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函数一致连续的判别方法及其应用


函数一致连续的判别方法及其应用
摘要
函数一致连续性是数学分析的重要概念,一般教材只给出一致连续的概念及 Cantor 定理,没有做更深入的研究。本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件,并 结合具体例子对这些方法加以应用, 而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的 讨论,从充要等条件出发进行深入的分析和系统的总结。 关键词:一致连续 积分 导数 Cantor 定理 基本初等函数

I

Abstract

The uniform continuity of function is an important concept of mathematical analysis. General textbooks only show the concept of uniform continuity and the Cantor theory, without a more in-depth study. This thesis comprehensively summarize the conditions to judge the uniform continuity of functions, combined with specific examples of these methods to be applied, and made a more complete discussion of the uniform continuity of the basic elementary functions, with in-depth analysis and summary, starting from the necessary and sufficient conditions. Keywords: uniform continuity elementary function integral derivative Cantor theorem Basic

II

目录
摘要 .............................................................. Ⅰ Abstract .......................................................... Ⅱ 第一章 引言 ........................................................ 1 第二章 一致连续的充要条件 .......................................... 2 第三章一致连续的充分条件 .......................................... 10 第四章 函数一致连续的应用 ......................................... 16 4.1 4.2 应用一:基本初等函数的一致连续性的应用 .................... 16 应用二:反函数的一致连续性的应用 .......................... 18

4.3 函数的四则运算的一致连续性 ................................. 21 总结 .............................................................. 24 致谢 .............................................................. 25 参考文献 .......................................................... 26

第一章 引言

第一章 引言
我们知道,函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍,重要而又抽象的数学概 念之一,它体现在某个区间上的整体性质,是微积分学的基础,并且对后续课程的学习 起着关键作用。 弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学 好这一理论的关键.一致连续是函数的一个重要性质, 它对确定函数的性态有重要作 用。函数 f ( x) 在某区间内连续,是指函数 f ( x) 在该区间内每一点都连续,它反映函数
f ( x) 在该区间上一点附近的局部性质,但函数的一致连续性则反映的是函数 f ( x) 在给

定区间上的整体性质,它有助于研究函数 f ( x) 的变化趋势及性质。因此,在讨论函数 的一致连续性时,通常应用函数一致连续的定义或一致连续的定理,但使用函数在区间 上一致连续的定义证明较为复杂,本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入 的分析和总结,并结合具体例子对这些方法加以应用,目的是帮助大家掌握运用不同的 方法证明函数一致连续,使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。 现有的数学分析教材中, 一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一 致连续的G.康托定理,内容篇幅少,为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面 的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充。

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第二章 一致连续的充要条件
f ( x) 在区间 I 上连续是指 f ( x) 在 I 上每一点都连续, f ( x) 在 I 上一致连续则是反映 f ( x) 在 I 上整体性质的更强的连续性概念。

2.1 函数一致连续的定义

函数一致连续的定义:设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义,若
?? ? 0, ?? ? 0, ?x1, x2 ? I :| x1 ? x2 |? ? , 有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? , | x1 ? x2 |< ? 称函数 f ( x) 在 I

一致连续(或均匀连续)。

2.2 一致连续的充要条件
定理 1: G 康托定理:若函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续,则 f ( x) 在 [a, b] 上一致连续。 证明:若上述事实不成立,则至少存在一个 ? 0 ? 0 ,使得区间 ? a, b ? 不能按上述要求 分成有限多个小区间。将 ? a, b ? 二等分为 ? a, c0 ? 、? c0 , b ? 则二者之中至少有一个不能按上 述要求分为有限多个小区间,记为 ? a1 , b1 ? ;再将 ? a1 , b1 ? 二等分为 ? a1 , c1 ? 、 ? c1 , b1 ? 依同样 的方法取定其一, 记为 ? a2 , b2 ? ; ......如此继续下去, 就得到一个闭区间套 ? an , bn ? , n=1, 2,… ,由闭区间套定理知,存在唯一一点c满足
c ? lim an ? lim bn
x ?? x ??



且属于所有这些闭区间,所以 c ? ? a, b ? ,从而 f ( x) 在点 x ? c 连续,于是 ?? ? 0 , 当
x ? c ? ? ( x ? ? a, b ?) 时,就有

f ( x ) ? f (c ) ?

?0
2





又由①式,于是我们可取充分大的k,使 ak ? c ? ? , bk ? c ? ? ,从而对于 ? ak , bk ? 上任意点

x , 都 有 x ? c ? ? 。 因 此 , 对 于 ? ak , bk ? 上 的 任 意 两 点 x?, x?? ,
f ( x?) ? f ( x??) ? f ( x?) ? f (c) ? f (c) ? f ( x??) ?

由②都有

?0
2

?

?0
2

? ?0 。



这表明 ? ak , bk ? 能按要求那样分为有限多个小区间, 这和区间 ? ak , bk ? 的取法矛盾, 从
2

第二章 一致连续的充要条件

而得证。 定理2: 函数 f ( x) 在 ? a, b ? 内一致连续 ? f ( x) 在 ? a, b ? 连续, lim? f ( x) 与 lim? f ( x) 都 且
x ?a x ?b

存在。 证明: ? 若 f ( x) 在 ? a, b ? 内一致连续,则对 ?? ? 0, ?? ? 0, ?x1 , x2 ? ? a, b ? ,当
x1 ? x2 ? ? 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ,

于是当 x1 , x2 ? (a, a ? ? ) 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 。 根据柯西收敛准则, 极限 lim? f ( x) 存在, 同理可证极限 lim? f ( x) 也存在, 从而 f ( x)
x ?a x ?b

在 ? a, b ? 连续, lim? f ( x) 与 lim? f ( x) 都存在。
x ?a x ?b

? 若 f ( x) 在 ? a, b ? 连续,且 lim? f ( x) 和 lim? f ( x) 都存在,则
x ?a x ?b



? f (a ? 0), x ? a, ? F ( x) ? ? f ( x), x ? ? a, b ? , ? f (b ? 0), x ? b, ?

于是有 F ( x) 在闭区间 ? a, b ? 上连续,由Contor定理, F ( x) 在 ? a, b ? 上一致连续,从而 f ( x) 在 ? a, b ? 内一致连续。 根据定理2容易得以下推论: 推论1:函数 f ( x) 在 ? a, b ? 内一致连续 ? f ( x) 在 ? a, b ? 连续且 lim? f ( x) 存在。
x ?a

推论2:函数 f ( x) 在 ? a, b ? 内一致连续 ? f ( x) 在 ? a, b ? 连续且 lim? f ( x) 存在。
x ?b

注意:当 ? a, b ? 是无限区间时,条件是充分不必要的。例如
g ( x) ? sin x 在 ? ??, ?? ? 上一致连续,但是 lim f ( x) ? ?? , lim g ( x) 不存在。
x ??? x ???

