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河南省实验中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)


河南省实验中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1. (5 分)函数 f(x)=lg(1﹣x ) ,集合 A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则如图中阴影部 分表示的集合为()

A.[﹣1,0] 1]∪(0,1)

B.(﹣1,0)

C.(﹣∞,﹣1)∪[0,1)

D. (﹣∞, ﹣

2. (5 分)已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)对应值表: x 1 2 3 4 5 6 f(x) 123.56 21.45 ﹣7.82 11.57 ﹣53.76 ﹣126.49 函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有() A.3 个 B. 2 个 C. 4 个 D.5 个 3. (5 分)已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则() A.?p:?x∈R,sinx≥1 B. ?p:?x∈R,sinx≥1 C. ?p:?x∈R,sinx>1 D.?p:?x∈R,sinx>1 4. (5 分)设条件 p:|x﹣2|<3,条件 q:0<x<a,其中 a 为正常数,若 p 是 q 的必要不充分 条件,则 a 的取值范围是() A.(0,5] B.(0,5) C.[5,+∞) D.(5,+∞)

5. (5 分)已知△ ABC 满足 A.等边三角形 B.锐角三角形

,则△ ABC 是() C.直角三角形 D.钝角三角形

6. (5 分)已知 A.a<b<c

,b=logπ3, B.b<c<a

,则 a,b,c 的大小关系是() C.c<b<a ,△ ABC 的面积 D.b<a<c

7. (5 分)在△ ABC 中, 范围是() A.[ ] B. [

夹角的取值

]

C. [

]

D.[

]

8. (5 分)为了得到函数 y=sinx 的图象,需要把函数

图象上的所有点()

A.横坐标缩短到原来的 倍,再向右平移 B. 横坐标伸长到原来的 倍,再向右平移 C. 横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 D.横坐标伸长到原来的 倍,再向左平移

个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度

9. (5 分)已知如图是函数 y=2sin(ωx+φ) (|φ|<

)的图象上的一段,则()

A.ω=

,φ=

B.ω=

,φ=﹣

C.ω=2,φ=

D.ω=2,φ=﹣

10. (5 分)已知 sinx+siny= ,则 u=sinx+cos x 的最小值是() A.﹣ B . ﹣1
2

2

C. 1

D.

11. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+1 对任意 x∈(0,1]恒有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的取 值范围是() A.[1,+∞) B.[﹣ ,+∞)
x

C.(﹣∞,1]

D.(﹣∞,﹣ ]

12. (5 分)设 a∈R,若函数 y=e +3ax(x∈R)有小于零的极值点,则() A.﹣3<a<0 B.﹣ <a<0 C.a<﹣3 D.a<﹣

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 取值范围是.

14. (5 分)已知 =(3,1) , =(sinα,cosα) ,且 ∥ ,则

=.

(几何证明选做题)

15. (5 分) 如图, 已知 AB 和 AC 是圆的两条弦, 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于 D. 过 点 C 作 BD 的平行线与圆交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF= ,则线段 BD 的 长为.

(坐标系与参数方程选做题) 16. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l1: (θ 为参数)的位置关系不可能是. (t 为参数) 与圆 C2:

(不等式选做题) 2 17.不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a ﹣3a 对任意实数 x 恒成立,则正实数 a 的取值范围.

18. (5 分) 如图, 平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M, 点 P 是 MD 的中点. 若| | |=1,且∠BAD=60°,则 ? =.

|=2,

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分. 19. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 对应的边,向量 =(a+b,c) , =(a+b, ﹣c) ,且 ? =( (1)求角 C; (2)函数 f(x)=2sin(A+B)cos (ωx)﹣cos(A+B)sin(2ωx)﹣ (ω>0)的相邻两个 极值的横坐标分别为 x0﹣ 、x0,求 f(x)的单调递减区间.
2

+2)ab.

20. (14 分)设函数 f(x)=lnx﹣ax+

﹣1.

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数 g(x)=x ﹣2bx﹣ 使 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 b 的取值范围. 21. (14 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求 的值; .
2

,若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],

(2)若 cosB= ,△ ABC 的周长为 5,求 b 的长.

