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高二数学上学期期末练习题及答案


高二数学上学期期末练习题及答案
1.等差数列{an}的前 项和为 Sn.已知 S3= 项式为( ) A.2n B.2n-1 ,且 S1,S2,S4 成等比数列,则{an}的通 D.2n-1 或 3

C.2n+1 或 3

2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且满足 csinA= 3 acosC,则<

br />
sinA+sinB 的最大值是(
A.1 B. 2

) C. 3 D.3

3. 已知△ABC 的周长为 2 ? 1 , 且n s i 则角 C 的大小为( ) A. 30° B. 60° 4.已知关于 x 的不等式 为 ( ) A. 1 B. C. 2

A n s i?

B 2 n s i?
D. 120°

1 C .若△ABC 的面积为 sin C , 6

C. 90°

在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值 D. 的准线交于

5. 等轴双曲线 两点, A. 6.设 B.

的中心在原点, 焦点在 轴上, 与抛物线 ;则 的实轴长为( C. ) D. 的左、右焦点,过

分别是椭圆:

倾斜角为

的直

线 与该椭圆相交于 P,

两点,且

.则该椭圆的离心率为(



A.

B.

C.

D.

7.等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2n ? 2an ? 1 ( n ? N * ) , S n 是数列 {an } 的前 n 项和. (1)求 an,Sn ; (2)设数列 {bn } 满足
b1 b2 ? ? a1 a2 ? bn 1 ? 1 ? n ( n ? N* ) ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn . an 2

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 b ? 4 , BA ? BC ? 8 .
试卷第 1 页,总 2 页

(1)求 a 2 ? c 2 的值; (2)求函数 f (B) ? 3sin B cos B ?cos 2 B 的值域.

9.设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相 b2

交于 A, B 两点,且 | AF2 |,| AB |,| BF2 | 成等差数列. (1)求 | AB | ; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

10.如下图所示,椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A , M 是椭圆 C 上异于 m

点 A 的任意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称. (1)若点 P 的坐标为 ( ,

9 4 3 ) ,求 m 的值; 5 5

(2)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,求 m 的取值范围.

试卷第 2 页,总 2 页

参考答案 1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.B
2n ? 3 . 2n

7. (1) an ? 2n ? 1 , Sn ? n2 ; (2) Tn ? 3 ?

试题解析: (1)设 {an } 的公差为 d .由 a2n ? 2an ? 1 知,
a1 ? (2n ? 1)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ? d ? a1 ? 1 ? 2 ,

2分

∴ an ? 2n ? 1 , Sn ? n2 ; (2)由
b1 b2 ? ? a1 a2 ?

4分 5分

b 1 bn 1 1 ? 1 ? n ,可知 1 ? 1 ? ,∴ b1 ? , a1 2 an 2 2

? b1 b2 ? ? ? ?1 3 当 n ? 2 时, ? ? b1 ? b2 ? ? ?1 3

bn 1 ?1? n , b 1 1 1 2n ? 1 2 ? n ? 1 ? n ? (1 ? n ?1 ) ? n , b 2n ? 1 2 2 2 1 ? n ?1 ? 1 ? n ?1 2n ? 3 2 ?

当 n ? 1 时,也符合 a1 ?

1 1 2n ? 1 ? 1 ,综上, bn ? n ( n ? N * ) , 2 2 2
?

8分

1 3 2n ? 3 2n ? 1 ? Tn ? 1 ? 2 ? ? n ?1 ? n , ? 1 1 2 2 ? 2 2 2 2 ∴? ? Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 1 1 3 2 n ? 3 2 n ? 1 2 2 2 2 ? T ? ? ? ? ? n ?1 n ? ?2 22 23 2n 2

2 2n ? 1 ? n ?1 , 2n 2

12 分

1 ? Tn ? 1 ? 1 ? ? 2
即 Tn ? 3 ?
2n ? 3 . 2n

?

