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第二章平面向量课时作业人教A版必修四第2章2.2.3课时作业


基础达标 1.(2012· 三亚检测)已知 m,n 是实数,a,b 是向量,则下列命题中正确的为 ( ).

①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若 ma=mb,则 a=b;④若 ma=na,则 m=n. A.①④ 解析 B.①② C.①③ D.③④

①和②属于数乘对向量与实数的分配律,正确;③中,若 m=0,则不

能推出 a=b,错误;④中,若 a=0,则 m,n 没有关系,错误. 答案 B

→ → 2.在△ABC 中,如果 AD、BE 分别为 BC、AC 上的中线,且AD=a,BE=b, → 那么BC为( 2 4 A.3a+3b 2 4 C.3a-3b 解析 ). 2 2 B.3a-3b 2 4 D.-3a+3b

→ → → → → → → 1 1 1 1 由题意,得BC=BE+EC=b+2AC=b+2(AD+DC)=b+2a+4BC,

→ → → 1 1 2 4 即BC=b+2a+4BC.解得BC=3a+3b. 答案 A

→ → → 3.已知向量 a,b,设AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,那么下列各 组中三点一定共线的是( A.A,B,C C.A,B,D 解析 ). B.A,C,D D.B,C,D

→ → → 由向量的加法法则知BD=BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2(a+2b)=

→ 2AB,又两线段均过点 B,故 A,B,D 三点一定共线. 答案 C

→ 1 12 4.在?ABCD 中,E,F 分别在 DC 和 AB 上,且 DE=13DC,AF=13AB,则AE与 → CF的关系是________. 解析 → → 设AD=a,AB=b.

1 12 ∵DE=13DC,AF=13AB, → → → 1 ∴AE=AD+DE=a+13b, → → → → 1 CF=CB+BF=-a-13b=-AE. 答案 → → CF=-AE

1 ? 1 ? 5.若 2?x-3a?-2(b+c-3x)+b=0,其中 a,b,c 为已知向量,则未知向量 x ? ? =________. 解析 1 ? 1 ? 由 2?x-3a?-2(b+c-3x)+b=0,得 ? ?

7 2 1 1 4 1 1 x-3a+2b-2c=0,∴x=21a-7b+7c. 2 答案 4 1 1 a-7b+7c 21

→ → 6.已知 a,b 是不共线的向量,若AB=λ1a+b,AC=a+λ2b(λ1,λ2∈R),若 A, B,C 三点共线,则 λ1λ2=________. 解析 → → → → 若 A, C 三点共线, B, 则AC, 共线, AB 所以存在实数 λ 使得AC=λAB,

即 a+λ2b=λ(λ1a+b), (1-λλ1)a+(λ2-λ)b=0, 由于 a, 不共线, b 所以 1=λλ1, 且 λ2=λ,消掉 λ 得 λ1λ2=1. 答案 1

7.已知 e1,e2 是两个非零不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若 a 与 b 是 共线向量,求实数 k 的值. 解 ∵a 与 b 是共线向量,∴a=λb,

∴2e1-e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2, ?λk=2, ?k=-2, ∴? ∴? ∴k=-2. ?λ=-1, ?λ=-1, 能力提升 → → → → 8.已知△ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P,若PA+PB+PC=AB,则 ( A.P 在△ABC 内部 C.P 在 AB 边所在直线上 解析 B.P 在△ABC 外部 D.P 在线段 AC 上 ).

→ → → → → 由已知,得PA+PC=AB-PB=AP,

→ → ∴PC=2AP,故 P 点在线段 AC 上. 答案 D

9.(2012· 广州测试)在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,BE 与 AC 相交 → → → m 于点 F,若EF=mAB+nAD(m,n∈R),则 n 的值为________. 解析 取 BC 的中点 M,连接 DM,交 AC 于 N.

∵平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,BE 与 AC 相交于点 F,∴AF= FN=CN. → → → → → → 1 1 1 1 1 ∴EF=-2AD+3AD+3AB=3AB-6AD, → → → ∵EF=mAB+nAD(m,n∈R), 1 1 m ∴m=3,n=-6,∴ n = 答案 -2 1 3

1=-2. -6

→ → → → → 1 1 10.如图,在△OAB 中,OC=4OA,OD=2OB,AD 与 BC 交于点 M,设OA → =a,OB=b. → (1)用 a、b 表示OM; → (2)在线段 AC 上取一点 E,在线段 BD 上取一点 F,使 EF 过 M 点,设OE= → → → 1 3 pOA,OF=qOB,求证:7p+7q=1. (1)解 → 设OM=ma+nb,

→ → 1 则AM=(m-1)a+nb,AD=-a+2b. → → ∵点 A、M、D 共线,∴AM与AD共线, ∴ m-1 n = ,∴m+2n=1.① -1 1 2

→ → → → 1? 1 ? m-4?a+nb,CB=- a+b. CM=OM-OC=? 4 ? ? ∵点 C、M、B 共线, → → ∴CM与CB共线, 1 m-4 n 1 =1,∴4m+n=1.② -4



1 3 联立①②可得 m=7,n=7, → 1 3 ∴OM=7a+7b. (2)证明 → → 3 ?1 ? EM=?7-p?a+7b,EF=-pa+qb, ? ?

→ → ∵EF与EM共线, 1 3 7-p 7 ∴ = , -p q 1 3 1 3 ∴7q-pq=-7p,即7p+7q=1.



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