当前位置:首页 >> 语文 >>

南京市2015届高三年级第三次模拟考试试卷


南京市 2015 届高三年级第三次模拟考试


注意事项:



2015.05

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试 卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、班级、学

校写在答题纸上.试题的答案写在答题纸 上对应题 ... 目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. 参考公式 1 n 1 n 样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s2= ∑(xi-- x )2,其中- x = ∑xi. n i=1 n i=1 1 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸 相应位置 上. ... .... 2i 1.已知复数 z= -1,其中 i 为虚数单位,则 z 的模为 1-i ▲ .

2.经统计,在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 ▲ . ▲ . 4 0.1 ≥5 0.04

则该营业窗口上午 9 点钟时,至少有 2 人排队的概率是

? ?x+y≤2, 3.若变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 z=2x+y 的最大值是 ? ?y≥0,
4.右图是一个算法流程图,则输出 k 的值 是 ▲ .
开始 k←1 S←40

5.如图是甲、乙两位射击运动员的 5 次 训练成绩(单位:环)的茎叶图,则 成绩较为稳定(方差较小)的运动员 是 ▲ .

k←k+1 S←S-2k S≤0 Y 输出 k 结束 (第 4 题图) (第 5 题图) N

甲 乙 7 8 9 7 8 8 9 3 1 0 9 6 9

高三数学试卷第 1 页(共 4 页)

6.记不等式 x2+x-6<0 的解集为集合 A,函数 y=lg(x-a)的定义域为集合 B.若“x∈A”是“x∈B” 的充分条件,则实数 a 的取值范围为 ▲ .

y2 7.在平面直角坐标系 xOy 中,过双曲线 C:x2- =1 的右焦点 F 作 x 轴的垂线 l,则 l 与双曲线 C 3 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ . ▲ .

8.已知正六棱锥 P-ABCDEF 的底面边长为 2,侧棱长为 4,则此六棱锥的体积为

? ? 9.在△ABC 中, ?ABC=120?,BA=2,BC=3,D,E 是线段 AC 的三等分点,则 BD · BE 的值 为 ▲ . ▲ .

10.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 Sk-1=8,Sk=0,Sk+1=-10,则正整数 k=

? ? 11. 若将函数 f(x)=∣sin(?x- )∣(?>0)的图象向左平移 个单位后, 所得图象对应的函数为偶函数 , 6 9 则实数?的最小值是 ▲ . ▲ .

12.已知 x,y 为正实数,则

4x y + 的最大值为 4x+y x+y

13. 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为(x-1)2+(y-1)2=9, 直线 l: y=kx+3 与圆 C 相交于 A, B 两点,M 为弦 AB 上一动点,以 M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总有公共点,则实数 k 的取值 范围为 ▲ .

14.已知 a,t 为正实数,函数 f(x)=x2-2x+a,且对任意的 x∈[0,t],都有 f(x)∈[-a,a].若对每 一个正实数 a,记 t 的最大值为 g(a),则函数 g(a)的值域为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸 指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、 ... ..... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 acosC+ccosA=2bcosA. (1)求角 A 的值; (2)求 sinB+sinC 的取值范围.

高三数学试卷第 2 页(共 4 页)

16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,BC∥AD,PA⊥PD,AD=2BC,AB=PB, E 为 PA 的中点. (1)求证:BE∥平面 PCD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.
A E D P

B (第 16 题图)

C

17. (本小题满分 14 分) 如图, 摩天轮的半径 OA 为 50m, 它的最低点 A 距地面的高度忽略不计. 地面上有一长度为 240m 的景观带 MN,它与摩天轮在同一竖直平面内,且 AM=60m.点 P 从最低点 A 处按逆时针方向转动 到最高点 B 处,记?AOP=?,? ∈(0,π). 2? (1)当? = 时,求点 P 距地面的高度 PQ; 3 (2)试确定? 的值,使得?MPN 取得最大值.
B P

O ? A Q M (第 17 题图) N

高三数学试卷第 3 页(共 4 页)

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设中心在坐标原点的椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1、F2,右准线 l:x=m+1 与 x 轴的交点为 B,BF2=m. (1)已知点( 6 ,1)在椭圆 C 上,求实数 m 的值; 2

(2)已知定点 A(-2,0). TA ①若椭圆 C 上存在点 T,使得 = 2,求椭圆 C 的离心率的取值范围; TF1 ②当 m=1 时,记 M 为椭圆 C 上的动点,直线 AM,BM 分别与椭圆 C 交于另一点 P,Q, → → → → 若AM =λ AP ,BM=? BQ ,求证:λ+?为定值.
P F1 O F2 y M A Q l B x

(第 18 题图)

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=x2-x+t,t≥0,g(x)=lnx. (1)令 h(x)=f(x)+g(x),求证:h(x)是增函数; (2)直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切.对于确定的正实数 t,讨论直线 l 的条数,并说明理 由.