1 2n ? 2

1 1 ? n ?1 2n ? 1 2 ? 2n ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 n ? 1 ? 3 ? 2 n ? 3 , ? n ? 1? 1 2 2n 2n ? 2 2n 2n 1? 2
13 分

考点:1.等差数列的通项公式及其前 n 项和;2.数列的通项公式与错位相减法求数列的和.
2 2 8. (1) a ? c ? 32 ,(2) ?1, ? . 2

? 3? ? ?

【解】 (1)因为 BA ? BC ? 8 ,所以 ac cos B ? 8 .
2 2 2 2 2 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? 16 , 2 2 因为 b ? 4 ,所以 a ? c ? 32 .

3分

6分 8分

2 2 (2)因为 a ? c ≥ 2ac ,所以 ac≤16 ,

所以 cos B ?

8 1 ≥ . ac 2 π . 3
答案第 1 页,总 3 页

因为 B ? ? 0, π ? ,所以 0 ? B≤

10 分



因 为 f ( B) ? 3 sin B cos B ? cos 2 B ? 12 分 由于

3 1 π 1 sin 2 B ? (1 ? cos 2 B) ? sin(2 B ? ) ? , 2 2 6 2

π π 5π π ?1 ? ? 2 B ? ≤ ,所以 sin(2 B ? ) ? ? ,1? , 6 6 6 6 ?2 ?

所以 f ( B ) 的值域为 ?1, ? . 2 考点:两角和与差的三角函数、解三角形、向量的数量积 9. (1) | AB |?

? 3? ? ?

14 分

4 2 ; (2) b ? .试题解析:(1)由椭圆定义知 | AF2 | ? | AB | ? | BF2 |? 4 , 3 2

又 2 | AB |?| AF2 | ? | BF2 |?| AB |?

4 3

(2) l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? 1 ? b2 .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 A, B 两点坐标满足

?y ? x ? c ? 2 2 2 方程组 ? 2 y 2 ,消去 y 得 (1 ? b ) x ? 2cx ? 1 ? 2b ? 0 ? x ? 2 ? 10 b ?
则 x1 ? x2 ? ?

1 ? 2b 2 2c x x ? , ,因为直线 AB 的斜率为 1 1 2 1 ? b2 1 ? b2
4 ? 2 | x2 ? x1 | 3

所以 | AB |? 2 | x1 ? x2 | ,即 则

8 4c 2 4(1 ? 2b2 ) 4(1 ? b2 ) ? 4(1 ? 2b2 )(1 ? b2 ) 8b4 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ? 9 (1 ? b2 )2 1 ? b2 (1 ? b2 )2 (1 ? b2 )2
解得 b ?

2 . 2
?3 2 3? ? 1 3? ; (2) ? 0, ? ? ?5 5 ? ? 2 4 ? ? ? ? ? ?9 4 3? ?5 5 ? ?, ? ?

考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的综合问题.

, 10.(1) ? ,

, 试题解析: (1)依题意, M 是线段 AP 的中点,因为 A(-1,0) ,P ? , ?3 2 3? ?5 5 ? ? ? ?

, 所以点 M 的坐标为 ? ,

2分

答案第 2 页,总 3 页

由点 M 在椭圆上,所以

4 12 4 + =1,解得 m= 25 25m 7
2

6分

(2)解:设 M ? x0,yo ? 则, C : x0 ?

y0 2 ? 1 且 -1<x0< 1 ① m
9分

因为,OP⊥OM,所以 x0 ? 2x0 ? 1? ? 2 yo ? 0
2



由①②消去y0,整理得m=
1 2 ? x0 ? 2 ? ?

2x 0 2 +x 0 2x 02 -2
?

11 分

所以 m ? 1 ?

6 ?8 x0 ? 2

1 3 (或:导数法) ? 2 4

14 分 考点:(1)椭圆的标准方程; (2)基本不等式.

答案第 3 页,总 3 页


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