22. (14 分)给定两个长度为 1 的平面向量 以 O 为圆心的圆弧 上运动.若 =x +y



,它们的夹角为

.如图所示,点 C 在

,其中 x,y∈R,求 x+y 的最大值.

23. (16 分) (文科做)已知函数 f(x)=lnx+a,g(x)=ax,a∈R. (1)若 a=1,设函数 ,求 F(x)的极大值;

(2)设函数 G(x)=f(x)﹣g(x) ,讨论 G(x)的单调性.

请从以下三题任选一题解答. 24. (选修 4﹣1:几何证明选讲) 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E, DB 垂直 BE 交圆于 D. (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△ BCF 外接圆的半径.

25.在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ρ=6cosθ+8sinθ.现以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的 非负半轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若圆 C 上的动点 P 的直角坐标为(x,y) ,求 x+y 的最大值,并写出 x+y 取得最大值时 点 P 的直角坐标. 26.设函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|,x∈R. (1)解不等式 f(x)≤5; (2)若 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

河南省实验中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1. (5 分)函数 f(x)=lg(1﹣x ) ,集合 A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则如图中阴影部 分表示的集合为()

A.[﹣1,0] 1]∪(0,1)

B.(﹣1,0)

C.(﹣∞,﹣1)∪[0,1)

D. (﹣∞, ﹣

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 分析: 首先根据对数函数的定义域和值域化简集合 A,B;由图知阴影部分表示的集合为将 A∪B 除去 A∩B 后剩余的元素所构成的集合,然后即可借助数轴求出结果 2 解答: 解:∵f(x)=lg(1﹣x ) ,集合 A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)}, 2 2 ∴A={x|y=lg(1﹣x )}={x|1﹣x >0}={x|﹣1<x<1} 2 B={y|y=lg(1﹣x )}={y|y≤0} ∴A∪B={x|x<1} A∩B={x|﹣1<x≤0} 根据题意, 图中阴影部分表示的区域为 A∪B 除去 A∩B 后剩余的元素所构成的集合为: (﹣∞, ﹣1]∪(0,1) 故选:D. 点评: 本小题考查数形结合的思想,考查集合交并运算的知识,借助数轴保证集合运算的 准确定. 2. (5 分)已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)对应值表:

x 1 2 3 4 f(x) 123.56 21.45 ﹣7.82 11.57 函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有() A.3 个 B. 2 个 C. 4 个

5 ﹣53.76

6 ﹣126.49 D.5 个

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 图表型. 分析: f(2)>0,f(3)<0,由零点存在定理知在区间[2,3]上至少有一个零点,同理可 以判断出在区间[4,5]上至少有一个零点. 解答: 解:由图可知,f(2)>0,f(3)<0,由零点存在定理知在区间[2,3]上至少有一 个零点,同理可以判断出在区间[4,5]上至少有一个零点,所以在区间[1,6]上的零点至少有 两个. 故选:B. 点评: 本小题主要考查函数零点存在定理的应用,考查学生的应用意识,只要记准零点存 在定理的适用条件即可准确求解,难度一般不大,属于基础题. 3. (5 分)已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则() A.?p:?x∈R,sinx≥1 B. ?p:?x∈R,sinx≥1 C. ?p:?x∈R,sinx>1 D.?p:?x∈R,sinx>1 考点: 命题的否定. 专题: 阅读型. 分析: 本题所给的命题是一个特称命题,存在性命题的否定是一个全称合理,把存在符号 变为任意符号,将结论否定即可 解答: 解:∵p:?x∈R,sinx≤1,∴p:?x∈R,sinx>1 考查四个选项,D 正确 故选 D 点评: 本题考查命题的否定,求解本题的关键是正确理解含有量词的命题的否定的书写格 式与规则,即特称命题的否定是全称命题,全称命题的否定是特称命题. 4. (5 分)设条件 p:|x﹣2|<3,条件 q:0<x<a,其中 a 为正常数,若 p 是 q 的必要不充分 条件,则 a 的取值范围是() A.(0,5] B.(0,5) C.[5,+∞) D.(5,+∞) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质,以及充分条件和必要条件的定义,即可得到结论. 解答: 解:由|x﹣2|<3,得﹣3<x﹣2<3,即﹣1<x<5,即 p:﹣1<x<5, ∵q:0<x<a,a 为正常数 ∴要使若 p 是 q 的必要不充分条件, 则 0<a≤5, 故选:A. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法以及充分条件和必要条件的判断,比较基础.

