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2012年高考真题文科数学汇编2:函数与方程


2012 高考试题分类汇编:函数与方程
一、选择题
l 1.【2012 高考安徽文 3】 log 2 9 )(o ( · g
3

4)= (D)4

(A)

1 4

(B)

1 2

(C)2

【答案】

D 1 2.【2012 高考新课标文 11】当 0<x≤2时,4x<logax,则 a 的取值范围是 2 (A)(0, 2 ) 【答案】B 3.【2012 高考山东文 3】函数 f ( x ) ? (A) [ ? 2, 0) ? (0, 2] 【答案】B 4.【2012 高考山东文 10】函数 y ?
cos 6 x 2 ?2
x ?x

2 (B)( 2 ,1)
1

(C)(1, 2)

(D)( 2,2)

ln( x ? 1)

?

4? x

2

的定义域为 (D) ( ? 1, 2]

(B) ( ? 1, 0) ? (0, 2]

(C) [ ? 2, 2]

的图象大致为

【答案】D 5.【2012 高考山东文 12】设函数 f ( x ) ?
1 x

, g ( x ) ? ? x 2 ? bx .若 y ? f ( x ) 的图象与 y ? g ( x ) 的

图象有且仅有两个不同的公共点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则下列判断正确的是 (A) x1 ? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 (C) x1 ? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 (B) x1 ? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 (D) x1 ? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0

【答案】B 【解析】方法一:在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,要想满足条件,则有如图

,做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为 ( ? x1 , ? y1 ) ,由图象

知 ? x1 ? x 2 , ? y1 ? y 2 , 即 x1 ? x 2 ? 0 , y1 ? y 2 ? 0 ,故答案选 B. 方法二:设 F ( x ) ? x 3 ? bx 2 ? 1 ,则方程 F ( x ) ? 0 与 f ( x ) ? g ( x ) 同解,故其有且仅有两个不同 零点 x1 , x 2 .由 F ?( x ) ? 0 得 x
?0

或x ?

2 3

b

.这样,必须且只须 F (0) ? 0 或 F ( b ) ? 0 ,因为
3
3

2

2 3 F (0) ? 1 , 故 必 有 F ( b ) ? 0 由 此 得 b ? 3 2
F ( x ) ? ( x ? 1 ) ( x? x
3 2

2

. 不 妨 设 x1 ? x 2 , 则 x 2 ?
1 2
3

2 3 1 2
3

b?

3

2

.所以 ,由此

2 ),比较系数得 ? x1 4 ? 1 ,故 x1 ? ?
3

2

. x1 ? x 2 ?

2 ?0

知 y1 ? y 2 ?

1 x1

?

1 x2

?

x1 ? x 2 x1 x 2

? 0 ,故答案为

B.

6.【2012 高考重庆文 7】已知 a ? log 2 3 ? log

2

3 , b ? log 2 9 ? log

2

3 , c ? log 3 2 则

a,b,c 的大小关系是 (A) a ? b ? c (B) a ? b ? c (C) a ? b ? c 【答案】B

(D) a ? b ? c
? 1 2

7.【2012 高考全国文 11】已知 x ? ln ? , y ? log 5 2 , z ? e (A) x ? y ? z 【答案】D 8.【2012 高考全国文 2】函数 y ? (A) y ? x ? 1( x ? 0 )
2

,则 (D) y ? z ? x

(B) z ? x ? y

(C) z ? y ? x

x ? 1( x ? ? 1) 的反函数为

(B) y ? x ? 1( x ? 1)
2

(C) y ? x ? 1( x ? 0 )
2

(D) y ? x ? 1( x ? 1)
2

【答案】B 9.【2012 高考四川文 4】函数 y ? a ? a ( a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(
x



【答案】C 10.【2012 高考陕西文 2】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
2



C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

【答案】D. 11.【2012 高考湖南文 9】设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f ?( x ) 是 f(x)的导函数, x ? ? 0, ? ? 时, 当 0<f(x)<1; x∈ 当 (0, ) 且 x≠ π 则函数 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】B 12.【2012 高考湖北文 3】函数 f(x)=xcos2x 在区间[0,2π ]上的零点个数为 A2 B3 C 4 D 5 【答案】D
?x2 ? 1 x ? 1 ? 13.【2012 高考江西文 3】设函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f ( f ( 3)) ? x ?1 ? ?x

?
2

( 时 ,x?