20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}的各项均为正数,其前 n 项的和为 Sn,且对任意的 m,n∈N*,
2 都有(Sm+n+S1) =4a2ma2n.

a2 (1)求 的值; a1 (2)求证:{an}为等比数列; (3)已知数列{cn},{dn}满足|cn|=|dn|=an,p(p≥3)是给定的正整数,数列{cn},{dn}的前 p 项的 和分别为 Tp,Rp,且 Tp=Rp,求证:对任意正整数 k(1≤k≤p),ck=dk.

高三数学试卷第 4 页(共 4 页)

南京市 2015 届高三年级第三次模拟考试
数学附加题
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上.试题的答案写在答 题纸 上对应 . .. 题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只要选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷纸指定 . .... 区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB,AC 是⊙ O 的切线,ADE 是⊙ O 的割线,求证:BE· CD=BD· CE.
B E A D O C (第 21A 题图)

2015.05

B.选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A=? a 1? ? 1 a ?,直线 l:x-y+4=0 在矩阵 A 对应的变换作用下变为

直线 l?:x-y+2a=0. (1)求实数 a 的值; (2)求 A2.

高三数学试卷第 5 页(共 4 页)

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 ? 在极坐标系中,设圆 C:?=4 cos? 与直线 l:?= (?∈R)交于 A,B 两点,求以 AB 为直径的圆 4 的极坐标方程.

D.选修 4-5:不等式选讲 1 已知实数 x,y 满足 x>y,求证:2x+ 2 ≥2y+3. x -2xy+y2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷纸指定区域内 作答.解答应写出文 . ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 2 3 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA?平面 ABCD,AD∥BC,AB?AD,BC= ,AB=1,BD=PA 3
P

=2. (1)求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-PD-C 的余弦值.
A D C

B

23. (本小题满分 10 分) 已知集合 A 是集合 Pn={1,2,3,?,n} (n≥3,n∈N*)的子集,且 A 中恰有 3 个元素,同时这 3 个元素的和是 3 的倍数.记符合上述条件的集合 A 的个数为 f(n). (1)求 f(3),f(4); (2)求 f(n)(用含 n 的式子表示).

高三数学试卷第 6 页(共 4 页)

南京市 2015 届高三第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 5 6.(-∞,-3] 3 11. 2 2.0.74 7.4 3 12. 4 3 3.4 8.12 3 13.[- ,+∞) 4 4.6 11 9. 9 5.甲 10.9 14.(0,1)∪{2}

2015.05

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.解: (1)因为 acosC+ccosA=2bcosA,所以 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA, 即 sin(A+C)=2sinBcosA. 因为 A+B+C=π,所以 sin(A+C)=sinB. 从而 sinB=2sinBcosA. 1 因为 sinB≠0,所以 cosA= . 2 π 因为 0<A<π,所以 A= . 3 ?????????? 7 分 ?????????? 4 分

2π 2π 2π (2)sinB+sinC=sinB+sin( -B)=sinB+sin cosB-cos sinB 3 3 3 3 3 π = sinB+ cosB= 3sin(B+ ). 2 2 6 2π π π 5π 因为 0<B< ,所以 <B+ < . 3 6 6 6 所以 sinB+sinC 的取值范围为( 3 , 3]. 2 ?????????? 14 分 ?????????? 11 分

高三数学试卷第 7 页(共 4 页)

16.证明: (1)取 PD 的中点 F,连接 EF,CF. 1 因为 E 为 PA 的中点,所以 EF∥AD,EF= AD. 2 1 因为 BC∥AD,BC= AD, 2 所以 EF∥BC,EF=BC. 所以四边形 BCFE 为平行四边形. 所以 BE∥CF. ?????????? 4 分
B (第 16 题图) C E A P F D

