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共点力作用下物体的平衡教学案


共点力作用下物体的平衡
一.考点整理 平衡要点 1.共点力的平衡:① 共点力:力的作用点在物体上的同一点或力的 交于一点的几个力叫 做共点力;② 平衡状态:物体处于 状态或 状态,叫做平衡状态(该状态 下物体的加速度为 ) ; ③ 平衡条件: 物体受到的合外力为 , 即F合 = 或 Fx = 、 Fy = . 2. 平衡条件的推论: ① 二力平衡: 如果物体在两个共点力

的作用下处于平衡状态, 这两个力必定 相 等, 相反,为一对平衡力;② 三力平衡:如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态,其 中任意两个力的合力一定与第三个力大小 、方向 ;③ 汇交力系定理:如果一个物体受 三个力作用而处于平衡状态,那么则该三个力若不平行,则三个力必定是 力.④ 多力平衡:如 果物体受多个力作用处于平衡状态,其中任何一个力与 力的合力大小相等,方向相反 二.思考与练习 思维启动 1.小张将吊床用绳子拴在两棵树上等高的位置,如图所示.他先坐在吊床上,后躺在吊床上,两次均处 于静止状态.则 ( ) A.吊床对他的作用力,坐着时更大 B.吊床对他的作用力,躺着时更大 C.吊床对他的作用力,坐着与躺着时一定等大 D.吊床两端绳的张力,坐着与躺着时一定等大 2.如图所示,两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上,两绳与竖直方向的夹角都为 45°,日光灯保持水平,所受重力为 G,左右两绳的拉力大小分别为( ) A.G 和 G B. 2 2 G和 G 2 2 1 3 C. G 和 G 2 2 1 1 D. G 和 G 2 2

3. 如图所示, 一固定斜面上两个质量相同的小物块 A 和 B 紧挨着匀速下滑, A 与 B 的 接触面光滑.已知 A 与斜面之间的动摩擦因数是 B 与斜面之间动摩擦因数的 2 倍,斜面倾角为 α ,B 与斜面之间的动摩擦因数是 ( ) A.

2 tanα 3

B.

2 cotα 3

C.tanα

D.cotα

4.如图所示,细绳 AO、BO 等长,A 点固定不动,在手持 B 点沿圆弧向 C 点缓慢运 动过程中,绳 BO 的张力将 ( ) A.不断变大 B.不断变小 C.先变大再变小 D.先变小再变大 三.考点分类探讨 典型问题 〖考点 1〗共点力的平衡问题 【例 1】如图所示,质量为 m 的物体放在质量为 M、倾角为 θ 的斜面体上,斜面 体置于粗糙的水平地面上,用平行于斜面的力 F 拉物体 m 使其沿斜面向下匀 速运动,M 始终静止,则下列说法正确的是 ( ) A.M 相对地面有向右运动的趋势 B.地面对 M 的支持力为(M+m)g C.地面对 M 的摩擦力大小为 Fcosθ D.地面对 M 的摩擦力大小为零 【变式跟踪 1】如图所示,一个质量为 m 的小物体静止在固定的、半径为 R 的半圆 形槽内,距最低点高为 R/2 处,则它受到的摩擦力大小为 ( ) 1 A. mg 2 B. 3 mg 2 C.?1-

? ?

3? ?mg 2?

D.

2 mg 2

〖考点 2〗动态平衡问题的分析 【例 2】如图所示,一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为 FN1,球对木板的压力大 小为 FN2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置.不
1

计摩擦,在此过程中 ( ) A.FN1 始终减小,FN2 始终增大 B.FN2 始终减小,FN2 始终减小 C.FN1 先增大后减小,FN2 始终减小 D.FN1 先增大后减小,FN2 先减小后增大 【变式跟踪 2】如图所示,两根光滑细杆 a、b 水平平行且等高放置,一质量为 m、半径为 r 的均匀细圆环 套在两根细杆上,两杆之间的距离为 3r.固定 a 杆,保持圆环位置不变,将 b 杆沿圆环内侧缓慢移 动到最高点为止,在此过程中 ( ) A.a 杆对圆环的弹力逐渐增大 B.a 杆对圆环的弹力先减小后增大 C.b 杆对圆环的弹力逐渐减小 D.b 杆对圆环的弹力先减小后增大 〖考点 3〗平衡中的临界极值问题 【例 3】如图所示,能承受最大拉力为 10 N 的细线 OA 与竖直方向成 45°角,能承受最大拉力为 5 N 的细 线 OB 水平,细线 OC 能承受足够大的拉力,为使 OA、OB 均不被拉断,OC 下端所悬挂物体的最大重力 是多少?

