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第二章函数的概念与基本初等函数 第三节


第三节
4 3 2 3

二次函数与幂函数
1

A 组三年高考真题(2016~2014 年)
1.(2016· 全国Ⅲ,6)已知 a=2 ,b=3 ,c=253,则( A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a ) D.c<a<b

1 ? 1 2.(2015· 四川,9)如果函数 f

(x)= (m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间? ?2,2?上单调递减, 2 那么 mn 的最大值为( )

81 A.16 B.18 C.25 D. 2 3.(2014· 浙江,7)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图象可能是( )

4.(2014· 辽宁,16)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0 且使|2a+b|最大时, 3 4 5 - + 的最小值为________. a b c

B 组两年模拟精选(2016~2015 年)
1.(2016· 山东滨州模拟)定义在 R 上的函数 f(x),当 x∈(-1,1]时,f(x)=x2-x,且对任意的 x 满足 f(x-2)=af(x)(常数 a>0),则函数 f(x)在区间(5,7]上的最小值是( 1 A.- a3 4 1 B. a3 4 1 C. 3 4a ) 1?a D.2a>(0.2)a>? ?2? D.- ) 1 4a3

2.(2016· 广东汕头一中月考)若 a<0,则下列不等式成立的是( 1?a a A.2a>? ?2? >(0.2) a 1?a ?1? >(0.2)a>2a B.(0.2)a>? >2 a C. ?2? ?2?

3.(2016· 浙江金华模拟)已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小值 为 3,则实数 m 的取值范围是( A.[1,2] B.(0,1] ) C.(0,2] D.[1,+∞)

1 2 4.(2015· 广东湛江模拟)已知幂函数 f(x)的图象经过点? , ?,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是 ?8 4 ? 函数图象上的任意不同两点,给出以下结论: ①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x2)<x2f(x1);③ 其中正确结论的序号是( A.①② ) C.②④ D.②③ f(x1) f(x2) f(x1) f(x2) > ;④ < . x1 x2 x1 x2

B.①③

1 1?x 5.(2015· 安徽淮南模拟)设函数 y=x3与 y=? ?2? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( )

1 ? A.? ?2,1?

1 1? B.? ?3,2?

1 1? C.? ?4,3?

1 0, ? D.? ? 4?

6.(2016· 山西太原联考)若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 a· f(-2x)>0 的解集是________. 7.(2016· 湖北天门模拟)已知幂函数 y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象与 x 轴,y 轴无交点,且关 于原点对称,则 m 的值为________. 8.(2016· 河南百校联盟监测)若函数 f(x)=x2+ax+b 的图象与 x 轴的交点为(1,0)和(3,0),则 函数 f(x)的解析式为________. 9.(2016· 广西柳州一中模拟)若方程 x2+ax+2b=0 的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内, 则 b-2 的取值范围是________. a-1

10.(2015· 杭州七校模拟)已知函数 f(x)=x2+(x-1)· |x-a|. (1)若 a=-1,解方程 f(x)=1; (2)若函数 f(x) 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)若 a<1 且不等式 f(x)≥2x-3 对一切实数 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围.

答案精析
A 组三年高考真题(2016~2014 年)
1 2 3 3 1.A[a=2 = 16,b=33= 9,c=253= 25,所以 b<a<c.] 3 4

3

n-8 n-8 2.B [令 f′(x)=(m-2)x+n-8=0,∴x=- ,当 m>2 时,对称轴 x0=- , m-2 m-2 n-8 由题意,- ≥2,∴2m+n≤12, m-2 2m+n ∵ 2mn≤ ≤6,∴mn≤18,由 2m+n=12 且 2m=n 知 m=3,n=6, 2 n-8 1 当 m<2 时,抛物线开口向下,由题意- ≤ ,即 2n+m≤18, m-2 2 2n+m 81 ∵ 2mn≤ ≤9,∴mn≤ ,由 2n+m=18 且 2n=m, 2 2 得 m=9(舍去),∴mn 最大值为 18,选 B.] 3.D [当 a>1 时,函数 f(x)=xa(x>0)单调递增, 函数 g(x)=logax 单调递增,且过点(1,0), 由幂函数的图象性质可知 C 错;当 0<a<1 时,函数 f(x)=xa(x>0)单调递增,函数 g(x)=logax 单调递减,且过点(1,0),排除 A,因此选 D.] 4.-2 [设 2a+b=t,则 2a=t-b,因为 4a2-2ab+4b2-c=0,所以将 2a=t-b 代入整

理可得 6b2-3tb+t2-c=0①,由 Δ≥0 解得- 代入①式得 b= =? c 3 , 再由 2a=t-b 得 a= 10 2

8 c≤t≤ 5

8 c,当|2a+b|取最大值时 t= 5

8 c, 5

c 3 4 5 2 10 4 10 5 5 2 10 , 所以 - + = - + = - 10 a b c c c c c c

5 ? 5- 2?2 ? -2≥-2,当且仅当 c=2时等号成立.] ? c ?