?
2

) f ?( x ) ? 0 ,

【答案】D 14. 2012 高考江西文 10】 【 如右图, OA=2 (单位: ,OB=1(单位: m) m),OA 与 OB 的夹角为
?
6



? 以 A 为圆心,AB 为半径作圆弧 B D C 与线段 OA 延长线交与点 C.甲。乙两质点同时从点 O

? 出发,甲先以速度 1(单位:ms)沿线段 OB 行至点 B,再以速度 3(单位:ms)沿圆弧 B D C

行至点 C 后停止,乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至 A 点后停止。设 t 时刻甲、乙所 到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t) (S(0)=0) ,则函数 y=S(t)的 图像大致是

【答案】A 15.【2012 高考湖北文 6】已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图像如图所示,则 y=-f(2-x) 的图像为

【答案】B 16.【2012 高考广东文 4】下列函数为偶函数的是 A. y ? sin x 【答案】D
? 1, x ? 0 ? 1, x 为有理数 ? , 则 f ( g (? )) 的值为 17.【2102 高考福建文 9】设 f ( x ) ? ? 0 , x ? 0 , g ( x ) ? ? ? 0, x 为无理数 ? ? 1x ? m ?

B. y ? x

3

C. y ? e

x

D. y ? ln

x ?1
2

A 1 【答案】B.

B 0

C -1

D

?

1 18.【2102 高考北京文 5】函数 f ( x ) ? x 2 ? ( ) x 的零点个数为 2

1

(A)0 (B)1(C)2 (D)3 【答案】B 19.【2012 高考天津文科 4】已知 a=21.2,b= (A)c<b<a 【答案】A 20.【2012 高考天津文科 6】下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 A y=cos2x,x ? R B. y=log2|x|,x ? R 且 x≠0
x

??
1 2

-0.2

,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为 C)b<a<c (D)b<c<a

(B)c<a<b

C. 【答案】B

y=

e

? e 2

? x

,x ? R

D. y=x3+1,x ? R

二、填空题

21. 【2012 高考安徽文 13】 若函数 f ( x ) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [ 3, ?? ) , a =________。 则 【答案】 ? 6 (x+1)2+sinx 22. 【2012 高考新课标文 16】 设函数 f(x)= x2+1 的最大值为 M, 最小值为 m, M+m=____ 则 【答案】2 【 解 析
2x ? s x ?1
2



f ( x) ?

( x ? 1) ? sin x
2

x ?1
2

?

x ? 1 ? 2 x ? sin x
2

x ?1
2

?1?

2 x ? sin x x ?1
2





g (x) ?

i n x

, g ( x ) 为奇函数, 则 对于一个奇函数来说, 其最大值与最小值之和为 0,
? 1 ? g ( x)m

即 g ( x ) max ? g ( x ) min ? 0 , 而 f ( x ) m
f ( x)m
a x

a x

a x

, f ( x ) min ? 1 ? g ( x ) min , 所 以

? f ( x)m

i n

? 2.

23.【2012 高考陕西文 11】设函数发 f(x)= 【答案】4.