5. (5 分)已知△ ABC 满足 A.等边三角形 B.锐角三角形

,则△ ABC 是() C.直角三角形 D.钝角三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据向量的加减运算法则,将已知化简得 = + ? ,得 ? =0.结合向

量数量积的运算性质,可得 CA⊥CB,得△ ABC 是直角三角形. 解答: 解:∵△ABC 中, ∴ = 即 ∴ ( = ⊥ ﹣ + )+ ? ? ,得 = ? ? + =0 ? ,

即 CA⊥CB,可得△ ABC 是直角三角形

故选:C 点评: 本题给出三角形 ABC 中的向量等式,判断三角形的形状,着重考查了向量的加减法 则、数量积的定义与运算性质等知识,属于基础题.

6. (5 分)已知 A.a<b<c

,b=logπ3, B.b<c<a

,则 a,b,c 的大小关系是() C.c<b<a D.b<a<c

考点: 不等式比较大小. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数和对数函数的单调性即可比较出大小.注意与数 0,1 的大小比较. 解答: 解:∵ ,0=logπ1<logπ3<logππ=1, ,

∴c<b<a. 故选 C. 点评: 熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键.

7. (5 分)在△ ABC 中, 范围是() A.[ ] B. [

,△ ABC 的面积

夹角的取值

]

C. [

]

D.[

]

考点: 平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题.

分析: 利用向量的数量积求得表达式,根据三角形面积的范围,可以得到 B 的范围,然后 求题目所求夹角的取值范围. 解答: 解: S= 所以 sinB∈ 所以

即 所以: 这就是 夹角的取值范围.

故选 B. 点评: 本题考查平面向量数量积的运算,数量积表示两个向量的夹角,考查计算能力,是 基础题.

8. (5 分)为了得到函数 y=sinx 的图象,需要把函数 A.横坐标缩短到原来的 倍,再向右平移 B. 横坐标伸长到原来的 倍,再向右平移 C. 横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 D.横坐标伸长到原来的 倍,再向左平移 个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度

图象上的所有点()

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,得出结论. 解答: 解:把函数 可得函数 y=sin[( x)× + 再把所得图象向右平移 ]=sin(x+ 图象上的所有点横坐标变为原来的 倍, )的图象,

个单位长度,可得函数 y=sinx 的图象,

故选 A. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,属于中档题. 9. (5 分)已知如图是函数 y=2sin(ωx+φ) (|φ|< )的图象上的一段,则()

A.ω=

,φ=

B.ω=

,φ=﹣

C.ω=2,φ=

D.ω=2,φ=﹣

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据周期可求得 ω 值,利用五点法作图的过程得 2× 解答: 解:由图象知函数周期 T= 所以 ω= =2. ,2) ,由五点法作图得,2× +φ= ,解得 φ= . =π, +φ= ,由此可求 φ 值.

又函数图象过点( 所以 ω=2,φ= .

故选 C. 点评: 本题考查五点作图的方法,在一个周期内,图象上的五个关键点的横坐标分别为:0, ,π, ,2π.

10. (5 分)已知 sinx+siny= ,则 u=sinx+cos x 的最小值是() A.﹣ B . ﹣1 C. 1 D.

