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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第70课 圆锥曲线的综合问题课件 文


考纲要求
掌握圆锥曲线的有关最值、定值、定点、对称等问题.

基础自测
1. (2012 东城二模)设 M ( x0 , y0 ) 为抛物线 C : y ? 8 x 上一点, F 为抛物线 C 的焦点,
2

若以 F 为圆心, FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 x0 的取值范围是( A. (2 , ? ?)
【答案】A



B. (4 , ? ?)

C. (0 , 2)

D. (0 , 4)

p p 【解析】∵ FM ? p ,∴ x ? ? p ,∴ x ? ? 2 . 2 2

2. (2012 北京模拟)设双曲线 4 x 2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线与直线 x ?

2 围成的三角

形区域 (包括边界) D ,P( x, y ) 为 D 内的一个动点, 为 则目标函数 z ? 的最小值为( A. ? 2 ) B. ?

1 x? y 2

3 2 2

C. 0

D. ?

5 2 2

【答案】B

?2 x ? y ? 0 ? 3 2 【解析】P( x, y ) 满足 ?2 x ? y ? 0 ,最优解为 ( 2, 2 2) ,故 zmin ? ? . 2 ? ?x ? 2

y2 3.已知双曲线 x ? ? 1 的左顶点为 A1 ,右焦点为 F2 , P 为双曲线右支上一点, 3
2

???? ???? ? 则 PA1 ? PF2 最小值为
【答案】 ?2



【解析】 A1 (?1, 0), F2 (2, 0) ,设 P( x, y)( x ? 1) ,

???? ???? ? 2 2 ∴ PA1 ? PF2 ? (?1 ? x, y ) ? (2 ? x, y ) ? x ? x ? 2 ? y ,

y2 2 又x ? ? 1 ,故 y 2 ? 3( x 2 ? 1) , 3

???? ???? ? 1 2 1 2 ∴ PA1 ? PF2 ? 4 x ? x ? 5 ? 4( x ? ) ? 5 ? , 8 16
当 x ? 1 时,取到最小值 ?2 .

4. (2012 东城质检)已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一条渐近线与

x 轴的夹角为 ? ,且
【答案】 2, ( 2)

?

4

?? ?

?

3

,则双曲线的离心率的取值范围是_______.

b ? ? b 【解析】∵ tan ? ? ,且 ? ? ? , ∴ 1 ? ? 3 . a 4 3 a b2 b2 a 2 ? b2 ∴1 ? 2 ? 3 , ∴1 ? 2 ? 1 ? 4 , ∴ 2 ? ? 4. 2 a a a c2 ∴2 ? 2 ? 4. ∴ 2 ? e ? 2. a

典例剖析
考点1 最值问题
【例 1】 (2012 辽宁高考) 如图,动圆 C1 : x ? y ? t , 1 ? t ? 3 ,与椭圆 C2 :
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1相交于 A , B , C , D 四点,点 A1 , A2 分别为 C2 的左,右顶点. 9
(1)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (2)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程.

y
A D

A1
B

O
C

A2

x

【解析】 (1)设 A( x0 , y0 ) , 则矩形 ABCD 的面积 S ? 4 x0 ? y0 ,
2 2 x0 x0 2 2 ∵ ? y0 ? 1,∴ y0 ? 1 ? , 9 9 2 x0 1 2 9 2 9 ∴ x ? y ? x (1 ? ) ? ? ( x0 ? ) ? , 9 9 2 4 2 0 2 0 2 0

当 x0 ?
2

9 1 2 , y0 ? 时, S max ? 6 , 2 2

∴ t ? 5 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 6 .