定理3:设 f ( x) 在 (a, b) 上有定义,若对 (a, b) 上任一收敛数列 { xn } ,极限 lim f ( xn ) 都存
n ??

在,则 f ( x) 在 (a, b) 上一致连续。 证明:任取 x0 ? [a, b) 及 (a, b) 内任一收敛于 x0 的数列 { xn } ,由 lim f ( xn ) 存在,可以
n ??

证明对 (a, b) 内所以收敛于 x0 的数列 { xn } ,数列 { f ( xn )} 收敛于同一极限值 A 。
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事实上,设 {x' } , {x"} 是 (a, b) 内任两个收敛于 x0 的数列,作数列
x1 ? x1' , x2 ? x1" ,? x2 n ?1 ? xn ' , xn ? xn" ,?, 则因为 { xn } 也是 (a , b ) 内收敛于 x0 的数列,所以
( lim f (xn ) 存 在 , 设 l i mf x ?) A, 则 { f (xn ) } 任 一 子 列 都 收 敛 于 A , 特 别 的 n
n ??
n ??

lim f ( xn ' ) ? lim f ( xn" ) ? A 。 lim 于是由归结原则, x0 ? (a, b) 时, f ( xn ) ? A 存在, (a, b) 当 而
n ?? n ??
n ??

? 内收敛于 x0 的数列中有一个数列为 xn ? x0 ( n ? 1, 2, ),所以 A ? lim f (xn )? f (x ) 0 ,
n ??

n ? x0

lim f ( xn ) ? f ( x0 ) , f ( x) 在 (a, b) 内连续,当 x0 ? a 时, lim f (x )存在,当 x0 ? b 时, ?
n?a

n ?b ?

lim f (x )存在,从而得到 f ( x) 在 (a, b) 上一致连续。

推论:函数 f ( x) 在 (a, b) 上连续,则 f ( x) 在 (a, b) 上一致连续的充要条件是 f (a ? 0) ,
f (b ? 0) 都存在。

定理 4:函数 f ( x) 在无穷区间 ?0,??? 上一致连续的充要条件是 f ' ( x ) 在无穷区间 ?0,??? 上有界。 引理 1:若 f ? x ? 在 ?0,??? 上一致连续,则存在正数 A 与 B 使得
f ?x ? ? Ax ? B ,

x ? ?0,???

证明:由题设知,对任意的 ? ? 0 ,存在 ? ? 0 当 x1 , x2 ? ?0,?? ? 且 x1 ? x 2 ? ? 时 有 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? ? 现在对任意充分大的 x ? ?0,?? ? ,我们总可以取 x0 ? ?0, ? ? ,使得 x 有表达式:
x ? n? ? x0 , n 为正整数。

注意到 f ? x ? 在 ?0, ? ? 上有界,不妨设为 f ?x ? ? M , x0 ? ?0, ? ? 从而有
f ?x ? ? ? ? f ?x0 ? i? ? ? f ?x0 ? ?i ? 1?? ?? ? f ?x0 ?
i ?1 n

所以

| f ( x) |? ? | f ( x0 ? i? ) ? f ( x0 ? (i ? 1)? ) | ? | f (x0 ) |? n? ? M
i ?1

n

? ( x ? x0 )

令A?

? , B ? (M ? ? ) 即得所证。 ?
4

? ?x ?M ? ? (M ? ? ) ? ?

第二章 一致连续的充要条件

引理 2:如果存在正数 A 与 B 使得 f ?x ? ? Ax ? B , x ? ?0,??? 成立,则 lim f ?? x ? 存在。
x ??

证明: (反证法)假设 lim f ?? x ? 不存在即 lim f ?? x ? ? ? (关于 lim f ?? x ? ? ? 且极限
x ?? x ?? x ??

不存在的其他情况因能力有限暂时不与考虑) 当 lim f ?? x ? ? ?? 时,设 ? ?x ? ? f ?x ? ? ? Ax ? B ? 则 ? ??x ? ? f ??x ? ? A 由于
x ??

lim f ?? x ? ? ?? 所以存在点 x 0 使得 ?x ? x 0 时 ? ??x ? ? 0 所以 ? ? x ? 在 ? x0 ,?? ? 单调递增, 因此
x ??

存在 x1 ? ?x0 ,??? 使得对任意的点 x ? ?x1 ,?? ? 有 ? ?x ? ? 0 , f ?x ? ? Ax ? B , 即 矛盾。 以结论成立。 同理可知 lim f ?? x ? ? ?? 时结论成立。
x ??



本题得证

定理 5:若 f ( x) 在区间 I 上满足利普希茨条件,即存在 L ? 0 ,使得对 I 上任 意两点 x' , x", 都有|f ( x' ) ? f ( x" ) |? L | x' ? x" |, 则f ( x)在区间I上连续。 此定理由定义易证,并由此可得 推论:若 f ' ( x) 在区间 I 上有界,则 f ( x) 在 I 上一致连续。 证明:设存在 L ? 0 ,使得对一切 x ? I ,都有 | f ( x ' ) |? L ,则对 I 上任意 两点 x ' , x" ,由微分中值定理 f ( x' ) ? f ( x" ) ? f ' ( x' ? x" ) ,其中 ? 在 x ' 与 x" 之间, 从而 ? ? I , | f ( x' ) ? f ( x" ) |?| f ' (? ) | x' ? x" |? L | x' ? x" | , f ( x) 在 I 上满足利普希茨 条件, f ( x) 在 I 上一致连续。
定理 6:设 f ( x) 定义在 [a, c] 上,若 f ( x) 在 [a, b] 和 [b, c] 上都连续,则 f ( x) 在 [a, c] 上一 致连续。 上述结论可进一步推广为: 设区间 I1 的右端点为 c ? I1 ,区间 I 2 的左端点也为 c ? I 2 ( I1 , I 2 可为有限或无限区 间).若 f ( x) 在 I1 和 I 2 上都一致连续,则 f ( x) 在 I ? I1 ? I 2 上一致连续。

例 1:求证:若函数 y= f ( x) 在 [a, c] 和 [c, b] 上都一致连续,则 f ( x) 在 [a, b] 上一致连续。 证明:因为函数 f ( x) 在 [a, c] 上一致连续,所以在 [a, c] 上, ? (? ) ? ? ? 0 ; 同理,在 [c, b] 上有 ? (? ) ? ? ? 0 ,而 ? (? , c) ? ? ? 0 .所以,在 [a, b] 上,
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? (? ) ≥ min{? , ? , ? } ? 0 .所以,函数 y= f ( x) 在 [a, b] 上一致连续。

例 2:讨论 f ( x) ? x 在 [0, ??) 上的一致连续性. 证明: f ( x) 在 [0, ??) 上连续,设 a ? 0 , 当 0 ? x ? a 时,设 0 ? x1 ? a, 0 ? x2 ? a,| x1 ? x2 |? ? , 则
x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ?