因为 BE?平面 PCD,CF?平面 PCD, 所以 BE∥平面 PCD. (2)因为 AB=PB,E 为 PA 的中点,所以 PA⊥BE. 因为 BE∥CF,所以 PA⊥CF. ?????????? 9 分 ?????????? 6 分

因为 PA⊥PD,PD?平面 PCD,CF?平面 PCD,PD∩CF=F, 所以 PA⊥平面 PCD. 因为 PA?平面 PAB,所以平面 PAB?平面 PCD. 17.解: (1)由题意,得 PQ=50-50cos? . 2? 2? 从而,当? = 时,PQ=50-50cos =75. 3 3 即点 P 距地面的高度为 75m. ?????????? 4 分 ?????????? 12 分 ?????????? 14 分

(2) (方法一)由题意,得 AQ=50sin? ,从而 MQ=60-50sin? ,NQ=300-50sin? . 又 PQ=50-50cos? , NQ 6-sin? MQ 6-5sin? 所以 tan?NPQ= = ,tan?MPQ= = . PQ 1-cos? PQ 5-5cos? ?????????? 6 分 从而 tan?MPN=tan(?NPQ-?MPQ) 6-sin? 6-5sin? - 1-cos? 5-5cos? tan?NPQ-tan?MPQ = = 1+tan?NPQ?tan?MPQ 6-sin? 6-5sin? 1+ × 1-cos? 5-5cos? 12(1-cos?) = . 23-18sin?-5cos? 12(1-cos?) 令 g(? )= ,? ∈(0,π), 23-18sin?-5cos? ?????????? 9 分

高三数学试卷第 8 页(共 4 页)

12×18(sin?+cos?-1) 则 g?(?)= ,? ∈(0,π). (23-18sin?-5cos?)2 由 g?(?)=0,得 sin? +cos? -1=0,解得? = ? . 2 ?????????? 11 分 ? ? 当? ∈(0, )时,g?(? )>0,g(? )为增函数;当? ∈( ,?)时,g?(? )<0,g(? )为减函数, 2 2 所以,当? = ? 时,g(? )有极大值,也为最大值. 2

? ? 因为 0<?MPQ<?NPQ< ,所以 0<?MPN< , 2 2 从而当 g(? )=tan?MPN 取得最大值时,?MPN 取得最大值. 即当? = ? 时,?MPN 取得最大值. 2 ?????????? 14 分

(方法二)以点 A 为坐标原点,AM 为 x 轴建立平面直角坐标系, 则圆 O 的方程为 x2+(y-50)2=502,即 x2+y2-100y=0,点 M(60,0),N(300,0). 设点 P 的坐标为 (x0,y0),所以 Q (x0,0),且 x02+y02-100y0=0. NQ 300-x0 MQ 60-x0 从而 tan?NPQ= = ,tan?MPQ= = . PQ y0 PQ y0 ?????????? 6 分 从而 tan?MPN=tan(?NPQ-?MPQ) 300-x0 60-x0 - y0 y0 tan?NPQ-tan?MPQ = = 1+tan?NPQ?tan?MPQ 300-x0 60-x0 1+ × y0 y0 = 24y0 . 10y0-36x0+1800

由题意知,x0=50sin? ,y0=50-50cos? , 12(1-cos?) 所以 tan?MPN== . 23-18sin?-5cos? (下同方法一) 18.解: (1)设椭圆 C 的方程为
2

?????????? 9 分

x2 y2 + =1(a>b>0). a2 b2
2

? ? ?a2=m+1, ?a =m+1, 由题意,得? c 解得?b =m, ?(m+1)-c=m, ? ? ?c=1.
x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. m+1 m

高三数学试卷第 9 页(共 4 页)

因为椭圆 C 过点(

6 3 1 ,1),所以 + =1, 2 m 2(m+1)

1 解得 m=2 或 m=- (舍去). 2 所以 m=2. (2)①设点 T(x,y). TA 由 = 2,得(x+2)2+y2=2[(x+1)2+y2],即 x2+y2=2. TF1 y =2, ?x + ? 2 x y2 由? 得 y2=m2-m. + =1, ? ?m+1 m 因此 0≤m2-m≤m,解得 1≤m≤2. 所以椭圆 C 的离心率 e= 1 3 2 ∈[ , ]. 3 2 m+1 ?????????? 10 分
2 2

?????????? 4 分

??????? 6 分

②(方法一)设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2). ? ? 则AM=(x0+2,y0), AP =(x1+2,y1).
?x0+2=?(x1+2), ? ? 由AM=? AP , 得 ? ?y0=?y1. ?x0=?x1+2(?-1), 从而? ?y0=?y1.

