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《函数的单调性与导数》-


函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数; G=(a,b) y y

2



o a b x o 若 f(x) 在G上是增函数或减函数, 则 f(x) 在G上有单调性。

a

b

x

G 称为单调区间

y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x) f '(x)<0

o

a

定理

b

x

o a

b

x

一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0,那么 y=f(x)在这个区间 (a,b)内单调递增; 2) 如果恒有 f′(x)<0,那么 y=f(x)在这个区 间(a,b)内单调递减。 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数.

例1:已知导函数 f '( x) 的下列信息:

f 当1<x<4时,'( x) >0; f 当x>4,或x<1时, '( x) <0; f 当x=4,或x=1时, '( x) =0.试画出函数f(x)图象
的大致形状。
y
y=f(x)

临界点
O 1 4 x

例2.确定函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 在哪 个区间是减函数?在哪个区间上是增函数?
2

解: (1)求函数的定义域 函数f (x)的定义域是(- ∞,+∞) (2)求函数的导数 ' f ( x) ? 2 x ? 4
(3)令

f ( x) ? 0 以及
'

f ' ( x) ? 0

y

求自变量x的取值范围,也即函数的单调区间。 令2x-4>0,解得x>2 ∴x∈(2,+∞)时,f(x) 是增函数 令2x-4<0,解得x<2 ∴x∈(-∞,2)时, f(x) 是减函数 o 2 x

二.利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求

y = f(x ) 的定义域D

(2)求导数 f ?( x ).
?f(x)? 0 (3)解不等式组 ? 得f(x)的单调递增区间; ?x ? D

?f(x)? 0 解不等式组 ?x ? D 得f(x)的单调递减区间. ?

例3:判断下列函数的单调性,并求出单调区间。

(1)y ? x ? 3x
3

1 (2)y ? x (3)f(x)? sinx ? x, ?(0, x π)
3 2

(4)f(x)? 2x ? 6x ? 7

(5)y ? e ? x
x

x (6)y ? ? sinx 2

例4:已知 函数y ax ? bx ? 6x ? 1的递 减区间 ?
3 2

为(?2,3), 求a, b的值 ? 例5:已知 a? R, 求函 数f(x) x ? e 的单 调区间 ?
2 2x

问题:已知函数y ? xf ( x)的
'

y 2
-1 1 -1 -2 1 2

图象如图(其中f ( x)是f ( x)
'

的导函数)下列四个图象中 y ? f ( x)的图象大致是(C )

-2

x

-1 -2 2

2 -1 1 -2 -1 1

-1 -2









例4:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范 围,并求其单调区间. 2 解: f ?( x ) ? 3ax ? 1. 若a>0, f ?( x ) ? 0 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾. 若a=0, f ?( x ) ? 1 ? 0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾. 若a<0,则 f ?( x ) ? 3a( x ? 恰有三个单调区间.
1 1 , ). 故a<0,其单调区间是: 单调递增区间: (? ?3a ?3a
1 ? 3a )( x ? 1 ? 3a ) ,易知此时f(x)

1 1 )和 ( , ??). 单调递减区间: (??, ? ?3a ?3a

ax-6 例8;已知函数f(X)= 2 的图象在点M(-1,f(-1)) x ?b 处的切线方程为x+2y+5=0 1)求函数y=f(x)的解析式; 2)求函数y=f(x)的单调区间。


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