,

0 ? ? f (? ) ? sup

x1 , x2 ?[0, a ]
x1? x2 ??

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

且 lim? ? ? 0 ,所以 f ( x) ? x 在 [0, a] 上一致连续。
? ?0

当 x ? a 时,
x1 ? x2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? , lim ? ? 0 2 a ? ? 0? 2 a .

?

所以 f ( x) ? x 在 [a, ??) 上一致连续。 综上所述, f ( x) ? x 在 [0, ??) 上一致连续。

定理 7:函数 f ( x) 在 (a, b) 上一致连续充要条件:若 f ( x) 在有限开区间 (a, b) 上连续,且
f (a ? 0) 与 f (b ? 0) 都存在且有限。

推论 1:函数 f ( x) 在 (a, b](或 [a, b) )上一致连续的充要条件:若 f ( x) 在区间 (a, b](或
[a, b) )上连续,且 f (a ? 0) (或 f (b ? 0) )存在且有限。

推论 2::若 f ( x) 在 [a, ??) (或 (??, b] )上连续,且 lim f ( x) (或 lim f ( x) )极限存在,
x ??? x ???

则 f ( x) 在 [a, ??) (或 (??, b] )上一致连续。 证明:设 lim f ( x ) ? A ,则由柯西准则,任给 ? ? 0 ,存在 M ? a ,使得当 x' , x" ? M
x ???

时, | f ( x' ) ? f ( x" ) |? ?



又因为 f ( x) 在闭区间 [a, M ? 1] 上连续,所以 f ( x) 在 [a, M ? 1] 上一致连续,从而对上述

? ? 0 ,存在正数 ? ? 1,使得 x' , x" ? [a, M ? 1] 且 | x ' ? x" |? ? 时,
| f ( x ' ) ? f ( x" ) |? ?


6

第二章 一致连续的充要条件

于是当 x' , x" ? [a, ??) 且 | x ' ? x" |? ? 时, x ' , x" 必同属于 [a, M ? 1] 或必同属于 ( M , ??) ,由 ①②式必有 | f ( x' ) ? f ( x" ) |? ? ,由定义 f ( x) 在 [a, ??) 上一致连续。 推论 3:若 f ( x) 在 (a, ??) (或 (??, b) )上连续,且 lim f ( x) 及 lim? f ( x) (或 lim f ( x) 及
x ??? x?a x ???
x ?b ?

lim f ( x) )极限存在,则 f ( x) 在 (a, ??) (或 (??, b) )上一致连续。
x ??? x ???

推论 4: f ( x) 在 (??, ??) 上连续, lim f ( x ) ? A 及 lim f ( x ) ? B 极限存在, f ( x) 在 若 且 则
(??, ??) 上一致连续。

证明:由 a 和 b 可得, f ( x) 在 (??,1) 和 [0, ??) 上都一致连续,从而任给 ? ? 0 , 分别存在 ?1 ? 0 , ? 2 ? 0 ,使得 x ' , x" ? (??,1] 且 | x ' ? x" |? ?1 时, f ( x ' ) ? f ( x" ) |? ? ①
x ' , x" ? [0, ??) 且 | x ' ? x" |? ? 2 时, | f ( x ' ) ? f ( x" ) |? ? 。②

现取 ? ? min{?1 , ? 2 ,1} ,则 x' , x" ? (??, ??) 且 | x ' ? x" |? ? 时, x ' , x" 必同属于 (??,1] 或同属 于 [0, ??) ,由①②式必有 | f ( x' ) ? f ( x" ) |? ? ,由此证得 f ( x) 在 (??, ??) 上一致连续。

例 3:无界函数 f ( x) = x ? sin x 于-∞<x<+∞上一致连续。 证明:| f ?x ' ?- f ?x " ?|=|( x ' - x " )+(sin x ' -sin x " )|≤| x ' - x " |+| sin x ' -sin x " |≤ 2| x ' - x " |。 对于任给的 ? >0,取 ? =

? >0,则当-∞< x ' <+∞,-∞< x " <+∞,| x ' - x " |< ? 2

时,恒有| f ?x ' ?- f ?x " ?|< ? ,故 f ( x) 在-∞<x<+∞上一致连续。

1 例 4: f ( x) = x sin ( ) , x ∈〔1,+∞) x

证明:∵ lim f ( x) =1 ,由无穷区间上一致连续定理得 f ( x) 在 x ? 〔1,+∞)上一致
x ? ??

连续。

例 5:证明 f ( x) ? cos x 在[0,+∞)上一致连续。

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证明:设 x1 , x 2 ? [0,+∞),不妨设 x1 > x 2 ,则有
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| cos x1 ? cos x2 |? 2 | sin
x1 ? x 2 2 |? x1 ? x 2 ? | x1 ? x 2 | x1 ? x 2 ?

x1 ? x2 2
x1 ? x 2 x1 ? x 2

sin

x1 ? x2 2
?

|? 2|sin
x1 ? x 2

?

x1 ? x 2 x1 ? x 2

由 x1 ? x 2 ﹤ ? ,得 x1 ? x2 ? ? 2 ,于是,取 ? ? ? 2 ,则当 x1 , x 2 ? [0,+∞), | x1 ? x2 |﹤ ? ,有| f ?x1 ? ? f ?x2 ? | ﹤ ? 。故 f ? x ? 在[0,+∞)上一致连续。

定理 8:若 f ( x) 在区间 I 上有定义,则 f ( x) 在 I 上一致连续的充要条件是 lim ? f (? ) ? 0 ? ? 0? . 推论: 若 f ( x) 在区间 I 上连续,若 ? f (? ) ? sup | f ( x ' ) ? f ( x" ) |? g (? ) 且 lim? g (? ) ? 0 ,则
x ', x "?I

? ?0

f ( x) 在 I 上一致连续。

|x' ? x"| ??

(若 f ( x) 在区间 I 上有定义,则称 ? f (? ) ? sup | f ( x ' ) ? f ( x ") | 为函数 f ( x) 的连续模 数。) 由上述定理易得到一致连续的视察法:
x' , x"?I
|x' ? x"| ??

? f (? ) 的值只与 f ( x) 的图象最陡的地方有关.若 f ( x) 的图象在某处无限变陡,使得

? f (? ) ? 0 ,则 f ( x) 非一致连续;若 f ( x) 在某处最陡,但 ? ? 0? 时,此处的变差
| f ( x' ) ? f ( x ") |? 0 ,则 f ( x) 一致连续。

例 5: f ( x) =

1 在 (0, c)(c ? 0) 上是非一致连续的,但在 [c, ??) (c ? 0) 上一致连续。 x

1 证明: f ( x) ? ( x ? 0) ,在 x ? 0 处,图形无限变陡。 x
?? ? 0, ? f (? ) ? ?? ? ? 0? ? f (? ) ? 0 ? . 时 。

因此, f 在任何区间 (0, c)(c ? 0) 上都是非一致连续的。
1 1 1 但在区间 [c, ??) 上, f ( x) = 在点 c 处最陡,且 ? f (? ) ? ? ? 0(? ? 0? ) 。 x c c ??