?????????? 12 分

[?x1+2(?-1)]2 x02 因为 +y02=1,所以 +(?y1)2=1. 2 2 x12 即?2( +y12)+2?(?-1)x1+2(?-1)2-1=0. 2 因为 x12 +y12=1,代入得 2? (?-1)x1+3?2-4?+1=0. 2

由题意知,?≠1, 3?-1 ?-3 故 x1=- ,所以 x0= . 2 2? -?+3 同理可得 x0= . 2 因此 ?????????? 14 分

?-3 -?+3
2 = 2

, ?????????? 16 分

所以?+?=6. (方法二)设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2). y0 直线 AM 的方程为 y= (x+2). x0+2

y0 x2 1 2 2 2 2 将 y= (x+2)代入 +y2=1,得( (x0+2)2+y0 )x +4y0 x+4y0 -(x0+2)2 =0(*). 2 2 x0+2

高三数学试卷第 10 页(共 4 页)

x02 2 2 因为 +y02=1,所以(*)可化为(2x0+3)x2+4y0 x-3x0 -4x0=0. 2
2 3x0 +4x0 3x0+4 因为 x0x1=- ,所以 x1=- . 2x0+3 2x0+3

3x0-4 同理 x2= . 2x0-3 ? ? → → 因为AM=? AP , BM =? BQ , x0+2 x0-2 x0+2 x0-2 所以?+?= + = + x1+2 x1-2 3x0+4 3x0-4 - +2 -2 2x0+3 2x0-3 = 即 λ+?为定值 6.

?????????? 14 分

(x0+2)(2x0+3) (x0-2)(2x0-3) + =6. x0+2 -x0+2 ?????????? 16 分

1 19.解: (1)由 h(x)=f(x)+g(x)=x2-x+t+lnx,得 h' (x)=2x-1+ ,x>0. x 1 因为 2x+ ≥2 x 1 2x·=2 2,所以 h' (x)>0, x ?????????? 3 分

从而函数 h(x)是增函数.

(2)记直线 l 分别切 f(x),g(x)的图象于点(x1,x12-x1+t),(x2,lnx2), 由 f'(x)=2x-1,得 l 的方程为 y-(x12-x1+t)=(2x1-1)(x-x1),即 y=(2x1-1)x-x12+t. 1 1 1 由 g'(x)= ,得 l 的方程为 y-lnx2= (x-x2),即 y= · x+lnx2-1. x x2 x2

? 2x1-1= 1 , ? x2 所以? (*) ?-x12+t=lnx2-1. ?
(1+x2)2 消去 x1 得 lnx2+ -(t+1)=0 4x22 (**). ?????????? 7 分

2 (1+x)2 1 1+x 2x -x-1 (2x+1)(x-1) 令 F(x)=lnx+ = ,x>0. 2 -(t+1),则 F'(x)= - 3 = 4x x 2x 2x3 2x3

由 F'(x)=0,解得 x=1. 当 0<x<1 时,F'(x)<0,当 x>1 时,F'(x)>0, 所以 F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 从而 F(x)min=F(1)=-t. ?????????? 9 分

当 t=0 时,方程(**)只有唯一正数解,从而方程组(*)有唯一一组解, 即存在唯一一条满足题意的直线;
+ +

?????????? 11 分

当 t>0 时,F(1)<0,由于 F(et 1)>ln(et 1)-(t+1)=0,

高三数学试卷第 11 页(共 4 页)

故方程(**)在(1,+∞)上存在唯一解;

