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无棱二面角的求法


无棱二面角的求法 所给图形中,没有出现棱的二面角称为无棱二面角.求其大小的方法,归纳 起来有以下五种. 1.两点法 即根据两点确定一条直线,找到所求二面角的棱,然后作出其 平面角解之. 例1 如图,在棱长为 ? 的正方体 AC1 中, E 是 AA1 的中点,求面 BD1E 与面 A1B1C1 D1 所成二面角的大小. 分析 因为 BE 与 B1 A1 共面且不平行, 故延长后必 相交,设交点为 F ,则 D1F 就是所求二面角的棱,于 是作出其平面角便可求解. 略解 延 长 BE 、 B1 A1 交 于 F , 连 D1F , 作 A1H ? D1F 于 H ,连 EH ,则 ?EHA 1 就是所求二面角的平面角. ∵ A1H ? AF ? A1D1 2 ? ?, D1F 2 EA 2 1 ? arctg . A1H 2 ∴ ?EHA 1 ? arctg 2.平行线法 其理论依据是直线与平在平行的性质.具体作法是:在二面 角的一个面内作(找)一直线与另一个面平行,则过二面角两面的公共点且与该 直线平行的直线就是所求二面角的棱. 例 2 过边长为 ? 的等边△ ABC 顶点 B 、 C ,分别引△ ABC 所在平面的垂 线 BD 、 CE ,且 BD ? 2CE ? 2? ,求面 ADE 与面 ABC 所成角的大小. 解 取 AB 的中点 M ,作 MN // BD 交 AD 于 N ,则 1 MN ? BD ? ? ? CE , AN ? ND .又∵ CE // BD , 2 ∴ MN // CE ,∴ ECMN 是平行四边形, ∴ EN // CM ,∴ EN // 面 ABC . 过 A 作直线 AF // CM ,则 AF 为所求二面角的棱,且 ?FAC ? ?ACM ? 30? . ∴ ?BAF ? 90? ,即 AB ? AF , 又 BD ? 面 ABC ,∴ DA ? AF , ∴ ?DAB 就是所求二面角的平面角. BD ? arctg 2 . AB (此题还可用两点法求解,读者自己完成. ) 3.垂面法 其理论依据是:如果两相交平面都与第三个平面垂直,那么它 们的交线必与第三个平面垂直. 据此,如果图形中能作出一个平面与无棱二面角 的两个面都垂直, 那么该平面与二面角两个面的交线所成角就是该二面角的平面 角. 显然 ?DAB ? arctg 在例 1 中, 易证对角面 BB1D1D 与面 BED 故 ?BD1B1 就 1 及面 A 1 B1C1 D1 都垂直, 是所求二面角的平面角.显然 ?BD1B1 ? arctg BB1 2 BD 6 ,或 ?BD1B1 ? arccos 1 1 ? arccos . ? arctg B1D1 2 BD1 3 例 2 也可用垂面法求解,只须证面 DAB 与面 ABC 及面 ADE 都垂直. (留 给读者完成) 4.平移法 其理论依据是:一个平面与两个平行平面相交,它们所成的二 面角相等或互补.具体作法,将无棱二面角一个面平移 到适当位置,可得到一个与所求二面角相等或互补的有 棱二面角,然后作出该二面角的平面角便可求解. 在例 2 中, 如果作 EN // CM 交 AD 于 N , 作 NF // AB BD F ENF // ABC 交 于 ,则面 面 ,这时,二面角 D - EN - F 等 于 所 求 二 面 角 . 故 只 要 求 出 二 面 角 D - EN - F 即达目的. (具体求解留给读者完成) 例 3 A1 F ? 在棱长为 ?


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