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课时作业50


课时作业(五十)
1.空间中 A、B、C、D、E 五点不共面,已知 A、B、C、D 在同一平面内, 点 B、C、D、E 在同一平面内,那么 B、C、D 三点( A.一定构成三角形 C.不一定共线 答案 解析 B 设面 ABCD 为 α,面 BCDE 为 β 且 A、B、C、D、E 不共面, CD?α, CD?β, 则 α、β 必相交于直线 l. B.一定共线 D.与 A、E 共面 )

?BC?α, 则? ?BC?β,

且 B∈l,C∈l,D∈l. 故 B、C、D 三点一定共线且位于面 ABCD 与面 BCDE 的交线上. 2.已知一个平面 α,l 为空间中的任意一条直线,那么在平面 α 内一定存在 直线 b 使得( A.l∥b C.l 与 b 是异面直线 答案 解析 D 当 l 与平面 α 相交时,平面 α 内不存在直线 l 满足 l∥b,故 A 项错; ) B.l 与 b 相交 D.l⊥b

当 l∥α 时,l 与 b 平行或异面,故 B 项错;当 l?α 时,l 与 b 平行或相交,故 C 项错;无论 l 与 α 的位置关系如何,在平面 α 内总存在直线 b⊥l,故选 D 项. 3.若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 答案 解析 B 对于选项 A,若过点 P 有直线 n 与 l,m 都平行,则 l∥m,这与 l,m )

异面矛盾;对于选项 B,过点 P 与 l、m 都垂直的直线,即过 P 且与 l、m 的公 垂线段平行的那一条直线;对于选项 C,过点 P 与 l、m 都相交的直线有一条或 零条;对于选项 D,过点 P 与 l、m 都异面的直线可能有无数条.

4.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面 直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( 10 A. 10 3 10 C. 10 答案 解析 C 连接 BA1,则 CD1∥BA1,于是∠A1BE 就是异面直线 BE 与 CD1 所成 ) 1 B.5 3 D.5

的角(或补角),设 AB=1,则 BE= 2,BA1= 5,A1E=1,在△A1BE 中,cos ∠A1BE= 5+2-1 3 10 = 10 ,选 C. 2 5· 2

5.ABCD 为空间四边形,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M,N 分别是对角 线 AC 与 BD 的中点,则 MN 与( A.AC,BD 之一垂直 C.AC,BD 都不垂直 答案 解析 B ∵AD=BC,AB=CD,BD=BD, ) B.AC,BD 都垂直 D.AC,BD 不一定垂直

∴△ABD≌△CDB, ∴AN=CN.在等腰△ANC 中,由 M 为 AC 的中点知 MN⊥AC.同理可得 MN ⊥BD. 6.(2014· 衡水调研)如图所示,M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中 点,给出下列四个命题:

①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都平行. 其中真命题是( A.②③④ ) B.①③④

C.①②④ 答案 解析 C

D.①②③

kπ 将过点 M 的平面 CDD1C1 绕直线 DD1 旋转任意不等于 2 (k∈Z)的角

度,所得的平面与直线 AB,B1C1 都相交,故③错误,排除 A,B,D,选 C. 7.在图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示 直线 GH、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

答案 解析

②④ 图①中,直线 GH∥MN;

图②中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN, 因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 所以图②、④中 GH 与 MN 异面. 8. 如图所示,正四面体 S-ABC 中,D 为 SC 的中点,则 BD 与 SA 所成角 的余弦值是________.

答案 解析

3 6 取 AC 中点 E,连接 DE,BE,

则 BD 与 DE 所成的角即为 BD 与 SA 所成的角. 3 a 设 SA=a,则 BD=BE= 2 a,DE=2.

3 由余弦定理知 cos∠BDE= 6 . 9.(2014· 郑州质检)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为 A1B1,BB1 的中点,则异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为________. 答案 解析 2 5 如图所示, 取 AB 的中点 E, 连接 B1E, 则 AM∥B1E, 取 EB 的中点 F,

连接 FN,则 B1E∥FN,因此 AM∥FN,则直线 FN 与 CN 所夹的锐角或直角为 异面直线 AM 与 CN 所成的角.