?????????? 13 分

1 1 1 x-1 令 k(x)=lnx+ -1(x≤1),由于 k' (x)= - 2= 2 ≤0,故 k (x)在(0,1]上单调递减, x x x x 1 故当 0<x<1 时,k (x)>k (1)=0,即 lnx>1- , x (1+x)2 1 1 从而 lnx+ -(t+1)>( - )2-t. 4x2 2x 2 1 1 1 1 所以 F( )>( t+ )2-t= t+ >0,又 0< <1, 2 4 2( t+1) 2( t+1) 故方程(**)在(0,1)上存在唯一解. 所以当 t>0 时,方程(**)有两个不同的正数解,方程组(*)有两组解. 即存在两条满足题意的直线. 综上,当 t=0 时,与两个函数图象同时相切的直线的条数为 1; 当 t>0 时,与两个函数图象同时相切的直线的条数为 2. ?????????? 16 分
2 20.解: (1)由(Sm+n+S1) =4a2na2m,得(S2+S1) =4a2,即(a2+2a1)2=4a2 . 2

2

2

a2 因为 a1>0,a2>0,所以 a2+2a1=a2,即 =2. a1 令 m=n=2,得 S4+S1=2a4,即 2a1+a2+a3=a4. 所以 a4=4a2=8a1. a2 又因为 =2,所以 a3=4a1. a1

?????????? 3 分

证明:(2)(方法一)令 m=1,n=2,得(S3+S1)2=4a2a4,即(2a1+a2+a3)2=4a2a4,

?????????? 6 分

由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(Sn+1+S1)2=4a2na2,(Sn+2+S1)2=4a2na4. (Sn+2+S1)2 a4 Sn+2+S1 两式相除,得 = ,所以 = (Sn+1+S1)2 a2 Sn+1+S1 即 Sn+2+S1=2(Sn+1+S1), 从而 Sn+3+S1=2(Sn+2+S1). 所以 an+3=2an+2,故当 n≥3 时,{an}是公比为 2 的等比数列. 又因为 a3=2a2=4a1,从而 an=a1·2 n 1,n∈N*.


a4 =2. a2

显然,an=a1·2 n

-1

满足题设, ?????????? 10 分

因此{an}是首项为 a1,公比为 2 的等比数列. (方法二)在(Sm+n+S1)2=4a2na2m 中, 令 m=n,得 S2n+S1=2a2n. 令 m=n+1,得 S2n+1+S1=2 a2na2n+2 ,

① ②

高三数学试卷第 12 页(共 4 页)

在①中,用 n+1 代 n 得,S2n+2+S1=2a2n+2. ②-①,得 a2n+1=2 a2na2n+2-2a2n=2 a2n( a2n+2- a2n), ③-②,得 a2n+2=2a2n+2-2 a2na2n+2=2 a2n+2( a2n+2- a2n), 由④⑤得 a2n+1= a2na2n+2.

③ ④ ⑤ ⑥ ?????????? 8 分

⑥代入④,得 a2n+1=2a2n;⑥代入⑤得 a2n+2=2a2n+1, a2n+2 a2n+1 a2 所以 = =2.又 =2, a1 a2n+1 a2n 从而 an=a1·2 n 1,n∈N*.


显然,an=a1·2 n

-1

满足题设, ?????????? 10 分

因此{an}是首项为 a1,公比为 2 的等比数列. (3)由(2)知,an=a1·2 n 1.


因为|cp|=|dp|=a1·2p 1,所以 cp=dp 或 cp=-dp.


若 cp=-dp,不妨设 cp>0,dp<0, 则 Tp≥a1·2p 1-(a1·2p 2+a1·2p 3+?+a1)=a1·2p 1-a1·(2p 1-1)=a1>0.
- - - - -

Rp≤-a1·2p 1+(a1·2p 2+a1·2p 3+?+a1)=-a1·2p 1+a1·(2p 1-1)=-a1<0.
- - - - -

这与 Tp=Rp 矛盾,所以 cp=dp. 从而 Tp-1=Rp-1. 由上证明,同理可得 cp-1=dp-1.如此下去,可得 cp-2=dp-2,cp-3=dp-3.?,c1=d1. 即对任意正整数 k(1≤k≤p),ck=dk. ?????????? 16 分

高三数学试卷第 13 页(共 4 页)

南京市 2015 届高三第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:因为 AB 是⊙ O 的切线,所以?ABD=?AEB. 又因为?BAD=?EAB,所以△ BAD∽ △ EAB. BD AB 所以 = . BE AE CD AC 同理, = .. CE AE 因为 AB,AC 是⊙ O 的切线,所以 AB=AC. BD CD 因此 = ,即 BE· CD=BD· CE. BE CE B.选修 4—2:矩阵与变换 解: (1)设直线 l 上一点 M0(x0,y0)在矩阵 A 对应的变换作用下变为 l ?上点 M(x,y), ?????????? 10 分 ?????????? 5 分

2015.05

则?