2

考点: 三角函数的最值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式变形表示出 siny,根据正弦函数的值域确定出 sinx 的范围,原式利用同角 三角函数间基本关系变形,利用二次函数的性质求出最小值即可. 解答: 解:∵sinx+siny= , ∴siny= ﹣sinx∈[﹣1,1], ∴sinx∈[﹣ ,1], 则 u=sinx+1﹣sin x=﹣(sinx﹣ ) + , 结合二次函数的性质可知:当 x=﹣ 时,函数值取得最小值且为﹣ ,
2 2

故选:A. 点评: 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用,正弦函数的值域,以及二次函数的性 质, 解决的关键是将所求的函数的表达式变形为二次函数形式, 结合三角函数的有界性性质来 得到. 11. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+1 对任意 x∈(0,1]恒有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的取 值范围是() A.[1,+∞) B.[﹣ ,+∞) C.(﹣∞,1] D.(﹣∞,﹣ ]
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 方法一、讨论判别式小于 0,或判别式大于 0,区间在对称轴的左边或右边,由单调 性考虑最小值不大于 0,解出不等式组即可; 方法二、运用参数分离,得到 2a≤x 小值 2,解 2a≤2,即可得到. 在 x∈(0,1]恒成立,对右边运用基本不等式,求得最

解答: 解法一:依题意可得△ =4a ﹣4≤0,或

2





解得﹣1≤a≤1,或





即有﹣1≤a≤1,或 a<﹣1 或 a∈?,故实数 a 的取值范围是: (﹣∞,1] 解法二:f(x)=x ﹣2ax+1 对任意 x∈(0,1]恒有 f(x)≥0 成立, 即有 2a≤x 由于 x 在 x∈(0,1]恒成立,
2

≥2,当且仅当 x=1 取最小值 2,

则 2a≤2,即有 a≤1. 故选 C. 点评: 本题考查含参二次不等式恒成立问题可运用二次函数的性质和判别式,也可通过参 数分离,运用基本不等式求最值,属于中档题. 12. (5 分)设 a∈R,若函数 y=e +3ax(x∈R)有小于零的极值点,则() A.﹣3<a<0 B.﹣ <a<0 C.a<﹣3 D.a<﹣
x

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用.

分析: 利用导数的运算法则可得:y′=e +3a,令 y′=0,可得 e =﹣3a.可得 a<0,由 x=ln(﹣ 3a)<0,解出即可. 解答: 解:y′=e +3a, x 令 y′=0,有 e =﹣3a. ∴a<0,x=ln(﹣3a)<0, ∴﹣3a<1,解得 ∴ . .
x

x

x

故选:B. 点评: 本题考查了导数的运算法则、指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 取值范围是( , ) .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数奇偶性的性质. 压轴题. 本题采用画图的形式解题比较直观. 解:如图所示:

∵f(2x﹣1)<f( ) ∴﹣ <2x﹣1< , 即 <x< . 故答案为: ( , )

点评: 本题考查函数的奇偶性的应用.关键是利用了偶函数关于 y 轴对称的性质.

14. (5 分)已知 =(3,1) , =(sinα,cosα) ,且 ∥ ,则

= .

考点: 同角三角函数基本关系的运用;平行向量与共线向量. 专题: 计算题.

分析: 利用向量平行的性质可求得 sinα 和 cosα 的关系, 进而求得 tanα 的值, 把题设中式子 分子分母同时除以 cosα,然后把 tanα 的值代入即可求得答案. 解答: 解:∵ ∥ ∴3cosα=sinα,即 tanα=3, ∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用.要求考生能熟练掌握三角函数中 平方,倒数和商数等关系. (几何证明选做题) 15. (5 分) 如图, 已知 AB 和 AC 是圆的两条弦, 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于 D. 过 点 C 作 BD 的平行线与圆交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF= ,则线段 BD 的 长为 . .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 由相交弦定理求出 FC,由相似比求出 BD, 解答: 解:由相交弦定理可得:3×1= ×FC, ∴FC=2 ∵BD∥CF, ∴ ∴BD= 故答案为: 点评: 本题考查相交弦定理,考查切割线定理,考查学生的计算能力,属于基础题. (坐标系与参数方程选做题) 16. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l1: (θ 为参数)的位置关系不可能是相离. (t 为参数) 与圆 C2: ,