可见, f ( x) =

1 在 [c, ??) 上一致连续。 x

定理9: 设 f ( x) 是定义在 ? ??, ?? ? 上的以 2T ?T ? 0 ? 为周期的周期函数,则 f ( x) 在

? ??, ?? ? 上一致连续的充要条件是 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上连续
8

[6]



第二章 一致连续的充要条件

证明: ? 必要性易证,下证充分性。

? 因为 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上连续,所以 f ( x) 在 ? 0, 2T ? 上也连续,从而一致连
续。 因此,对 ?? ? 0, ?? ? 0 ?? ? T ? ,使得对 ?x?, x?? ? ? 0, 2T ? ,且 x? ? x?? ? ? ,有
f ( x?) ? f ( x??) ? ? 。 ?x1 , x2 ? ? ??, ?? ? ,且 x1 ? x2 ? ? ,不妨假设 x1 ? x2 且 x1 ? ? nT , ? n ? 1? T ? ,即 ?

x1 ? nT ? ? , 0 ? ? ? T 。

(1)若 x2 ? ? nT , ? n ? 1? T ? ,则 x2 ? nT ? ? , 0 ? ? ? T , ? 此时 故 (2)
x1 ? x2 ? ? ? ? ? ? , f ( x1 ) ? (x2 ) ? f (? ) ? f ( ? ) ? ? 。 f

若 x2 ? ? nT , ? n ? 2 ? T ? ,则 x2 ? ? n ? 1? T ? ? ?, 0 ? ? ? ? T , ?

此时 x1 ? x2 ? ? ? ?T ? ? ? ? ? ?
f 且 ? , T ? ? ? ? ? 0, 2T ? ,故 f ( x1 ) ? (x2 ) ? f (? ) ? f (T ? ? ?) ? ? 。

综上所述,函数 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上一致连续。

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第三章一致连续的充分条件
定理 1:若函数 f ? x ? 在 R 上连续且 f ' ( x) 在 R 上有界,则函数 f ? x ? 在区间 R 上一致连续。 证明:只要能找到 ? 满足 ?? ? 0, ?x1 , x 2 ? R : x1 ? x 2 ? ? 时,有 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? ? 即 可 由于函数 f ? x ? 在 R 连续且可导,所以 f ? x ? 在 ?x 1 , x 2 ?连续而且在 ?x 1 , x 2 ?可导,满足拉格 朗日定理的条件。所以 ?c ? ?x 1 , x 2 ?使得f ??c ? ?
?M ? 0使得?x ? R有 f ??x ? ? M ?

f ?x 2 ? ? f ?x 1 ? 又因为函数 f ??x ? 有界,所以 x 2 ? x1

f ?x 2 ? ? f ? x1 ? ? M ? f ?x 2 ? ? f ? x1 ? ? M x1 ? x 2 要满 x 2 ? x1

足 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?只需取? ? 同理有如下结论:

?
M

即可

定理 2:若函数 f ? x ? 在任意区间 I 上连续,且 f ' ( x) 在区间 I 上有界,则函数 f ? x ? 在区 间 I 上一致连续。 定理 3:设函数 f ( x) 在区间 [a, ??) 上局部可积,且 f ( x) 在区间 [a, ??) 上有界,则
x F ( x) ? ? a f ( s )ds 在 [a, ??) 上一致连续。

定理 4: f ( x) 在区间 I 上存在有界导函数,即 ?M ? 0, ?x ? I ,有 | f ' ( x) |? M , f ( x) 在 若 则

I 上一致连续。
下面还有一个应用得更加广泛的结论: 若 f ( x) 在 [a, ??) 上连续,在 [a, ??) 内处处可导,且 lim f ' ( x ) ? A 存在,则 f ( x) 在
x ???

[a, ??) 上一致连续。

例 6: f ( x) ? x 2 ? 2 在 (??, ??) 上一致连续. 证明:由于 f ' ( x) ?
x x ?2
2

,| f ' ( x) |? 1 ,故 f ( x) ? x 2 ? 2 在 (??, ??) 上一致连续.

例 7: f ? x ? =㏑ x (0<x<1)

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第三章 一致连续的充分条件

证明:考虑 x n ?

1 1 ' , xn ? ,则当 0< ? 0 <㏑ 2 时,不论 ? 如何选择,只要 n 充分 n 2n
'

大,我们总可以使| x n ? x n |=

1 ' < ? ,但是,| f ? x n ? ? f x n |=㏑ 2> ? . 2n

? ?

因而 f ? x ? 在区间(0,1)内并非一致连续。 定理 5:设 f ( x) 在 [a, ??) 上连续,且有斜渐近线 y ? kx ? b(即 lim [ f ( x) ? ( kx ? b)] ? 0) 则
x ???

f ( x) 在 [a, ??) 上一致连续。( k , b 为常数)

证明: 因为 f ( x) ? (kx ? b) 在 [a, ??) 上连续, lim [ f ( x) ? ( kx ? b)] ? 0 , 且 所以 f ( x) ? (kx ? b)
x ???

在 [a, ??) 上一致连续, kx ? b 在 [a, ??) 上一致连续, 又 从而 f ( x) 在 [a, ??) 上一致 连续。

例 8:讨论函数 f ( x) ?

x2 于(1,+ ? )上的一致连续性。 1? x

x2 解:显然 f ( x) ? 在(1,+ ? )上连续,又 f ( x) 在(1,+ ? )上,当 x ? ?? 时 1? x

有渐近线 y ? x ? 1 ,所以 f ( x) ?

x2 在(1,+ ? )上一致连续。 1? x

上述结论可进一步推广为[4]:
(2)设 f ( x) 在 [a, ??) 上连续, g ( x) 在 [a, ??) 上一致连续,即 x ? ?? 时,且
x ???

lim f ( x) ? g ( x)] ? A ,则 f ( x) 在 [a, ??) 上一致连续。

例 9:求证:函数 f ( x) ? x 在 [0, ??) 上一致连续。 证明:对于 ? ? 0 ,任给 x ' , x" ? [1, ??), 当 | x ' ? x" |? ? 时,
f ( x ) ? f ( x ) ?| x ? x ?|
' " ' "

x ' ? x" x ? x
' "

|?

?
x ? x"
'

?? ,

所以 ? (? , x0 ) ? , x0 ? [1, ??) ,从而 ? (? , ) ? ? 0, ,于是, y ? f ( x) 在 [1, ??) 上 2 2 一致连续。而在[0,1]上, f ( x) 一致连续,所以 y ? f ( x) 在 [0, ??) 上一致连 续。
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?