【变式跟踪 3】如图所示,三根长度均为 l 的轻绳分别连接于 C、D 两点,A、B 两端被悬挂在水平天花板 上,相距 2l.现在 C 点上悬挂一个质量为 m 的重物,为使 CD 绳保持 水平,在 D 点上可施加力的最小值为 ( ) A.mg B. 3 mg 3 1 C. mg 2 1 D. mg 4

四.考题再练 高考试题 1. 【2011 江苏高考】如图所示,石拱桥的正中央有一质量为 m 的对称楔形石块,侧 面与竖直方向的夹角为 α ,重力加速度为 g.若接触面间的摩擦力忽略不计, 则石块侧面所受弹力的大小为 ( A.mg/2sinα B.mg/2cosα C.0.5mgtanα D.0.5mgocsα 【预测 1】如图所示,将四块相同的坚固石块垒成圆弧形的石拱,其中第 3、 4 块固定在地基上,第 1、2 块间的接触面是竖直的,每块石块的两个侧 面间所夹的圆心角均为 30°. 假定石块间的摩擦力可以忽略不计, 则第 1、 2 块石块间的作用力 F1 和第 1、3 块石块间的作用力 F2 的大小之比为 ( A.1∶2 B. 3∶2 C. 3∶3 D. 3∶1 2. 【2012 海南】如图,墙上有两个钉子 a 和 b,它们的连线与水平方向的夹角为 45°, 两者的高度差为 l.一条不可伸长的轻质细绳一端固定于 a 点,另一端跨过光滑钉 子 b 悬挂一质量为 m1 的重物.在绳子距 a 端 l/2 得 c 点有 一固定绳圈. 若绳圈上悬 挂质量 为 m2 的钩码,平衡后绳的 ac 段正好水平,则重物和钩码的质量比 m1:m2 为 ( ) A. 5 B.2 C. 5 /2 D. 2





【预测 2】如图所示,水平固定倾角为 30°的光滑斜面上有两个质量均为 m 的 小球 A、B,它们用劲度系数为 k 的轻质弹簧连接,现对 B 施加一水平向左 的推力 F 使 A、B 均静止在斜面上,此时弹簧的长度为 l,则弹簧原长和推力 F 的大小分别为( A.l +



mg 2k

B.l –

mg 2k

2 3 C. mg 3
2

D.2 3mg

五.课堂演练 自我提升 1. 质量为 m 的长方形木块静止在倾角为 θ 的斜面上, 斜面对木块的支持力和摩擦力的合力方向应该是 ( ) A.沿斜面向下 B.垂直于斜面向上 C.沿斜面向上 D.竖直向上 2.如图所示,质量为 M、半径为 R、内壁光滑的半球形容器静止在粗糙水平地面上, O 为球心. 有一劲度系数为 k 的轻弹簧一端固定在半球形容器底部 O′ 处, 另一端 与质量为 m 的小球相连,小球静止于 P 点.已知地面与半球形容器间的动摩擦因 数为 μ ,OP 与水平方向的夹角为 θ = 30°,下列说法正确的是( ) A.小球受到轻弹簧的弹力大小为 3 mg 2 B.小球受到容器的支持力大小为