考点: 圆的参数方程;直线的参数方程. 专题: 压轴题;直线与圆. 分析: 先把直线 l1 与圆 C2 的参数方程化为普通方程,再利用点到直线的公式求出圆心到直 线的距离,再与半径 1 比较即可. 解答: 解:把直线 l1 的方程: tanα=0, 把圆 C2 的方程: 圆心到直线的距离为: . 点评: 熟练掌握参数方程化为普通方程的方法、点到直线的公式、直线与圆的位置关系的 判定方法是解题的关键. (不等式选做题) 2 17.不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a ﹣3a 对任意实数 x 恒成立,则正实数 a 的取值范围[4,+∞) . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先去绝对值符号确定|x+3|﹣|x﹣1|的取值范围,然后让 a ﹣3a 大于它的最大值即可. 解答: 解:令 y=|x+3|﹣|x﹣1|, 当 x>1 时,y=x+3﹣x+1=4; 当 x<﹣3 时,y=﹣x﹣3+x﹣1=﹣4; 当﹣3≤x≤1 时,y=x+3+x﹣1=2x+2, ∴﹣4≤y≤4; 2 ∴要使得不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a ﹣3a 对任意实数 x 恒成立 2 只要 a ﹣3a≥4 即可 ∴a≤﹣1 或 a≥4, ∴正实数 a 的取值范围 a≥4. 故答案为:[4,+∞) . 点评: 本题主要考查不等式恒成立问题.大于一个函数式只需要大于它的最大值即可.
2

(t 为参数)化为直角坐标方程为 xtanα﹣y﹣

(θ 为参数) 化为直角坐标方程为 x +y =1, 圆心 (0, 0) , 半径 r=1.

2

2

18. (5 分) 如图, 平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M, 点 P 是 MD 的中点. 若| | |=1,且∠BAD=60°,则 ? = .

|=2,

考点: 平面向量数量积的运算. 分析: 通过图形,分别表示 解答: 解: 由题意不难求得 则 = = = ,然后进行向量数量积的运算即可. ,

故答案为:



点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,用已知向量表示未知向量,是中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分. 19. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 对应的边,向量 =(a+b,c) , =(a+b, ﹣c) ,且 ? =( (1)求角 C; (2)函数 f(x)=2sin(A+B)cos (ωx)﹣cos(A+B)sin(2ωx)﹣ (ω>0)的相邻两个 极值的横坐标分别为 x0﹣ 、x0,求 f(x)的单调递减区间.
2

+2)ab.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用平面向量的坐标运算及余弦定理可求得角 C; (2) 利用三角恒等变换可求得 ( f x) =sin (2ωx+ ) , 由相邻两个极值的横坐标分别为 x0﹣ 、

x0,可求得其周期,继而可得 ω=1,从而可得函数解析式,利用正弦函数的单调性即可求得答 案. 解答: 解: (1)∵ =(a+b,c) , =(a+b,﹣c) , ? =( ∴a +b ﹣c = ∴cosC= ∴C= ;
2 2 2 2

+2)ab,

ab,

,又 0<C<π,

(2)f(x)=2sin(A+B)cos ωx﹣cos(A+B)sin2ωx﹣ =2sinCcos ωx+cosCsin2ωx﹣
2

=2sin =

cos ωx+cos + ) ,

2

sin2ωx﹣

sin2ωx﹣

=sin(2ωx+

∵相邻两个极值的横坐标分别为 x0﹣ ∴f(x)的最小正周期 T=π,即 ∴f(x)=sin(2x+ 由 2kπ+ ≤2x+ ) ,

、x0, =π,ω=1,

≤2kπ+

,k∈Z,得:kπ+ ,kπ+

≤x≤kπ+

,k∈Z,

∴f(x)的单调递减区间为[kπ+

],k∈Z.

点评: 本题考查面向量的坐标运算及余弦定理,着重考查三角恒等变换的应用及正弦函数 的单调性,考查运算求解能力,属于中档题.

20. (14 分)设函数 f(x)=lnx﹣ax+

﹣1.