? x ?=? a 1 ?? x0 ?=? ax0+y0 ?, ? ? ? ? ? ? y ? ? 1 a ?? y0 ? ? x0+ay0 ?

?x=ax0+y0, 所以? ?y=x0+ay0.

?????????? 3 分

代入 l ?方程得(ax0+y0)-(x0+ay0)+2a=0, 即(a-1)x0-(a-1)y0+2a=0. 因为(x0,y0)满足 x0-y0+4=0, 2a 所以 =4,解得 a=2. a-1 (2)由 A=?

?????????? 6 分

2 1? 2 1 ?? 2 1 ? ? 5 4 ? ,得 A2=? ?1 2? ? 1 2 ??? 1 2 ?=? 4 5 ?.

??????? 10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解: 以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,则由题意,得

高三数学试卷第 14 页(共 4 页)

圆 C 的直角坐标方程 x2+y2-4x=0, 直线 l 的直角坐标方程 y=x.
?x2+y2-4x=0, ?x=0, ?x=2, 由? 解得? 或 ? ?y=x, ?y=0, ?y=2.

?????????? 4 分

所以 A(0,0),B(2,2). 从而以 AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2,即 x2+y2=2x+2y. ?????????? 7 分 将其化为极坐标方程为:?2-2?(cos?+sin?)=0,即?=2(cos?+sin?). ???????? 10 分 D.选修 4—5:不等式选讲 证明:因为 x>y,所以 x-y>0,从而 1 左边=(x-y)+(x-y)+ +2y (x-y)2 ≥3
3

1 (x-y)?(x-y)? +2y (x-y)2

=2y+3 =右边. 即原不等式成立. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共 20 分. 22.解: (1)因为 PA?平面 ABCD,AB?平面 ABCD,AD?平面 ABCD, 所以 PA?AB,PA?AD. 又 AD?AB, 故分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 根据条件得 AD= 3. 2 3 所以 B(1,0,0),D(0, 3,0),C(1, ,0),P(0,0,2). 3 ? ? 2 3 从而 BD =(-1, 3,0), PC =(1, ,-2). 3 ?????????? 3 分 设异面直线 BD,PC 所成角为? , ?? → → BD ? PC 则 cos? =|cos< BD , PC >|=| | ? ? ∣ BD ∣?∣ PC ∣
x B A D C y z P

?????????? 10 分

高三数学试卷第 15 页(共 4 页)

2 3 (-1, 3,0)·(1, ,-2) 3 57 =| |= . 38 19 2× 3 即异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值为 57 . 38 ?????????? 5 分

? (2)因为 AB?平面 PAD,所以平面 PAD 的一个法向量为 AB =(1,0,0). 设平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z), ? ? ? ? 2 3 由 n? PC ,n? PD , PC =(1, ,-2), PD =(0, 3,-2), 3

? ?x=3z, ?x+2 3y-2z=0, 3 得? 解得? 2 3 ? ? 3y-2z=0, ?y= 3 z.
不妨取 z=3,则得 n=(2,2 3,3). 设二面角 A-PD-C 的大小为?, ? 则 cos?=cos< AB ,n>= ? (1,0,0)·(2,2 3,3) 2 AB · n = = . 5 ? 1×5 ∣ AB ∣×∣n∣ ?????????? 10 分 ?????????? 2 分 ?????????? 8 分

2

2 即二面角 A-PD-C 的余弦值为 . 5 23.解: (1)f(3)=1,f(4)=2; n (2)设 A0={m∣m=3p,p∈N*,p≤ }, 3 n+1 A1={m∣m=3p-1,p∈N*,p≤ }, 3 n+2 A2={m∣m=3p-2,p∈N*,p≤ }, 3