,则 f(f(-4) )=

24.【2012 高考山东文 15】若函数 f ( x ) ? a x ( a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小 值为 m,且函数 g ( x ) ? (1 ? 4 m ) x 在 [0, ?? ) 上是增函数,则 a=____. 【答案】
1 4

25.【2012 高考重庆文 12】函数 f ( x ) ? ( x ? a )( x ? 4 ) 为偶函数,则实数 a ? 【答案】 a ? 4 26.【2012 高考四川文 13】函数 f ( x ) ? 【答案】 (?? , ) .
2 1

1 1? 2x

的定义域是____________。 (用区间表示)

27.【2012 高考浙江文 16】设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,

1]时,f(x)=x+1,则 f ( ) =_______________。
2

3

【答案】

3 2

28.【2012 高考上海文 6】方程 4 x ? 2 x ?1 ? 3 ? 0 的解是

【答案】 log 2 3 。 29. 【2012 高考上海文 9】已知 y ? f ( x ) 是奇函数,若 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 且 g (1) ? 1 ,则
g ( ? 1) ?

【答案】3

30.【2012 高考广东文 11】函数 y ? 【答案】 ? ? 1, 0 ? ? ? 0, ?? ?

x ?1 x

的定义域为

.

31.【2102 高考北京文 12】已知函数 f ( x ) ? lg x ,若 f ( ab ) ? 1 ,则 f ( a ) ? f ( b ) ?
2 2

_____________。 【答案】2

x 32. 2102 高考北京文 14】 【 已知 f ( x ) ? m ( x ? 2 m )( x ? m ? 3) ,g ( x ) ? 2 ? 2 , ? x ? R , 若

f ( x ) ? 0 或 g ( x ) ? 0 ,则 m 的取值范围是_________。

【答案】 (? 4 , 0 )

33.【2012 高考天津文科 14】已知函数 y ? 点,则实数 k 的取值范围是 【答案】 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 2 。 .

x ?1
2

x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交

34.【2012 高考江苏 5】 分)函数 f ( x ) ? (5 【答案】 ? 0, 6 ? 。 ?

1 ? 2 log

6

x 的定义域为





【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。

35. 【2012 高考江苏 10】 分) f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, (5 设 在区间 [ ? 1 , 上, 1]
? ax ? 1 ,? 1 ≤ x ? 0 , ? ?1? ?3? f ( x ) ? ? bx ? 2 其中 a , ? R .若 f ? ? ? f ? ? , b ,0 ≤ x ≤ 1 , ?2? ?2? ? ? x ?1

则 a ? 3 b 的值为 ▲ . 【答案】 ? 1 0 。 【考点】周期函数的性质。

三、解答题
36.【2012 高考上海文 20】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知 f ( x ) ? lg( x ? 1) (1)若 0 ? f (1 ? 2 x ) ? f ( x ) ? 1 ,求 x 的取值范围 (2)若 g ( x ) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时, g ( x ) ? f ( x ) ,求函数 y ? g ( x ) ( x ? ?1, 2 ? )的反函数 【 答 案 】

37.【2012 高考江苏 17】 (14 分)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴 垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
y ? kx ? 1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地
2 2

点的横坐标. (1)求炮的最大射程;

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不 超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

【答案】解: (1)在 y ? kx ?

1 20

(1 ? k ) x ( k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ?
2 2

1 20

(1 ? k ) x = 0 。
2 2

由实际意义和题设条件知 x > 0, k > 0 。 ∴ x=
20 k 1? k
2

=

20 1 k ?k

?

20 2

=10 ,当且仅当 k =1 时取等号。

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2) a > 0 , ∵ ∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 , ka ? 使 成立, 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20 ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ? = ? ? 20 a ? ? 4 a 2 ? a 2 ? 64 ? ? 0 得 a ? 6 。
2

1 20

(1 ? k ) a = 3.2
2 2

此时, k =

20 a ?

? ? 20 a ?

2

? 4a
2

2

?a

2

? 64 ?

。 > 0 (不考虑另一根)

2a

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? kx ? 基本不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。 38.【2012 高考上海文 21】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方 向建立平面直角坐标系 (以 1 海里为单位长度) 则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A ,
1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0) 与 x 轴的横坐标,求出后应用
2 2

处,如图,现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y ?

12 49

x ;②定位后救援船即刻沿

2

直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7 t (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度 的大小和方向 (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

【答案】


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