?

广东石油化工学院本科毕业论文:函数一致连续的判别方法及其应用

1 例 10: f ( x) ? x ln(e ? ) 在 [1, ??) 上一致连续. x

1 x ln(e ? ) x ? 1, b ? lim[ x ln(e ? 1 ) ? x] ? 1 ,故 f ( x) ? x ln(e ? 1 ) 在 证明:由于 k ? lim x ?? x ?? x x x e
1 该区间有渐近线 y ? x ? ,所以 f ( x) 在 [1, ??) 上一致连续. e

定理 6:若 f ' ( x) ? ? ( x), x ? (a, b] a 为 ? ? x ? 的瑕点,且 ? ? ? x ?dx 收敛,则 f ? x ? 在 ?a, b? 上一
a

b

致连续。 推论 1: f ( x) ? ? ( x) ,g ? x ? >0,| ? ? x ? | ? g ?x ? ,x ? ?a, b? , a 为它们的瑕点, ? g ? x ?dx 若 且
'

b

a

收敛,则 f ? x ? 在 ?a, b? 上一致连续。 推论 2:若 f ' ( x) ? ? ( x) , g ? x ? >0, x ? ?a, b? , a 为它们的瑕点,且 ? g ? x ?dx 收敛,
a b

x? a

lim?

? ?x ?

g ?x ?

? c(0 ? c <∞),则 f ? x ? 在 ?a, b? 上一致连续。
1 (0<p<1),则 f ? x ? 在 ( x ? a) p

推论 3: f ' ( x) ? ? ( x), x ? (a, b] a 为其瑕点, 若 且| f ? x ? | ?

?a, b? 上一致连续。
推论 4:若 f ' ( x) ? ? ( x), x ? (a, b] a 为其瑕点,且 lim? ( x ? a ) p | ? ? x ? |? ? , 则当 0<p<1,
x? x

0 ? ? <+∞时, f ? x ? 在 ?a, b? 上一致连续。 定理 7:f , ?x ? ? ? ?x ? g ? x ? ,x ? ?a, b? , 为 ? ? x ? 的瑕点, ? ? ? x ?dx 收敛, 且 函数 g ? x ? 在 ?a, b? a
a b

上单调,则 f ? x ? 在 ?a, b? 上一致连续。 定理 7: f , ?x ? ? ? ?x ? g ? x ? , x ? ?a, b? , a 为 ? ? x ? 的瑕点,且 F(A)= ? ? ? x ?dx 在 ?a, b? 上
a A

有界, g ? x ? 在 ?a, b? 上单调且当 x ? a ? 时趋于 0,则 f ? x ? 在 ?a, b? 上一致连续。 定义 1(凸函数) :设函数 f ? x ? 在区间 I 上有定义,若 ?x, y ? I ,0 ? ? ? 1 ,有
f [? x ? (1 ? ? ) y] ? ? f ( x) ? (1 ? ? ) f ( y) (或 f [? x ? (1 ? ? ) y] ? ? f ( x) ? (1 ? ? ) f ( y) ),
12

第三章 一致连续的充分条件

则称 f ? x ? 为定义在区间 I 上的下凸(或上凸)函数,上,下凸函数统称为凸函数。

注:下面的定义,引理,定理和推论均见[5]。
定义 2(拟可导函数): 若函数 f ( x) 在 U 0 ( x0 ) 有定义,且极限
h h f ( x0 ? ) ? f ( x0 ? ) 2 2 存在, lim h ?0 h h h f ( x0 ? ) ? f ( x0 ? ) 2 2 . 则称函数 f ( x) 在 x0 拟可导,记为 Df ( x0 ) ? lim h ?0 h

引理 1 凸函数在任意开区间(有限或无穷) I 上连续. 引理 2 若 f ? x ? 在区间 I 上连续,且对 ?x1 , x2 ? I ,有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f( 1 2) 2 2 ,

则函数 f ? x ? 为下凸函数。 定理 8: 若 f ? x ? 在开区间 I (有限或无穷)上单调,且 Df ( x) 在 I 内处处存在,有界, 则 f ? x ? 在 I 上一致连续。 推论 1 若 f ? x ? 是开区间 I (有限或无穷)上的凸函数,且拟导数存在,有界,则 f ? x ? 在

I 上一致连续。
推论 2 若 f ? x ? 在开区间 I (有限或无穷)上满足条件: ① ?x1 , x2 ? I ,有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ); 2 2

② ?x ? I , f ? ( x) 和 f ? ( x) 都存在; ③在 I 上处处拟可导,且拟导数有界,则 f ? x ? 在 I 上一致连续。

定理9: f ( x) 在 ? ??, ?? ? 内一致连续的充分条件是 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 内连续,且
x ???

lim f ( x)和 lim f ( x) 都存在。
x ???

证明:(1) 先证 f ( x) 在 ? a , ?? ? 上一致连续。 令 lim f ( x) ? A ,由柯西收敛准则有对 ?? ? 0, ?M ? 0 使对 ?x?, x?? ? M ,有
x ???

f ( x?) ? f ( x??) ? ? 。
13

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现将 ? a , ?? ? 分为两个重叠区间 ? a, M ? 1? 和 ? M , ?? ? , 因为 f ( x) 在 ? a, M ? 1? 上一致连 续,从而对上述 ? ? 0, ??1 ? 0 ,使 ?x?, x?? ? ? a, M ? 1? ,且 x? ? x?? ? ?1 时,有
f ( x?) ? f ( x??) ? ? 。

对上述 ? ? 0 ,取 ? ? min ??1 ,1? ,则 ?x?, x?? ? ? a, ?? ? ,且 x? ? x?? ? ? ,都有
? f ( x )? f ( ? ? ? ? 。 x)

所以函数 f ( x) 在 ? a , ?? ? 内一致连续。 (2) 同理可证函数 f ( x) 在 ? ??, a ? 内一致连续。 由(1)、(2)可得 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 内一致连续。 注意: 若将 ? a , ?? ? 分为 ? a, M ? 和 ? M , ?? ? ,则当 x? 与 x?? 分别在两个区间时,即使 有 x? ? x?? ? ? ,却不能马上得出 f ( x?) ? f ( x??) ? ? 的结论。 由定理9还容易得出以下推论: 推论1: 函数 f ( x) 在 ? a , ?? ? 内一致连续的充分条件是 f ( x) 在 ? a , ?? ? 内连续,且
x ???

lim f ( x) 存在。

推论2; 函数 f ( x) 在 ? a, ?? ? 内一致连续的充分条件是 f ( x) 在 ? a, ?? ? 内连续,且
x ?a ?

lim f ( x) 与 lim f ( x) 都存在。
x ???