它们所含元素的个数分别记为∣A0∣,∣A1∣,∣A2∣.????????? 4 分 ①当 n=3k 时,则∣A0∣=∣A1∣=∣A2∣=k. k=1,2 时,f(n)=(Ck)3=k3; 3 3 3 1 k≥3 时,f(n)=3Ck+(Ck)3= k3- k2+k. 2 2 1 1 1 从而 f(n)= n3- n2+ n,n=3k,k∈N*. 18 6 3 ?????????? 6 分
1

②当 n=3k-1 时,则∣A0∣=k-1,∣A1∣=∣A2∣=k. k=2 时,f(n)=f(5)=2×2×1=4;

高三数学试卷第 16 页(共 4 页)

k=3 时,f(n)=f(8)=1+1+3×3×2=20; 3 5 3 1 3 1 k>3 时,f(n)=Ck-1+2Ck+Ck-1 (Ck)2= k3-3k2+ k-1; 2 2 1 1 1 4 从而 f(n)= n3- n2+ n- ,n=3k-1,k∈N*. ?????????? 8 分 18 6 3 9 ③当 n=3k-2 时,∣A0∣=k-1,∣A1∣=k-1,∣A2∣=k. k=2 时,f(n)=f(4)=2×1×1=2; k=3 时,f(n)=f(7)=1+3×2×2=13; 9 3 1 3 1 3 k>3 时,f(n)=2Ck-1+Ck+(Ck-1)2 Ck= k3- k2+5k-2; 2 2 1 1 1 2 从而 f(n)= n3- n2+ n- ,n=3k-2,k∈N*. 18 6 3 9

? 所以 f(n)=? ?

1 3 1 2 1 n - n + n,n=3k,k∈N*, 18 6 3 1 3 1 2 1 4 n - n + n- ,n=3k-1,k∈N*, 18 6 3 9 1 3 1 2 1 2 n - n + n- ,n=3k-2,k∈N*. 18 6 3 9

???????? 10 分

高三数学试卷第 17 页(共 4 页)


相关文章:
江苏省南京市2015届高三第三次模拟考试数学试题及答案
南京市 2015 届高三年级第三次模拟考试 数注意事项: 学 2015.05 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两...
南京市2015届高三年级第三次模拟考试
南京市2015届高三年级第三次模拟考试_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。南京市2015届高三年级物理第三次模拟考试,不错的试卷南京...
南京市2015届高三年级第三次模拟考试语文答案
南京市2015届高三年级第三次模拟考试语文答案_高三语文_语文_高中教育_教育专区。南京市 2015 届高三年级第三次模拟考试语文答案 5.如果答成“?明星?类员工是实用...
江苏省南京市2015届高三第三次模拟考试语文试题 Word版含答案
江苏省南京市2015届高三第三次模拟考试语文试题 Word版含答案_语文_高中教育_教育专区。南京市2015届高三年级第三次调研语文测试卷(2015.5) 注意事项: 1.本试卷...
南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学+(含参考答案及评分标准)+2015.05
南京市 2015 届高三年级第三次模拟考试 数注意事项: 学 2015.05 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两...
2015届江苏省南京市高三第三次模拟考试语文试题及答案
2015届江苏省南京市高三第三次模拟考试语文试题及答案_语文_高中教育_教育专区。南京市 2015 届高三年级第三次调研语文测试卷(2015.5) 注意事项: 1.本试卷共 6...
南京市2015届高三年级第三次模拟考试化学
南京市2015届高三年级第三次模拟考试化学_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。2015 届江苏南京高三第三次模拟考试试卷 化学 2015.5 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和...
江苏省南京市2015届高三第三次模拟考试英语试题(解析版)
江苏省南京市 2015 届高三第三次模拟考试 英语第一部分 听力(共两节,满分 20 分) 做题时,现将答案标在试卷上。录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的...
南京市2015届高三第三次模拟考试英语试题
南京市2015届高三第三次模拟考试英语试题_高三英语_英语_高中教育_教育专区。南京市 2015 届高三第三次模拟考试 英语 2015. 05 第一部分 听力(共两节,满分 20 ...
更多相关标签:
南京市高三数学试卷 | 高三第三次数学试卷 | 南京市八年级数学试卷 | 七年级第三次月考试卷 | 五年级第三次月考试卷 | 2016南京市第三次模拟 | 南京市2017届高三调研 | 2017南京市高三调研 |