列命题:①函数 y=
x x
2



? 4

在区间[1,3]上是增函数;

②函数 f(x)=2x -x2 的零点有 3 个; ③函数 y= sin x(x∈ [ ? ? , ? ] )图像与 x 轴围成的图形的面积是 S= ④若 ? ~N(1, ? ) ,且 P(0≤ ? ≤1)=0.3,则 P( ? ≥2)=0.2.
2

? ? sin
?

?

xdx ;

其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上) : 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推 理步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知平面向量 a =(cos ? ,sin ? ) ,b=(cosx,sinx) ,c=(sin ? ,-cos ? ) ,其中 0< ? < ? , 且函数 f(x)=(a· b)cosx+(b· c)sinx 的图像过点( (1)求 ? 的值; (2)先将函数 y=f(x)的图像向左平移
?
12

?
6

,1) 。

个单位,然后将得到函数图像上各点的横坐
?
2

标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 y=g(x)在[0, 上的最大值和最小值.

]

18. (本小题满分 12 分) 已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足:a2·4=65,a1+a5=18。 a (1)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值; (2)设 b n ?
n ( 2 n ? 1) S n

,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1+b2+…+bn<m 对于任意的

正整数 n 均成立,若存在,求出常数 m;若不存在,请说明理由。

-3-

19. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60o,四边形 ACFE 为矩形, 平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1。 (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 ? (? ≤90o) ,试求 cos ? 的取值范 围。

20. (本小题满分 12 分) 从参加某次高三数学摸底考试的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制) (均为整数) 分成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察 图形中的信息,回答下列问题。 (1)补全这个频率分布直方图,并估计本次考试的平 均分; (2)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩 在[40,70)记 0 分,在[70,100]记 1 分,用 X 表示抽 取结束后的总记分,求 x 的分布列和数学期望。

21. (本小题满分 13 分) 设 A ( x1, y1 ) b ( x2, y2 ) 是 椭 圆 C : ,
? x1 y1 m ? ? , ? b a ? x y2 ? , ?, n ? ? ? b a ? ?
2

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 ( a>b>0 ) 上 两 点 , 已 知

? 3 ? ,若 m· 且椭圆的离心率 e= n=0 ,短轴长为 2,O 为坐标 ? 2 ?

原点. (1)求椭圆的方程; (2)试问△ AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由。

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 (x) f =axlnx 图像上点 (e) 处的切线与直线 y=2x 平行 (e, ) f (其中 e= 2. 71828…) , 2 2 g(x)=x -x -tx-2. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (3)对一切 x ? ? 0 , e ? ,3f(x)≥g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围。

-4-

-5-

-6-

-7-

-8-


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