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数 g(x)=x ﹣2bx﹣ 使 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 b 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 专题: 综合题. 分析: 确定函数 f(x)的定义域,并求导函数 (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x﹣1,求出 f(1)=﹣2,f′(1)=0,即可得到 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)求导函数,令 f'(x)<0,可得函数 f(x)的单调递减区间;令 f'(x)>0,可得函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅲ) 当 时, 求得函数 f (x) 在[1, 2]上的最小值为 f (1) = ; 对于?x1∈[1, 2] , ?x2∈[0,
2

,若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],

1]使 f(x1)≥g(x2)成立,等价于 g(x)在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在(0,e]上的最 小值,求出 b 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , (2 分) ,x∈[0,1]的最小值,即可求得

(Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x﹣1,∴f(1)=﹣2, ∴f′(1)=0,∴f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=﹣2(5 分) (Ⅱ) = (6 分)



令 f′(x)<0,可得 0<x<1,或 x>2;令 f'(x)>0,可得 1<x<2 故当 分) (Ⅲ)当 时,由(Ⅱ)可知函数 f(x)在(1,2)上为增函数, (9 分) 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,2) ;单调递减区间为(0,1) , (2,+∞) . (8

∴函数 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(1)=

若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立,等价于 g(x)在[0,1]上的最小值不 大于 f(x)在(0,e]上的最小值 又 ①当 b<0 时,g(x)在[0,1]上为增函数, 盾 ②当 0≤b≤1 时, ,由 及 0≤b≤1 得, (*) (10 分) ,x∈[0,1] 与(*)矛

③当 b>1 时, g (x) 在[0, 1]上为减函数, 此时 b>1(11 分) 综上,b 的取值范围是 (12 分)



点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查恒成立 问题,解题的关键是将对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立,转化为 g(x) 在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在(0,e]上的最小值. 21. (14 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求 的值;



(2)若 cosB= ,△ ABC 的周长为 5,求 b 的长.

考点: 正弦定理的应用;余弦定理. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.

分析: (1)利用正弦定理化简等式的右边,然后整理,利用两角和的正弦函数求出 值. (2)利用(1)可知 c=2a,结合余弦定理,三角形的周长,即可求出 b 的值. 解答: 解: (1)因为 所以



即:cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA 所以 sin(A+B)=2sin(B+C) ,即 sinC=2sinA 所以 =2

(2)由(1)可知 c=2a…① a+b+c=5…② b =a +c ﹣2accosB…③ cosB= …④ 解①②③④可得 a=1,b=c=2; 所以 b=2 点评: 本题是中档题,考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用,函数 与方程的思想,考查计算能力,常考题型.
2 2 2

22. (14 分)给定两个长度为 1 的平面向量 以 O 为圆心的圆弧 上运动.若 =x +y



,它们的夹角为

.如图所示,点 C 在

,其中 x,y∈R,求 x+y 的最大值.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 对
2

=x

+y

,两边平方并根据已知条件可得到:x ﹣xy+y =(x+y) ﹣3xy=1,

2

2

2

所以 (x+y)﹣1=3xy, 因为根据向量加法的平行四边形法则可知, x, y>0, 所以 xy≤ 所以(x+y) ﹣1≤ (x+y) ,所以得到 x+y≤2,所以 x+y 的最大值是 2. 解答: 解:由已知条件知:
2 2 2



=1=(x

+y

) =x ﹣xy+y =(x+y) ﹣3xy;

2

2

2

2

∴(x+y) ﹣1=3xy,根据向量加法的平行四边形法则,容易判断出 x,y>0,

∴x+y≥2
2

,∴xy≤
2


2

∴(x+y) ﹣1≤ (x+y) ,∴(x+y) ≤4,∴x+y≤2,即 x+y 的最大值为 2. 点评: 考查向量数量积的运算及计算公式,向量加法的平行四边形法则,基本不等式. 23. (16 分) (文科做)已知函数 f(x)=lnx+a,g(x)=ax,a∈R. (1)若 a=1,设函数 ,求 F(x)的极大值;

(2)设函数 G(x)=f(x)﹣g(x) ,讨论 G(x)的单调性. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,确定函数的单调性,即可求 F(x)的极大值; (2)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出函数的单调性. 解答: 解: (1)当 a=1 时, ,定义域为 x∈(0,+∞) ,



.…(2 分)

令 F'(x)=0 得 x=1,列表:…(4 分) x (0,1) 1 F'(x) + 0 F(x) ↗ 极大值 当 x=1 时,F(x)取得极大值 F(1)=1.…(7 分) (2)G(x)=lnx+a﹣ax(x>0) ,∴ 若 a≤0,G'(x)>0, G(x)在(0,+∞)上递增; 若 a>0,当 当