推论3:函数 f ( x) 在 ? ??, b ? 内一致连续的充分条件是 f ( x) 在 ? ??, b ? 内连续,且
x ???

lim f ( x) 存在。

推论4: 函数 f ( x) 在 ? ??, b ? 内一致连续的充分条件是 f ( x) 在 ? ??, b ? 内连续,且
x ?b ?

lim f ( x) 与 lim f ( x) 都存在。
x ???

例11: 判定下列函数在指定区间上是否一致连续。 (1) f ( x) ? x 2 , x ? ? 0,1? ;(2) f ( x) ? (3) f ( x) ?
sin x ? ?? , x ? ? 0, ? 。 x ? 2?
14

1 , x ? ? 0, ?? ? ; 1 ? x ? x2

第三章 一致连续的充分条件

解:(1) 易见 f ( x) ? x 2 在 ? 0,1? 内连续,且
x?0?

lim x2 ? 0, lim x2 ? 1 ,
x?1?

即 lim? f ( x) 与 lim f ( x) 都存在,从而 f ( x) 在 ? 0,1? 内一致连续。 ?
x ?0 x ?1

(2) 易见 f ( x) ?

1 在 ? 0, ?? ? 内连续,且 1 ? x ? x2 1 lim f ( x) ? lim ? 1, 2 x ?0? x ?0? 1 ? x ? x 1 lim f ( x) ? lim ? 0, x ??? x??? 1 ? x ? x 2

因此 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 内一致连续。 (3) 易证 f ( x) ?
sin x ? ? ? 在 ? 0, ? 内连续,且 x ? 2?
x ?0?

x ?0?

sin x ?1, x sin x 2 lim f ( x) ? lim ? , ? ? x ? ? ? x? x? lim f ( x) ? lim
2 2

? ?? 所以 f ( x) 在 ? 0, ? 内一致连续。 ? 2?

15

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第四章 函数一致连续的应用
定义:若存在某正数 ? ? 0 对于任意的 ? ? 0 ,总存在 x1 , x2 ? I , 当 | x1 ? x2 |? ? 时,有
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? ? ,则称函数 f ( x) 在区间 I 非一致连续。

例 12: f ( x) ? sin x 2 在 (??, ??) 内非一致连续. 证明:考虑 ? ??, ?? ? 上的两串点, xn ?
n? (n ? 1)? , xn ' ? 则当 0 ? ? 0 ? 1 时,不论 ? ? 0 如 2 2

何选取,只要 n 充分大,总可以使 | xn ? xn |?
'

x 2 ? ? ,但是 n? (n ? 1)? ? 2 2

f ( xn ) ? f ( xn ' ) |? 1 ? ? 0 ,因而, f ( x) ? sin x 2 在 (??, ??) 内非一致连续.

例 13:

1 在 (0,1) 内不一致连续(尽管它在 (0,1) 内每一点都连续) 。 x 1 ? 证明: 取 ? 0 ? 1 ,对 ?? ? 0 ( ? 充分小且不妨设 ? ? ) ,取 x? ? ? , x?? ? , 2 2

证明函数 y ?

则虽然有 x? ? x?? ? 所以函数 y ?

?
2

?? ,



1 1 1 ? ? ?1。 x? x?? ?

1 在 (0,1) 内不一致连续。 x

4.1 应用之一:基本初等函数的一致连续性的应用
(1)(幂函数) f ( x) ? x? 在[0,+?)上,当0<? ? 1时一致连续,当? ? 1时不一致连续 。 (2)(指数函数) f ( x) ? e x在R上非一致连续。 例14: 证明函数 f ( x) ? e x 在 R 上非一致连续。 证明: ?? 0 ?
1 ? 1 ? ,对 ?? ? 0 ? ?n ? ? ?,取x? ? ln ? n ? 1? , x?? ? ln n ,虽然有 2 e ?1 ? ?

? 1? x? ? x?? ? ln ? n ? 1? ? ln n ? ln ?1 ? ? ? ln e? ? ? , ? n?

① ②

但是

f ( x?) ? f ( x??) ? ? n ? 1? ? n ? 1 ?
x

1 ? ?0 。 2

所以 f ( x) ? e 在 R 上非一致连续。
16

第四章 函数一致连续的应用

(3)(对数函数) f ( x) ? ln x在(0,上非一致连续,在[1,+?)上一致连续。 1)

例 15: f ( x) ? ln x在(0,上非一致连续,在[1,+?)上一致连续。 1)
1 1 证明:考虑 xn ? , xn ' ? ,则当 0 ? ? 0 ? ln 2 时,不论 ? 如何选取,只要 n 充分大, n 2n

我们总可以使 | xn ? xn ' |? 区间 (0,1) 非一致收敛。

1 ? ? ,但是 | f ( xn ) ? f ( xn ' ) |? ln 2 ? ? ,因而 f ( x) 在 2n

但在区间[1,+?)上, f ( x) ? ln x 在点 1 处最陡,且

? f (? ) ? 1 ?

1 ? 0(? ? 0? ) . 1? ?

可见, f ( x) ? ln x 在[1,+?)上一致连续.

(4) (三角函数) y ? sin x和y ? cos x均在R上一致连续,y ? tan x和y ? cot x 均在其定义 域上非一致连续。

例16:

证明函数 f ( x) ? cos x 在 ? 0, ?? ? 上一致连续。 证明:由于对 ?? ? 0, ?L ? 2 ,使得 ?x?, x?? ? ? 0, ?? ? ,都有
cos x? ? cos x?? ? x? ? x?? ? 2 x? ? x?? ,

即 f ( x) ? cos x 在 ? 0, ?? ? 上满足 Lipschitz 条件。
所以函数 f ( x) ? cos x 在 ? 0, ?? ? 上一致连续。

例 17:证明 y ? sin x 在 R 的一致连续
x 证明: ?? ? 0, ?x1 , x2 ? R,1 ? x2 ? ? 时

要使得: f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? sin x1 ? sin x 2 ? 2 cos

x1 ? x 2 x ? x2 sin 1 2 2

? 2 sin

x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 ? ? 成立,只需 ? ? ? 即可 2

17

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(5)(反三角函数) y ? arcsin x和y ? arccos x均在[?1,1]上一致连续, ? arctan x 和 y

y ? arccot x 均在 (??, ??)上一致连续。
例 18:证明 f ( x) ? arctan x(?? ? x ? ??) 一致连续。 证明:由于 f ( x) 在区间 (??,1] , [0, ??) 上连续,且有
x ???

lim arctan x ?

?
2

, lim arctan x ? ?
x ???

