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【河东教育】2014-2015北师大版高中数学选修4-1同步练习 柱面与平面的截面]


柱面与平面的截面 同步练习
一, 选择题 1,过球面上一点可以作球的( ) A.一条切线和一个切平面 B,两条切线和一个切平面 C,无数条切线和一个切平面 D,无数条切线和无数个切平面 2,球的半径为 3,球面外一点和球心的距离为 6,则过该点的球的切线和过切点 的半径所成的角为( ) A,30° B,60° C,90° D,不确定 3,一个平面和圆柱面的轴成 ? 角

(0? ? ? ? 90?) ,则同时与圆柱面和该平面都相切 的球的个数为( ) A,0 B,1 C,2 D,由 ? 的不同而定 )

4, 从圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P (2, 3) 引圆的切线, 则其切线方程为 ( A, 3x ? 4 y ? 6 ? 0 C, 3x ? 4 y ? 6 ? 0 B, 3x ? 4 y ? 6 ? 0或3x ? 4 y ? 6 ? 0 D, 3x ? 4 y ? 6 ? 0或y ? 3

5,一圆柱面底面的半径等于 2cm,一个截割圆柱面的平面与轴成 60 角,从割平面 上, 下放入圆柱的两个切球, 使它们都与截面相切, 则这两个切点的距离为 ( ) A,
2 3 3

B,

4 3 3

C,

4 3

D,

8 3

二, 填空题 6,半径分别为 1 和 2 两个球的球心相距 12,则这两个球的外公切线和长为 内公切线的长为 7,将两个半径为 2cm 的球嵌入底面半径为 2cm 的圆柱中,使两球的距离为 6cm, 用一个平面分别与两个球相内切,所成的截线为一个椭圆,则该椭圆的长轴为 短轴长为 焦距为 离心率为 8,如图,AB,CD 是两个半径为 2 的等圆的直径,AB//CD,AC,BD 与两圆相切, 作两圆公切线 EF,切点为 F1,F2,交 BA,CD 延长线于 E,F,交 AC 于 G1,交 BD 于 G2, 设 EF 与 BC,CD 的交角分别为 ?1, ?2 ,G2F1+G2F2= 则 ?1 ? ,若 ?2 ? 30?

E G1

A

O1

B

F1

F2

1 G2 2 C F

O2 D

三,解答题 9, 已知椭圆如图,

x y x2 y2 ? =1,直线 L: ? =1,P 是 L 上一点,射线 OP 交 12 8 24 16

椭圆于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点 P 在 L 上移动时,求 点 Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

10, 设 F1、F2 为椭圆

x2 y2 =1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点.已知 P、F1、F2 ? 9 4

是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求

| PF1 | 的值. | PF2 |

参考答案 1,C 2,C 6, 143

3,C

4,C 7,6 4

5,B

3 15

2 5

5 3

8, 4 ?

8 3 3

∠1=60°

9,解:由题设知点 Q 不在原点,设 P、R、Q 的坐标分别为(xP,yP) , (xR,yR) , (x, y) ,其中 x、y 不同时为零. 设 OP 与 x 轴正方向的夹角为α ,则有 xP=|OP|cosα ,yP=|OP|sinα xR=|OR|cosα ,yR=|OR|sinα x=|OQ|cosα ,y=|OQ|sinα 由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|2,得

| OP | ? ? 2 | OP | 2 x ? x xR ? x ① P ? ? | OQ | | OQ | ? ? ? ? ? y ? | OP | y ? y 2 ? | OP | y 2 ② P R ? ? | OQ | | OQ | ? ? 由点 P 在直线 L 上,点 R 在椭圆上,得方程组
? xP y P ? ?1 ? ? 12 8 ? 2 2 ? xR ? y R ? 1 ? ? 24 16








将①②③④代入⑤⑥,整理得点 Q 的轨迹方程为

( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 =1(其中 x、y ? 5 5 2 3

不同时为零) 所以点 Q 的轨迹是以(1,1)为中心,长、短半轴分别为

10 15 和 ,且长轴与 2 3

x 轴平行的椭圆,去掉坐标原点.
10, 解法一:由已知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5 , 根据直角的不同位置,分两种情况: 若∠PF2F1 为直角,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2 即|PF1|2=(6-|PF1|)2+20, 得|PF1|=

| PF1 | 7 14 4 ,|PF2|= ,故 ? ; 3 3 | PF2 | 2

若∠F1PF2 为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, 即 20=|PF1|2+(6-|PF1|)2, 得|PF1|=4,|PF2|=2,故

| PF1 | =2. | PF2 |

解法二: 由椭圆的对称性不妨设 P (x, y) (x>0,y>0) ,则由已知可得 F1(- 5 , 0) ,F2( 5 ,0). 根据直角的不同位置,分两种情况:若∠PF2F1 为直角,则 P( 5 ,

4 ) 3

于是|PF1|=

| PF1 | 7 14 4 ,|PF2|= ,故 ? 3 3 | PF2 | 2

? x2 y2 ? ?1 ? ?9 4 若∠F1PF2 为直角,则 ? ? y ? y ? ?1 ? ?x ? 5 x ? 5
解得 x ?

3 5 4 5 3 5 4 5 ,即 P( ) , ,y? , 5 5 5 5

于是|PF1|=4,|PF2|=2,故

| PF1 | =2. | PF2 |


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