mg 2
3 mg 2

C.小球受到容器的支持力大小为 mg

D.半球形容器受到地面的摩擦力大小为

3.如图所示,与水平面夹角为 30°的固定斜面上有一质量 m = 1.0 kg 的物体.细绳的一端与物体相连, 另一端经摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧秤相连.物体静止在斜面上,弹簧秤的示数为 4.9 N.关于物 2 体受力的判断(取 g = 9.8 m/s ) ,下列说法正确的是 ( ) A.斜面对物体的摩擦力大小为零 B.斜面对物体的摩擦力大小为 4.9 N,方向沿斜面向上 C.斜面对物体的支持力大小为 4. 9 3 N,方 向竖直向上 D.斜面对物体的支持力大小为 4.9 N,方向垂直斜面向上 4.如图所示,两相同轻质硬杆 OO1、OO2 可绕其两端垂直纸面的水平轴 O、O1、O2 转动, 在 O 点悬挂一重物 M,将两相同木块 m 紧 压在竖直挡板上,此时整个系统保持 静 止.Ff 表示木块与挡板间摩擦力的大小,FN 表示木块与挡板间正压力的大小.若挡 板间的距离稍许增大后,系统仍静止且 O1、O2 始终等高,则( ) A.Ff 变小 B.Ff 不变 C.FN 变小 D.FN 变大 5.作用于 O 点的三力平衡,设其中一个力大小为 F1,沿 y 轴正方向,力 F2 大小未知,与 x 轴负方向夹角为 θ ,如图所示.下列关于第三个力 F3 的判断中正确的是( ) A.力 F3 只能在第四象限 B.力 F3 与 F2 夹角越小,则 F2 和 F3 的合力越小 C.F3 的最小值为 F1cos θ D.力 F3 可能在第一象限的任意区域 6.如图所示,上表面粗糙的半圆柱体放在水平面上,小物块从半圆柱体上的 A 点, 在外力 F 作用下沿圆弧缓慢向下滑到 B 点,此过程中 F 始终沿圆弧的切线方向 且半圆柱体保持静止状态,小物块运动的速率不变,则 ( ) A.半圆柱体对小物块的支持力逐渐变大 B.半圆柱体对小物块的 摩擦力变大 C.外力 F 变大 D.小物块所受的合外力大小不变 7.如图所示,质量分别为 m1、m2 的两个物体通过轻弹簧连接,在力 F 的作用下 一起沿水平方向做匀速直线运动(m1 在地面上,m2 在空中) ,力 F 与水平方向 成 θ 角.则关于 m1 所受支持力 FN 和摩擦力 f 的大小正确的是( ) A.FN = m1g + m2g – Fsinθ B.FN = m1g + m2g – Fcosθ C.f = Fcosθ D.f = Fsinθ 8.如图所示,AC 是上端带定滑轮的固定竖直杆,质量不计的轻杆 BC 一端通过铰链 固定在 C 点,另一端 B 悬挂一重为 G 的物体,且 B 端系有一根轻绳并绕过定 滑轮 A,用力 F 拉绳,开始时∠BCA>90°,现使∠BCA 缓慢变小,直到杆 BC 接 近竖直杆 AC.此过程中,轻杆 B 端所受的力 ( ) A.大小不变 B.逐渐增大 C.逐渐减小 D.先减小后增大

3

9.如图所示,OA 为遵从胡克定律的弹性轻绳,其一端固定于天花板上的 O 点,另一端与静止在动摩擦 因数恒定的水平地面上的滑块 A 相连.当绳处于竖直位置时,滑块 A 对地面有压力作用.B 为紧挨 绳的一光滑水平小钉, 它到天花板的距离 BO 等于弹性绳的自然长度.现有一水平力 F 作用于 A, 使 A 向 右 缓 慢 地 沿 直 线 运 动 , 则 在 运 动 过 程 中 ( ) A.水平拉力 F 保持不变 B.地面对 A 的摩擦力保持不变 C.地面对 A 的摩擦力变小 D.地面对 A 的支持力保持不变

10.有 一个直角支架 AOB,AO 水平放置,表面粗糙,OB 竖直向下,表面光滑.AO 上套有小环 P,OB 上 套有小环 Q,两环质量均为 m,两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连,并在某一位置平衡 (如图) ,现将 P 环向左移一小段距离,两环再次达到平衡,那么将移动后的平衡状态和原来的平衡 状态比较,AO 杆对 P 环的支持力 FN 和细绳上的 拉力 T 的变化情况是 ( ) A.FN 不变,T 变大 B.FN 不变,T 变小 C.FN 变大,T 变大 D.FN 变大,T 变小

11.如图所示,有两个带有等量的同种电荷的小球 A 和 B,质量都是 m,分别悬于长为 L 的悬线的一端.今 使 B 球固定不动,并使 OB 在竖直方向上,A 球可以在竖直平面内自由摆动,由于静电斥力的作用,A 球偏离 B 球的距离为 x.如果其他条件不变,A 球的质量要增大到原来的几倍,才会使 A、B 两球间 的距离缩短为 x/2?

4

参考答案: 一.考点整理 平衡要点 1.延长线(或作用线) 静止 匀速直线运动 零 零 0 0 0 2.大小 方向 相等 相反 共点 其余 二.思考与练习 思维启动 1.C;因坐着和躺着时皆处于静止状态,故吊床对他的作用力大小等于重力,坐着和躺着时一定等大,则 选项 C 正确,A、B 错误.坐着和躺着使吊床两端的绳与竖直方向的夹角不同, 所 以张力也不同,D 错误. 2.B;对日光灯进行受力分析建立坐标系,将 F1 和 F2 进行分解,如图所示,由平 衡 条件知水平方向:F1 sin 45° = F2sin 45° ① 竖直方向:F1 cos 45° +