(2)设 A( x1 , y1 ) ,则 B( x1 , ? y1 ) , 又知 A1 (?3, 0), A2 (3, 0) ,则

y1 ( x ? 3) , ① x1 ? 3 y 直线 A2 B 的方程为 y ? ? 1 ( x ? 3) ,② x1 ? 3
直线 AA1 的方程为 y ?

y12 2 ( x 2 ? 32 ) , 由①②得 y ? ? 2 2 x1 ? 3



x12 ? y12 ? 1 , 由点 A( x1 , y1 ) 在椭圆 C2 上,故 3 x12 x2 2 ? y 2 ? 1( x ? ?3, y ? 0) , ∴ y1 ? 1 ? ,代入③得 3 9 x2 ? y 2 ? 1( x ? ?3, y ? 0) . ∴直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程为 9

考点2 定值问题

x2 y 2 【例 2】 (2012 东城一模)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0,1) ,且离 a b
3 心率为 . 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2) A1 , A2 为椭圆 C 的左、右顶点,直线 l : x ? 2 2 与 x 轴交于点 D ,点 P 是椭圆 C 上异于 A1 , A2 的动点,直线 A1 P, A2 P 分别交直线 l 于 E , F 两 点.证明: DE ? DF 恒为定值.

【解析】 (1)由题设知, a ? 2 , b ? 故 M (?2 , 0) , N (0 , ? 2 ) , ∴线段 MN 中点的坐标为 ( ?1 , ? ∵直线 AB 平分线段 MN , ∴直线 AB 过线段 MN 的中点, 又直线 AB 过坐标原点,

2,

2 ). 2

2 2 ? 2. ∴k ? ?1 2 ?

又直线 A2 P 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) , x0 ? 2

y0 (2 2 ? 2) y0 令 x ? 2 2 ,则 y ? ,即 DF ? (2 2 ? 2) . x0 ? 2 x0 ? 2
4 y0 2 4 y0 2 ? 2 ? ? (2 2 ? 2) ∴ DE ? DF ? (2 2 ? 2) , 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 4 ? x0

y0

y0

x2 又 P( x0 , y0 ) 在 ? y 2 ? 1 上, 4
4 ? x0 2 x0 2 2 2 2 ? 1, ? y0 ? 1 ,即 4 y0 ? 4 ? x0 ,代入上式,得 DE ? DF ? ∴ 2 4 ? x0 4
∴ | DE | ? | DF | 为定值 1 .

考点3 定点问题
【例 3】 (2012 福建高考)如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均 在抛物线 E : x ? 2 py ( p ? 0 )上.
2

(1)求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P , 与直线 y ? ?1 相交于点 Q . 证明: PQ 以 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.

y
A B

O

x

【解析】 (1)∵ ?OAB 为等边三角形, ∴直线 OB 的方程为 y ? tan 60 ? x ? 3x ,
?

? y ? 3x ? 由? ,解得 B(2 3 p, 6 p) , 2 ? x ? 2 py ?
∵点 A, B 关于 y 轴对称,∴ A(?2 3 p, 6 p) , ∴ 2 ? 2 3 p ? 8 3 ,即 p ? 2 , ∴抛物线 E 的方程为 x ? 4 y .
2

2 x0 x2 1 (2)设 P( x0 , ) ,∵ y ? ,∴ y? ? x , 4 4 2 2 2 x0 1 x0 1 ∴过点 P 的切线方程为 y ? ? x0 ( x ? x0 ) ,即 y ? x0 x ? , 4 2 2 4
2 2 x0 ? 4 x0 ? 4 , ?1) . 令 y ? ?1 ,得 x ? ,即 Q ( 2 x0 2 x0

???? ???? ? 设 M (0, t ) 满足: MP ? MQ ? 0 ,
2 ???? ???? ? x0 ? 4 , ?1 ? t ) , ∵ MP ? ( x0 , y0 ? t ) , MQ ? ( 2 x0 2 2 x0 ? 4 x0 2 ? ( y0 ? t ) ? (?1 ? t ) ? 0 ,∴ x0 ? 4 ? ( ? t ) ? (?1 ? t ) ? 0 , ∴ x0 ? 2 x0 4

∴ 4(t ? t ? 2) ? (1 ? t ) x0 ? 0 对 x0 ? 0 均成立,
2 2

?t 2 ? t ? 2 ? 0 ∴? ,∴ t ? 1, ?1 ? t ? 0 ∴以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上定点 M (0,1) .

归纳反思
1.处理圆锥曲线的最值和范围要注意: (1)自变量的取值范围, (2)题设中的几何特征. 2.解析几何的综合问题,通常以解析几何内容为载体,综合函数、不等式、 三角等知识,可以充分体现在知识的交汇处命题的思想,是高考的重点 和热点.


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