?
2



由已知 f ( x) 在 (??,1] 及 [0, ??) 上均一致连续。于是,对于任给 ? ? 0 ,存在

?1 (? ) ? 0 ,当 x1 , x2 ? (??,1] , | x1 ? x2 |? ?1 (? ) 时,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? ? 成立。
又存在 ? 2 (? ) ? 0 ,当 x1 , x2 ? [0, ??) ,| x1 ? x2 |? ? 2 (? ) 时,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? ? 成立。 今取 ? (? ) ? min{1, ?1 (? ), ? 2 (? )} , 则当 x1 , x2 ? (? ?, ??) ,| x1 ? x2 |? ? (? ) 时,x1 与 x2 必或同时属于 (??,1] ,或同时属于 [0, ??) ,故恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? ? ,即 f ( x) 在
(? ?, ??) 上一致连续。
p( x) ? 0 x n ? ?1 x n ?1 ? ? ? ? n ? , 其中n, m为非负整数, (5)(有理函数) R( x) ? q ( x) ? 0 x m ? ?1 x m ?1 ? ? ? ? n

? 0,?1 ?? n,?0,?1 ? ? n 均为常数, ? 0 ? 0, ? 0 ? 0 。 n ? m ? 1 时, ( x)在[a,+?) R 且 当
上一致连续;当 n ? m ? 1时,R( x)在[a,+?)上非一致连续。(其中

? ? max{x, q( x) ? 0}) 。

4.2 应用之三:反函数的一致连续性的应用
由于反函数仍然是一个函数,只是其函数图像与原函数图像关于直线 y=x 对称。所 以我们仍然可以采取前面讨论一致连续的条件的方法。 (1) 有限区间上的一致连续函数的反函数必一致连续。 (a) 闭区间 ?a, b ? 上的一致连续函数的反函数仍然一致连续。 证明:因为 f ? x ? 在区间 ?a, b ? 一致连续,不妨设 f ?a ? ? f ?b ? ,由于具有反函数的函数必 然单调? f
?1

?x ? 在区间 ? f ?a ?, f ?b??连续。

有定理 1 可得: f ?1 ?x ? 在区间 ? f ?a ?, f ?b ??一致连续。

18

第四章 函数一致连续的应用

(b)开区间 ?a, b ? 上的一致连续函数的反函数一致连续。 证明: ? f ? x ? 在区间 ?a, b ? 一致连续,

? lim f ?x ? 与 lim f ?x ? 存在,不妨分别设为 A 与 B。
x?a ? 0 x ?b ? 0

?存在反函数的函数必然单调,所以不妨设 A ? B 。
?f
y? A

?1

? y ? 在开区间 ? A, B ? 有定义,且
?1

lim f

? y ? ? a, lim f ?1 ? y ? ? b y?B

由定理 2 可得: f ?1 ? y ? 在开区间 ? A, B ? 一致连。 综合以上两个结论可得 结论 1:有限区间上的一致连续函数的反函数必一致连续。 (2) 函数 f ? x ? 在区间 ?a,??? 上一致连续,如果 lim f ? x ? 存在,则函数 f ? x ? 的反函数
x ? ??

不一致连续。 (3) 若无穷区间 ?a,??? 上的一致连续函数的导函数在无穷远点的极限 lim f ??x ? ? 0
x ??

则其反函数在无穷区间 ?a,??? 上不一致连续。若 lim f ??x ? ? 0 则其反函数在无穷
x ??

区间 ?a,??? 上一致连续。 例 19:证明:若函数 f ( x) 在域 a ? x ? ?? 上有定义并且是连续的,而且 lim f ( x) 存在,
x ???

则 f ( x) 在此域上是一致连续的。 证明:任给 ? ? 0 ,由于 lim f ( x) 存在,故必存在 X ? a ,使当 x' ? X ,x" ? X 时,
x ???

恒有 | f ( x' ) ? f ( x" ) |? ? ,由于 f ( x) 在 [a, X ? 1} 连续,故一致连续,从而必 有正数 ? ' 存在,使当 x' ?[a, X ? 1} , x" ? [a, X ? 1} , | x ' ? x" |? ? ' 时,恒有
| f ( x ' ) ? f ( x" ) |? ? ,

令 ? ? min{? ' ,1} 。 现设 x ' ,x " 为满足 a ? x' ? ?? ,a ? x" ? ?? ,| x ' ? x" |? ? 的 任何两点。由于 | x ' ? x" |? ? 故 x ' 与 x " 或同时属于 [a, X ? 1} ,或同时满足 x' ? X ,

19

广东石油化工学院本科毕业论文:函数一致连续的判别方法及其应用

x" ? X 。因此,恒有 | f ( x' ) ? f ( x" ) |? ? ,故 f ( x) 在 a ? x ? ?? 上一致连续。

(4)无穷区间上的一致连续函数的反函数的一致连续性。 由于无穷区间有如下五中情况:?? ?,???, ?? ?, a ?, ?? ?, a?, ?b,???, ?b,??? 因此我们主要 讨论最有代表性的区间 ?a,??? ( a ? 0 )上的情况,其余四种情况可以类似得出相应结论。 由前面一致连续的条件的讨论可知区间 ?a,??? 上的一致连续函数可以分为两类。 第一类:
x?a ? 0

lim f ? x ? 与 lim f ? x ? 都存在,不妨设 lim f ? x ? =A, lim f ? x ? =B。
x ? ?? x?a ? 0 x ? ??

?存在反函数的函数必然单调,所以不妨设 A ? B 。
?f
y? A

?1

? y ? 在开区间 ? A, B ? 有定义,且
?1

lim f

? y ? ? a, lim f ?1 ? y ? ? ? y?B

所以有 结论 2:函数 f ? x ? 在区间 ?a,??? 上一致连续,如果 lim f ? x ? 存在,则函数 f ? x ? 的反函数
x ? ??

不一致连续。 为帮助理解上面的结论,举例如下: 例 20: f ?x ? ? arctanx 在 ?0,??? 一致连续,且 lim f ?x ? ?
x ? ??

?
2

所以其反函数 f ( x) ? tan x 在

? ?? ? 0, ? 不一致连续。 ? 2?

第二类: lim f ? x ? 存在而 lim f ? x ? 不存在时, lim f ? x ? 不存在有两种情形,一种是 x 趋
x?a ? 0 x ? ?? x ? ??

向于无穷时, 函数 f ? x ? 的图像上下波动, 函数的变化趋势不确定而造成无极限。 由于具有反函数的函数必然单调,所以此种情况可排除,仅讨论第二种情况即
lim f ? x ? ? ?
x ??

此时函数 f ? x ? 满足 lim f ?? x ? 存在(由结论 1 可得),即 f ??x ? 有界。
x ??

根据法则:反函数的导数等于原函数导数的倒数。

? 当 lim f ??x ? ? 0 时,可设 lim f ? x ? ? c?c为常数? 所以 lim f ?1 ? y ? ? ? 因此有如下
x ?? x ??

y ?c

?

?