5 5 17 设 AB=1,连接 CF,在△CFN 中,CN= 2 ,FN= 4 ,CF= 4 . 由余弦定理,得 cos∠CNF= CN2+FN2-CF2 2 =5. 2CN· FN

10. 如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点,在这个正四面体中,

①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 解析 ②③④ 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线,

GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN. 11. 如图所示,设 A 是 BCD 所在平面外一点,AD=BC=2 cm,E、F 分别

是 AB、CD 的中点.

(1)若 EF= 2 cm,求异面直线 AD 和 BC 所成的角; (2)若 EF= 3 cm,求异面直线 AD 和 BC 所成的角. 答案 解析 (1)90° (2)60° 取 AC 的中点 G,连接 EG、FG.

∵E,F 分别是 AB,CD 的中点, 1 ∴EG∥BC 且 EG=2BC=1 cm,

1 FG∥AD 且 FG=2AD=1 cm. ∴∠EGF 即为所求异面直线的角或其补角. (1)当 EF= 2 cm 时,由 EF2=EG2+FG2,得∠EGF=90° . ∴异面直线 AD 和 BC 所成的角为 90° . (2)当 EF= 3 cm 时, 在△EFG 中,取 EF 的中点 H,连接 GH, ∵EG=GF=1 cm, 3 ∴GH⊥EF,EH=FH= 2 cm. 1 ∴GH= GF2-HF2=2 cm. ∴∠GFH=∠GEH=30° . ∴∠FGE=120° ,其补角为 60° . ∴异面直线 AD 和 BC 所成的角为 60° . 12.(2014· 山东烟台期末) 如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3, BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点.

(1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值. 答案 解析 (1)略 (2)略 2 2 (3) 5

(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC,则 CC1⊥AC,∵

AC=3,BC=4,AB=5, ∴AC2+BC2=AB2. ∴AC⊥BC.又 BC∩C1C=C,则 AC⊥平面 BCC1B1. 又 BC1?平面 BCC1B1,∴AC⊥BC1. (2)如图

设 BC1∩B1C=E,连接 DE,E 为 BC1 的中点. 又∵D 为 AB 的中点, ∴AC1∥DE. 又∵AC1?平面 CDB1,DE?平面 CDB1,∴AC1∥平面 CDB1. (3)解:由(2)知∠DEC(或其补角)即为异面直线 AC1 与 B1C 所成的角. 1 5 在 Rt△ACB 中,CD= AB= , 2 2 1 5 1 DE=2AC1=2,CE=2CB1=2 2. 在△CED 中,cos∠DEC= 2 2 所成角的余弦值为 5 . 13.(2014· 皖南八校联考) 空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成 DE2+CE2-CD2 2 2 = 5 ,即异面直线 AC1 与 B1C 2DE· CE

的角为 30° ,E、F 分别为 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小.

答案 解析

15° 或 75° 取 AC 的中点 G,连接 EG、FG,

1 1 则 EG 綊2AB,GF 綊2CD. 由 AB=CD 知 EG=FG,

∴∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角,∠EGF(或它的补角)为 AB 与 CD 所成的角. ∵AB 与 CD 所成的角为 30° , ∴∠EGF=30° 或 150° . 由 EG=FG 知△EFG 为等腰三角形, 当∠EGF=30° 时,∠GEF=75° ; 当∠EGF=150° 时,∠GEF=15° . 故 EF 与 AB 所成的角为 15° 或 75° . 14.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 所有的棱长都为 2,E 是 A1B 的中点,F 在 棱 CC1 上. 1 (1)当 C1F=2CF 时,求多面体 ABCFA1 的体积; (2)当点 F 使得 A1F+BF 为最小时,求异面直线 AE 与 A1F 所成的角. 答案 解析 10 3 (1) 9 (2)90°

1 (1)当 C1F=2CF,

即 F 为 C1C 的一个三等分点. 多面体 ABCFA1 可分解为三棱锥 A1-ABC 和 A1-BCF 两部分, 10 3 ∴V=VA1-ABC+VA1-BCF= 9 . (2)将平面 BCC1B1 沿 CC1 展开可知,F 为中点时,A1F+BF 最小,取 BF 的 中点 D,连接 DE,则∠AED 即为所求角. 1 5 13 在△AED 中,AE= 2,ED= A1F= ,AD= . 2 2 2 ∴AD2=AE2+ED2,∴∠AED=90° . ∴异面直线 AE 与 A1F 所成的角为 90° . (此题也可用向量法解,学生自己试做).


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