(1,+∞) ﹣ ↘ . …(9 分)

…(11 分)

时,G'(x)>0,G(x)单调递增; 时,G'(x)<0,G(x)单调递减. …(14 分)

∴当 a≤0 时,G(x)的增区间为(0,+∞) , 当 a>0 时,G(x)的增区间为 ,减区间为 . …(16 分)

点评: 本题考查利用导数研究函数的极值,考查函数的单调性,正确求导是关键. 请从以下三题任选一题解答. 24. (选修 4﹣1:几何证明选讲) 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E, DB 垂直 BE 交圆于 D. (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△ BCF 外接圆的半径.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: (I)连接 DE 交 BC 于点 G,由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,由已知角平分线可 得∠ABE=∠CBE,于是得到∠CBE=∠BCE,BE=CE.由已知 DB⊥BE,可知 DE 为⊙O 的直 径,Rt△ DBE≌Rt△ DCE,利用三角形全等的性质即可得到 DC=DB. (II)由(I)可知:DG 是 BC 的垂直平分线,即可得到 BG= .设 DE 的中点为 O,连接

BO,可得∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.得到 CF⊥BF.进而得到 Rt△ BCF 的外接圆的半径= .

解答: (I)证明:连接 DE 交 BC 于点 G. 由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE, ∴∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又∵DB⊥BE,∴DE 为⊙O 的直径,∠DCE=90°. ∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB. (II)由(I)可知:∠CDE=∠BDE,DB=DC. 故 DG 是 BC 的垂直平分线,∴BG= .

设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠BOG=60°. 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°. ∴CF⊥BF. ∴Rt△ BCF 的外接圆的半径= .

点评: 本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形 的外接圆的半径等知识,需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力. 25.在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ρ=6cosθ+8sinθ.现以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的 非负半轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若圆 C 上的动点 P 的直角坐标为(x,y) ,求 x+y 的最大值,并写出 x+y 取得最大值时 点 P 的直角坐标.

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)由 ρ=6cosθ+8sinθ 利用 x=ρcosθ、y=ρsinθ 把极坐标方程化为直角坐标方程,并 化简. (Ⅱ)由圆 C 的参数方程 (θ 为参数) ,可得 x+y=7+5 sin(θ+ ) ,由此求

得 x+y 的最大值,以及 x+y 取得最大值时点 P 的直角坐标. 2 解答: 解: (Ⅰ)由 ρ=6cosθ+8sinθ,得 ρ =6ρcosθ+8ρsinθ, 2 2 所以圆 C 的直角坐标方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0, 2 2 即 (x﹣3) +(y﹣4) =25. (Ⅱ)由(Ⅰ)得圆 C 的参数方程为 所以 x+y=7+5 因此当 θ=2kπ+ sin(θ+ ) , , 4+ ) . (θ 为参数) .

,k∈z 时,x+y 取得最大值为 7+5

且当 x+y 取得最大值时点 P 的直角坐标为 (3+

点评: 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,属于基础 题. 26.设函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|,x∈R. (1)解不等式 f(x)≤5; (2)若 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

考点: 绝对值不等式的解法;函数的值域. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论;转化思想. 分析: (1)对不等式)|2x﹣1|+|2x﹣3|≤5,分 x≥ , <x< 和 x< 三种情况进行讨论, 转化为一元一次不等式求解, 把求的结果求并集,就是原不等式的解集. (2) 的定义域为 R,转化为则 f(x)+m≠0 恒成立,即 f(x)+m=0 在 R

上无解,求函数 f(x)的最小值. 解答: 解: (1) 不等式的解集为 (2)若 解 的定义域为 R,则 f(x)+m≠0 恒成立,即 f(x)+m=0 在 R 上无 或 或

又 f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2,f(x)的最小值为 2, 所以 m>﹣2. 点评: 问题(1)考查绝对值的代数意义,去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法,属 中档题;问题(2)考查应用绝对值的几何意义求最值,体现了转化的思想,属中等题.


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