结论: 结论 3:若无穷区间 ?a,??? 上的一致连续函数的导函数在无穷远点的极限 lim f ??x ? ? 0
x ??

20

第四章 函数一致连续的应用

则其反函数在无穷区间 ?a,??? 上不一致连续。若 lim f ??x ? ? 0 则其反函数在无穷区间
x ??

?a,??? 上一致连续。
为帮助理解上面的结论. 例 21: f ?x ? ? x 2 在区间 ?0,??? 不一致连续, (因为 lim f ?? x ? ? ? ) 所以其反函数 y ?
x ??

x在

区间 ?0,??? 一致连续。 例 22:设 f ? x ? 在区间 I 上一致连续且存在 ? ? 0 ,使得对任意的 x ? ? 有 f ?x ? ? ? 成立, 则函数
1 在其定义域上一致连续。 f ?x ? 1 在其定义域上的一致连续性。 f ?x ?

证明:讨论区间 I 上的一致连续函数 f ? x ? 的倒数

由于

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 1 1 ? = f ? x1 ? f ? x 2 ? f ? x1 ? f ? x 2 ?

由 f ? x ? 在区间 I 的一致连续性得: 所以,

?x1 , x 2 ? ? 有 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? ?

1 1 ? ? ? f ? x1 ? f ? x 2 ? f ? x1 ? f ? x 2 ?

发现,当 连续。

1 1 有界时,即 f ? x ? ? ? ?? ? 0 ?时,函数 在其定义域上一致 f ? x1 ? f ? x 2 ? f ?x ?

4.3 函数的四则运算性质的一致连续
(1)若 f ( x), g ( x) 都在区间 I 上一致连续,则 f ( x) ? g ( x) 也在 I 上一致连续. 证明: 由于函数 f ?x ?, g ?x ? 在区间 I 一致连续, 所以 ?? ? 0, ?? ? 0, ?x1 , x2 x1 ? x 2 ? ? 时,有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ? , g ?x1 ? ? g ?x 2 ? ? ?
? ? f ?x1 ? ? g ?x1 ?? ? ? f ?x 2 ? ? g ?x 2 ?? ? 2? ,所以 f ?x ? ? g ?x ? 一致连续。

因此可推出一下定理 若 f ( x), g ( x) 都在区间 I 上一致连续,则 f ( x) ? g ( x) 也在 I 上一致连续. (2)若 f ( x), g ( x) 都在有限区间 I 上一致连续,则 f ( x) g ( x) 也在 I 上一致连续.
21

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证明:

? f ?x1 ?g ?x1 ? ? f ?x2 ?g ?x1 ? ? f ?x 2 ?g ?x1 ? ? f ?x 2 ?g ?x2 ? ? g ?x1 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x2 ? g ?x1 ? ? g ?x 2 ?

f ?x1 ?g ?x1 ? ? f ?x2 ?g ?x 2 ? ? f ?x1 ?g ?x1 ? ? f ?x 2 ?g ?x1 ? ? f ?x2 ?g ?x1 ? ? f ?x2 ?g ?x2 ?

由于函数 f ?x ?, g ?x ? 分别在 I 上一致连续所以: ?? ? 0, ?? ? 0, ?x1 , x2 当
x1 ? x 2 ? ? 时,有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ? , g ?x1 ? ? g ?x 2 ? ? ? f ?x1 ?g ?x1 ? ? f ?x 2 ?g ?x 2 ? ? ? g ?x1 ? ? f ?x 2 ? ??

所以 因此可推出定理

若 f ( x), g ( x) 都在区间 I (含无穷区间)上一致连续且有界,则 f ( x) g ( x) 也在 I 上一致连 续. (3)设 f ? x ? 在区间 I 上一致连续且存在 ? ? 0 ,使得对任意的 x ? ? 有 f ?x ? ? ? 成立, 则函数
1 在其定义域上一致连续。 f ?x ?

证明:

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 1 1 ? = f ? x1 ? f ? x 2 ? f ? x1 ? f ? x 2 ?

由 f ? x ? 在区间 I 的一致连续性得: 所以:
1 1 ? ? ? f ? x1 ? f ? x 2 ? f ? x1 ? f ? x 2 ?

?x1 , x 2 ? ? 有 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? ?

发现,当 连续。

1 1 有界时,即 f ? x ? ? ? ?? ? 0 ?时,函数 在其定义域上一致 f ? x1 ? f ? x 2 ? f ?x ?

综合定理 15 与定理 16 可得 (4)设 f ? x ? 与 g ? x ? 都在区间 I 上一致连续,且 f ? x ? 区间 I 上有界,且存在 ? ? 0 ,使 得对任意的 x ? ? 有 g ?x ? ? ? ?? ? 0? ,则
f ?x ? 在区间 I 一致连续。 g ?x ?

(5)若 f ( x) 在区间 I 上一致连续 ,则 ? f ( x) 也在 I 上一致连续(其中 ? 为任意常数). (6)设 f ? x ? 在区间 U 上一致连续,而 g ? x ? 在区间 I 上一致连续,且 g ? x ? 的值域是 U 的 子集,则复合函数 f ?g ?x ??在区间 I 上一致连续。
22

第四章 函数一致连续的应用

证明:对任意 ? ? 0, f ? x ? 在区间 U 上一致连续,可知存? ? 0, 使当u1 , u 2 ? u且 u1 ? u 2 ? ? 时有 f ?u1 ? ? f ?u 2 ? ? ? 成立。

对于这个 ? ? 0 ,再由 g ? x ? 在区间 I 上一致连续可得 ?? ? 0, 使得当
x1 , x 2 ? ?, x1 ? x 2 ? ? 时,

有 g ?x1 ? ? U , g ?x2 ? ? U 且 g ?x1 ? ? g ?x 2 ? ? ? 从而有 f ?g ?x1 ?? ? f ?g ?x 2 ?? ? ? 成立,则复合函数 f ?g ?x ?? 在区间 I 上一致连续。

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广东石油化工学院本科毕业论文:函数一致连续的判别方法及其应用

结束语

文章比较全面的总结了各种判断函数的一致连续性的条件,并结合实例对这些方法 加以运用,而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论,关于函数一致连续 性的判断,是由函数所满足的条件及所定义的范围决定的,本文还不能解决所有的判断 函数一致连续的问题,还可以进行更加深入的讨论和研究。

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致谢

致谢词

很感谢指导老师能在百忙之中抽出时间来指导我本次的学年论文撰写, 老师给我们提供了相关参 考文献,并督促我们认真阅读,学会归纳总结,得出自己的感悟。通过本次的论文撰写,我也深知 自己的专业知识有待提高,在以后的学习中应该更认真学习,不断总结归纳,为不久的将来参加工 作做好充分的准备。最后,再次谢谢老师的关心与指导,祝老师工作顺利,生活顺心!

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参考文献

参考文献

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