F2cos 45°= G



由①②解得 F1 = F2 =

2 G,选项 B 正确. 2

3.A;对于 A 和 B 物体进行受力分析,设 B 与斜面之间的动摩擦因数为 μ ,根据 平衡条件列出方程 2mgsinα = μ mgcosα + 2μ mgcosα 解得 μ = (2tanα )/3. 4.D;选 O 点为研究对象,O 点受三力作用而平衡.此三力构成一个封闭的动态三 角形,如图所示.很容易看出,当 FB 与 FA 垂直时,即 α + β = 90°时,FB 取 最小值.因此,选项 D 正确. 三.考点分类探讨 典型问题 例 1 C;M、m 整体受力如图所示,由受力情况可得,M 相对地面有向左运动的趋势, 受地面施加的向右的静摩擦力,大小为 Fcosθ ,A、D 错误 C 正确;地面对 M 的支持力为(M+m)g + Fsinθ ,B 错误. 变式 1 B;物体的受力情况如图所示,由平衡条件可知:Ff = mgcos 30° = 3 2

mg,所以 B 正确.
例 2 B;取小球为研究对象,小球受到重力 G、竖直墙面对小球的压力 FN1 和木板 对小球的支持力 FN2′(大小等于 FN2)三个力作用,如图所示,FN1 和 FN2′ 的合力 为 G′,G′ = G,则 G′恒定不变,当木板向下转动时,FN1、FN2′变化如图所示, 则 FN1、FN2′都减小,即 FN1、FN2 都减小,所以正确选项为 B. 变式 2 D;圆环的受力情况如图所示,由几何关系可知:θ = 60°,a 杆位置不变,缓 慢移动 b 杆,可见两杆的合力不变,Fa 的方向不变,随着缓慢移动 b 杆,矢量 Fb 的箭 头端在图中虚线上逆时针旋转,可见 Fb 先 减小后增大,Fa 一直减小.所以应选 D. 例 3 当 OC 下端所悬挂物体重力不断增大时,细线 OA、OB 所受的拉力同时增大.为了判 断哪根细线先被拉断,可选 O 点为研究对象,其受力情况如图所示,分别假设 OA、OB 达最大值,看另一细线是否达到最大值,从而得到结果假设 OB 不会被拉断,且 OA 上的拉力先达到最大值, 即 F1max = 10 N, 根据平衡条件有 OB 上的拉力 F3 = F1maxsin 2 N = 7.07 N,由于 F3 大于 OB 能承受的最大拉力,所以在物重逐 2 渐增大时,细线 OB 先被拉断;再假设 OB 线上的拉力刚好达到最大值(即 F3max = 5 N) ,处于将被拉断的临界状态.根据平衡条件有 Gmax = F3max = 5 N. 变式 3 C; 对 C 点进行受力分析, 由平衡条件可知, 绳 CD 对 C 点的拉力 FCD = mgtan 30°; . 对 D 点进行受力分析,绳 CD 对 D 点的拉力 F2 = FCD = mgtan 30°,F1 方向一定, 则当 F3 垂直于绳 BD 时,F3 最小,由几何关系可知,F3 = FCDsin 60° = 0.5mg. 四.考题再练 高考试题 1.A;以石块为研究对象,其受力分析如图所示,因为石块静止,则两侧面分别对石块的 弹力 FN 的合力 F 与石块的重力大小相等,即 2FNsin α =mg,解得 FN = mg/sinα ,A 正确. 45° = 10×
5