B 组两年模拟精选(2016~2015 年)
1.D[解析 f(x-2)=af(x)?f(x-4)=af(x-2)=a2f(x)?f(x-6)=af(x-4)=a3f(x), 1 2 1 1 1 1 (x-6)- ? - 3, x∈(5,7]?x-6∈(-1,1],则 f(x)= 3f(x-6)= 3[(x-6)2-(x-6)]= 3? 2? 4a a a a? 1 1 当 x-6= 时,f(x)有最小值为- 3.] 2 4a 1?a 2.B[若 a<0,则幂函数 y=xa 在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2)a>? ?2? >0. 1?a 所以(0.2)a>? ?2? >2a. 3.A [f(0)=4;f(1)=3,结合二次函数图象可得 1≤m≤2.故选 A.] 1?n 2 3 1 -3n 4.D[设幂函数为 y=xn,则有? ?8? =2 = 4 =2-2,得 n=2,则幂函数为 y= x,由其 图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随 x 增大而减小,即 x1f(x2)<x2f(x1),所以②③正确,选 D.]
1 1?x ?1? ?1? 5.B[构造函数 f(x)=x3-? ?2? ,从而转化为函数的零点的问题,因为 f?2?·f?3?<0,所以在

f(x2) f(x1) < , x2 x1

?1,1?存在零点,故选 B.] ?3 2?
?-2+3=-a, ? 3 ? ? - <x<1?[依题意得方程 x2+ax+b=0 的两根是-2 和 3,所以? 6.?x? ? ? 2 ? ? 3=b, ?-2× ? ?a=-1, 即? 所以 f(x)=x2-x-6,不等式 a· f(-2x)>0, ?b=-6. ?

3 即为-(4x2+2x-6)>0.所以 2x2+x-3<0,解得- <x<1. 2 3 ? ? - <x<1?. 所求解集为?x? ? ? 2 ? 7.2 [由题意 m2-2m-3<0,解得-1<m<3,
-4

∵m∈N*,∴m=1,2,幂函数图象关于原点对称,则函数为奇函数,当 m=1 时,y=x 偶函数;当 m=2 时,y=x
-3



满足条件,即 m=2.]

8.f(x)=x -4x+3

2

[x2+ax+b=0 的两根为 1,3,函数 f(x)解析式为 f(x)=(x-

1)(x-3)=x2-4x+3.] f(0)>0, b>0, ? ? 1 ? ? 2 9.? ,1?[令 f(x)=x +ax+2b.由题意得?f(1)<0,即?a+2b<-1, ?4 ? ?f(2)>0. ?a+b>-2. 根据条件作出可行域如图,

b-2 1 b-2 表示可行域内点与点(1,2)的连线的斜率,可知4< <1. ] a-1 a-1
?2x2-1,x≥-1, ? 10.解 (1)当 a=-1 时,有 f(x)=? ?1,x<-1. ?

当 x≥-1 时,2x2-1=1,解得:x=1 或 x=-1, 当 x<-1 时,f(x)=1 恒成立.∴方程的解集为:{x|x≤-1 或 x=1}.
2 ? ? ? ≤a ?2x -(a+1)x+a,x≥a, 1 ? (2)f(x)= 若 f(x)在 R 上单调递增,则有? 4 ,解得:a≥ , 3 ?(a+1)x-a,x<a. ? ?

a+1

?a+1>0

1 ? 即实数 a 的取值范围是? ?3,+∞?.
2 ? ?2x -(a+3)x+a+3,x≥a, (3)设 g(x)=f(x)-(2x-3),则 g(x)=? ?(a-1)x-a+3,x<a. ?

即不等式 g(x)≥0 对一切实数 x∈R 恒成立. ∵a<1,∴当 x<a 时,g(x)单调递减,其值域为:(a2-2a+3,+∞). ∵a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,∴g(x)≥0 恒成立. a+3 (a+3)2 a+3? 当 x≥a 时,∵a<1,∴a< ,∴g(x)min=g? =a+3- ≥0,得-3≤a≤5. 4 8 ? 4 ? ∵a<1,∴-3≤a<1,综上:a 的取值范围是[-3,1).


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