预测 1B;以第 1 块石块为研究对象,受力分析如图,石块静止,则 F1 = F2cos30°,

F1/F2 =

3 ,故 B 正确. 2

2.C;平衡后设绳的 BC 段与水平方向成 α 角,则:tanα = 2,sinα = 2/ 5 ,对节点 C 分析三力平 衡,在竖直方向上有:m2g = m1gsinα 得:m1:m2 = 1/sinα ,选 C. 预测 2 BC;对 A、B 整体有 Fcos 30° = 2mgsin 30°,得 F = 弹簧原长为 l–x = l– ,则可得选项 B、C 正确. 五.课堂演练 自我提升 1.D;如图所示,物体受重力 mg、支持力 FN、摩擦力 F 而处于静止状态,故支持力与摩 擦力的合力必与重力等大反向,D 正确. 2.C;小球受三个力而平衡,如图所示.由题图几何关系可知,这三个力互成 120°角, 因此三个力大小相等,C 正确,A、B 错;对整体,竖直方向受重力和地面支持力而 平衡,水平方向不受力,D 错. 3.A;选斜面上的物体为研究对象,设所受摩擦力的方向沿斜面向上,其受力情况 如图所示,由平衡条件得:在斜面方向上:F + Ff – mgsin 30° = 0 ① 在垂直斜面方向上:FN – mgcos 30° = 0 ② 经分析可知 F = 4.9 N ③ 由 ①、③ 联立得:Ff = 0,所以选项 A 正确、选项 B 错误. 由 ② 式得:FN =4.9 3N 方向垂直斜面向上,选项 C、D 错误. 4.BD;选重物 M 及两个木块 m 组成的系统为研究对 象,系统受力情况如图甲所示,根据平衡条件有 2Ff = (M + 2m)g,即 Ff = (M + 2m)g/2,与两挡 板间距离无关,故挡板间距离稍许增大后, Ff 不 变,所以选项 A 错误、选项 B 正确;如图乙所示, 将绳的张力 F 沿 OO1、OO2 两个方向分解为 F1、F2, 则 F1=F2 = F/2cosθ ,当挡板间距离稍许增大后, F 不变,θ 变大,cosθ 变小,故 F1 变大;选左边木块 m 为研究对象,其受力情况如图丙所示,根据平 衡条件得 FN = F1sinθ ,当两挡板间距离稍许增大后,F1 变大,θ 变大,sin θ 变大,因此 FN 变大, 故选项 C 错误、选项 D 正确. 5.C;O 点受三力平衡,因此 F2、F3 的合力大小等于 F1,方向与 F1 相反,故 B 错误;作出平行四边形,由 图可以看出 F3 的方向范围为第一象限中 F2 反方向下侧及第四象限,故 A、D 错;当 F3⊥F2 时,F3 最小, F3 = F1cos θ ,故 C 正确. 2 3 mg;隔离 A 球 kx = mgsin 30°,得 3

mg 2k

第 5 题答图

第 6 题答图

第 7 题答图

第 8 题答图
2

第 10 题答图

6.CD;对小物块受力分析如图所示,有:mgcos θ - FN = mv /R、F + f = mgsinθ 、f = μ FN,又因为 θ 增大时 ,FN 减小,f 减小,F 增大,故 A、B 错误,C 正确.由于小物块速率不变,所以小物块所受 合力大小不变,方向改变,故 D 正确. 7.AC;将质量为 m1、m2 的两个物体看做整体,受力分析如图 所示.根据平衡条件得 f = Fcosθ ,FN + Fsinθ = (m1 + m2)g,则 FN = (m1 + m2)g – Fsinθ . 8.A; :以 B 点为研究对象,受力分析如图所示.由几何知识得△ABC 与矢量三角形 FGFBB 相似,则有 AC:
6

BC =FG:FB.由共点力的平衡条件知 FA、FB 的合力 FG = G 大小不变,又 AC、BC 均不变,故 FB 不 变,可知轻杆 B 端受力不变.
9.BD 10.B;对整体受力分析如图,其中 FN 是 AO 杆对系统的弹力,F 为 BO 杆对系统的弹力,f 为 AO 杆对 系统的摩擦力.由于系统处于平衡状态,所以有 FN = (m + m)g = 2mg.对 Q 环:受力如图所示,其 中 T 为细绳对环的拉力,根据 Q 环处于平衡状态可得 Tcosθ =mg,可解得 T = mg/cosθ ,当 P 环 向左移动,细绳与 BO 杆的夹角θ 变小,cosθ 变大,T 变小.所以 B 正确. 11.A 球受 mg、FT、F 电三个力作用,且三力平衡,如图所示. 由相似三角形的知识可知: mg L x m′g L 当 AB 距离为 x 时, = ① 当 AB 距离为 时, = ② F电 x 2 F电′ x 2

q2 k 2 x m F电 1 联立①②得 = = = m′ 2F电′ q2 8 2k ?x?2

? 2? ? ?

12.分析托盘和劈的受力,如图甲、乙所示.托盘受向下的重力 F3 = Mg,劈对滚轮的支持力 F1,圆孔的 约束力 F2.劈受两个滚轮的作用力 F4、F5,细线的拉力 F6 = mg. 对托盘有:F3 = Mg = F1cosα ,则 Mg = ( l 2 ? 0.25a 2 /l) F4 对劈有:F6 = mg = 2F4sin α ,则 mg = (a/l) F4 因为 F1 与 F4 是作用力与反作用力,所以 F1=F4 由上三式得:M= ( l 2 ? 0.25a 2 /a)m,代 入数据得:M = 1.5m

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